Quelltext der Seite Antoine-Gleichung

[[Datei:Clausius-Clapeyron.png|mini|Clausius-Clapeyron (''p'' vs. ''T'')]]
Die '''Antoine-Gleichung''' beschreibt den funktionalen Zusammenhang zwischen der Temperatur und dem [[Sättigungsdampfdruck]] für [[Reinstoff|reine Stoffe]] und ist von der [[Clausius-Clapeyron-Gleichung]] abgeleitet.

== Die Gleichung ==
[[Datei:Vapor Pressure of Water.png|500px|mini|Wasserdampfdruck<br /> links: ''p'' vs. ''T'', rechts: log(''p'') vs. 1/''T'']]

Die vereinfachte Form mit <math>C = 0\colon</math>

:<math>\begin{align}
                           p &= 10^{A-\frac{B}{T}}\\
\Leftrightarrow \log_{10}\ p &= A - \frac{B}{T}
\end{align}</math>

heißt '''August-Gleichung''' nach dem deutschen Physiker [[Ernst Ferdinand August]] (1795–1870). Sie leitet sich direkt von der Clausius-Clapeyron-Beziehung ab und beschreibt eine rein [[Lineare Funktion|lineare Beziehung]] zwischen dem [[Logarithmus]] des Drucks und dem [[Kehrwert]] der Temperatur. Der Faktor B (Steigung der Geraden) korrespondiert mit der [[Verdampfungsenthalpie]].

Die Krümmung der Geraden wird durch die Antoine-Gleichung von [[Louis Charles Antoine]] (1825–1897) präzisiert.

=== Originalgleichung ===
Antoine verwendete die Form

:<math>\log_{10} p\ = \ A_\text{orig} \left( D - \frac{1000}{\theta} \right)</math>

Es zeigt sich, dass mit den Umrechnungen

::<math>\begin{align}
A\ & = A_\text{orig} \cdot D\\
B\ & = 1000 \cdot A_\text{orig}\\
C\ & = \theta\ - \ T
\end{align}</math>

die heutzutage verwendete Form der Originalgleichung entspricht.

Mit den von Antoine für [[Benzol]] gegebenen Werten A<sub>orig</sub> = 1,1650, D = 5,8524 und C = 216 ergibt sich für 80&nbsp;°C (entspricht dem Siedepunkt von Benzol) ein Dampfdruck von Benzol zu

:<math>\begin{align}
      \log_{10} p\ & = \ 1{,}1650 \left( 5{,}8524 - \frac{1000}{80 + 216} \right)\\
\Leftrightarrow p\ & = \ 762{,}5\,\mathrm{mmHg}
\end{align}</math>

und damit annähernd [[Atmosphärendruck]].

=== Heute gebräuchliche Form ===
:<math>\begin{align}
                           p & = 10^{A - \frac{B}{C+T}}\\
\Leftrightarrow \log_{10}\ p & = A - \frac{B}{C+T}
\end{align}</math>

mit
* ''p'': Druck, meist in [[mmHg]] gegeben
* ''T'': Temperatur, in °C gegeben
* ''A'', ''B'', ''C'' [[empirisch]]e, stoffspezifische Parameter, wobei aus B einfach die [[Clausius-Clapeyron-Gleichung#Integrierte Form|molare Verdampfungsenthalpie abgeleitet]] werden kann.

=== Temperatur-explizite Form (Umkehrfunktion) ===
Die Antoine-Gleichung kann umgestellt werden, so dass die Temperatur als Funktion des Drucks berechnet werden kann:

:<math>\Leftrightarrow T = \frac{B}{A-\log_{10}\, p} - C</math>

== Geltungsbereich ==
Die Antoine-Gleichung kann mit ihren drei Parametern nicht die gesamte Sättigungsdampfdruckkurve zwischen dem [[Tripelpunkt]] und dem [[Kritischer Punkt (Thermodynamik)|kritischen Punkt]] korrekt beschreiben. Daher werden zumeist 2 Parametersätze für eine Komponente verwendet. In der Regel ist dabei ein Parametersatz unterhalb des [[Normalsiedepunkt]]s gültig und ein zweiter für den Bereich vom Normalsiedepunkt bis zum kritischen Punkt. Da sich an der Übergangsstelle dann Inkonsistenzen ergeben, ist die Anwendung der Antoine-Gleichung heute nicht mehr zeitgemäß.

<gallery caption="Typische Abweichungen einer Parameteranpassung über den gesamten Bereich (experimentelle Daten für Benzol)" widths="150px">
VaporPressureFitAugust.png|Abweichung einer Anpassung der ''August''-Gleichung (2 Parameter)
VaporPressureFitAntoine.png|Abweichung einer Anpassung der ''Antoine''-Gleichung (3 Parameter)
VaporPressureFitDIPPR101.png|Abweichung einer Anpassung der ''[[DIPPR-Gleichungen|DIPPR 101]]''-Gleichung (4 Parameter)
</gallery>

== Beispiele ==
{| cellpadding="4" rules="all" style="margin: 1em 0em; background: #FFFFFF; border: 2px solid #AAAAAA;"
|- align="center" style="background:#F0F0F0"
!
! A
! B
! C
! T<sub>min</sub><br />(°C)
! T<sub>max</sub><br />(°C)
|- align="center"
| bgcolor="#f0f0f0" |Wasser||8,07131||1730,63||233,426||1||100
|- align="center"
| bgcolor="#f0f0f0" |Wasser (unter Druck, p>760 mmHg)||8,14019||1810,94||244,485||99||374
|- align="center"
| bgcolor="#f0f0f0"|Ethanol||8,20417||1642,89||230,300||−57||80
|- align="center"
| bgcolor="#f0f0f0"|Ethanol (unter Druck, p>760 mmHg)||7,68117||1332,04||199,200||77||243
|}

[''p''] = mmHg

=== Beispielrechnung ===
Für Ethanol beträgt der [[Normalsiedepunkt]] T<sub>B</sub>=78,32&nbsp;°C. Damit ergibt sich folgende Rechnung:

:<math>p = 10^{8{,}20417 - \frac{1642{,}89}{78{,}32 + 230{,}300}} = 760{,}0\,\mathrm{mmHg}</math>

:<math>p = 10^{7{,}68117 - \frac{1332{,}04}{78{,}32 + 199{,}200}} = 761{,}0\,\mathrm{mmHg}</math>

(760&nbsp;mmHg = 101,325&nbsp;kPa = 1,000&nbsp;atm = [[Normaldruck]])

== Einheiten ==
Die Koeffizienten der Antoine-Gleichung werden üblicherweise in '''mmHg''' und '''°C''' gegeben&nbsp;– auch heute noch, wo das Einheitensystem [[Internationales Einheitensystem|SI]] bevorzugt wird und damit die Druckeinheit [[Pascal (Einheit)|Pascal]] und die Temperatureinheit [[Kelvin]]. Der Gebrauch der Vor-SI-Einheiten hat ausschließlich historische Gründe und stammt direkt aus Antoines Originalveröffentlichung.

Es ist allerdings einfach, die Antoine-Parameter in andere Druck- und Temperatureinheiten zu konvertieren. Um von Grad Celsius nach Kelvin zu wechseln, werden 273,15 vom C-Parameter subtrahiert. Um von Millimeter-Quecksilber zu Pascal zu wechseln, genügt es, den dekadischen Logarithmus des Faktors zwischen den Einheiten zum A-Parameter hinzuzuaddieren:

:<math>A_\text{Pa} = A_\text{mmHg} + \log_{10}\frac{101325}{760} = A_\text{mmHg} + 2{,}124903</math>

(101325 Pa sind 760 mmHg)

Die Parameter in '''°C''' und '''mmHg''' für Ethanol

:{| cellpadding="2" rules="all" style="border:1px solid #AAAAAA;"
|-
!A
!B
!C
|-
||8,20417||1642,89||230,300
|}

werden für '''K''' and '''Pa''' konvertiert zu

:{| cellpadding="2" rules="all" style="border:1px solid #AAAAAA;"
|-
!A
!B
!C
|-
||10,32907||1642,89||−42,85
|}

Die erste Beispielrechnung bei T<sub>B</sub> = 351,47 K wird zu
:<math>\log_{10}p = 10{,}3291 - \frac{1642{,}89}{351{,}47 - 42{,}85} = 101328\,\mathrm{Pa}</math>

Eine ähnliche einfache Transformation kann benutzt werden, wenn der dekadische gegen den natürlichen Logarithmus ausgetauscht werden soll. Es ist ausreichend, die Parameter A und B mit ln(10) = 2,302585 zu multiplizieren.

Die Beispielrechnung mit den konvertierten Parametern (für '''K''' and '''Pa''')

:{| cellpadding="2" rules="all" style="border:1px solid #AAAAAA;"
|-
!A
!B
!C
|-
||23,7836||3782,89||−42,85
|}

wird zu

:<math>\ln p = 23{,}7836 - \frac{3782{,}89}{351{,}47 - 42{,}85} = 101332\,\mathrm{Pa}</math>

(Die kleinen Differenzen in den Resultaten entstehen ausschließlich durch die benutzte begrenzte Genauigkeit der Koeffizienten.)

== Erweiterungen der Gleichung ==
Um die Limitierungen der Antoine-Gleichung zu umgehen, gibt es einfache Erweiterungen um weitere Terme.

* <math>p = \exp{\left( A + \frac{B}{C+T} + D \cdot T + E \cdot T^2 + F \cdot \ln \left( T \right) \right)}</math>

* <math>p = \exp\left( A + \frac{B}{C+T} + D \cdot \ln \left( T \right) + E \cdot T^F\right)</math>

Die weiteren Parameter erhöhen die Flexibilität der Gleichungen und erlauben damit die Beschreibung der gesamten Dampfdruckkurve vom Tripelpunkt bis zum kritischen Punkt. Außerdem lassen sich die erweiterten Gleichungen auf die ursprüngliche Antoine-Gleichung durch Setzen der weiteren Parameter ''D'', ''E'' und ''F'' auf 0 reduzieren.

Ein Unterschied zur Originalform ist außerdem, dass die erweiterten Gleichungen die e-Funktion und den natürlichen Logarithmus verwenden. Dies hat jedoch keinen Einfluss auf die Gleichungsform.

== Quellen ==
* [http://webbook.nist.gov/chemistry/fluid/ NIST Chemistry WebBook]
* [[Dortmunder Datenbank]]
* Diverse Nachschlagewerke und Veröffentlichungen, bspw.
** ''Lange's Handbook of Chemistry.'' McGraw-Hill Professional
** Ivan Wichterle, Jan Linek: ''Antoine Vapor Pressure Constants of pure compounds.'' Academia, Prag 1971
** Carl L. Yaws, Haur-Chung Yang: ''To Estimate Vapor Pressure Easily. Antoine Coefficients Relate Vapor Pressure to Temperature for Almost 700 Major Organic Compounds.'' In: ''Hydrocarbon Processing.'' Bd. 68, Nr. 10, 1989, {{ISSN|0018-8190}}, S. 65–68.

== Literatur ==
* Ch. Antoine: ''Tensions des vapeurs: nouvelle relation entre les tensions et les températures.'' In: ''Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences.'' Bd. 107, 1888, S. [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k30635/f681.image 681–684], [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k30635/f778.image 778–780], [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k30635/f836.image 836–837].

== Weblinks ==
* [http://webbook.nist.gov/chemistry/fluid/ NIST Chemistry Web Book]
* [http://www.eqi.ethz.ch/fmi/xsl/eqi/eqi_property_details_de.xsl?node_id=983 Verzeichnis von Nachschlagewerken und Datenbanken mit Antoine-Konstanten][http://www.pirika.com/ENG/ChemEng/index.html Pirika-Methode]
* [http://ddbonline.ddbst.de/AntoineCalculation/AntoineCalculationCGI.exe Berechnung des Dampfdrucks mit der Antoine-Gleichung]

[[Kategorie:Sättigungsdampfdruckgleichung]]