Quelltext der Seite Beispiel von Lewy

Das '''Beispiel von Lewy''' ist ein Beispiel einer [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichung]] ohne [[Glatte Funktion|glatte]] Lösungen, obwohl alle Daten der Gleichung glatt sind.

Lange hatte man geglaubt, zumindest für [[Partielle_Differentialgleichung#Einteilung|lineare partielle Differentialgleichungen]] eine zur Theorie der [[Gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnlichen Differentialgleichungen]] analoge Existenz- und Eindeutigkeitstheorie aufbauen zu können.<ref>Thomas Sonar: ''3000 Jahre Analysis. Vom Zählstein zum Computer'', Springer-Verlag 2011, Kapitel 10.8</ref> Der [[Satz von Cauchy-Kowalewskaja]] (1875)<ref>Sophie Kowalevski: "Zur Theorie der partiellen Differentialgleichung", Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 80 (1875), Seiten 1–32</ref> schien den Weg zu weisen: Jedes [[Korrekt gestelltes Problem|korrekt gestellte]] [[Satz von Cauchy-Kowalewskaja|Cauchy-Problem]] mit [[Analytische Funktion|analytischen]] Daten besitzt eine analytische Lösung. Seit Beginn des 20. Jahrhunderts konnten viele partielle Differentialgleichungen gelöst werden und die Erfahrung zeigte, dass [[Differenzierbarkeit]]eigenschaften der Daten der Gleichung zu eventuell durch den Gleichungsgrad beeinflusste Differenzierbarkeitseigenschaften der Lösungen führen. Es lag daher nahe zu vermuten, dass eine zum Satz von Cauchy-Kowalewskaja analoge Aussage gilt, wenn man von analytischen Funktionen zu glatten Funktionen übergeht. 
Das überraschend einfache Beispiel von Lewy widerlegt diese Vermutung und [[Hans Lewy (Mathematiker)|Hans Lewy]] selbst schreibt dazu:<ref>Hans Lewy (1957), ''An example of a smooth linear partial differential equation without solution'', The Annals of Mathematics, Vol. 66, No. 1: Seite 155–158</ref>

:''It was therefore a matter of considerable surprise to this author, to discover that this inference is in general erroneous.''
:deutsch: ''Die Entdeckung, dass dieser Schluss im Allgemeinen falsch ist, war daher eine sehr große Überraschung für den Autor.''

Das Beispiel von Lewy ist eine lineare, partielle Differentialgleichung erster Ordnung für komplexwertige Funktionen in drei Unbestimmten <math>x_1,x_2,y_1</math>:

:<math>\Big( -\frac{\partial}{\partial x_1} - i\frac{\partial}{\partial x_2} + 2i(x_1+ix_2) \frac{\partial}{\partial y_1} \Big) u = F</math>.

In einem ersten Schritt zeigte Lewy, dass wenn die rechte Seite gleich <math>\psi'(y_1)</math> mit einer nur von <math>y_1</math> abhängigen und einmal stetig differenzierbaren Funktion ist und wenn es in einer [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] von <math>(0,0,y_0)</math> eine einmal stetig differenzierbare Lösung gibt, dann <math>\psi</math> bei <math>(0,0,y_0)</math> analytisch sein muss.<ref>G. B. Folland: ''Introduction to Partial Differential Equation'', Princeton University Press 1995, ISBN 0-691-04361-2, Kapitel 1, Local Solvability, The Lewy Example</ref>
Lewy verwendete dies, um unter Verwendung von [[Banachraum]]-Argumenten auf nicht-konstruktive Weise eine glatte Funktion <math>F(x_1,x_2,y_1)</math> zu finden, so dass obige Gleichung keine Lösung in <math>H^1</math> hat, wobei letzteres der Raum aller Funktionen auf <math>\R^3</math> ist, deren erste partielle Ableitungen existieren und einer [[Hölder-Stetigkeit|Hölder-Bedingung]] für alle Punktepaare mit Abstand <math>\textstyle \le 1</math> genügen. Insbesondere hat die lineare partielle Differentialgleichung mit diesem <math>F</math> als rechter Seite keine glatte Lösung.

Dieses Beispiel ist von erster Ordnung und  nur der Koeffizient vor der Ableitung nach <math>y_1</math> ist nicht-konstant, aber als Polynom (sogar ersten Grades) denkbar einfach. Daher belegt das Beispiel von Lewy auch, dass sich der [[Satz von Malgrange-Ehrenpreis]] nicht auf einfache Weise verallgemeinern lässt.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Partielle Differentialgleichung]]