Quelltext der Seite Benutzer:Bleckneuhaus/Fermi-Energie

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Die '''Fermi-Energie''' (nach [[Enrico Fermi]]) ist ein physikalischer Begriff aus der Quantenstatistik. Die Fermi-Energie gibt die höchste Energie an, die in einem Vielteilchensystem gleichartiger [[Fermion]]en (sog. [[Fermi-Gas]]e) ein Teilchen haben kann, wenn das System als ganzes in seinem Grundzustand ist.<ref> Enrico Fermi: ''Zur Quantelung des einatomigen idealen Gases'', Zeitschrift für Physik Bd.&nbsp;36, 1926, S.&nbsp;902–912 [[DOI: 10.1007/BF01400221]]</ref> Alle Zustände mit Energien bis zur der Fermi-Energie sind dann mit Teilchen voll besetzt, darüber keiner. Führt man dem System Energie zu, dann wird als Fermi-Energie das Energieniveau bezeichnet, das im thermodynamischen Gleichgewichtszustand genau zur Hälfte mit Teilchen besetzt ist. Die Fermi-Energie wird auch ''Fermikante'' oder ''Ferminiveau'' genannt. Bei der Bestimmung eines chemischen Gleichgewichts hat sie die Bedeutung des ''[[chemisches Potential]]s''. Die Fermi-Energie macht sich z.B. im [[Photoeffekt]] an Metalloberflächen in Gestalt der Austrittsarbeit bemerkbar: Die [[Austrittsarbeit]] ist hierbei die wohlbestimmte Energie, die einem Elektron an der Fermikante mindestens zugeführt werden muss, um es aus dem Metall herauszuschlagen. 

Die Fermi-Energie ist Folge des nur bei Fermionen (z.B. Elektronen) geltenden [[Pauliprinzip|Ausschließungprinzip]]s, wonach sich in keinem Zustand mehr als ein Teilchen befinden darf. Zur näheren theoretischen Begründung siehe [[Fermi-Dirac-Statistik]].

== Beschreibung ==
Die Fermi-Energie (Symbol <math>\,E_F</math> oder <math>\,\mu</math>) ist eine reine Folge der [[Quantenphysik]], insbesondere der [[Quantenstatistik]]. Die genaue theoretische Begründung des Begriffs setzt eine große Anzahl nicht wechselwirkender Teilchen voraus.<ref>Das [[Pauliprinzip|Ausschließungprinzip]] beruht nicht auf [[Wechselwirkung]].</ref> Da es keine vollkommen wechselwirkungslosen Teilchen gibt, ist der Begriff streng genommen eine Näherung, die aber überall dort große Bedeutung hat, wo 
die Eigenschaften des Systems stärker durch die gegenseitige Ausschließung als durch die Wechselwirkung der Teilchen bestimmt sind. 

<math>\,E_F</math> spielt für die Eigenschaften eines Fermigases nicht nur in seinem Grundzustand (<math>T\mathord =0^\circ K</math>) eine wichtige Rolle, sondern auch bei höheren Temperaturen, solange <math>\,k_B T \ll E_F</math>. (Darin <math>\,k_B </math> [[Boltzmannkonstante]], <math>\,T </math> absolute [[Temperatur]]). Die Fermikante ist dann nicht mehr die absolut scharfe Begrenzung, wo die Besetzungszahl der Einteilchenzustände  von 1 auf 0 springt, sondern etwas aufgeweicht. Die Besetzungszahl fällt in einem Energiebereich von einigen <math>\,k_B T </math> stetig von (nahezu) 1 auf (nahezu) 0 ab. Solche Fermigase werden als ''entartet'' bezeichnet. Jedes Fermigas ist entartet, wenn es nicht zu sehr verdünnt ist und die Temperatur nicht zu hoch ist.  

== Beispiele ==
Die Fermi-Energie hilft in vielen Teilgebieten der Physik Phänomene zu beschreiben, die keine klassische Deutung haben.
* Die feste [[Austrittsarbeit]] bei [[Leitungselektronen]] in einem Metall (s. [[Photoeffekt]], [[Kontaktpotenzial]], [[Elektrochemische Spannungsreihe]], [[Schutzelektrode]]) ist gerade der Energieunterschied zwischen der Fermikante und der Energie des Elektrons im Vakuum.
* Die [[spezifische Wärme]] der Metalle ist viel geringer als nach der klassischen Physik zu erwarten. Denn die [[Leitungselektronen]] darin, die man mit erwärmen muss, bilden ein entartetes Fermigas, das zur Erwärmung viel weniger Energie braucht als ein normales Gas. Der Grund ist, dass es für die überaus meisten Elektronen verboten ist, Energieen der Größenordnung <math>\,k_B T</math> aufzunehmen, weil auf den entsprechenden höheren Niveaus kein Platz frei ist. Nur die relativ sehr wenigen Elektronen nahe der Fermikante können ihre Energie um diese kleinen Beträge ändern und daher beim thermischen Gleichgewicht mitwirken.
* Die [[elektrische Leitfähigkeit]] von [[Metall]]en ist viel größer als mit der klassischen Physik zu verstehen, weil die Elektronen (die bewegten Ladungsträger) im Fermigas kaum aneinander streuen können. Streuung, d.h. Ablenkung aus der Stromrichtung, kann nur geschehen, wenn für die beiden Stoßpartner nach dem Stoß unbesetzte Zustände bereit stehen.
* Sterne vom Typ [[Weißer Zwerg]] werden durch das entartete Elektronengas bei einem gewissen Radius stabilisiert. Bei weiter fortgesetzter Kompression würde (wenn der Stern nicht über 2,5 Sonnenmassen hat) die Fermienergie des Elektronengases mehr ansteigen als durch den Gewinn an [[Gravitationsdruck|Graviationsenergie]] gedeckt wird .
* Sterne mit größerer Masse als 2,5 Sonnenmassen explodieren als [[Supernova]]. Bei ihnen bekommt durch fortgesetzte Kompression das Fermigas der Protonen eine so hohe Fermienergie, dass die [[Proton]]en nahe dem Ferminiveau sich in die (etwas schwereren) [[Neutron]]en umwandeln können. Das eröffnet die Möglichkeit zu weiterer und sogar beschleunigter Kompression, etwa bis zur Dichte der Kernmaterie. Das Ende der Kompression ist dann so plötzlich, dass eine nach außen gehende Schockwelle den Umschlag in die Supernova auslöst.
* Die Einteilung der [[feste Stoffe|festen Stoffe]] nach ihrer elektrischen Leitfähigkeit in [[Isolator]]en, [[Halbleiter]], [[Metall]]e richtet sich danach, wo die Fermi-Energie in Bezug auf die [[Bändermodell|Energiebänder]] der Elektronen liegt. Fällt sie in eine [[Bandlücke]], ist es ein Isolator (breite Bandlücke) oder ein Halbleiter (schmale Bandlücke), liegt sie inmitten eines Bands, ist es ein Metall. 
* Die in weiten Bereichen veränderliche elektrische Leitfähigkeit von [[Halbleiter]]n (also die technische Grundlage der elektronischen Bauteile) wird weitestgehend davon bestimmt, wo die Fermienergie in der Bandlücke genau liegt: bei einem intrinsischen Halbleiter in der Mitte, bei einem p-Leiter dicht am unteren Rand, bei einem n-Leiter am oberen.
* Können zwei Systeme Teilchen austauschen, gleichen sich außer ihren Temperaturen auch ihre Fermi-Energien an. So entsteht z.&nbsp;B. im Kontakt eines p-Halbleiters mit einem n-Halbleiter eine Diode.
* Die chemische Reaktion in einem Gemisch verschiedener Stoffe wird allgemein dadurch bestimmt, dass sie zur Angleichung der [[chemisches Potential|chemischen Potentiale]] aller Stoffe führt. Für einen Stoff, dessen Teilchen Fermionen sind, ist das chemische Potential daher durch die Fermi-Energie gegeben.
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