Quelltext der Seite Benutzer:Saperaud/Atmosphäre, Wetter und Klima

= Geostatistik =

Der Begriff '''Geostatistik''' bezeichnet bestimmte stochastische Methoden zur Charakterisierung und Schätzung von räumlich korrelierten [[georeferenzierung|georeferenzierten]] Daten, zum Beispiel Oberflächentemperaturen an verschiedenen Stellen eines Sees. Ziel ist es dabei, die punkthaft gemessenen Daten als Ausgangsbasis für eine räumliche [[Interpolation]] zu nutzen, also aus einer endlichen Zahl von Messwerten eine unendliche Zahl von Schätzwerten abzuleiten, die möglichst nahe an den real vorliegenden Werten liegen sollen. 

Der [[Schätzwert]] für eine physikalische Größe (wie die Oberflächentemperatur) an einem Schätzort ist aufgrund der räumlichen Korrelation stärker von den [[Messwert|Messwerten]] benachbarter als von solchen entfernter Messorte abhängig. Für die Abschätzung sind diese benachbarten Messwerte daher stärker zu berücksichtigen. Dabei unterscheidet man zwei Methoden, die ''nichtstatistischen'' und die ''statistischen'' Interpolationsverfahren, wobei Letztere auf einem [[geostatistisches Modell|geostatistischen Modell]] beruhen. Beispiele für ein nichtstatistisches Interpolationsverfahren sind die Bildung eines [[Mittelwert]]s das gesamte Untersuchungsgebiet oder bestimmte Ausschnitte desselben, die [[Polygon-Methode]], die [[Triangulierung]] und die [[Inverse Distanzwichtung]]. Das häufigste statistische Interpolationsverfahren ist das [[Kriging-Verfahren]].

== Weblinks ==
*[http://www.geo.tu-freiberg.de/mathe/mathe-2 Skript zur Vorlesung "Mathematische Geologie II" an der TU Freiberg aus dem Jahr 2000, sehr ausführliche Abhandlung der mathematischen Problematik mit Übungsaufgaben für das Statistik-Programm "S-PLUS"]
*[http://www.geog.fu-berlin.de/~jkrywkow/harald/geostatistik/referat.html  Geostatistik-Seite der FU Berlin]

= Variogramm =

Ein '''Variogramm''' oder '''Semivariogramm''' ist eine neben dem [[Korrelogramm]] und der [[Kovarianzfunktion]] eine der zentralen Funktion der [[Geostatistik]] zur Beschreibung der räumlichen oder zeitlichen [[Korrelation]] von Messdaten. Es basiert auf der Auftragung der [[Semivarianz]] gegen einen Abstand ''h''. Man unterscheidet expermimentelle und theoretische Semivariogramme. 

== Empirisches Semivariogramm ==

Ein '''empirisches''' oder '''experimentelles Semivariogramm''' ist ein  die [[Korrelation]] von Messdaten und wird über die folgende Funktion abgeleitet:

:<math>\lambda (h) =  \frac{1}{2N(h)} \cdot \sum_{i=1}^{N(h)} \left[ z(x_i) - z(x_i + h) \right] ^2</math>

Dabei ist ''λ(h)'' die [[Semivarianz]], also ein Maß für die Unähnlichkeit der Daten. Der Ausdruck ''h'' steht meist für den Vektor zwischen den Messorten ''x'' und denjenigen bei ''x+h'', wordurch man ein richtungsabhängiges Variogramm erhält. Verwendet man für ''H'' einen einfachen Abstand so erhält man omnidirektionales Variogramm. Das Variogramm erhält man nun, indem man ''λ(h)'' auf der y-Achse und ''h'' auf der x-Achse eines [[kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystems]] einträgt. 

Im empirischen Semivariogramm können verschiedene Beobachtungen gemacht werden. So nimmt ''λ(h)'' mit steigendem ''h'' zu, besitzt jedoch einen sinkendem Anstieg. Die Funktion pendelt sich daher um einen bestimmten Wert von ''λ(h)'' ein und schwankt dann nur noch um diesen Wert. Diese Obergrenze, die man als '''Schwellenwert''' (engl. ''sill'') bezeichnet, markiert die maximale Unähnlichkeit der Daten, es lässt sich also bei weiter zunehmender Entfernung zwischen den Messwerten keine wachsender Unterschied zwischen ihnen mehr feststellen. Der Abstand ''h'' bei dem dies eintritt, wird als [[Reichweite (Geostatistik)|Reichweite]] (engl. ''range'') bezeichnet und ist eine zentrale Eigenschaft des Datensatzes. Dabei gilt, dass alle Messwerte mit einer Entfernung die größer als die Reichweite ist, nicht miteinandere korreliert sind. 

Obwohl per Definition ''λ(0)=0'' gilt zeigt sich am Ursprung des Koordinatensystems oft ein von Null verschiedener Wert von ''λ(0)''. Diese Abweichung wird als [[Nugget-Effekt]] bezeichnet und ist auf Messfehler sowie die räumliche Variabilität über kleine Entfernungen unterhalb der kleinsten realisierten Schrittweite ''h'' zurückzuführen.

Eine wichtige Eigenschaft besitzen empirische Semivariogramme auch dadurch, dass sie richtungsabhängig sind. Dies erreicht man über ein als Vektor gewähltes ''h''. Durch den Vergleich verschiedener Semivariogramme kann man nun feststellen, in wie weit der Datensatz [[isotrop]] bzw. [[anisotrop]] ist. Im Normalfall eines anisotropen Datensatzes unterscheidet man je nach den Auswirkungen der Anisotropie. Dabei ist eine geometrische Anisotropie dadurch gekennzweichet, dass sich nur die Reichwerte nicht aber Schwellenwert ung Form des Variogramms verändern, während sich bei einer zonalen Anisotropie auch der Schwellenwert richtungsabhängig sein kann. Haben alle richtungsabhängigen Semivariogramme einen Schwellenwert, was nicht immer der Fall sein muss, so ist dies ein Zeichen für [[Stationarität]].

Eine Einschränkung bei nicht stark rasterhaft gemessenen Datensätzen durch die Anzahl von Datensätzen gegeben, die eine Entfernung von mehr oder weniger exkat gleich ''h'' aufweisen. Da nach einer Faustregel etwa 30 bis 50 Datenpaare notwendig sind um einen brauchbaren Wert für die Semivarianz zu erhalten, benutzt man in diesen Fällen Klassen der Art ''Δh''. Dies hat zur Folge das man nur noch die mittlere Semivarianz als Schätzer an die tatsächliche Semivarianz der Klasse ''Δh'' erhält.

 
=== Empirisches Indikator-Semivariogramm ===

Ein '''empirisches Indikator-Semivariogramm''' ist ein Semivariogramm zur Darstellung der Übergangshäufigkeit 

:<math>\lambda (h; z_k) =  \frac{1}{2N(h)} \cdot \sum_{i=1}^{N(h)} \left[ a(x_i; z_k) - z(x_i + h; z_k) \right] ^2</math>

== Theoretisches Semivariogramm ==


Das experimentelle Semivariogramm ist empirischer Schätze der [[Kovarianz]] eines [[Gauß-Prozess]]es und als solches nicht zwangsläufig bedingt negativ semidefinit, was aber eine Voraussetzung von [[Kriging]] ist. Auch benötigt man hier kontinuierliche Werte der Semivarianz, was aber das empirische Semivariogramm durch die Einschränkung auf die Abstände h bzw. Abstandsklassen Δh nicht zu leisten imstande ist.

Für dieses wird daher ein theoretisches Semivariogramm erstellt, wobei man von bedingt negativ definiten Funktionen ausgeht und folglich vom linearen, sphärischen oder gaußschen Semivariogramm spricht, je nachdem welche Funktionen zur Darstellung des empirischen Variogramms geeignet scheinen. Die Anpassung des theoretischen Variogramms an die Vorlage des empirischen Variogramms erfolgt mit Augenmaß durch den Anwender, wobei besonders die Art der Stetigkeit und weniger die genaue Berücksichtigung einzelner Punkte wichtig sind. Die Funktionen sollen dabei möglichst einfach sein, weshalb gerade bei kleinen ''h'' eine lineare Funktion oft ausreicht, vergleichsweise oft die Gauß-Funktion. Es ist auch wichtig welche Stationaritätsannahme gemacht wird, also starke, schwache oder intrinsische Stationarität. Ferner spielt die Isotropoie bzw. Anisotropie der Daten eine Rolle, wobei eine undeutliche Anisotropie im Zweifelsfall ignoriert wird, demgegenüber jedoch aus Vorkenntnissen bekannte starke Anisotropien auch dann modelliert werden wenn sie sich nicht in den Daten zeigten. Auch Parameter wie Nugget-Effekt oder Schwellenwert müssen dabei berücksichtigt werden, wobei der Nugget-Effekt allgemein isotrop modelliert wird und bei großen h nahe des Ursprungs leicht überschätzt werden kann (inbesondere bei Gauß muss ein Nugget-Effekt verwandt werden).      


<math>\sum_{\alpha} \lambda_{\alpha} = 0 \,</math>


Ein theoretisches Semivariogramm basiert auf einen geostatischen Modell und dient der Ermittlung der [[Kriging]] Wichtungsfunktion.

 
When the variogram is used to describe the correlation of different variables and is speaking about cross-variograms. ''Cross-variograms'' are used in [[co-kriging]].
Should the variable be binary or represent classes of values, one is then talking about ''indicator variograms''. Indicator variogram is used in [[indicator kriging]].

The experimental variogram is computed by measuring the mean-squared difference of a value of interest '''z''' evaluated at two points '''x''' and '''x'''+'''h'''. This mean squared difference is the [[semivariance]] and is assigned to the value '''h''', which is known as the [[lag]]. A plot of the semivariance versus '''h''' is the variogram.

== Weblink ==
* [http://www.ai-geostats.org/ AI-GEOSTATS: an educational resource about geostatistics and spatial statistics]
* [http://www.kriging.com/PG1979/ Practical Geostatistics 1979 by Isobel Clark : an introduction to geostatistics]

= Nuggeteffekt =

Der '''Nuggeteffekt''' bezeichnet in der [[Geostatistik]] ein besonderes Verhalten des empirischen Semivariogramms, wobei die Funktion nicht den Ursprung, sondern die y-Achse schneidet. 

Der Begriff geht auf die Eigenschaften von [[Goldnugget]]s zurück und steht im Kontext des für den Goldbergbau entwickelten [[Kriging]]. Da man hier den Goldgehalt als maßgebende Größe betrachtet, spielen Nuggets nur als Schwankungen in kleinen Größenmaßstäben eine Rolle, so genannte Mikrovariabilitäten. Werteschwankungen des Goldgehalts von wenigen Gramm pro Tonne zu beinahe Reingold innerhalb weniger Millimeter sind dabei keine Seltenheit, können jedoch durch Messgitter nicht statistisch aussagekräftig erfasst werden.

= Kriging =
'''Kriging''' ist eines der meistgenutzen [[Regressionsanalyse|Regressionsverfahren]] der [[Geostatistik]] und wird hier zur [[Approximation]] und [[Interpolation]] von Daten genutzt. 

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[[Image:Example_krig.png]]

Figure: example of one-dimensional data interpolation by Kriging, with confidence intervals
</center>


== Geschichte ==

Kriging stammt ursprünglich aus der Lagerstättenlehre und wurde in seinen Grundzügen von [[Danie G. Krige]] für Lägerstättenberechnungen im südafrikanischen Goldbergbau entwickelt. Die theoretische Ausarbeitung erfolgte in den frühen sechziger Jahren bei einem Seminar in [[Fontainebleau]], bei dem unter anderem Krige und der französische Mathematiker [[Georges Matheron]] anwesend waren. 

Heute ist das Verfahren in zahlreichen Geo- und Umweltwissenschaften mit unzähligen Sonderformen verbreitet.

== Fragestellungen und Vorraussetzungen ==

== Verfahren ==

Um in Erfahrung zu bringen, bis zu welcher [[Reichweite (Statistik)|maximalen Entfernung]] und in welchem Maße Messwerte von benachbarten oder weiter entfernten Messwerten abhängen, werden [[Variogramm|experimentelle Semivariogramme]] modelliert.

Die Funktion, die aus der Analyse der Messwerte gewonnen wurde, ist die Grundlage für die nachfolgende [[Interpolation]] einer Verteilung von Schätzwerten im Raum in einem Verfahren, das als '''Kriging''' bezeichnet wird. Dabei erhalten die Messwerte je nach Nähe zum gesuchten Schätzwert in Abhängigkeit vom modellierten Semivariogramm unterschiedliche [[Gewicht|Gewichte]], mit denen sie in die Berechnung des Schätzwerts eingehen (Gegenbeispiel: arithmetischer Mittelwert als [[Schätzer]]: alle Messwerte erhalten ohne Unterschied dasselbe Gewicht).

Voraussetzung für die Interpolation ist, dass im Untersuchungsgebiet die Messwertverteilung [[homogen]] ist (Kriterium der [[Stationarität]]/[[Homogenität]]). Beispiel für Inhomogenität: der Aluminium-Gehalt von Gesteinen eines Untersuchungsgebiets, in dem durch Versatz an einer Störung zwei völlig unterschiedliche Gesteinseinheiten neben vorliegen und ohne Übergangzone aneinandergrenzen.

Für das Beispiel Oberflächentemperatur eines Sees wäre das Ergebnis des Krigings eine Verteilung von Schätzwerten in der Ebene, die zum Beispiel als [[Isotherme|Isothermen]]-Karte oder Oberflächenrelief ("[[fliegender Teppich]]") mit der Höhen-Achse als Temperatur-Achse visualisiert werden kann.

== Güte und Probleme ==


== Weblinks ==


= EN =


Kriging can be understood as [[linear prediction]] or a form of [[Bayesian inference]]. Kriging starts with a [[prior probability distribution|prior]] [[probability distribution|distribution]] over [[Function (mathematics)|function]]s. This prior takes the form of a Gaussian process: <math>N</math> samples from a function will be [[normal distribution|normally distributed]], where the [[covariance]] between any two samples is the covariance function (or [[kernel (mathematics)|kernel]]) of the Gaussian process evaluated at the spatial location of two points.

A [[set]] of values are then observed, each value associated with a spatial location. Now, a new value can be predicted at any new spatial location, by combining the Gaussian prior with a Gaussian [[likelihood function]] for each of the observed values. The resulting [[posterior]] distribution is also a Gaussian, with a mean and covariance that can be simply computed from the observed values, their variance, and the kernel matrix derived from the prior.

From the [[geology|geological]] point of view, Kriging uses prior knowledge about the spatial distribution of a mineral: this prior knowledge encapsulates how minerals co-occur as a function of space. Then, given a series of measurements of mineral concentrations, Kriging can predict mineral concentrations at unobserved points.

Kriging is a family of linear [[least squares]] estimation [[algorithm]]s.  The end result of Kriging is to obtain the [[conditional expectation]] as a best estimate for all unsampled locations in a field and consequently, a minimized error variance at each location.  The conditional expectation minimizes the error variance when the optimality criterion is based on least squares residuals.  The Kriging estimate is a weighted [[linear combination]] of the data.  The weights that are assigned to each known datum are determined by solving the Kriging system of [[linear equations]], where the weights are the unknown [[linear regression|regression parameters]].  The optimality criterion used to arrive at the Kriging system, as mentioned above, is a minimization of the error variance in the least-squares sense.

==See also==

* [[Variogram]] (also known as a semivariogram)

== External link ==
* [http://www.ai-geostats.org/ AI-GEOSTATS is the main information server about geostatistics and spatial statistics]
* [http://www.GaussianProcess.org The Gaussian processes web site]


*http://www.geographie.uni-stuttgart.de/allgemein/haussmann_diplom.pdf
*http://www.geog.fu-berlin.de/~jkrywkow/harald/geostatistik/referat.html#anisotropie
*http://www.geo.tu-freiberg.de/mathe/mathe-2/gm2.pdf
*http://edocs.tu-berlin.de/diss/2000/grams_susanne.pdf