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= Interpolationsproblem von Carathéodory und Féjer =
KKQS-Mathematik}}

Das '''Interpolationsproblem von Carathéodory und Féjer''', {{enS|Carathéodory–Féjer interpolation problem}},  benannt nach den beiden [[Mathematiker]]n [[Constantin Carathéodory]] und [[Leopold Fejér]], ist eine klassische [[Forschungsmethode#Wissenschaftliche Fragestellung|Problemstellung]] des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiets]] der [[Analysis]].

== Formulierung des Problems ==
Eine Formulierung des Problems ist die folgende:<ref name="YY-0001a">Yutaka Yamamoto: ''From Vector Spaces to Function Spaces'' 2012, S. 199 ff.</ref>

: ''Gegeben seien <math>n+1</math> beliebige (nicht [[Notwendige Bedingung|notwendig]] [[Paarweise verschieden|verschiedene]]) [[komplexe Zahl]]en <math>c_i \in {\C} \, (i = 0, 1, \dotsc, n)</math>.''
: ''Gesucht wird zu diesen Zahlen eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f \in H^\infty(\mathbb{D})</math>, welche die folgenden beiden [[Nebenbedingung]]en erfüllen soll:''
:: ''(i)'' ''Die <math>n+1</math> ersten [[Taylorkoeffizient]]en der [[Holomorphe Funktion#Potenzreihen im Kontext holomorpher Funktionen|Potenzreihenentwicklung]] von <math>f</math> um <math>0 \in \C</math> sind <math>c_0, c_1, \dotsc, c_n</math>.''
:: ''(ii)'' <math>\| f \|_{\infty} \leq 1</math>

== Interpolationssatz ==
Es gilt zu dem genannten Problem der folgende ''Interpolationssatz von Carathéodory und Féjer'' ({{enS|Carathéodory–Féjer interpolation theorem}}):<ref name="YY-0010b">Yamamoto, op. cit., S. 199.</ref>
: ''Das Interpolationsproblem von Carathéodory und Féjer ist lösbar genau dann, wenn die [[Spektralnorm]] der zu diesen <math>c_i \, (i = 0, 1, \dotsc, n)</math> gehörigen [[Untere Dreiecksmatrix|unteren Dreiecksmatrix]]''
:: <math>M = M_{(c_0, c_1, \dotsc, c_n)} = { \begin{bmatrix}
     c_0 &       0 & \cdots &      0 \\
     c_1 &     c_0 & \ddots &      \vdots \\
  \vdots &  \ddots & \ddots & \vdots  \\
     c_n  & \cdots &    c_1 &    c_0
\end{bmatrix} }</math>
: ''die [[Ungleichung]]''
:: <math>\| M \|_2 \leq 1</math>
: ''erfüllt.''

== Erläuterungen ==
# <math>\mathbb{D} = \{z \in \C \mid |z| < 1 \}</math> ist die [[Offene Menge|offene]] [[Einheitskreis]]scheibe.
# <math>H^\infty(\mathbb{D})</math> ist der zu den [[Beschränkte Funktion|beschränkten]] [[Holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f \colon \mathbb{D} \to \C</math> gehörige [[Hardy-Raum#Hardy-Räume auf der Einheitskreisscheibe|Hardy-Raum]].
# Das Interpolationsproblem von Carathéodory und Féjer ist direkt verwandt mit dem [[Interpolationsproblem von Pick und Nevanlinna]]. Ebenso wie dieses lässt es sich im Rahmen der [[Beschränkter Operator|Theorie der beschränkten Operatoren]] auf Hardy-Räumen lösen. Hier ist im Jahre 1967 von [[Donald Erik Sarason]] gezeigt worden, dass der zugehörige Interpolationssatz als Folgerung aus einem von Sarason vorgelegten – grundlegenden! – [[Theorem]] verstanden werden kann.<ref name="YY-0001b">Yamamoto, op. cit., S. 196 ff.</ref>

== Literatur ==
* C. Carathéodory, L. Fejér: ''Über den Zusammenhang der Extremen von harmonischen Funktionen mit ihren Koeffizienten und über den Picard–Landauschen Satz'', Rend. Circ. Mat. Palermo, Band 32, 1911, S. 218–239.
* {{Literatur
   |Autor=Yutaka Yamamoto<ref group="A">Yutaka Yamamoto, geboren am [[29. März]] [[1950]] ist ein [[japan]]ischer Mathematiker, der vor allem auf den Gebieten der [[Systemtheorie]] und [[Kontrolltheorie]] arbeitet.</ref>
   |Titel=From Vector Spaces to Function Spaces
   |TitelErg=Introduction to Functional Analysis with Applications
   |Verlag=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]]
   |Ort=Philadelphia, PA
   |Datum=2012
   |ISBN=978-1-61197-230-6
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Yamamoto&s5=Vector%20Spaces&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=2985156 MR2985156]}}
* [[Gennadi Michailowitsch Golusin]]: ''Geometric theory of functions of a complex variable'', Translations of Mathematical Monographs 26, American Mathematical Society, 1969. Kapitel 9, § 7, S. 497 ff. ({{Google Buch |BuchID=DKcqhBr1SooC |Seite=PA497 |Linktext=''Some remarks on the Caratheodory-Fejer problem and on an analogous problem''}}).

== Weblinks ==
* [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Carath%C3%A9odory-Fej%C3%A9r_problem Caratheodory-Fejer problem], Encyclopedia of Mathematics, Springer

== Einzelnachweise ==
rreferences />

== Anmerkungen ==
rreferences group="A" />


KKKategorie:Analysis]]

= Pick–Matrix =
'''Pick–Matrix''' ist ein [[mathematisch]]er [[Begriff]], der in dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Analysis]] Verwendung findet. Hier bezeichnet man eine [[Matrix (Mathematik)#Begriffe und erste Eigenschaften|quadratische Matrix]]  <math>P = (p_{ij})_{i=1, \dotsc, n; \ j=1, \dotsc, n} \in {\C}^{n\times n}</math> als Pick–Matrix, wenn eine [[Positive Zahl|positive]] [[natürliche Zahl]] <math>n</math> und dazu <math>n</math> [[paarweise verschieden]]e [[komplexe Zahl]]en <math>a_i \in \mathbb{D} \, (i=1, \dotsc, n)</math> und weiter <math>n</math> komplexe Zahlen <math>b_i \in {\C} \, (i=1, \dotsc, n)</math> gegeben sind, so dass das jeweilige  <math>ij</math>–Element von <math>P</math> die Form

:<math>p_{ij} = \frac{1-\overline{b_i} b_j}{1-\overline{a_i} a_j} </math>

hat.

Der Begriff spielt eine wesentliche Rolle im Zusammenhang mit dem sogenannten ''[[Interpolation (Mathematik)|Interpolationsproblem]] von Pick und Nevanlinna''.<ref name="YY-001a">Yutaka Yamamoto: ''From Vector Spaces to Function Spaces'' 2012, S. 196 ff.</ref>

== Interpolationsproblem ==
Das ''Interpolationsproblem von Pick und Nevanlinna'' – oder auch ''Nevanlinna–Pick–Interpolationsproblem'' ({{enS|Nevanlinna–Pick interpolation problem}}) – geht auf [[wissenschaftliche Publikation]]en der beiden [[Mathematiker]] [[Georg Pick (Mathematiker)|Georg Pick]] und [[Rolf Nevanlinna]] aus den Jahren 1916 bzw. 1919 zurück. Es behandelt die folgende [[Forschungsmethode#Wissenschaftliche Fragestellung|Fragestellung]]:<ref name="YY-001b">Yamamoto, op. cit., S. 198</ref><ref name="RBB-001a">Robert B. Burckel: ''An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1.'' 1979, S. 215</ref>

: ''Gegeben seien <math>n</math> paarweise verschiedene komplexe Zahlen <math>a_i \in \mathbb{D} \, (i=1, \dotsc, n)</math> und weiter <math>n</math> komplexe Zahlen <math>b_i \in {\C} \, (i=1, \dotsc, n)</math>.''
: ''Zu diesen Zahlen gesucht wird eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f \in H^\infty(\mathbb{D})</math>, welche die  folgenden beiden  [[Nebenbedingung]]en erfüllen soll:''
:: ''(i)'' <math>f(a_i) = b_i  \, (i=1, \dotsc, n)</math>
:: ''(ii)'' <math>\| f \|_{\infty} \leq 1</math>

=== Interpolationssatz ===
Es gilt zu dem genannten Problem der folgende ''Interpolationssatz  von Pick und Nevanlinna'':<ref name="YY-001a" /><ref name="RBB-001a" />
: ''Das Interpolationsproblem von Pick und Nevanlinna ist lösbar genau dann, wenn die zu diesen <math>a_i  \, (i=1, \dotsc, n)</math> und  <math>b_i \, (i=1, \dotsc, n)</math> gehörige Pick-Matrix [[Positiv semidefinite Matrix|nichtnegativ-definit]] ist.''

== Andere Definition ==
In einer im Jahre 1974 erschienenen Monographie von [[William F. Donoghue]], Jr., wird der Begriff der '''Pick–Matrix''' in einer anderen Weise definiert.<ref name="WFD-001a">William F. Donoghue, Jr.: ''Monotone Matrix Functions and Analytic Continuation'' 1974, S. 34 ff.</ref> Hier bezeichnet man eine quadratische Matrix  <math>P = (p_{ij})_{i=1, \dotsc, n; \ j=1, \dotsc, n} \in {\C}^{n\times n}</math> als Pick–Matrix, wenn eine positive natürliche Zahl <math>n</math> sowie <math>n</math> komplexe Zahlen <math>z_i \in \mathbb {H} \, (i=1, \dotsc, n)</math> und weiter eine Funktion <math>\phi \colon \, \mathbb {H}  \to \C</math> vorliegen, so dass das jeweilige  <math>ij</math>–Element von <math>P</math> die Form

:<math>p_{ij} = \frac{\phi (z_i) - \overline{\phi (z_j)} }{z_i - \overline{z_j} }</math>

hat.

== Erläuterungen ==
# <math>\mathbb{D} = \{z \in \C :|z| < 1 \}</math> ist die [[Offene Menge|offene]] [[Einheitskreis]]scheibe.
# <math>\mathbb{T}= \{z \in \C : |z| = 1 \}</math>  ist die [[Einheitskreislinie]] (oder auch [[Kreisgruppe]]).
# <math>H^\infty(\mathbb{D})</math> ist der zu den [[Beschränkte Funktion|beschränkten]] [[Holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f \colon \mathbb{D} \to \C</math> gehörige [[Hardy-Raum#Hardy-Räume auf der Einheitskreisscheibe|Hardy-Raum]].
# <math>\mathbb {H} = \{x+iy \in \mathbb C : y > 0\}</math> ist die (offene) [[obere Halbebene]].
# Der Interpolationssatz  von Pick und Nevanlinna lässt sich auf mehreren Wegen herleiten. So gab etwa Donald E. Marshall im Jahre 1975 einen elementaren konstruktiven Beweis. Zuvor war im Jahre 1967 schon von [[Donald Erik Sarason]] gezeigt worden, dass der Pick–Nevanlinna'sche Interpolationssatz sich auch als Folgerung aus einem von Sarason vorgelegten – grundlegenden! – [[Theorem]] im Rahmen der [[Beschränkter Operator|Theorie der beschränkten Operatoren]] auf Hardy-Räumen ergibt.<ref name="RBB-001a" />

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=Robert B. Burckel
   |Titel=An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1
   |Reihe=Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften: Mathematische Reihe
   |BandReihe=64
   |Verlag=[[Birkhäuser Verlag]]
   |Ort=Basel
   |Datum=1979
   |ISBN=978-3-0348-9376-3}}
* {{Literatur
   |Autor=William F. Donoghue, Jr.
   |Titel=Monotone Matrix Functions and Analytic Continuation
   |Reihe=Die [[Grundlehren der mathematischen Wissenschaften]] in Einzeldarstellungen
   |BandReihe=207
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin, Heidelberg, New York
   |Datum=1974
   |ISBN=978-3-642-65757-3
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=1974&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Donoghue%2C%20William%20F.%20&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=486556 MR0486556]
   |DOI=10.1007/978-3-642-65755-9}}
* {{Literatur
   |Autor=Donald E. Marshall
   |Titel=An elementary proof of the Pick-Nevanlinna interpolation theorem
   |Sammelwerk=[[Michigan Mathematical Journal]]
   |Band=21
   |Datum=1975
   |Seiten=219–223
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=TI&pg5=TI&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Nevanlinna&s5=Pick&s6=theorem&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=13&mx-pid=364649 MR0364649]}}
* {{Literatur
   |Autor=R. Nevanlinna
   |Titel=Über beschränkte Funktionen, die in gegebenen Punkten vorgeschriebene Werte annehmen
   |Sammelwerk=[[Finnische Akademie der Wissenschaften|Annales Academiae Scientiarum Fennicae. Series A]]
   |Band=13
   |Datum=1919
   |Seiten=
   |Online=}}
* {{Literatur
   |Autor=G. Pick
   |Titel=Über die Beschränkungen analytischer Funktionen, welche durch vorgegebene Funktionswerte bewirkt werden
   |Sammelwerk=[[Mathematische Annalen]]
   |Band=77
   |Datum=1916
   |Seiten=7–23
   |Online=}}

* {{Literatur
   |Autor=Donald Sarason
   |Titel=Generalized interpolation in H<sup>∞</sup>
   |Sammelwerk=[[Transactions of the American Mathematical Society]]
   |Band=127
   |Datum=1967
   |Seiten=179–203
   |Online=}}
* {{Literatur
   |Autor=Yutaka Yamamoto<ref group="A">Yutaka Yamamoto, geboren am [[29. März]] [[1950]] ist ein [[Japan|japanischer]] Mathematiker, der der vor allem auf den Gebieten der [[Systemtheorie]] und [[Kontrolltheorie]] arbeitet.</ref>
   |Titel=From Vector Spaces to Function Spaces
   |TitelErg=Introduction to Functional Analysis with Applications
   |BandReihe=
   |Verlag=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]]
   |Ort=Philadelphia, PA
   |Datum=2012
   |ISBN=978-1-61197-230-6
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Yamamoto&s5=Vector%20Spaces&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=2985156 MR2985156]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

== Anmerkungen ==
rreferences group="A" />


KKKategorie:Analysis]]


= Approximationssatz von Walsh =
Der '''Approximationssatz von Walsh''' ({{enS|Walsh's approximation theorem}}) ist ein [[mathematisch]]er [[Lehrsatz]], der im Übergangsfeld zwischen den [[Teilgebiete der Mathematik|Gebieten]] [[Funktionentheorie]] und [[Funktionalanalysis]] angesiedelt ist und der auf eine [[wissenschaftliche Publikation]] des [[Mathematiker]]s [[Joseph Leonard Walsh]] aus dem Jahre 1927 zurückgeht. Der Satz ist eng verwandt mit dem [[Approximationssatz von Weierstraß]] sowie mit dem [[Runge-Theorie|rungeschen Approximationssatz]] und behandelt die Bedingungen, unter denen gewisse [[holomorphe Funktion]]en der [[Komplexe Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]] durch [[Polynomfunktion]]en [[Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] approximiert werden können.<ref name="RBB-01a">Robert B. Burckel: ''An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1.'' 1979, S. 320–321, 341</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Darstellung von [[Robert B. Burckel]] folgend kann der Approximationssatz von Walsh folgendermaßen angegeben werden:<ref name="RBB-01b">Burckel, op. cit., S. 320</ref>
: ''Es sei in der komplexen Zahlenebene eine [[geschlossene Jordankurve]] <math>\gamma \subset \C</math> mit zugehörigem [[Innengebiet]] <math>\Omega_{\gamma} \subset \C</math> gegeben und weiter auf dem [[Abgeschlossene Hülle|topologischen Abschluss]] <math>\overline{\Omega_{\gamma}}</math> eine stetige komplexe Funktion <math>f \colon \overline{\Omega_{\gamma}} \to \C</math> , deren [[Einschränkung]] <math>f|_{\Omega_{\gamma}}</math> sogar holomorph ist.''
: ''Dann gilt:''
: ''Eine solche Funktion <math>f</math> kann stets gleichmäßig durch Polynomfunktionen approximiert werden.''

== Abweichende Version ==
Unter der Bezeichnung ''Approximationssatz von Walsh'' versteht man gemäß der Darstellung von [[Günter Meinardus]] auch einen etwas anderen Approximationssatz, der auf eine [[Publikation]] von Walsh aus dem Jahre 1956 zurückgeht. Dieser besagt folgendes:<ref name="GM-01a">Günter Meinardus: ''Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung.'' 2009, S. 11</ref>
: ''In der komplexen Zahlenebene sei eine geschlossene Jordankurve <math>\gamma \subset \C</math> gegeben, deren Innengebiet <math>\Omega_{\gamma} \subset \C</math> den Nullpunkt <math>0 \in \C</math> enthalten soll. Hier werde der zugehörige [[Funktionenraum]] <math>\,\,C = C(\gamma, \C)</math> der stetigen komplexen Funktionen <math>f \colon \gamma \to \C</math>, versehen mit der [[Maximumsnorm]], betrachtet und dazu der [[Abgeschlossene Hülle|topologische Abschluss]] <math>X \subseteq C</math> des <math>\C</math>-[[Untervektorraum|linearen Unterraums]], der von den Einschränkungen <math>w|_{\gamma}</math> der [[Meromorphe Funktion|meromorphen Funktionen]] <math>\,\, w \,\,</math> der Form''
::<math>z \mapsto w (z) = \sum_{k=-m}^n {a_k z^k} \,\,  ( \,\,  m=1,2, \ldots \,\, , n=0,1, \ldots \,\, ,a_k \in \C \,\, ,z \in \C \,\, )</math>
: ''erzeugt wird.''
:''Dann gilt:''
::<math>X = C</math> .

=== Anmerkung ===
In derselben Publikation des Jahres 1956 hat Walsh auch den Fall behandelt, dass <math>\gamma \subset \C</math> eine ''offene Jordankurve'', also eine [[Homöomorphismus|homöomorphe]] [[Einbettung (Mathematik)|Einbettung]] des [[Einheitsintervall]]s in die komplexe Zahlenebene ist, und dazu festgehalten, dass – unabhängig davon, ob der Nullpunkt auf <math>\gamma</math> liegt oder nicht liegt – dann die komplexen [[Polynomfunktion]]en im Funktionenraum <math>\,\,C = C(\gamma, \C)</math> (s. o.) [[dicht liegen]].<ref name="GM-01b">Meinardus, op. cit., S. 12</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=Robert B. Burckel
   |Titel=An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1
   |Reihe=Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften: Mathematische Reihe 
   |BandReihe=64
   |Verlag=[[Birkhäuser]]
   |Ort=Basel
   |Datum=1979
   |ISBN=978-3-0348-9376-3
   |Online=}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Jacob Korevaar|J. Korevaar]]
   |Titel=Lacunary forms of Walsh's approximation theorems
   |TitelErg=In: The Theory of the Approximation of Functions
   |Reihe=Proc. Internat. Conf., Kaluga
   |BandReihe=
   |Verlag=[[Nauka (Verlag)|Nauka]]
   |Ort=Moskau
   |Datum=1977
   |Seiten=229–237
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=1927&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=&s5=Walsh%27s%20approximation%20theorem&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=gt MR0525534]}}
* {{Literatur
   |Autor=Günter Meinardus
   |Titel=Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung
   |Reihe=Springer Tracts in Natural Philosophy
   |BandReihe=4
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York
   |Datum=1964
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Meinardus&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=60&mx-pid=176272 MR0176272]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Joseph Leonard Walsh|J. L. Walsh]]
   |Titel=Über die Entwicklung einer analytischen Funktion nach Polynomen
   |Sammelwerk=[[Mathematische Annalen]] 
   |Band=96
   |Datum=1927
   |Seiten=430–436 
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=1927&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Walsh&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=1512331 MR1512331]}}
* {{Literatur
   |Autor=J. L. Walsh
   |Titel=Interpolation and Approximation by Rational Functions in the Complex Domain
   |Reihe=American Mathematical Society Colloquium Publications
   |BandReihe=Vol. XX
   |Verlag=[[American Mathematical Society]]
   |Ort=Providence, R.I.
   |Datum=1956
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Walsh&s5=Interpolation%20and%20approximation%20&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=218588 MR0218588]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />


KKKategorie:Funktionentheorie]]
KKKategorie:Funktionalanalysis]] 
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Walsh, Approximationssatz von]]

= Satz von Müntz-Szász =
Der '''Satz von Müntz-Szász''' ({{enS|Müntz-Szász theorem}}) ist einer der [[Approximation]]ssätze des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Gebiets]] der [[Analysis]]. Er geht auf [[Wissenschaftliche Publikation|Arbeiten]] der beiden [[Mathematiker]] [[Chaim Müntz|Herman (Chaim) Müntz]] und  [[Otto Szász]] aus den Jahren 1914 bzw. 1916 zurück. Der Satz behandelt, anschließend an den klassischen [[Approximationssatz von Weierstraß]], die Frage der Bedingungen, unter denen die [[Stetige Funktion|stetigen]] [[Komplexwertige Funktion|komplexwertigen Funktionen]] auf dem [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen]] [[Einheitsintervall]] durch [[Linearkombination]]en geeigneter [[Potenzfunktion]]en [[Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] approximiert werden können.<ref name="WR-1a">Walter Rudin: ''Reelle und Komplexe Analysis.'' 2009, S. 374–377</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Darstellung von [[Walter Rudin]] folgend kann der Approximationssatz angegeben werden wie folgt:<ref name="WR-1b">Rudin, op. cit., S. 375</ref>
: ''Sei <math>\,\,C = C(I, \C)</math> der zum Einheitsintervall <math>I = [0,1] \subseteq \R</math> gehörige [[Funktionenraum]] der stetigen komplexwertigen Funktionen <math>f \colon I \to \C</math>, versehen mit der [[Maximumsnorm]], und sei <math>(p_n)_{n=1,2,\ldots}</math> eine [[Folge (Mathematik)|Folge]] [[Reelle Zahl|reeller Zahlen]] mit <math>0 < p_1 < p_2 < p_3 < \ldots </math>.''
:''Sei weiter <math>X \subseteq C</math> der [[Abgeschlossene Hülle|topologische Abschluss]] des <math>\C</math>-[[Untervektorraum|linearen Unterraums]], der von den Potenzfunktionen <math>\,\,  1 , t^{p_1} , t^{p_2} ,  t^{p_3} , \ldots \,\, \left(t \in I \right) \,\,</math> erzeugt wird.''
:''Dann gilt:''
::'' '''(a)''' Dann und nur dann ist <math>\,\,  X = C \,\, </math>, wenn <math>\sum_{k=1}^\infty { \frac {1} {p_k}} = \infty</math> gilt .''
::'' '''(b)''' Ist jedoch <math>\sum_{k=1}^\infty { \frac {1} {p_k}} < \infty</math> und ist weiter <math>\,\, p \in {\C \setminus \{0, p_1 , p_2,  p_3  , \ldots \} } \,\,</math> , so ist die Potenzfunktion <math>\,\,  t^p \,\,</math> nicht in <math>X</math> enthalten.''

== Andere Version ==
Der Satz von Müntz-Szász, der bei einigen Autoren oft auch nur als Satz von Müntz bezeichnet wird, gab Anlass zu einer Vielzahl von Verallgemeinerungen und weitergehenden Untersuchungen.<ref name="GM-1a">Günter Meinardus: ''Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung.'' 1964, S. 6–10</ref><ref name="AH_1a">Arnold Schönhage: ''Approximationstheorie.'' 1971, S. 8&nbsp;ff., S. 49</ref> Dabei wurde und wird, wie es schon Otto Szász in 1916 tat und wie in der Folge von anderen Autoren aufgegriffen wurde, von der Voraussetzung, dass die dort auftretenden Exponenten <math>\,\, p_1 , p_2,  p_3  , \ldots  \,\,</math> [[positive Zahl]]en sein sollen, in der Regel abgewichen. Stattdessen werden komplexe Exponenten <math>\,\, z_1 , z_2,  z_3  , \ldots  \,\,</math> mit positivem [[Realteil]] betrachtet, für die zwei gewisse [[unendliche Reihe]]n [[Grenzwert (Folge)|divergieren bzw. konvergieren]]. Man gewinnt damit etwa die folgende Version:<ref name="OS-1a">O. Szász: ''Über die Approximation stetiger Funktionen durch lineare Aggregate von Potenzen''. In: ''Math. Ann.'', 77, S. 482–496</ref><ref name="ARS-1a">A. R. Siegel: ''On the Müntz-Szász theorem for C[0,1]''. In: ''Proc. Amer. Math. Soc.'', 36, S. 161–166</ref>
: ''Sei <math>\,\,C \,\,</math> der oben schon gegebene Funktionenraum und sei <math>(z_n)_{n=1,2,\ldots}</math> eine Folge [[Komplexe Zahl|komplexer Zahlen]] mit  <math>\,\, \operatorname{Re} (z_n) > 0 \, (n=1,2,\ldots)</math>.''
: ''Sei weiter <math>X \subseteq C</math> der topologische Abschluss des von den Potenzfunktionen <math>\,\,  1 , t^{z_1} , t^{z_2} ,  t^{z_3} , \ldots \,\, \left(t \in I \right) \,\,</math> erzeugten <math>\C</math>-linearen Unterraums.''
:''Dann gilt:''
::'' '''(a)''' Im Falle, dass <math>\sum_{k=1}^\infty { \frac {\operatorname{Re} (z_k) } {1+ |z_k|^2}} = \infty</math> gilt, ist <math>\,\,  X = C \,\, </math> .''<ref group="A"><math>|\cdot| </math> ist die [[komplexe Betragsfunktion]].</ref>
::'' '''(b)''' Andererseits ist im Falle, dass <math>\sum_{k=1}^\infty { \frac {\operatorname{Re} (z_k) + 1} {1+ |z_k|^2}} < \infty</math> gilt, <math>\,\,  X \neq C \,\, </math> .''

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Günter Meinardus]]
   |Titel=Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung
   |Reihe=Springer Tracts in Natural Philosophy
   |BandReihe=4
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York
   |Datum=1964
   |ISBN=
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Meinardus&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=60&mx-pid=176272 MR0176272]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Chaim Müntz|H. Müntz]]
   |Titel=Über den Approximationssatz von Weierstrass
   |TitelErg=In: Festschrift [[Hermann Amandus Schwarz|H. A. Schwarz]]
   |Reihe=
   |BandReihe=
   |Verlag=Springer Verlag
   |Ort=Berlin
   |Datum=1914
   |Seiten=303–312
   |Online=}}
* {{Literatur
|Autor=[[Walter Rudin]]
|Titel=Reelle und Komplexe Analysis
|Auflage=2., verbesserte
|Verlag=[[Oldenbourg Wissenschaftsverlag]]
|Ort=Berlin
|Jahr=2009
|ISBN=978-3-486-59186-6
}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Arnold Schönhage]]
   |Titel=Approximationstheorie
   |Reihe=de Gruyter Lehrbuch
   |BandReihe=
   |Verlag=Walter de Gruyter & Co.
   |Ort=Berlin, New York
   |Datum=1971
   |ISBN=
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=1980&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Sch%C3%B6nhage&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=lt&r=19&mx-pid=277960 MR0277960]}}
* {{Literatur
   |Autor=Alan R. Siegel
   |Titel=On the Müntz-Szász theorem for C[0,1]
   |Sammelwerk=[[Proceedings of the American Mathematical Society]] 
   |Band=36
   |Datum=1972
   |Seiten=161–166
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=TI&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=M%C3%BCntz&s5=szasz&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=42&mx-pid=306777 MR0306777 ]}}
* {{Literatur
   |Autor=Otto Szász
   |Titel=Über die Approximation stetiger Funktionen durch lineare Aggregate von Potenzen
   |Sammelwerk=[[Mathematische Annalen]] 
   |Band=77
   |Datum=1916
   |Seiten=482–496
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=1916&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Szasz&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR1511875]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

== Anmerkungen ==
rreferences group="A" />


KKKategorie:Analysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Müntz-Szász]]

= Approximationssatz von Fisher =
Der '''Approximationssatz von Fisher''' ist ein [[mathematisch]]er [[Lehrsatz]] aus dem Übergangsfeld zwischen den [[Teilgebiete der Mathematik|Gebieten]] [[Funktionentheorie]] und [[Funktionalanalysis]], den der [[Mathematiker]] Stephen David Fisher  in einer  [[Wissenschaftliche Publikation|wissenschaftlichen Arbeit]] im Jahr 1968 formuliert hat. Der Satz behandelt ein von [[Robert Phelps|Robert Ralph Phelps]] im Jahre 1965 gestelltes Problem zur Approximation von gewissen [[Stetige Funktion|stetigen Funktionen]] der [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen]] [[Einheitskreis]]scheibe der [[Komplexe Zahl#Komplexe Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]] .<ref name="RBB-1a">Robert B. Burckel: ''An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1.'' 1979, S. 268 ff.</ref>

== Formulierung des Approximationssatzes ==
Er lässt sich angeben wie folgt:<ref name="RBB-1b">Burckel, op. cit., S. 269</ref>
:'' ... ''

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Robert B. Burckel]]
   |Titel=An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1
   |Reihe=Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften: Mathematische Reihe 
   |BandReihe=64
   |Verlag=[[Birkhäuser]]
   |Ort=Basel
   |Datum=1979
   |ISBN=978-3-0348-9376-3
   |Online=}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

== Anmerkungen ==
rreferences group="A" />


KKKategorie:Funktionentheorie]]
KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Fisher, Approximationssatz von]]


= Approximationssatz von Carleman =
Der '''Approximationssatz von Carleman''' ist ein [[mathematisch]]er [[Lehrsatz]], welcher im Übergangsfeld zwischen den [[Teilgebiete der Mathematik|Gebieten]] [[Funktionentheorie]] und [[Funktionalanalysis]] angesiedelt ist und der auf eine [[Wissenschaftliche Publikation|Arbeit]] des [[Mathematiker]]s [[Torsten Carleman]] aus dem Jahr 1927 zurückgeht. Er kann als Verallgemeinerung des klassischen [[Approximationssatz von Weierstraß|Approximationssatzes von Weierstraß]] angesehen werden, wobei im Unterschied zum weierstraßschen der carlemansche [[Approximationssatz]] die Approximation von gewissen [[Stetige Funktion|stetigen Funktionen]] durch [[ganze Funktion]]en statt der durch [[Polynomfunktion]]en thematisiert. Er ist eng verwandt mit dem [[Runge-Theorie|rungeschen Approximationssatz]], auf den Carleman in seinem Originalbeweis zurückgriff. Im Jahre 1955 zeigte Wilfred Kaplan, dass durch Rückgriff auf den [[Satz von Mergelyan]] ein erheblich einfacherer Beweis besteht. Der Approximationssatz von Carleman zog eine Anzahl von weitergehenden Untersuchungen nach sich.<ref name="RBB-0001">Robert B. Burckel: ''An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1.'' 1979, S. 273–276, 291</ref><ref name="SJG-0001">Stephen J. Gardiner: ''Harmonic Approximation.'' 1995, S. 63 ff.</ref>

== Formulierung des Approximationssatzes ==
Er lässt sich angeben wie folgt:<ref name="RBB-0002">Burckel, op. cit., S. 276</ref><ref name="SJG-0002">Gardiner, op. cit., S. 53</ref>
:''Auf der [[Reelle Zahl|reellen Zahlengerade]] <math>\, \R \, </math> seien zwei beliebige stetige Funktionen <math>f \colon \R  \to \C</math> und <math>\epsilon \colon \R  \to \R^{>0}</math> gegeben.''
:''Dann existiert auf der [[Komplexe Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]] <math>\, \C \, </math> stets eine [[holomorphe Funktion]] <math>g \colon \C  \to \C</math> derart, dass für jedes <math>x \in \R</math> stets die [[Ungleichung]]''
:: <math>|f(x) - g(x)| < \epsilon (x) </math><ref group="A"><math>|\cdot| </math> ist die [[komplexe Betragsfunktion]].</ref>
:''erfüllt ist.''

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Robert B. Burckel]]
   |Titel=An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1
   |Reihe=Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften: Mathematische Reihe 
   |BandReihe=64
   |Verlag=[[Birkhäuser]]
   |Ort=Basel
   |Datum=1979
   |ISBN=978-3-0348-9376-3
   |Online=}}
* {{Literatur
   |Autor=Torsten Carleman
   |Titel=Sur un théorème de Weierstrass
   |Sammelwerk=[[Arkiv för Matematik|Arkiv för matematik, astronomi och fysik]]
   |Band=20B, No.4
   |Datum=1927
   |Seiten=
   |Online=}}
* {{Literatur
   |Autor=Stephen J. Gardiner
   |Titel=Harmonic Approximation
   |Reihe=London Mathematical Society Lecture Note Series
   |BandReihe=221
   |Verlag=[[Cambridge University Press]]
   |Ort=Cambridge
   |Datum=1995
   |ISBN=0-521-49799-X
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=TI&pg5=RT&pg6=RT&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Approximation%20&s5=Carleman&s6=%22entire%20function%22&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=12&mx-pid=70753 MR0070753 ]}}
* {{Literatur
   |Autor=Lothar Hoischen
   |Titel=Eine Verschärfung eines Approximationssatzes von Carleman
   |Sammelwerk=[[Journal of Approximation Theory]]
   |Band=9
   |Datum=1973
   |Seiten=272–277
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=1973&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=RT&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Hoischen&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=367217 MR0367217]}}
* {{Literatur
   |Autor=Wilfred Kaplan
   |Titel=Approximation by entire functions
   |Sammelwerk=[[Michigan Mathematical Journal]]
   |Band=3
   |Datum=1955
   |Seiten=43–52
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?r=1&pg1=MR&s1=70753&loc=fromrevtext MR0070753]}}
* {{Literatur
   |Autor=Stephen Scheinberg
   |Titel=Uniform approximation by entire functions
   |Sammelwerk=[[Journal d'Analyse Mathématique]]
   |Band=29
   |Datum=1976
   |Seiten=16–18
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=1976&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=RT&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Scheinberg&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR0508100]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

== Anmerkungen ==
rreferences group="A" />


KKKategorie:Funktionentheorie]]
KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Carleman, Approximationssatz von]]

= Ungleichung von Carathéodory =
Die '''Ungleichung von Carathéodory''' ist eines aus einer ganzen Reihe von Resultaten, die auf dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Gebiet]] der [[Funktionentheorie]] von dem [[Mathematiker]] [[Constantin Carathéodory]] beigesteuert wurden. Die Ungleichung geht zurück auf eine [[Wissenschaftliche Publikation|Arbeit]], die Carathéodory im Jahre 1912 vorgelegt hat. Sie beruht auf dem [[Lemma von Schwarz]] und liefert eine [[obere Schranke]] für den [[Komplexe Betragsfunktion|Betrag]] einer [[Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] auf einer in der [[Komplexe Zahl#Komplexe Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]] um dem [[Null]]punkt gelegenen [[Einheitskugel#Allgemeine Definition|abgeschlossenen]] [[Kreis]]scheibe. Die Carathéodory'sche [[Ungleichung]] gab Anlass zu einer Anzahl von Verallgemeinerungen und weitergehenden Untersuchungen.<ref name="FR-001">Fritz Rühs: ''Funktionentheorie.'' 1976, S. 121–122</ref><ref name="RBB-001">Robert B. Burckel: ''An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1.'' 1979, S. 210–217</ref><ref name="CY-001">Chen, Yin: ''Inégalité de Borel-Carathéodory et lemme de Schwarz pour les multifonctions analytiques''. In: ''Complex Var. Theory Appl.'', 49, S. 747–757</ref>

== Darstellung der Ungleichung ==
Die Ungleichung lässt sich folgendermaßen darstellen:<ref name="FR-002">Rühs, op. cit., S. 121</ref>
: ''Gegeben seien in der komplexen Zahlenebene eine den Nullpunkt <math>0 \in \C</math> enthaltende [[offene Teilmenge]] <math>U \subseteq \C</math> sowie eine holomorphe Funktion <math>f \colon U \to \C</math>.''
:''Weiter gegeben seien eine [[reelle Zahl]] <math>R > 0</math> und dazu die um den Nullpunkt gelegene abgeschlossene Kreisscheibe <math>\bar S(0, R) = \{\, z \in \C \colon |z| \leq R \,\}</math> vom [[Radius]] <math>R</math>, wobei <math>\bar S(0, R)\subset U</math> gelten soll.''<ref group="A"><math>|\cdot| </math> ist die [[komplexe Betragsfunktion]].</ref>
:''Dann gilt für <math>z \in \C</math> und <math>r > 0</math> mit <math>0 \leq |z| \leq r < R</math> stets die Ungleichung''
:: <math>|f(z)| \leq |f(0)| + \frac{2r}{R-r} \cdot \left( \max_{|z| = R} { \Re {f(z)} -  \Re {f(0)} }  \right)</math> .<ref group="A"> Für eine [[komplexe Zahl]] <math>w</math> wird mit <math>\Re {w}</math> deren [[Realteil]] bezeichnet.</ref><ref group="A"> Die [[Kreis]]linie <math>S_R^1(0) \subset U </math> ist ein [[Kompaktum]] und da die [[Komposition (Mathematik)|verkettete Funktion]] <math>\Re \circ f \colon U \to \R</math> eine [[stetig]]e [[reellwertige Funktion]] ist, wird deren [[Größtes und kleinstes Element|Maximum]] nach dem [[Satz vom Minimum und Maximum#Verallgemeinerung|allgemeinen Satz vom Maximum]] dort angenommen.</ref>

== Andere Version ==
Die Ungleichung von Carathéodory wird in der Fachliteratur oft in einer anderen Version angeben, die in englischsprachigen Quellen als ''Borel-Carathéodory inequality'' bzw. als ''Hadamard-Borel-Carathéodory inequality'' und in französischsprachigen Quellen als ''Inégalité de Borel-Carathéodory'' bezeichnet wird.<ref group="A">Hier sind die beiden Mathematiker [[Émile Borel]] und [[Jacques Hadamard]] gemeint.</ref> Diese Version lässt sich angeben wie folgt:<ref name="RBB-002">Burckel, op. cit., S. 210</ref><ref name="CY-001" />
:''Unter den oben angegebenen allgemeinen Voraussetzungen gilt für <math>z \in \C</math> und <math>r > 0</math> mit <math>0 \leq |z| \leq r < R</math> stets die Ungleichung''
:: <math>|f(z)| \leq  \frac{R+r}{R-r} \cdot |f(0)| + \frac{2r}{R-r} \cdot { \sup_{|z| = R} { \Re {f(z)} }  }</math> .

=== Korollar ===
Aus der Ungleichung von Hadamard-Borel-Carathéodory (s. o.) gewinnt man als Korollar den folgenden Satz, der auf eine Arbeit von Jacques Hadamard aus dem Jahre 1892 zurückgeht:<ref name="RBB-003">Burckel, op. cit., S. 211</ref>
:''Ist <math>f \colon \C \to \C</math> eine [[ganze Funktion]] und sind dazu drei reelle Zahlen <math>B, K, R > 0</math> vorhanden, für die ein jedes <math>z \in \C</math> mit <math>|z| \geq R</math> stets die Ungleichung''
:: <math>\Re {f(z)} \leq B \cdot {|z|}^K</math> 
:''erfüllt, so ist <math>f</math> eine [[Polynomfunktion]] von einem [[Grad (Polynom)|Grad]] [[Kleiner-gleich|kleiner oder gleich]] <math>K</math>.''

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Robert B. Burckel]]
   |Titel=An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1
   |Reihe=Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften: Mathematische Reihe 
   |BandReihe=64
   |Verlag=[[Birkhäuser]]
   |Ort=Basel
   |Datum=1979
   |ISBN=978-3-0348-9376-3
   |Online=}}
* {{Literatur
   |Autor=Constantin Carathéodory
   |Titel=Untersuchungen über die konformen Abbildungen von festen und veränderlichen Gebieten
   |Sammelwerk=Mathematische Annalen 
   |Band=72
   |Datum=1912
   |Seiten=107–144
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?pg1=ISSI&s1=233458&sort=Paging&vfpref=html&r=7&mx-pid=1511688 MR1511688]}}
* {{Literatur
   |Autor=Jacques Hadamard
   |Titel=Sur les fonctions entières de la forme e<sup>G(x)</sup>
   |Sammelwerk=[[Comptes rendus de l’Académie des sciences|Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences Paris]] 
   |Band=114
   |Datum=1892
   |Seiten=1053–1055
   |Online=}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Fritz Rühs]]
   |Titel=Funktionentheorie
   |Auflage=Dritte, berichtigte
   |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik
   |BandReihe=56
   |Verlag=[[VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften]]
   |Ort=Berlin
   |Datum=1976
   |ISBN=
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=R%C3%BChs&s5=Funktionentheorie&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=486433 MR0486433]}}
* {{Literatur
   |Autor=Yin Chen 
   |Titel=Inégalité de Borel-Carathéodory et lemme de Schwarz pour les multifonctions analytiques
   |Sammelwerk=Complex Variables. Theory and Application. An International Journal
   |Band=49
   |Datum=2004
   |Seiten=747–757
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=TI&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=inequality&s5=Carath%C3%A9odory&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=11&mx-pid=2098698 MR2098698]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

== Anmerkungen ==
rreferences group="A" />

KKKategorie:Funktionentheorie]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Carathéodory, Ungleichung von]]

KKKategorie:Ungleichung|Carathéodory, Ungleichung von]]


= Lemniskatensatz von Hilbert (nicht veröffentlicht) =
Zu den zahlreichen [[Lehrsatz|Sätzen]], die der [[Mathematiker]] [[David Hilbert]] (1862–1943) auf vielen [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Gebieten]] beigetragen hat, gehört in der der [[Funktionentheorie]] der sogenannte '''Lemniskatensatz von Hilbert''' ({{enS|Hilbert's lemniscate theorem}}). Der Satz geht auf eine von Hilbert in den [[Göttinger Nachrichten]] im Jahre 1897 [[Wissenschaftliche Publikation|publizierte Note]] zurück, in der beschrieben wird, wie sich [[geschlossene Jordankurve]]n der [[Komplexe Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]] durch gewisse [[lemniskate]]nartige [[Kurve (Mathematik)#Geschlossene_Kurven|geschlossene Kurven]] voneinander trennen lassen.<ref name="EH-001">Einar Hille: ''Analytic Function Theory. Volume II.'' 1973, S. 290 ff.</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Hilbert'sche Lemniskatensatz lässt sich wie folgt angeben:<ref name="EH-002">Hille, , op. cit., S. 293</ref>
: ''Gegeben seien in der [[Komplexe Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]] <math>\C</math> zwei geschlossene Jordankurven <math>C_1</math> und <math>C_2</math>, wobei <math>C_1</math> ganz im [[Innengebiet]] von <math>C_2</math> gelegen sein soll.''

: ''Dann existiert eine [[Konstante Funktion|nichtkonstante]] [[Komplexwertige Funktion|komplexe]] [[Polynomfunktion]] <math> P\colon \C \to \C</math> mit [[Leitkoeffizient]] <math>1</math> sowie eine [[reelle Zahl]] <math>r > 0</math> derart, dass einerseits <math>C_2</math> die  zu <math>P</math> und <math>r</math> gehörige Lemniskate ganz in ihrem Innengebiet enthält und andererseits <math>C_1</math> ganz im [[Innerer Punkt|Inneren]] des von <math>L</math> umschlossenen Bereichs gelegen ist.''

== Erläuterungen und Anmerkungen ==
* <math> |\cdot| </math> ist die [[komplexe Betragsfunktion]].
* Sind <math>P</math> und <math>r</math> wie oben beschrieben, so ist die dazu gehörige Lemniskate (im Sinne von Hilbert) die ''[[Niveaulinie]]'' <math>L = L(P,r):= \{\, z \in \C \colon |P(z)| = r \}</math>. 
* Hat die beschriebene Polynomfunktion <math>P</math> den [[Grad (Polynom)|Grad]] <math>\deg(P)= n</math> und sind <math>c_1, c_2, \ldots, c_n</math> die nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] existierenden (nicht notwendig verschiedenen) <math>n</math> [[Nullstelle]]n von <math>P</math>, so gilt demnach <math>L = \{\, z \in \C \colon \prod_{i=1}^n  |z-c_j| = r \}</math> . Das erklärt auch, dass in diesem Kontext von einer ''Lemniskate'' die Rede ist, da ja die [[Punktmenge]] <math>L</math> aus denjenigen Punkten von <math>\C</math> besteht, für die das [[Produkt (Mathematik)|Produkt]] der <math>n</math> [[Euklidischer Abstand|Abstände]] von den <math>P</math>-Nullstellen konstant, nämlich <math>= r</math> ist.

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=David Hilbert
   |Titel=Über die Entwicklung einer beliebigen analytischen Funktion einer Variablen in eine unendliche nach ganzen rationalen Funktionen fortschreitende Reihe
   |Sammelwerk=Göttinger Nachrichten
   |Band=
   |Datum=1897
   |Seiten=63–70
   |Kommentar=Reprint in: ''Gesammelte Abhandlungen: Dritter Band. Chelsea Publishing Company, Bronx, New York, 1965, S. 3–9''}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Einar Hille]]
   |Titel=Analytic Function Theory. Volume II
   |Auflage=2.
   |Verlag=Chelsea Publishing Company
   |Ort=New York, N.Y.,
   |Datum=1973}}
* {{Literatur
   |Autor=Béla Nagy, Vilmos Totik
   |Titel=Sharpening of Hilbert's lemniscate theorem
   |Sammelwerk=[[Journal d'Analyse Mathématique]]
   |Band=96
   |Datum=2005
   |Seiten=191–223
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Nagy&s5=Totik&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=6&mx-pid=2177185 MR2177185]}}

== Anmerkungen ==
rreferences group="A" />

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Funktionentheorie]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Bieberbach, Flachensatz von]]

= Flächensatz von Bieberbach =
Zu den zahlreichen Resultaten, die der [[Mathematiker]] [[Ludwig Bieberbach]] (1886–1982) auf dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Gebiet]] der [[Funktionentheorie]] beigetragen hat, gehört ein [[Lehrsatz]], der von manchen Autoren als '''Flächensatz von Bieberbach''' bezeichnet wird. Dieser Lehrsatz liefert eine [[mathematische Formel]] für den [[Flächeninhalt]] der [[Bildmenge]] einer [[Kreisscheibe]] in der [[Komplexe Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]] unter einer [[Schlichte Funktion|schlichten]] [[Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]].<ref name="RN-VP-01">Rolf Nevanlinna, Veikko Paatero: ''Einführung in die Funktionentheorie.'' 1965, S. 208</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der bieberbachsche Flächensatz lässt sich wie folgt formulieren:<ref name="RN-VP-01" />
: ''Gegeben seien in der komplexen Ebene eine den [[Null]]punkt <math>0 \in \C</math> enthaltende [[offene Teilmenge]] <math>U \subseteq \C</math>  und [[Teilmenge|darin enthalten]] für eine [[reelle Zahl]] <math>r > 0</math> die um den Nullpunkt gelegene [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene]] Kreisscheibe <math>\bar S(0, r) = \{\, z \in \C \colon |z| \leq r \,\}</math>  vom [[Radius]] <math>r</math>.''<ref group="A"><math>|\cdot| </math> ist die [[komplexe Betragsfunktion]].</ref>
: ''Weiter gegeben sei eine schlichte holomorphe Funktion <math> w \colon U \to \C</math> , welche für <math>z \in \bar S(0, r)</math> stets die [[Taylorreihe]]nentwicklung <math>w(z) = \sum_{n=0}^\infty {c_n z^n} \; (c_n \in \C \;,\; n = 0,1,2, \dotsc)</math> haben soll.''

: ''Dann lässt sich der Flächeninhalt  <math>A</math> der Bildmenge <math>w \left( \bar S(0, r) \right)</math> nach der Formel''
:: <math>A = \pi \cdot \sum_{n=1}^\infty {n \cdot |c_n|^2 \cdot r^{2n} } </math>
: ''berechnen.''

== Verwandter Flächensatz ==
Mit dem obigen Flächensatz von Bieberbach eng verwandt ist ein weiterer als ''Flächensatz'' ({{enS|area theorem}}) bekannter Lehrsatz, welcher [[Einar Hille]] zufolge von [[Thomas Hakon Grönwall]] im Jahre 1914 gefunden wurde.<ref name="EH-01">Einar Hille: ''Analytic Function Theory. Volume II.'' 1973, S. 347</ref> Dieser Flächensatz  lässt sich folgendermaßen angeben:<ref name="HB-FS-01">Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: ''Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen.'' 1965, S. 393</ref><ref name="EH-01" /><ref group="A">In der englischsprachigen Fachliteratur wird von manchen Autoren dieser verwandte Flächensatz auch als ''Bieberbach's Area Theorem'' ({{deS|Bieberbach'scher Flächensatz}}) genannt. Vgl. Agarwal / Perera / Pinelas: ''An Introduction to Complex Analysis.'' 2011, S. 308!</ref><ref name="EH-01" /><ref group="A">Dieser Flächensatz wird in der Theorie der schlichen Funktionen noch weiter verallgemeinert. Vgl. Reiner Kühnau: ''Der Flächensatz in einer Klasse schlichter Abbildungen.'' In: Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées. Band 26, 1981, S. 1119–1121!</ref>
: ''Gegeben sei in der komplexen Ebene das [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G:= \C \setminus \bar S(0, 1)</math>, also das [[Innerer Punkt#Eigenschaften|Äußere]] des [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen]] [[Einheitskreis]]es.''
: ''Weiter gegeben sei eine schlichte  holomorphe Funktion <math> w \colon G \to \C</math> , welche für <math>z \in G</math> stets die Darstellung <math>w(z) = z + b_0 + \sum_{n=1}^\infty { \frac { b_n }{z^n} } \; (b_n \in \C \;,\; n = 0,1,2, \dotsc)</math> haben und deren Bildmenge <math>w(G) \,</math> eine [[offene Umgebung]] von <math>\infty </math> sein soll.''

: ''Dann gilt die [[Ungleichung]]''
:: <math> \sum_{n=1}^\infty {n \cdot |b_n|^2 } \leq 1</math>.

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Ravi P. Agarwal]], [[Kanishka Perera]], [[Sandra Pinelas]]
   |Titel=An Introduction to Complex Analysis.
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
   |Ort=New York
   |Datum=2011
   |ISBN=978-1-4614-0194-0
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=AUCN&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Agarwal&s5=Perera&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=2809236 MR2809236]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Heinrich Behnke]], [[Friedrich Sommer (Mathematiker)|Friedrich Sommer]]
   |Titel=Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen
   |BandReihe=77
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
   |Ort=Berlin, Heidelberg, New York
   |Datum=1965}}
* {{Literatur
   |Autor=Einar Hille
   |Titel=Analytic Function Theory. Volume II
   |Auflage=2.
   |Verlag=Chelsea Publishing Company
   |Ort=New York, N.Y.,
   |Datum=1973}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Reiner Kühnau]]
   |Titel=Der Flächensatz in einer Klasse schlichter Abbildungen
   |Sammelwerk=Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées
   |Band=26
   |Datum=1981
   |Seiten=1119–1121
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=TI&pg5=AUCN&pg6=AUCN&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Fl%C3%A4chensatz&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=640086 MR0640086]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Rolf Nevanlinna]], [[Veikko Paatero]]
   |Titel=Einführung in die Funktionentheorie
   |Reihe=Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe
   |BandReihe=30
   |Verlag=[[Birkhäuser Verlag]]
   |Ort=Basel, Stuttgart
   |Datum=1965
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Nevanlinna&s5=Einf%C3%BChrung&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=201609 MR0201609]}}

== Anmerkungen ==
rreferences group="A" />

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Funktionentheorie]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Bieberbach, Flachensatz von]]

= Chordaler Abstand =
Im [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Gebiet]] der [[Analysis]] gewinnt man den '''chordalen Abstand''' ({{enS|''chordal distance''}}) als Abwandlung der [[Komplexe Betragsfunktion|komplexen Betragsfunktion]]. <ref name="DSM-01a">D. S. Mitrinović: ''Analytic Inequalities.'' 1970, S. 316–317</ref>

== Definition ==
Der '''chordale Abstand''' ist die [[reellwertige Funktion]] <math>d \colon\, \C \times \C \to \R^{\geq 0},\; (a,b) \mapsto d(a,b)</math>, welche folgendermaßen festgelegt ist:<ref name="DSM-01a" />
:''Sind [[Komplexe Zahl|komplexe Zahlen]] <math>a , b</math> gegeben, so ist''
:: <math>d(a,b)= \frac{|a-b|}{ (1+|a|^2)^{ \frac {1}{2}} \cdot (1+|b|^2)^{ \frac {1}{2}}}</math> .

== Eigenschaften ==
:* Der '''chordale Abstand''' ist eine [[Metrischer Raum|Metrik]].
:* Für komplexe Zahlen <math>a , b</math> gilt stets <math>d(a,b) \leq 1</math> .

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Dragoslav Mitrinović|D. S. Mitrinović]]
   |Titel=Analytic Inequalities
   |TitelErg=In cooperation with [[Petar Vasić|P. M. Vasić]]
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
   |BandReihe=165
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin (u.&nbsp;a.)
   |Datum=1970
   |ISBN=3-540-62903-3
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Mitrinovi%C4%87&s5=Analytic%20Inequalities&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=274686 MR0274686]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Analysis]]


 . . . . .  Eingearbeitet in Artikel "Chordale Metrik" . . . .

 . . . . .

== Alternative ==
In vielen Lehrbüchern wird eine andere Darstellung der chordalen Metrik bevorzugt, welche sich von der obigen durch die Weglassung des Faktors <math>2</math> unterscheidet. Hier hat man also (bei Anwendung der [[Komplexe Betragsfunktion|komplexen Betragsfunktion]]):

: <math>\chi(a, b) = \frac{|a-b|}{ (1+|a|^2)^{ \frac {1}{2}} \cdot (1+|b|^2)^{ \frac {1}{2}}} \; (a,b \in \Complex)</math> .

Der Unterschied besteht darin, dass man bei der [[Einbettung (Mathematik)|Einbettung]] der [[Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] in die [[Riemannsche Zahlenkugel]] eine [[Kugel]] des <math>\R^3</math> zugrundelegt, die den [[Durchmesser]] <math>1</math> hat und mit ihrem ''Südpol'' die <math>x</math>-<math>y</math>-[[Ebene]] im [[Koordinatenursprung]] [[Berührpunkt|berührt]]. Ihr ''Nordpol'' hat dabei die [[Koordinate]]n <math>x=0, y=0, z=1</math>. Diese [[reellwertige Funktion]] <math>\chi </math> ist also eine [[beschränkte Funktion]] mit dem [[Supremum]] <math>1</math>. Man spricht in diesem Zusammenhang eher vom '''chordalen Abstand''' ({{enS|''chordal distance''}}).

Dass <math>\chi </math> hier die Eigenschaften eine Metrik besitzt, ergibt sich aus der Tatsache, dass sie aus dem [[Euklidischer Abstand|euklidischen Abstand]] des <math>\R^3</math> erwächst.<ref name="LC-001">Lothar Collatz: ''Funktionalanalysis und numerische Mathematik.'' 1968, S. 20</ref> Dies lässt sich jedoch auch elementar nachweisen, wie der Mathematiker [[Shizuo Kakutani]] zeigte.<ref name="DSM-001">D. S. Mitrinović: ''Analytic Inequalities.'' 1970, S. 317</ref> Dabei geht es im Wesentlichen um den Nachweis der Gültigkeit der [[Dreiecksungleichung]]. Kakutani zeigte dies unter Anwendung der folgenden beiden [[Ungleichung]]en:

:'''(1)''' ''Für [[Komplexe Zahl|komplexe Zahlen]] <math>a , b, c</math> gilt stets''
:: <math>|a-b| \cdot (1 + |c|^2 ) \leq |a-c| \cdot |1 + b \bar {c}| + |b-c| \cdot |1 + a \bar {c}| </math> .

:'''(1)''' ''Für [[Komplexe Zahl|komplexe Zahlen]] <math>a , b</math> gilt stets''
:: <math>|1 +ab|  \leq (1+|a|^2)^{ \frac {1}{2}} \cdot (1+|b|^2)^{ \frac {1}{2}}</math> .

== Verallgemeinerung ==
 . . . . . 

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Heinrich Behnke]], [[Friedrich Sommer (Mathematiker)|Friedrich Sommer]]
   |Titel=Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen
   |BandReihe=77
   |Seiten=13 ff.
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
   |Ort=Berlin, Heidelberg, New York
   |Datum=1965}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Lothar Collatz]]
   |Titel=Funktionalanalysis und numerische Mathematik
   |TitelErg=Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage von 1964
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen
   |BandReihe=120
   |Auflage=2.
   |Seiten=20
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
   |Ort=Berlin, Heidelberg, New York
   |Datum=1968
   |ISBN=3-540-04135-4}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Einar Hille]]
   |Titel=Analytic Function Theory. Volume 1
   |Auflage=2.
   |Seiten=42 ff.
   |Verlag=Chelsea Publishing Company
   |Ort=New York, N.Y.
   |Datum=1959}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Rolf Walter (Mathematiker)|Rolf Walter]]
   |Titel=Einführung in die Analysis 1.
   |TitelErg=
   |Reihe=de Gruyter Lehrbuch
   |BandReihe=
   |Auflage=
   |Seiten=354–355
   |Verlag=[[Walter de Gruyter]]
   |Ort=Berlin
   |Datum=2007
   |ISBN=978-3-11-019539-2}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

...




= Basler Problem (Erg.) =


== Verallgemeinerungen ==

....


=== Zusammenhang mit den Fourier-Reihen ===
In der [[Fourierreihe|Theorie der Fourier-Reihen]] hat man die auf ganz <math>\mathbb {R}</math> [[Stetige Funktion|stetige]] [[reelle Funktion]]
: <math>\Phi(s) = \sum_{n=1}^\infty\frac{\cos {n s}}{n^2}  \; (s \in \mathbb {R})</math> ,

wobei nach dem [[Majorantenkriterium]] die rechts auftretende Reihe [[absolut konvergent]] ist.<ref group="A">Die reelle [[Kosinusfunktion]] ist [[Beschränkte Funktion|beschränkt]].</ref>

Für eine gegebene [[reelle Zahl]] <math>s</math>  mit <math>0 \leq s \leq 2 \pi</math> gilt hierbei die [[Identitätsgleichung]]
: <math>\Phi(s) = \left( \frac {s - \pi}{2} \right)^2 - \frac {\pi^2 }{12}</math> ,

was unmittelbar zu der Gleichung
:<math>\Phi(0) = \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} = \frac {\pi^2 }{6}</math>

führt.<ref>{{Literatur|Autor=Fridtjof Toenniessen|Titel=Das Geheimnis der transzendenten Zahlen|Verlag=Springer|Datum=2019|Seiten=327–337}}</ref>

== Literatur ==
...
* {{Literatur
   |Autor=[[Fridtjof Toenniessen]]
   |Titel=Das Geheimnis der transzendenten Zahlen
   |TitelErg=Eine etwas andere Einführung in die Mathematik
   |Auflage=2.
   |Verlag=Springer Verlag
   |Ort=Berlin
   |Datum=2019
   |ISBN=978-3-662-58325-8
   |DOI=10.1007/978-3-662-58326-5}}



= Auswahlsatz von Kuratowski und Ryll-Nardzewski =
Der '''Auswahlsatz von Kuratowski und Ryll-Nardzewski''', {{enS|Kuratowski-Ryll Nardzewski Selection Theorem}}, ist ein [[Lehrsatz]] des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Gebiets]] der [[Analysis]], der auf die beiden [[Polen|polnischen]]  [[Mathematiker]] [[Kazimierz Kuratowski]] und [[Czesław Ryll-Nardzewski]] zurückgeht. Der Satz behandelt die Frage, unter welchen Bedingungen einer [[Mengenwertige Abbildung|mengenwertigen Abbildung]] zwischen einem [[Messraum (Mathematik)|Messraum]] und einem [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] unter Berücksichtigung von [[Messbare Funktion|Messbarkeitsgesichtspunkten]] eine ''Auswahlabbildung'' zugehört.<ref name="LG-NSP-01">Leszek Gasiński, Nikolaos S. Papageorgiou: ''Exercises in Analysis. Part 1.'' 2014, S. 643&nbsp;ff.</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Anknüpfend an die Darstellung von [[Leszek Gasiński]]  und [[Nikolaos S. Papageorgiou]] lässt sich der genannte Auswahlsatz folgendermaßen formulieren:<ref name="LG-NSP-02">Gasiński/Papageorgiou, op. cit., S. 643–644</ref>
: ''Gegeben seien ein Messraum  <math>\Omega</math> und ein topologischer Raum <math>X</math>.''
: ''Weiter gegeben sei eine messbare mengenwertige Abbildung <math> F \colon \Omega \to { \mathcal {P} (X) \setminus \{ \emptyset \} }</math> derart, dass für jedes <math>\omega \in \Omega</math> die zugeordnete [[Teilmenge]] <math>F(\omega)</math> in <math>X</math> [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] ist.''
:
: ''Ist dabei <math>X</math> ein [[polnischer Raum]], so existiert stets eine zugehörige messbare Auswahlabbildung <math> f \colon \Omega \to X</math>.''

=== Anwendung ===
Aufbauend auf den Auswahlsatz von Kuratowski und Ryll-Nardzewski lässt sich eine weiteres Resultat gewinnen, welches die Frage der Messbarkeit von mengenwertigen Abbildungen betrifft. Es besagt folgendes:<ref name="LG-NSP-03">Gasiński/Papageorgiou, op. cit., S. 645</ref>
: ''Gegeben seien ein Messraum  <math>\Omega</math> und ein polnischer Raum <math>X</math> und weiter eine mengenwertige Abbildung <math> F \colon \Omega \to { \mathcal {P} (X) }</math>,''
: ''welche jedem <math>\omega \in \Omega</math> eine in <math>X</math> abgeschlossene, [[nichtleer]]e Teilmenge  <math>F(\omega)</math> zuordnet.''
:
: ''Dann sind die folgenden beiden Aussagen gleichwertig:''
:: '' '''(a)''' <math>F</math> ist messbar.''
:: '' '''(b)''' Es gibt eine [[Funktionenfolge]] von messbaren Funktionen <math>f_1, f_2, f_3, \ldots \; \colon \Omega \to X</math>, welche die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:''
::: '' '''(b1)''' Für <math>n = 1, 2, 3, \ldots </math> ist <math>f_n</math>  stets eine zu <math>F</math> gehörige Auswahlabbildung.''
::: '' '''(b2)''' Für jedes  <math>\omega \in \Omega</math> gilt <math>F(\omega) = \overline{ \{f_n(\omega) \mid n = 1, 2, 3, \ldots \} }</math>.''<ref group="A">Mit dem oberen Querbalken ist die jeweilige [[abgeschlossene Hülle]] im topologischen Sinne gemeint.</ref>

== Verwandter Satz ==
Mit dem Auswahlsatz von Kuratowski und Ryll-Nardzewski direkt verwandt ist ein anderer (bekannter) Auswahlsatz, der die gleiche Frage unter [[Stetigkeit]]sgesichtspunkten statt unter Messbarkeitsgesichtspunkten behandelt und nach seinem Entdecker, dem [[Vereinigte Staaten|US-amerikanischen]] Mathematiker [[Ernest Arthur Michael]], als '''Auswahlsatz von Michael''' ({{enS|Michael Selection Theorem}}) bezeichnet wird.<ref name="WK-01">Winfried Kaballo: ''Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie'' 2014, 198&nbsp;ff.</ref><ref name="LG-NSP-04">Gasiński/Papageorgiou, op. cit., S. 229–230</ref>

Anknüpfend an die Darstellung von [[Winfried Kaballo]] lässt sich dieser Satz von folgendermaßen formulieren:<ref name="WK-02">Kaballo, op. cit., S. 216</ref>
: ''Gegeben seien ein topologischer Raum <math>\Omega</math> und ein [[topologischer Vektorraum]] <math>X</math>.''
: ''Weiter gegeben sei eine ''unterhalbstetige'' mengenwertige Abbildung <math>F \colon \Omega \to { \mathcal {P} (X) \setminus \{ \emptyset \} }</math> derart, dass für jedes <math>\omega \in \Omega</math> die zugeordnete [[Teilmenge]] <math>F(\omega)</math> in <math>X</math> zugleich abgeschlossen und [[Konvexe Teilmenge|konvex]] ist.''
:
: ''Ist dabei <math>\Omega</math> ein [[parakompakter Raum|parakompakter]] [[Hausdorffraum]] und ist zugleich <math>X</math> ein [[Fréchet-Raum]], so existiert stets eine zugehörige stetige Auswahlabbildung <math> f \colon \Omega \to X</math>.''

=== Folgerung ===
Aus dem Auswahlsatz von Michael gewinnt man auf direktem Wege ein Resultat, welches für die Frage der Existenz von [[Lösen von Gleichungen|Lösungen von Gleichungen]] bedeutsam ist. Es geht auf eine in 1952 von [[Robert G. Bartle]] und [[Lawrence M. Graves]] vorgelegte [[wissenschaftliche Arbeit]] zurück und wird auch als ''Satz von Bartle-Graves'' ({{enS|Bartle-Graves Theorem}}) genannt. An Winfried Kaballo anknüpfend kann dieser Satz wie folgt angegeben werden:<ref name="WK-03">Kaballo, op. cit., S. 197–198, 215–218</ref>
: ''Gegeben seien zwei [[Banachraum|Banachräume]] <math>E</math> und <math>Q</math>, wobei <math>Q</math> ein mit der [[Quotientennorm]] versehener [[Faktorraum]] von <math>E</math> sein soll.''
: ''Die zugehörige [[Quotientenabbildung]] sei <math>\sigma \colon E \rightarrow Q</math>.''
:
: ''Dann gilt:''
: ''Zu jeder [[Reelle Zahl|reellen Zahl]] <math>r > 1</math> gibt es eine [[Linearer Operator#Linearer Operator|linear homogene]], stetige, [[Umkehrfunktion#Links- und Rechtsinverse von Morphismen|rechtsinverse Abbildung]] <math>R \colon Q \to E</math> derart, dass für <math>y \in Q</math> stets die Ungleichung''
:: <math> \|R(y)\| \leq r \cdot \| y \| </math>
: ''erfüllt ist.''

== Erläuterungen ==
* Ein topologischer Raum <math>\Omega</math> ist vermöge seiner [[Borel-Algebra]] <math>\mathcal B (\Omega)</math> stets auch ein Messraum.
* Für gegebene [[Grundmenge]]n <math>\Omega</math> und <math>X</math> und eine mengenwertige Abbildung <math> F \colon \Omega \to { \mathcal {P} (X) \setminus \{ \emptyset \} }</math> ist eine zu <math>F</math> gehörige ''Auswahlabbildung'' ({{enS|selector, selection}}) oder auch  ''Auswahlabbildung von <math>F</math>'' dadurch gekennzeichnet, dass für alle <math>\omega \in \Omega</math> die Beziehung <math>f(\omega) \in F(\omega)</math> erfüllt ist. Eine solche Auswahlabbildung ist also nichts weiter als ein [[Element (Mathematik)|Element]] der [[Produktmenge]]  <math>\prod_{\omega \in \Omega} F(\omega)</math>.<ref group="A">Mit den Auswahlabbildungen verwandt sind die [[Auswahlfunktion]]en.</ref>
* Für einen Messraum <math>\Omega</math> mit zugehöriger [[Σ-Algebra]] <math>\mathcal{\Sigma} ( \Omega )</math>  und einen topologischen Raum <math>X</math> wird eine mengenwertige Abbildung <math> F \colon \Omega \to  \mathcal {P} (X) </math> als ''messbar'' bezeichnet, wenn für jede in <math>X</math> gelegene [[offene Teilmenge]] <math>U \subseteq X</math> die zugehörige Teilmenge <math>F^{-}(U) := \left \{\omega \in \Omega \mid  F(\omega) \cap U \neq \emptyset  \right \}</math> die Beziehung <math>F^{-}(U) \in \mathcal{\Sigma} ( \Omega ) </math> erfüllt.<ref group="A">Man nennt <math>F^{-}(U)</math> auch das ''schwache Urbild ({{enS|weak inverse image}}) von <math>U</math> unter <math>F</math>''.</ref>
* Für zwei topologische Räume <math>\Omega</math> und <math>X</math> wird eine mengenwertige Abbildung <math> F \colon \Omega \to  \mathcal {P} (X) </math> als ''unterhalbstetig'' bezeichnet, wenn für jede in <math>X</math> gelegene offene Teilmenge <math>U \subseteq X</math> die zugehörige zugehörige Teilmenge <math>F^{-}(U)</math> in <math>\Omega</math> offen ist.
* Der Auswahlsatz von Michael beruht nicht zuletzt darauf, dass in einem parakompakten Hausdorffraum bezüglich jeder beliebigen [[Offene Überdeckung|offenen Überdeckung]] stets eine stetige [[Zerlegung der Eins]] existiert.<ref group="A">Für den Beweis dieses Satzes benötigt man die Zuhilfenahme des [[Lemma von Zorn|Zorn'schen Lemmas]] und damit die Annahme der Gültigkeit des [[Auswahlaxiom]]s. Siehe [[Horst Schubert (Mathematiker)|Horst Schubert]]: ''Topologie.'', 4. Auflage, [[B. G. Teubner Verlag]], Stuttgart 1975, S. 83–88!</ref>
* In einer häufig zitierten anderen Version des Auswahlsatzes von Michael – so auch bei Gasiński/Papageorgiou<ref name="LG-NSP-03" /> – wird der topologische Vektorraum <math>X</math> sogar als Banachraum vorausgesetzt.

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=Robert G. Bartle, Lawrence M. Graves
   |Titel=Mappings between function spaces
   |Sammelwerk=[[Transactions of the American Mathematical Society]]
   |Band=72
   |Datum=1952
   |Seiten=400–413
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Bartle&s5=Graves&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR0047910]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Jonathan Borwein|J. M. Borwein]], [[Asen Dontschew|Asen L. Dontchev]]
   |Titel=On the Bartle-Graves theorem
   |Sammelwerk=[[Proceedings of the American Mathematical Society]]
   |Band=131
   |Datum=2003
   |Seiten=2553–2560
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=TI&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=graves&s5=bartle&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=5&mx-pid=1974655 MR1974655]}}
* {{Literatur
   |Autor=Leszek Gasiński, Nikolaos S. Papageorgiou
   |Titel=Exercises in Analysis. Part 1
   |Reihe=Problem Books in Mathematics
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
   |Ort=Cham, Heidelberg, New York, Dordrecht, London
   |Datum=2014
   |ISBN=978-3-319-06175-7
   |DOI=10.1007/978-3-319-06176-4
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=2014&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Gasi%C5%84ski&s5=Papageorgiou&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=3307732 MR3307732]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Winfried Kaballo]]
   |Titel=Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie
   |TitelErg=Distributionen – lokalkonvexe Methoden – Spektraltheorie
   |Reihe=
   |Verlag=[[Springer Spektrum]]
   |Ort=Berlin, Heidelberg
   |Datum=2014
   |ISBN=978-3-642-37793-8
   |DOI=10.1007/978-3-642-37794-5
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=2014&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=RT&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Kaballo&s5=Funktionalanalysis&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR3672798]}}

== Anmerkungen ==
rreferences group="A" />

== Einzelnachweise ==
rreferences />


KKKategorie:Analysis|Kuratowski und Ryll-Nardzewski, Auswahlsatz von]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Kuratowski und Ryll-Nardzewski, Auswahlsatz von]]



= Satz von Gelfand (Eingefügt in Artikel "Halbnorm") =
In der Funktionalanalysis gehört zu den zahlreichen Resultaten, die hier von dem [[Mathematiker]] [[Israel Moissejewitsch Gelfand|Izrail M. Gelfand]] geliefert wurden, ein [[Lehrsatz|Satz]], der die Frage behandelt, wie die Halbnormen auf einem [[Reeller Vektorraum|reellen]] [[Normierter Raum|normierten Raum]] <math>X</math> mit der gegebenen Norm verknüpft sind. Der Satz geht auf eine [[Wissenschaftliche Publikation|Arbeit]] Gelfands aus dem Jahr 1936 zurück.<ref name="LWK-GPA-01">Kantorowitsch/Akilow: ''Funktionalanalysis in normierten Räumen.'' 1978, S. 206–207</ref>

=== Formulierung des Satzes ===
Anknüpfend an die Darstellung in der Monographie von [[Leonid Witaljewitsch Kantorowitsch|Kantorowitsch]]/[[Gleb Pawlowitsch Akilow|Akilow]] lässt sich der Satz folgendermaßen formulieren:<ref name="LWK-GPA-002">Kantorowitsch/Akilow, op. cit., S. 206</ref>
: ''Gegeben seien ein normierter <math>\R</math>-Vektorraum <math>(X, \| \cdot \|)</math> und darauf eine [[numerische Funktion]] <math>p \colon X \to { \R_0^{+} \cup \{+ \infty\} }</math>, welche die oben genannten Eigenschaften einer Halbnorm aufweist.''<ref group="A">In ihrer Monographie bezeichnen Kantorowitsch und Akilow eine derartige numerische Funktion <math>p</math> auf einem reellen normierten Raum als ''konvexes Funktional''. Dabei lassen sie ausdrücklich auch <math>\{+ \infty\}</math> als <math>p</math>-Wert zu und fordern dabei die absolute Homogenität allein für <math>x \in X</math> mit <math>p(x) < + \infty</math>.</ref>
: ''Dabei sei <math>p</math> [[unterhalbstetig]] und zudem existiere in <math>X</math> eine [[Teilmenge]] [[Menge zweiter Kategorie|zweiter Kategorie]] <math>K \subset X</math> mit der Eigenschaft, dass für alle <math>x \in K </math> die [[Ungleichung]] <math>p(x) < +\infty </math> gilt.''
:
: ''Dann gibt es eine [[Konstante]]  <math>M > 0</math> mit <math>p(x) \leq M \cdot\| x \| </math> für alle <math>x \in X</math>.''

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Israel Moissejewitsch Gelfand|Izrail M. Gelfand]]
   |Titel=Sur le lemme de la théorie des espaces linéaires
   |Sammelwerk=Sap. matem. t-wa
   |Band=4
   |Datum=1936
   |Seiten=35-40
   |Online=}}
* {{Literatur
   |Autor=L. W. Kantorowitsch, G. P. Akilow
   |Titel=Funktionalanalysis in normierten Räumen
   |TitelErg=In deutscher Sprache herausgegeben von Prof. Dr. rer. nat. habil. [[P. Heinz Müller]], Technische Universität Dresden. Übersetzt aus dem Russischen von [[Heinz Langer (Mathematiker)|Heinz Langer]], Dresden, und Rolf Kühne, Dresden
   |Verlag=Verlag Harri Deutsch
   |Ort=Thun / Frankfurt am Main
   |Datum=1978
   |ISBN=3-87144-327-1
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kantorowitsch&s5=Akilow&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=458199 MR0458199]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Walter Rudin]]
   |Titel=Functional Analysis
   |Reihe=International Series in Pure and Applied Mathematics
   |BandReihe=
   |Auflage=2.
   |Verlag=[[McGraw-Hill]]
   |Ort=New York
   |Datum=1991
   |ISBN=0-07-054236-8
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Rudin&s5=Functional%20Analysis&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=1157815 MR1157815]}}

== Anmerkungen ==
rreferences group="A" />

== Einzelnachweise ==
rreferences />


KKKategorie:Funktionalanalysis|Gelfand (Funktionalanalysis), Satz von]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Gelfand (Funktionalanalysis)]]




= Satz von Hadamard (Analysis) =
Zu den zahlreichen Resultaten, die  der [[Frankreich|französische]] [[Mathematiker]] [[Jacques Hadamard]] in verschiedenen [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebieten der Mathematik]] beigetragen hat, gehört in der [[Analysis]] ein als '''Satz von Hadamard''' ({{enS|''Hadamard theorem''}}) bezeichneter [[Lehrsatz]], der auf eine [[Wissenschaftliche Publikation|Arbeit]] Hadamards aus dem Jahr 1906 zurückgeht. Der Satz behandelt die Frage, unter welchen Bedingungen eine [[stetig differenzierbar]]e [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]] auf dem [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] <math>{\R}^n</math> ein [[Homöomorphismus]] ist.<ref name="JMO-WCR-001">J. M. Ortega]], W. C. Rheinboldt: ''Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables.'' 2000, S. 137–140</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Darstellung in der Monographie von [[James M. Ortega|Ortega]] / [[Werner C. Rheinboldt|Rheinboldt]] folgend lässt sich der Satz folgendermaßen formulieren:<ref name="JMO-WCR-002">Ortega/Rheinboldt, op. cit., S. 137</ref>
: ''Gegeben sei eine stetig differenzierbare Abbildung <math>F \colon \R^n \to \R^n \; (n \in \N)</math> auf dem euklidischen Raum <math>{\R}^n</math>, für die in jedem [[Raumpunkt]] <math>x_0 \in \R^n</math> die [[Jacobi-Matrix]] <math>{J_F}(x_0)</math> [[Reguläre Matrix|nichtsingulär]] sein soll.''
: '' Dabei existiere eine [[reelle Zahl]] <math> \gamma > 0</math> derart, dass bezüglich der [[Operatornorm]] für <math>x_0 \in \R^n</math> stets die [[Ungleichung]] <math>\| {{J_F}(x_0)}^{-1}  \| \leq \gamma </math> erfüllt ist.''
:
: ''Dann ist <math>F \colon \R^n \to \R^n</math> ist ein [[Homöomorphismus]].''

== Verallgemeinerungen ==
Im Jahre 1920 dehnte M. P. Lévy den Hadamard'schen Satz auf [[reell]]e [[Hilbertraum|Hilberträume]] aus, woraufhin Rheinboldt  im Jahre 1969 zeigte, dass er sich auch auf beliebige reelle [[Banachraum|Banachräume]] ausdehnen lässt.<ref name="JMO-WCR-004">Ortega/Rheinboldt, op. cit., S. 139</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=J. Hadamard
   |Titel=Sur les transformations ponctuelles
   |Sammelwerk=Bulletin de la Société Mathématique de France
   |Band=34
   |Datum=1906
   |Seiten=71-84
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=1906&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Hadamard&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=1504541]}}
* {{Literatur
   |Autor=M. P. Levy
   |Titel=Sur les fonctions de lignes implicites
   |Sammelwerk=Bulletin de la Société Mathématique de France
   |Band=48
   |Datum=1920
   |Seiten=13-27
   |Online=}}
* {{Literatur
   |Autor=[[James M. Ortega|J. M. Ortega]], [[Werner C. Rheinboldt|W. C. Rheinboldt]]
   |Titel=Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables
   |TitelErg=Reprint of the 1970 original
   |Reihe=Classics in Applied Mathematics
   |BandReihe=30
   |Verlag=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]] (SIAM) 
   |Ort=Philadelphia, PA
   |Datum=2000
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Ortega&s5=Rheinboldt&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=1744713 MR1744713]}}
* {{Literatur
   |Autor=Werner C. Rheinboldt
   |Titel=Local mapping relations and global implicit function theorems
   |Sammelwerk=[[Transactions of the American Mathematical Society]]
   |Band=138
   |Datum=1969 
   |Seiten=183–198
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=1969&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=RT&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Rheinboldt&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=240644 MR0240644]}}

== Anmerkungen ==
rreferences group="A" />

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Analysis|Hadamard (Analysis), Satz von]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Hadamard (Analysis)]]

= Waringscher Satz (Analysis) = 
Der '''Waringsche Satz''' ist ein [[mathematisch]]er [[Lehrsatz]] aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Analysis]], der dem [[Mathematiker]] [[Edward Waring]] zugerechnet wird. Der Satz ist eng verwandt mit dem [[Satz von Rolle]].<ref name="SG-HJI-KHS-001">Siegfried Gottwald et al. (Hrsg.): ''Lexikon bedeutender Mathematiker.'' 1990, S. 482</ref><ref group="A">Der Artikel im ''Lexikon bedeutender Mathematiker'' (S. 482) greift wesentlich auf die genannte Dissertation von Franz Xaver Mayer zurück.</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Satz lässt sich folgendermaßen angeben:<ref name="SG-HJI-KHS-001" />
: ''Gegeben seien eine [[reelle Funktion|reelle]] [[Polynomfunktion]] <math>f \colon \R \to \R </math> sowie drei [[reelle Zahlen]] <math>a,b,c \in \R</math>.''
:
: ''Dabei soll gelten:''
:: '' '''(I)''' <math>a < b</math>.''
:: '' '''(II)''' <math>a</math> und <math>b</math> sind [[Nullstelle#Nullstellen von Polynomen|Nullstellen]] von <math>f</math>.''
:: '' '''(III)''' Im [[Offenes Intervall|offenen Intervall]] <math>]a,b[</math> liegt keine Nullstelle von <math>f</math>.''
:: '' '''(IV)''' <math>g \colon \R \to \R </math> ist die zugehörige Polynomfunktion mit <math>g(x) = f'(x) + c \cdot f(x) \; ( x \in\R)</math>.''<ref group="A">Dabei steht – wie üblich – <math>f'</math> für die zu <math>f</math> gehörige [[Ableitungsfunktion]], die ebenfalls eine reelle Polynomfunktion ist.</ref>
:
: ''Dann gilt:''
:: ''<math>g</math> besitzt im offenen Intervall <math>]a,b[</math> eine [[Parität (Mathematik)|ungerade]] [[Anzahl]] von Nullstellen und – insbesondere! – stets mindestens eine.''

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Herausgeber=[[Siegfried Gottwald]], [[Hans-Joachim Ilgauds]] und [[Karl-Heinz Schlote]]
   |Titel=Lexikon bedeutender Mathematiker
   |Verlag=[[Verlag Harri Deutsch]]
   |Ort=Thun
   |Datum=1990
   |ISBN=3-8171-1164-9
   |Seiten=482
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=&s5=Lexikon%20bedeutender%20Mathematiker&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR1089881]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Franz Xaver Mayer (Mathematiker)|Franz Xaver Mayer]]
   |Titel=Eduard Warings Meditationes algebraicae
   |TitelErg=Inauguraldissertation ([[Universität Zürich]])
   |Verlag=
   |Ort=Überlingen (Bodensee)
   |Datum=1923
   |ISBN=
   |Online=[https://www.worldcat.org/title/eduard-warings-meditationes-algebraic/oclc/8419558 WorldCat-Link]}}

== Anmerkungen ==
rreferences group="A" />

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Waringscher]]
KKKategorie:Analysis]]

= Alternierende Reihe =
{{Begriffsklärungshinweis|Zu Leonhard Eulers alternierenden Reihen siehe [[Alternierende Reihe (Euler)]]}}

'''Alternierende Reihen''' sind [[unendliche Reihe]]n und gehören als solche in das [[Teilgebiete der Mathematik|mathematische Teilgebiet]] der [[Analysis]].

== Definition ==
Eine alternierende Reihe ({{enS|{{enS|alternating series}}}}) ist eine unendliche Reihe, deren Reihenglieder aus [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] bestehen, die abwechselndes [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] haben.

Es handelt sich also um eine Reihe, die in der Form
:<math>\sum_{k=0}^\infty (-1)^k a_k</math> &nbsp; oder &nbsp; <math>\sum_{k=1}^\infty (-1)^k a_k</math>

dargestellt werden kann, wobei die <math>a_k \geq 0</math> sind. Oft wird zusätzlich gefordert, dass die [[Folge (Mathematik)|Folge]] <math>(a_k)_{k\in \N_0}</math> bzw. <math>(a_k)_{k\in \N}</math>[[Monoton fallende Folge|monoton fallend]] sein soll.<ref name="MB-FF-001">{{Literatur |Autor=Martin Barner, Friedrich Flohr|Titel=Analysis I|Auflage=5.|Datum=2000|Seiten=145–146}}</ref><ref name="CC-AT-001">{{Literatur |Autor=Claudio Canuto, Anita Tabacco|Titel=Mathematical Analysis I|Auflage=2.|Datum=2015|Seiten=151–152}}</ref><ref name="RC-001">{{Literatur |Autor=Richard  Courant|Titel=Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Erster Band|Auflage=2.|Datum=1948|Seiten=295–298}}</ref><ref name="GMF-001">{{Literatur |Autor=G. M. Fichtenholz|Titel=Differential- und Integralrechnung II|Auflage=6.|Datum=1974|Seiten=315–317}}</ref><ref name="OF-001">{{Literatur |Autor=Otto Forster|Titel=Analysis 1|Auflage=9.|Datum=2008|Seiten=66–68}}</ref><ref name="HG-IL-001">{{Literatur |Autor=Hans Grauert, Ingo Lieb|Titel=Differential- und Integralrechnung I. (Kapitel III, Definition 3.1)|Auflage=4.|Datum=1976|Seiten=}}</ref>

== Darstellung von Konstanten mittels alternierender Reihen ==
Viele Konstanten in der Analysis haben aussagekräftige Reihendarstellungen und gewinnen ihr Interesse nicht zuletzt aus Darstellungen mittels alternierender Reihen. Hier gibt es einige herausragende Beispiele – wie etwa:

=== Zum natürlichen Logarithmus von 2 ===
Hier tritt eines der immer wieder genannten Standardbeispiele für alternierende Reihen auf, nämlich die ''[[alternierende harmonische Reihe]]''
:<math>\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k} = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4} +- \ldots = \ln 2</math>,

die im Gegensatz zur ([[Divergente Folge|divergenten]]!) [[harmonische Reihe]] nach dem [[Leibniz-Kriterium]]<ref group="A">Dieses Kriterium ist nach [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] benannt. G. M. Fichtenholz bezeichnet in seiner ''Differential- und Integralrechnung II'' – vgl. dort Fußnote auf S. 315! – eine alternierende Reihe, die den Bedingungen des leibnizschen Kriteriums genügt, als ''Reihe vom leibnizschen Typ''.</ref> [[Konvergente Folge|konvergiert]].<ref name="BSMM-001">{{Literatur |Hrsg=I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev u.&nbsp;a|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Auflage=10.|Datum=2016|Seiten=477–478}}</ref><ref name="CC-AT-001"></ref><ref name="RC-001" /><ref name="GMF-002">{{Literatur |Autor=G. M. Fichtenholz|Titel=Differential- und Integralrechnung II|Auflage=6.|Datum=1974|Seiten=315–316}}</ref><ref name="OF-001" />

=== Zur eulerschen Zahl ===
Ein anderes gängiges Beispiel ist die alternierende Reihe für den [[Kehrwert]] der [[Eulersche Zahl|eulerschen Zahl]]. Man hat nämlich:<ref name="MB-FF-001" /><ref name="BSMM-001" />
: <math>\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!} = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} +- \ldots = \frac{1}{e}</math>.

=== Zur Kreiszahl ===
Ein weiteres Standardbeispiel ist auch die [[Leibnizsche Reihe]], welche eine [[Reihenentwicklung]] der [[Kreiszahl]] beinhaltet:<ref name="MB-FF-001" /><ref name="BSMM-001" /><ref name="OF-001" />
: <math>\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} +- \ldots = \frac{\pi}{4}</math>.

Zur Kreiszahl gibt es eine ganze Anzahl weiterer alternierender Reihen wie etwa
: <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^2} = 1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} +- \ldots = \frac{{\pi}^2}{12}</math><ref name="BSMM-001" />

und
: <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^4} = 1 - \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} - \frac{1}{4^4} + \frac{1}{5^4} +- \ldots = \frac{{7 \cdot \pi}^4}{720}</math><ref name="BSMM-001" />

und
: <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{(2k-1)^3} = 1 - \frac{1}{3^3} + \frac{1}{5^3} - \frac{1}{7^3} + \frac{1}{9^3} +- \ldots = \frac{{\pi}^3}{32}</math>.<ref name="SRF-001">{{Literatur |Autor=Steven R. Finch|Titel=Mathematical Constants|Datum=2003|Seiten=20}}</ref>

=== Zur Wurzel von 2 ===
Zwei Beispiele gibt es zur [[Wurzelfunktion|Wurzel]] der natürlichen Zahl <math>2</math>, die sich aus der [[Binomialreihe]] ergeben, nämlich: <math>\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \frac{ \binom{2k}{k} }{2^{2k} (2k-1)} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 6} +- \ldots = \sqrt{2} - 1</math>

und
: <math>\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{ \binom{2k}{k} }{2^{2k}} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} +- \ldots = \frac{1}{\sqrt{2}}</math>.<ref name="SRF-002">{{Literatur |Autor=Steven R. Finch|Titel=Mathematical Constants|Datum=2003|Seiten=2}}</ref>

=== Zum goldenen Schnitt ===
Die [[Goldener Schnitt|goldene Zahl]] <math>\Phi</math> liefert folgendes Beispiel:<ref name="SRF-001" />
: <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} }{k^2 \binom{2k}{k} } = \frac{1}{1 \cdot  2} - \frac{1}{4 \cdot 6} + \frac{1}{9 \cdot 20} - \frac{1}{16 \cdot 70} +- \ldots = 2 \cdot {\ln (\Phi)}^2</math>

Den engen [[Goldener Schnitt#Zusammenhang mit den Fibonacci-Zahlen|Zusammenhang mit den Fibonacci-Zahlen]] <math>\left(f_n\right)_{n \in \N_0} = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, \ldots)</math> belegt auch die Gleichung
: <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{f_k} = 3{,}3598856662\ldots = \sqrt{5} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n }{{\Phi}^{2n+1} - (-1)^n} </math>.<ref name="SRF-003">{{Literatur |Autor=Steven R. Finch|Titel=Mathematical Constants|Datum=2003|Seiten=358}}</ref>

=== Zur Apéry-Konstante ===
Die [[Apéry-Konstante]], also der [[Funktionswert]] der [[Zetafunktion|riemannschen Zetafunktion]] für das Argument <math>x = 3</math>, liefert ebenfalls Beispiele:<ref name="SRF-004">{{Literatur |Autor=Steven R. Finch|Titel=Mathematical Constants|Datum=2003|Seiten=43}}</ref>
: <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} }{k^3 \binom{2k}{k} } = \frac{1}{1 \cdot  2} - \frac{1}{8 \cdot 6} + \frac{1}{27 \cdot 20} - \frac{1}{64 \cdot 70} +- \ldots = \frac{2}{5} \cdot \zeta(3) </math>

Weiterhin gilt die folgende Reihendarstellung:
: <math>\sum_{k=1}^{\infty} \left( (-1)^{k-1} \cdot {\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{km(k+m)} } \right) = \sum_{k,m=1}^{\infty} { \frac{(-1)^{k-1}}{km(k+m)} } = \frac{5}{8} \cdot \zeta(3)</math>.<ref group="A">Steven R. Finch nennt hier (vgl. a.&nbsp;a.&nbsp;O S. 43) für die Apéry-Konstante zudem die Darstellung <math>\zeta(3) = \sum_{k=2}^{\infty} {\sum_{m=1}^{k-1} \frac{1}{k^2 m} }</math>.</ref>

=== Zur catalanschen Konstante ===
Die [[catalansche Konstante]] ist sogar als alternierende Reihe definiert, und zwar als die folgende :<ref name="SRF-005">{{Literatur |Autor=Steven R. Finch|Titel=Mathematical Constants|Datum=2003|Seiten=53}}</ref>
: <math>\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2} = 1 - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} +- \ldots = G</math>

=== Zur Cahen-Konstante ===
Als weiteres Beispiel ist die [[Cahen-Konstante]]
: <math>c = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{s_k-1} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{42} + \frac{1}{1806} - \frac{1}{3263442} +- \ldots = 0{,}6434105462\ldots</math>

zu erwähnen, wobei die [[Folge (Mathematik)|Folge]] <math>\left(s_k\right)_{k \in \N_0}</math> [[Rekursion#Rekursion in der Mathematik|per Rekursion]] definiert ist:<ref name="SRF-006">{{Literatur |Autor=Steven R. Finch|Titel=Mathematical Constants|Datum=2003|Seiten=434–436}}</ref>

: <math>s_0 = 2</math>
: <math>s_{k+1} = {s_k}^2 - s_k + 1 \; (k \in \N_0)</math>.<ref group="A">Dies ist die nach [[James Joseph Sylvester]] benannte ''Sylvester'sche Folge''. Vgl. dazu den in der englischsprachigen Wikipedia vorliegenden [[:en:Sylvester's sequence|Artikel ''Sylvester's sequence'']] sowie {{OEIS|A000058}} !</ref>

Eng verwandt mit der Cahen'schen Konstante ist die ebenfalls durch eine alternierende Reihe gegebene Konstante
: <math>c^{'} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{s_k} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{7} - \frac{1}{43} + \frac{1}{1807} - \frac{1}{3263443} +- \ldots = 2\cdot c - 1 = 0{,}28682109258\ldots</math>.<ref group="A">Die Konstanten <math>c</math>  und <math>c^{'}</math> sind Finch zufolge (vgl. a.&nbsp;a.&nbsp;O S. 436) beides [[transzendente Zahl]]en, während <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{s_k} = 1 </math> gilt. Fast nichts bekannt ist bislang (Stand 2003) über die Zahl <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{s_k - 1} = 1{,}6910302067\ldots </math>.</ref>

=== Zur Euler-Mascheroni-Konstante ===
Ein besonders bemerkenswertes Beispiel liefert die [[Euler-Mascheroni-Konstante]] <math>\gamma</math> durch eine Darstellung als alternierende Reihe unter Verwendung der Funktionswerte der riemannschen Zetafunktion:<ref name="SRF-004" />
: <math>\gamma = \sum_{k=2}^\infty (-1)^k \frac{\zeta(k)}{k}</math>.<ref group="A">Finch zufolge (vgl. a.&nbsp;a.&nbsp;O S. 43) gilt hier zudem die [[Unendliche Reihe|Reihendarstellung]] <math>\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k) - 1}{k} = 1 - \gamma </math>.</ref>

Daneben sind weitere Darstellungen bekannt, wie etwa die von ''Formel von [[Giovanni Enrico Eugenio Vacca|Vacca]]'':<ref name="SRF-00X">{{Literatur |Autor=Steven R. Finch|Titel=Mathematical Constants|Datum=2003|Seiten=167}}</ref>
:<math> \gamma = \sum_{k=2}^\infty \frac{ (-1)^k }{k} \cdot \lfloor \frac{\ln k}{\ln 2}  \rfloor  = \frac{1}{2}-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{2}{5} + \frac{1}{3} - \frac{2}{7}   + \frac{3}{8} +- \ldots\ </math>.<ref group="A"><math>\frac{\ln k}{\ln 2}</math> ist dabei nichts weiter als der [[Zweierlogarithmus]] von <math>k</math>.</ref>

=== Zu einer Primzahlkonstanten ===
Bildet man aus den Kehrwerten der [[Primzahl]]en <math>\left(p_k \right)_{k \in \N} = \left( 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \ldots \right)</math> die zugehörige alternierende Reihe, so erhält man:<ref name="SRF-007">{{Literatur |Autor=Steven R. Finch|Titel=Mathematical Constants|Datum=2003|Seiten=96}}</ref>
: <math>\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k }{p_k} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{7} -+ \ldots = -0{,}2696063519\ldots</math>.<ref group="A">Hier ist nach einem [[Satz von Euler (Primzahlen)|eulerschen Satz]] bekannt, dass für die Reihe <math>\sum_{k=1}^\infty { \frac {1} {p_k}} = \frac {1}{2} + \frac {1}{3} + \frac {1}{5} + \frac {1}{7}+ \ldots = \infty</math> gilt. Finch (vgl. a.&nbsp;a.&nbsp;O S. 96) verweist weiter auf die ebenfalls zugehörige Reihe <math>\sum_{k=1}^\infty \frac {(-1)^k \cdot k} {p_k} = -\frac {1}{2} + \frac {2}{3} - \frac {3}{5} + \frac {4}{7} -+ \ldots </math>, über die bisher (Stand 2003) unbekannt ist, ob sie konvergiert oder divergiert, was von [[Paul Erdős]] in 1996 als offenes Problem formuliert worden sei.</ref>

=== Zu zwei von Ramanujan behandelten Konstanten ===
Der [[Indien|indische]] [[Mathematiker]] [[Srinivasa Ramanujan]] fand zwei alternierende Reihen zur Darstellung zweier Konstanten im Zusammenhang mit der [[Gammafunktion]] <math>\Gamma</math> und der Kreiszahl <math>\pi</math>, nämlich
: <math>\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{ {\binom{2k}{k}}^2 }{2^{4k} } 
= \frac{ {\Gamma \left( \frac{1}{4} \right) }^2 }{ \left( 2\pi \right)^{\frac{3}{2}} } </math>

und
: <math>\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{ {\binom{2k}{k}}^3 }{2^{6k} } 
= \left(  \frac{ \Gamma \left( \frac{9}{8} \right)  }{ \Gamma \left( \frac{5}{4} \right) \cdot \Gamma \left( \frac{7}{8} \right)  } \right)^2  </math>.<ref name="SRF-00Y">{{Literatur |Autor=Steven R. Finch|Titel=Mathematical Constants|Datum=2003|Seiten=34}}</ref>

=== Zum Integral von x hoch x ===
Das [[Integralrechnung#Integral für kompakte Intervalle|Integral]]
:<math>\int_0^1 {x^x} \mathrm{d} x =  \lim_{t \searrow 0} \int_t^1 {x^x} \mathrm{d} x = 0{,}7834305107\ldots</math>

besitzt die Darstellung
:<math>\int_0^1 {x^x} \mathrm{d} x = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1} }{k^k} = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{27} - \frac{1}{256} + \frac{1}{3125} +- \ldots </math>.<ref name="SRF-008">{{Literatur |Autor=Steven R. Finch|Titel=Mathematical Constants|Datum=2003|Seiten=449}}</ref><ref group="A">Hier gibt Finch (vgl. a.&nbsp;a.&nbsp;O S. 449) für das zugehörige uneigentliche Integral <math>\int_0^1 \frac{1}{x^x} \mathrm{d} x = 1{,}2912859970\ldots</math> ebenfalls eine Reihendarstellung: <math>\int_0^1 \frac{1}{x^x} \mathrm{d} x = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^k} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{27} + \frac{1}{256} + \frac{1}{3125} + \ldots </math>.</ref>

== Darstellungen von Funktionen mittels alternierender Reihen ==
Wie die in der Analysis auftretenden Konstanten haben auch viele [[reelle Funktion]]en Reihendarstellungen mittels alternierender Reihen. Hierfür gibt es eine Reihe von bedeutenden Beispiele – wie etwa:

=== Zur Logarithmusfunktion ===
Das obige Beispiel zum [[Logarithmusfunktion|Logarithmus]] von <math>2</math> lässt sich verallgemeinern. Hier ergibt sich nämlich für reelle Zahlen <math>x</math> mit <math>-1 < x \leq 1</math> die [[Reihenentwicklung]]
:<math>\ln(1+x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{x^k}{k} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} +- \ldots</math>,<ref name="BSMM-002">{{Literatur |Hrsg=I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev u.&nbsp;a|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Auflage=10.|Datum=2016|Seiten=1077}}</ref><ref name="OF-002">{{Literatur |Autor=Otto Forster|Titel=Analysis 1.|Auflage=9.|Datum=2008|Seiten=254–258}}</ref>

aus der für [[nichtnegativ]]e <math>x</math> (offenbar) alternierende Reihen hervorgehen.<ref group="A">Im Falle <math>x=1</math> gewinnt man das zuvor genannte Beispiel.</ref>

=== Zur Kehrwertfunktion ===
Ein interessantes Beispiel liefert die für reelle <math>x</math> mit <math>|x| < 1</math> gebildete [[geometrische Reihe]]
:<math>\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k x^k = \sum_{k=0}^{\infty} (-x)^k = 1-x + x^2 - x^3 +- \ldots = \frac{1}{1+x}</math>.

Diese bildet für den Fall <math>x \geq 0</math> eine alternierende Reihe, die jedoch zusätzlich [[absolut konvergent]] ist. Hier ist dann die Situation gegeben, dass man die Reihensumme einfach als Summe der nur aus den positiven und der nur aus den negativen Gliedern gebildeten Teilreihen ermittelt, also als Differenz zweier Reihen aus lauter positiven Gliedern.<ref name="RC-001" />

=== Zur Arkustangensfunktion ===
Das obige Beispiel zur Leibnizschen Reihe lässt sich verallgemeinern vermöge der (alternierenden!) [[Arkustangens]]reihe für reelle Zahlen <math>x</math> mit <math>-1 \leq x \leq 1</math>. Hier gilt nämlich:<ref name="OF-003">{{Literatur |Autor=Otto Forster|Titel=Analysis 1.|Auflage=9.|Datum=2008|Seiten=258}}</ref>
:<math>\arctan x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = x - \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{5} x^5 - \frac{1}{7} x^7 + \ldots</math>.<ref group="A">Im Falle <math>x=1</math> gewinnt man die zuvor genannte Leibnizsche Reihe.</ref>

=== Zu Sinus und Kosinus ===
Zu den bedeutenden alternierenden Reihen zählen ebenfalls die Taylorreihen für die [[Reelle Funktion|reelle]] [[Sinus und Kosinus|Sinus- und Kosinusfunktion]]:<ref name="OF-004">{{Literatur |Autor=Otto Forster|Titel=Analysis 1.|Auflage=9.|Datum=2008|Seiten=137–138, 253–254}}</ref><ref group="A">Diese Taylorreihen sind für sogar für alle reellen Zahlen und auch für alle [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] <math>x</math> [[absolut konvergent]].</ref>
:<math> \sin(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +- \ldots \; (x \in \R)</math>
:<math> \cos(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} +- \ldots \; (x \in \R)</math>

=== Zur riemannschen Zetafunktion und zur dirichletschen Etafunktion ===
In den Zusammenhang mit der oben genannten alternierenden harmonischen Reihe gehört als weiteres Beispiel die folgende alternierende Reihe, die eng mit der (schon erwähnten) riemannschen Zetafunktion verbunden ist und die als eines von vielen Beispielen einer [[Dirichletreihe]] gelten kann. Hier gewinnt man nämlich, wie [[Gregor Michailowitsch Fichtenholz|G. M. Fichtenholz]] in seiner ''Differential- und Integralrechnung II'' darlegt, für reelle Zahlen <math>x \in \R^{>1}</math> die Darstellung:<ref name="GMF-003">{{Literatur |Autor=G. M. Fichtenholz|Titel=Differential- und Integralrechnung II|Auflage=6.|Datum=1974|Seiten=317}}</ref>
: <math>\eta(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k^x} = 1-\frac{1}{2^x}+\frac{1}{3^x}-\frac{1}{4^x} +- \ldots = \left(\ 1- \frac{1}{2^{x-1}} \right) \cdot \zeta(x)</math>.

In ähnlicher Weise hat man für reelle Zahlen <math>x</math> mit <math>0 < x< 1</math> die Darstellung
: <math>\zeta(x)  =  \frac{-1}{2^{1-x} - 1} \cdot \eta(x)</math>

und dann sogar
: <math>\zeta(x) = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n { \frac{1}{k^x} } - { \frac{n^{1-x}}{1-x} } \right)</math>.<ref name="SRF-004" /><ref group="A">Finch (vgl. a.&nbsp;a.&nbsp;O S. 43) folgend lässt sich daraus zum Beispiel die Reihenentwicklung <math>\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{\sqrt {k}} =
 \frac{-1}{1 + \sqrt {2} } \cdot \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{\sqrt {2}} +  \ldots + \frac{1}{\sqrt {n}} - 2 \cdot \sqrt {n} \right) = \frac{1{,}4603545088\ldots}{1 + \sqrt {2} } = 0{,}6048986434\ldots</math> gewinnen.</ref>

=== Zur dirichletschen Betafunktion ===
Die oben genannten catalansche Konstante <math>G</math> gehört ebenfalls zu einem funktionalen Beispiel. Es handelt sich um die [[dirichletsche Betafunktion]], welche für reelle Zahlen <math>x \in \R^{>0}</math> als alternierende Reihe
:<math>\beta(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)^x} = 1 - \frac{1}{3^x} + \frac{1}{5^x} - \frac{1}{7^x} + \frac{1}{9^x} +- \ldots</math>

dargestellt werden kann.<ref name="SRF-009">{{Literatur |Autor=Steven R. Finch|Titel=Mathematical Constants|Datum=2003|Seiten=53}}</ref><ref group="A">Hier hat man <math>\beta(2) = G</math>.</ref>

=== Zu den Bessel-Funktionen ===
Im Zusammenhang mit der [[Besselsche Differentialgleichung|besselschen Differentialgleichung]] treten die ''[[Bessel-Funktion]]en <math>n</math>-ter Ordnung 1. Gattung'' <math>J_n</math> auf, welche für reelle Zahlen <math>x \in \R</math> stets alternierende Reihen der Form
:<math>J_n(x) 
= \sum_{k=0}^{\infty} {(-1)^k \cdot  \frac{ \left( \frac{x}{2} \right)^{n + 2k}}{k! \cdot \Gamma(n+k+1)} }
= \frac{x^n}{2^n \cdot \Gamma(n+1)} 
\cdot 
\left( 1 - \frac{x^2}{2 \cdot (2n+2)} + \frac{x^4}{2 \cdot 4 \cdot (2n+2) \cdot (2n+4)} -+ \ldots \right)
</math>

liefern.<ref name="BSMM-003">{{Literatur |Hrsg=I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev u.&nbsp;a|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Auflage=10.|Datum=2016|Seiten=576}}</ref>

== Beispiel einer divergenten alternierende Reihe  ==
Ein Beispiel für eine ''divergente alternierende Reihen'' ist
:<math>\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1} \cdot (k+1)}{k}=2-\frac{3}{2}+\frac{4}{3}-\frac{5}{4} +- \ldots</math>,

bei dem zu beachten ist, dass die Folge <math>\left( \frac{k+1}{k} \right)_{k=1,2,3,\dots, \infty}</math> zwar monoton fallend ist, jedoch den [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] <math>1</math> hat.<ref name="JHK-001">{{Literatur |Autor=H. Jerome Keisler|Titel=Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach|Auflage=3.|Datum=2012|Seiten=520}}</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Martin Barner]], [[Friedrich Flohr]]
   |Titel=Analysis I
   |Reihe=de Gruyter Lehrbuch
   |BandReihe=
   |Auflage=5., durchgesehene 
   |Verlag=[[Walter de Gruyter & Co.]]
   |Ort=Berlin, New York
   |Datum=2000
   |ISBN=3-11-016778-6}}
* {{Literatur
   |Hrsg=[[Ilja Nikolajewitsch Bronschtein|I. N. Bronstein]], [[Konstantin Adolfowitsch Semendjajew|K. A. Semendjajew]], Gerhard Musiol, Heiner Mühlig
   |Titel=Taschenbuch der Mathematik
   |Auflage=10., überarbeitete
   |Verlag=Europa-Lehrmittel
   |Ort=Haan-Gruiten
   |Datum=2016
   |ISBN=978-3-8085-5790-7}}
* {{Literatur
   |Autor=Claudio Canuto, Anita Tabacco
   |Titel=Mathematical Analysis I
   |Reihe=UNITEXT – La Matematica per il 3+2
   |BandReihe=84
   |Auflage=2.
   |Verlag=[[Springer International Publishing|Springer International Publishing Switzerland]]
   |Ort=Cham, Heidelberg, New York, Dordrecht, London
   |Datum=2015
   |ISBN=978-3-319-12771-2
   |DOI=10.1007/978-3-319-12772-9
   |Online=}}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Richard  Courant]]
   |Titel=Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Erster Band. Funktionen einer Veränderlichen
   |TitelErg=Neudruck 1948 (der 2. Auflage von 1930)
   |Reihe=
   |BandReihe=
   |Auflage=2. verbesserte
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin
   |Datum=1948
   |ISBN=}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Gregor Michailowitsch Fichtenholz|G. M. Fichtenholz]]
   |Titel=Differential- und Integralrechnung II
   |TitelErg=Übersetzung aus dem Russischen und wissenschaftliche Redaktion: Dipl.-Math. Brigitte Mai, Dipl.-Math. Walter Mai
   |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik
   |BandReihe=62
   |Auflage=6.
   |Verlag=[[Volkseigener Betrieb|VEB]] [[Deutscher Verlag der Wissenschaften]]
   |Ort=Berlin
   |Datum=1974}}
* {{Literatur
   |Autor=Steven R. Finch
   |Titel=Mathematical Constants
   |Reihe=Encyclopedia of Mathematics and its Applications
   |BandReihe=94
   |Verlag=[[Cambridge University Press]]
   |Ort=Cambridge [u.&nbsp;a.]
   |Datum=2003
   |ISBN=0-521-81805-2
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Finch%2C%20Steven%20R.&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=2003519 MR2003519]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Otto Forster]]
   |Titel=Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen
   |Reihe=Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik
   |BandReihe=
   |Auflage=9., überarbeitete
   |Verlag=Vieweg
   |Ort=Wiesbaden
   |Datum=2008
   |ISBN=978-3-8348-0395-5}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Hans Grauert]], [[Ingo Lieb]]
   |Titel=Differential- und Integralrechnung I. Funktionen einer reellen Veränderlichen
   |Reihe=Heidelberger Taschenbücher
   |BandReihe=26
   |Auflage=4. verbesserte
   |Verlag=Springer Verlag
   |Ort=Berlin, New York
   |Datum=1976
   |ISBN=
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Grauert&s5=Lieb&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=430171 MR0430171]}}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Howard Jerome Keisler|H. Jerome Keisler]]
   |Titel=Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach 
   |Reihe=
   |BandReihe=
   |Auflage=3.
   |Verlag=Dover Publications
   |Ort=Mineola, NY
   |Datum=2012 
   |ISBN=978-0-486-48452-5}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Konrad Knopp]]
   |Titel=Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
   |BandReihe=2
   |Auflage=5., berichtigte
   |Verlag=Springer Verlag
   |Ort=Berlin,  Göttingen, Heidelberg, New York
   |Datum=1964
   |ISBN=3-540-03138-3
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Knopp&s5=Reihen&s6=Theorie&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=183997 MR0183997]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Herbert Meschkowski]]
   |Titel=Unendliche Reihen
   |Auflage=2., verbesserte und erweiterte
   |Verlag=BI Wissenschaftsverlag
   |Ort=Mannheim u.&nbsp;a.
   |Datum=1982
   |ISBN=3-411-01613-2
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Meschkowski%2C%20Herbert%20&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=671586 MR0671586]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

== Anmerkungen ==
rreferences group="A" />

KKKategorie:Folgen und Reihen]]

= Satz von Lasry =
Der '''Satz von Lasry''', auch genannt unter dem Stichwort  '''Lasry'sche Gleichung''', {{enS|Lasry's equality oder Lasry equality}}, ist ein [[Lehrsatz]] des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Gebiets]] der [[Funktionalanalysis]] und wurde etwa um das Jahr 1973 von dem [[Franzose|französischen]] [[Mathematiker]] [[Jean-Michel Lasry]]<ref>Jean-Michel Lasry lehrt (unter Anderem) an der [[Universität Paris-Dauphine]]. Zu weiteren Angaben siehe [[:fr:Jean-Michel Lasry|Personenartikel über Lasry in der französischen Wikipedia]]!</ref> vorgelegt. Der Satz gibt eine mit der [[Ungleichung von Ky Fan]] direkt verwandte [[Gleichung]] für gewisse [[reelle Funktion]]en auf [[Produkttopologie|topologischen Produkträumen]].<ref name="JH-0001">Jürgen Heine: ''Topologie und Funktionalanalysis.'' 2011, S. 296&nbsp;ff.</ref><ref name="JPA-0001">Jean-Pierre Aubin: ''Applied Abstract Analysis.'' 1998,  S. 199&nbsp;ff.</ref><ref name="JPA-X1">Jean-Pierre Aubin: ''Optima and Equilibria.'' 1998,  S. 137&nbsp;ff.</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Monographie von [[Jürgen Heine (Mathematiker)|Jürgen Heine]]<ref>Prof. Dr. Jürgen Heine lehrte am Institut für [[Angewandte Mathematik]] der [[Universität Hannover]].</ref> folgend lässt sich der Satz folgendermaßen formulieren:<ref name="JH-0002">Heine, op. cit., S. 297.</ref>
: ''Gegeben seien ein [[nichtleer]]er [[Kompakter Raum|kompakter]] [[pseudometrischer Raum]] <math>X</math> sowie ein [[Halbnormierter Raum|halbnormierter]] <math>\R</math>-[[Vektorraum]] <math>V</math> und darin eine nichtleere [[konvexe Teilmenge]] <math>Y \subseteq V</math> mit <math>C(X,Y)</math> als der zugehörigen [[Stetigkeit#Menge der stetigen Funktionen|Menge der stetigen Abbildungen]] .''
: ''Gegeben sei weiter eine [[reelle Funktion]] <math>f \colon X \times Y  \to \R</math>.''
: ''Dabei sei einerseits für jedes <math>x \in X</math> die untergeordnete Funktion <math>f(x, {\cdot}) \colon Y \to \R \; , \; y \mapsto f(x, y) \; , \;</math> [[Konkaves Funktional|konkav]] und [[Beschränkte Funktion|nach oben beschränkt]] und andererseits für jedes <math>y \in Y</math> die untergeordnete Funktion <math>f({\cdot}, y) \colon X  \to \R \; , \; x \mapsto f(x, y) \; , \;</math> [[unterhalbstetig]].''
:
: ''Dann gilt''
: <math>\inf_{x \in X}\sup_{y \in Y}{f(x,y)} = \sup_{\phi \in C(X,Y)}\inf_{x \in X}{f(x,{\phi(x)})}</math>.

== Allgemeiner Hintergrund ==
Im Zusammenhang mit dem Satz von Lasry ist das folgende allgemeine Resultat bedeutsam:<ref name="JH-0003">Heine, op. cit., S. 296.</ref>
: ''Gegeben seien nichtleere Mengen <math>X</math> und <math>Y</math> mit <math>Y^X</math> als der zugehörigen [[Funktion (Mathematik)#Menge der Funktionen|Menge der Abbildungen]]  sowie eine reelle Funktion <math>f \colon X \times Y  \to \R</math>.''
: ''Dabei sei für jedes <math>x \in X</math> die untergeordnete Funktion <math>f(x, {\cdot}) \colon Y \to \R</math> nach oben beschränkt.''
:
: ''Dann gilt''
: <math>\inf_{x \in X}\sup_{y \in Y}{f(x,y)} = \sup_{\phi \in Y^X}\inf_{x \in X}{f(x,{\phi(x)})}</math>.

== Anmerkung ==
Der Satz von Lasry besagt also, dass in der dort genannten Situation die entspechende Gleichung mit <math>C(X,Y)</math> anstelle von <math>Y^X</math> richtig ist.<ref name="JH-0002" />

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=Jürgen Heine
   |Titel=Topologie und Funktionalanalysis
   |TitelErg=Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen
   |Auflage=2., verbesserte
   |Verlag=[[Oldenbourg Verlag]]
   |Ort=München
   |Datum=2011
   |ISBN=978-3-486-70530-0}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Jean-Pierre Aubin]]
   |Titel=Optima and Equilibria
   |TitelErg=An introduction to nonlinear analysis. Translated from the French by Stephen Wilson
   |Reihe=Graduate Texts in Mathematics
   |BandReihe=140
   |Auflage=2.
   |Verlag=Springer Verlag
   |Ort=Berlin
   |Datum=1998
   |ISBN=3-540-64983-2
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Aubin&s5=Optima&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=1729758 MR1729758]}}
* {{Literatur
   |Autor=Jean-Pierre Aubin
   |Titel=Applied Abstract Analysis
   |TitelErg=Exercises by Bernard Cornet and Hervé Moulin. Translated from the French by Carole Labrousse
   |Reihe=Pure and Applied Mathematics
   |BandReihe=
   |Verlag=[[John Wiley & Sons]]
   |Ort=New York, London, Sydney, Toronto
   |Datum=1977
   |ISBN=0-471-02146-6
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Aubin&s5=Abstract&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=470034 MR0470034]}}

== Siehe auch ==
* [[Min-Max-Theorem]]

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Funktionalanalysis|Lasry, Satz von]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Lasry ]]

= Satz von Ky Fan =
In der [[Konvexe Funktion|Theorie der konvexen Funktionen]], einem [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet der Mathematik]] zwischen [[Funktionalanalysis]] und [[Numerische Mathematik|numerischer Mathematik]], wurde das [[John von Neumann|Von Neumann'sche]] [[Min-Max-Theorem|Minimax-Theorem]] ({{enS|Von Neumann minimax theorem}}) von verschiedenen Autoren und auf vielfache Weise verallgemeinert und abgewandelt. Die dabei gewonnenen Resultate nennt man ''Minimaxsätze'' ({{enS|minimax theorems}}). Einer der vielgenannten Minimaxsätze ist derjenige [[Lehrsatz]], welcher von dem [[Mathematiker]] [[Ky Fan]] im Jahre 1953 vorgelegt wurde und den man auch als '''Satz von Ky Fan''' bezeichnet. Einen dem Ky Fan'schen sehr ähnlichen Minimaxsatz hat [[Heinz König (Mathematiker)|Heinz König]] im Jahre 1968 geliefert.<ref name="PK-0001">Peter Kosmol: ''Optimierung und Approximation.'' 2010, S. 446&nbsp;ff., S. 450.</ref><ref name="JPA-001">Jean-Pierre Aubin: ''Optima and Equilibria.'' 1998,  Kar. 7, 8, 12.</ref><ref name="RTR-001">R. Tyrrell Rockafellar: ''Convex Analysis.''  1970, S. 388&nbsp;ff.</ref><ref name="AWR-DEV-001">A. Wayne Roberts, Dale E. Varberg: ''Convex Functions.'' 1973, S. 128–138.</ref><ref name="JS-CW-001">Josef Stoer, Christoph Witzgall: ''Convexity and Optimization in Finite Dimensions. I.''  1970, S. 230&nbsp;ff.</ref><ref name="FAV-001">Frederick A. Valentine: ''Konvexe Mengen.''  1968, S. 250&nbsp;ff.</ref><ref name="HK-001">Heinz König: ''Über das von Neumannsche Minimax-Theorem.''  Archiv der Mathematik  19, S. 273–288</ref>

== Formulierung des Satzes ==
An die Monographie von [[Peter Kosmol]] anschließend lässt sich der Ky Fan'sche Satz wie folgt formulieren:<ref name="PK-0002">Kosmol, op. cit., S. 450.</ref>
: ''Gegeben seien eine [[nichtleere Menge]] <math>X</math> und ein nichtleerer [[Kompakter Raum|kompakter]] [[topologischer Raum]] <math>Y</math> sowie eine [[reellwertige Funktion]] <math>f \colon X \times Y  \to \R</math>.''
: ''Die Funktion <math>f</math> sei F-konkav bezüglich <math>X</math> und F-konvex bezüglich <math>Y</math>.''
: '' Zudem sei <math>f(x_0, {\cdot}) \colon Y  \to \R \; , \; y \mapsto f(x_0, y) \; , \;</math> für jedes <math>x_0 \in X</math> eine [[Halbstetigkeit|unterhalbstetige Funktion]].''
:
: ''Dann gilt''
: <math>\sup_{x \in X}\inf_{y \in Y}{f(x,y)} = \inf_{y \in Y}\sup_{x \in X}{f(x,y)}</math>.

=== Von Neumann'sches Minimax-Theorem ===
Der Satz von Ky Fan führt direkt zu der folgenden Version des Von Neumann'schen Minimax-Theorems:<ref name="AWR-DEV-0002">Roberts/Varberg, op. cit., S. 131, S. 138.</ref>
: ''Gegeben seien nichtleere [[Kompakte Teilmenge|kompakte]], [[konvexe Teilmenge]]n <math>X \subseteq \R^m \; (m \in \N)</math> und <math>Y \subseteq  \R^n \; (n \in \N)</math> sowie eine [[stetige Funktion]] <math>f \colon X \times Y  \to \R</math>.''
: ''Für jedes <math>x_0 \in X</math> sei <math>f(x_0, {\cdot}) \colon Y \to \R</math> ein [[konvexes Funktional]] und für jedes <math>y_0 \in Y</math> sei <math>f({\cdot}, y_0) \colon X  \to \R</math> ein konkaves Funktional.''
:
: ''Dann gibt es einen Sattelpunkt <math> (\hat{x},\hat{y})</math> von <math>f</math> und es gilt''
: <math>\max_{x \in X}\min_{y \in Y}{f(x,y)} = f(\hat{x},\hat{y}) = \min_{y \in Y}\max_{x \in X}{f(x,y)}</math>.

Geläufiger als diese Version des Von Neumann'schen Minimax-Theorems ist indes eine, bei der das obige Funktional direkt abhängig ist von einer [[reell]]en [[Quadratische Matrix|quadratischen Matrix]] und die nach [[Edwin F. Beckenbach|Beckenbach]]/[[Richard Bellman|Bellmann]] folgendermaßen zu formulieren ist:<ref name="EFB-RB-001">Edwin F. Beckenbach, Richard Bellman: ''Inequalities.'' 1983, S. 120–121.</ref>
: ''Gegeben seien das reelle [[Simplex (Mathematik)|Simplex]] <math>\Delta = \{x \in \R^n \colon x_i  \geq 0 \, (i=1,\ldots,n) \ \text{und}\ \sum_{i=1}^n {x_i} =1 \}</math> sowie eine Matrix <math>A \in {\R}^{n\times n}</math>.''
:
: ''Dann gilt die Ungleichung''
: <math>\max_{x \in \Delta}\min_{y \in \Delta}{ \sum_{i,j=1}^n \left( x_i \cdot a_{ij} \cdot y_j \right) } =\min_{y \in \Delta}\max_{x \in \Delta}{ \sum_{i,j=1}^n \left( x_i \cdot a_{ij} \cdot y_j \right) } </math>.

=== Allgemeiner Hintergrund ===
Dem Minimaxsatz liegt ein allgemeiner Satz der [[Ordnungstheorie]] zugrunde:<ref name="AWR-DEV-0003">Roberts/Varberg, op. cit., S. 130.</ref><ref name="IE-RT-001">Ivar Ekeland, Roger Témam: ''Convex analysis and variational problems.'' 1976, S. 166–167.</ref>
: ''Gegeben seien nichtleere Mengen <math>X</math> und <math>Y</math> sowie eine [[numerische Funktion]] <math>f \colon X \times Y  \to \bar{\R}</math>.''
:
: ''Dann gilt''
: <math>\sup_{x \in X}\inf_{y \in Y}{f(x,y)} \leq \inf_{y \in Y}\sup_{x \in X}{f(x,y)}</math>.
:
: ''Gibt es dabei ein [[Element (Mathematik)|Element]] <math>(\hat{x},\hat{y}) \in X \times Y</math> mit <math>f(x,\hat{y}) \leq  {f(\hat{x},\hat{y})} \leq  {f(\hat{x},y)}</math> für alle <math>x \in X</math> und alle <math>y \in Y</math>, so gilt sogar''
: <math>\sup_{x \in X}\inf_{y \in Y}{f(x,y)} = f(\hat{x},\hat{y}) = \inf_{y \in Y}\sup_{x \in X}{f(x,y)}</math>.

== Ungleichung von Ky Fan ==
Im Zusammenhang mit dem obigen Minimaxsatz von Ky Fan ist eine Ungleichung erwähnenswert, die von Ky Fan im Jahre 1972 vorgestellt wurde und die sich nicht nur als gleichwertig mit dem [[Fixpunktsatz von Brouwer]] erwiesen hat, sondern überdies eine Reihe von Existenzsätzen der [[Operator (Mathematik)#Nichtlinearer Operator|Nichtlinearen]] Funktionalanalysis nach sich zieht. Diese Ky Fan'sche Ungleichung ({{enS|Ky Fan's inequality}}) lässt sich wie folgt angeben:<ref name="KF-001">Ky Fan: ''A minimax inequality and applications.'' In: Oved Shisha: ''Inequalities - III.'' 1972, S. 103–113</ref><ref name="JPA-IE-001">Jean-Pierre Aubin, Ivar Ekeland: ''Applied Nonlinear Analysis'' 1984, S. 325&nbsp;ff., S. 330</ref><ref name="JPA-002">Aubin, op. cit., S. 140, S. 125–141, S. 145&nbsp;ff.</ref><ref>Gegenüber der Darstellung von Aubin bzw. Aubin/Ekeland sind hier die Rollen der beiden [[Kartesisches Produkt|Komponenten]] vertauscht.</ref>
: ''Gegeben seien ein [[hausdorffsch]]er [[topologischer Vektorraum]] <math>H</math> und darin eine nichtleere, kompakte, konvexe Teilmenge <math>X \subseteq H</math> sowie eine [[reellwertige Funktion]] <math>f \colon X \times X  \to \R</math>.''
: ''Es sei jedes Funktional <math>f(x_0, {\cdot}) \colon X \to \R \; (x_0 \in X)</math> unterhalbstetig  und jedes Funktional <math>f({\cdot}, y_0) \colon X  \to \R \; (y_0 \in X)</math> sei [[quasikonkav]].''
: ''Dann gilt die Ungleichung''
: <math>\inf_{y \in X} \sup_{x \in X}{f(x,y)} \leq \sup_{x \in X}{f(x,x)}</math>
:
: ''und dabei gibt sogar einen [[Raumpunkt]] <math>\hat{y} \in X</math> mit''
: <math>\sup_{x \in X}{f(x,\hat{y})} = \min_{y \in X} \sup_{x \in X}{f(x,y)} \leq \sup_{x \in X}{f(x,x)}</math>.

== Erläuterungen und Anmerkungen ==
* Eine Funktion <math>f \colon X \times Y  \to \R</math> heißt ''F-konkav bezüglich <math>X</math>'', wenn sie folgende Eigenschaft hat:
:: Es gibt für <math>x_1 \in X\; , \; x_2 \in X\; , \; \kappa \in [0,1]</math> stets ein <math>x_0 \in X</math>, so dass für jedes <math>y \in Y</math> die [[Ungleichung]] <math>f(x_0, y) \geq \kappa f(x_1, y) + ( 1-\kappa ) f(x_2, y)</math> erfüllt ist.
* Eine Funktion <math>f \colon X \times Y  \to \R</math> heißt ''F-konvex bezüglich <math>Y</math>'', wenn sie folgende Eigenschaft hat:
:: Es gibt für  <math>y_1 \in Y\; , \; y_2 \in Y\; , \; \lambda \in [0,1]</math> stets ein <math>y_0 \in Y</math>, so dass für jedes für jedes <math>x \in X</math> die Ungleichung <math>f(x, y_0) \leq \lambda f(x, y_1) + ( 1-\lambda) f(x, y_1)</math> erfüllt ist.
* Die Bezeichnungen ''F-konkav'' und ''F-konvex'' benutzt Peter Kosmol, um darzustellen, dass die Funktion <math>f</math> nach der von Ky Fan gewählten Herangehensweise Merkmale hat, die an Konvexität und Konkavität erinnern und diese dabei sogar verallgemeinern. Es ist nach dieser Herangehensweise nicht notwendig, dass der zugrunde liegende Raum ein linearer Raum ist.
* Jede stetige reellwertige Funktion ist auch unterhalbstetig.
* Ein Element <math> (\hat{x},\hat{y}) \in X \times Y</math>, welches die in dem obigen allgemeinen Hintergrundsatz aufgeführten Ungleichungen in Bezug auf eine numerische Funktion <math>f \colon X \times Y  \to \bar{\R}</math> erfüllt, wird auch ''Sattelpunkt von <math>f</math>'' genannt.
* Beim Beweis des allgemeinen Hintergrundsatz erweist sich als ausschlaggebend, dass die erweiterten reellen Zahlen <math>\bar{\R}</math> einen [[Vollständiger Verband|vollständigen Verband]] bilden. Der Hintergrundsatz lässt sich also in entsprechender Weise auch auf den Fall ausdehnen, dass die dortige Funktion <math>f</math> in einen solchen abbildet.
* Die obige erste Version des Von Neumann'schen Minimax-Theorems (bzw. eine im Wesentlichen gleichwertige Fassung davon) gibt [[Philippe G. Ciarlet]] in seiner Monographie ''Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications'' als ''Ky Fan-Sion theorem'' ({{deS|Satz von Ky Fan und Sion}}) wieder.<ref name="PGC-001">Philippe G. Ciarlet: ''Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications.''  2013, S. 572–573</ref>
* Die obige zweite Version des Von Neumann'schen Minimax-Theorems folgt offenbar aus der ersten, da das Funktional <math>(x,y) \mapsto f(x,y) = \sum_{i,j=1}^n \left( x_i \cdot a_{ij} \cdot y_j \right)</math> offenbar eine [[bilineare Abbildung]] ist.
* Dass die Ungleichung von Ky Fan im Jahre 1972 vorgestellt wurde, weist [[Jean-Pierre Aubin]] in seiner Monographie ''Optima and Equilibria'' aus, wobei er offenbar Bezug auf das Erscheinungsjahr des Tagungsbandes der ''Inequalities - III'' nimmt. Die Tagung selbst fand im September 1969 statt.<ref name="JPA-003">Aubin, op. cit., S. 125</ref>
* Der Nachweis, dass die Ungleichung von Ky Fan den Brouwer'schen Fixpunktsatz nach sich zieht, ist leicht zu führen. An Aubins Darstellung in ''Optima and Equilibria'' anschließend setzt man dazu für eine auf der [[Einheitskugel]] <math>X = D^n \subseteq \R^n \; (n \in \N)</math> gegebene [[stetig]]e [[Selbstabbildung]] <math>\phi \colon D^n  \to D^n </math> die reellwertige Funktion  <math>f \colon D^n \times D^n  \to \R</math> durch <math>D^n \times D^n  \ni (x,y) \mapsto f(x,y):= {\langle y-x, y-\phi(y) \rangle}</math> fest, wobei <math>\langle{\cdot},{\cdot}\rangle \colon \R^n \times \R^n \to \R,</math> das reelle [[Standardskalarprodukt]] ist. Dann ist <math>f</math> offenbar stetig und für jedes <math>y_0 \in D^n </math> ist <math>f({\cdot}, y_0) \colon D^n  \to \R </math> eine affine Abbildung. Damit sind die der Ungleichung von Ky Fan zugrundeliegenden Voraussetzungen erfüllt und es gibt ein <math>\hat{y} \in D^n </math> mit <math>\sup_{x \in X}{\langle \hat{y}-x, \hat{y}-\phi(\hat{y}) \rangle} \leq 0</math>. Dies impliziert <math>{\langle \hat{y}-\phi(\hat{y}), \hat{y}- \phi(\hat{y}) \rangle} = {\| \hat{y}- \phi(\hat{y}) \|}^2 \leq 0</math> und schließlich <math>\phi(\hat{y}) =  \hat{y}</math>.<ref name="JPA-004">Aubin, op. cit., S. 141</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Jean-Pierre Aubin]]
   |Titel=Optima and Equilibria
   |TitelErg=An introduction to nonlinear analysis. Translated from the French by Stephen Wilson
   |Reihe=Graduate Texts in Mathematics
   |BandReihe=140
   |Verlag=Springer Verlag
   |Ort=Berlin
   |Datum=1998
   |ISBN=3-540-64983-2
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Aubin&s5=Optima&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=1729758 MR1729758]}}
* {{Literatur
   |Autor=Jean-Pierre Aubin, [[Ivar Ekeland]]
   |Titel=Applied Nonlinear Analysis
   |TitelErg=
   |Reihe=Pure and Applied Mathematics (New York). A Wiley-Interscience Series of Texts, Monographs, & Tracts 
   |BandReihe=
   |Verlag=John Wiley & Sons, Inc.
   |Ort=New York
   |Datum=1984
   |ISBN=0-471-05998-6
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Aubin&s5=Ekeland&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=749753 MR0749753]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Edwin F. Beckenbach]], [[Richard Bellman]]
   |Titel=Inequalities
   |TitelErg=
   |Reihe=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 
   |BandReihe=30
   |Auflage=4.
   |Verlag=[[Springer Science%2BBusiness Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo
   |Datum=1983
   |ISBN=3-540-03283-5 
   |Seiten=
   |DOI=
   |Online=}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Jonathan Borwein|Jonathan Michael Borwein]], Deming Micheal Zhuang
   |Titel=On Fan’s minimax theorem
   |Sammelwerk=Mathematical Programming
   |Band=34
   |Datum=1986
   |Seiten=232–234
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=TI&pg5=RT&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=minimax%20theorems&s5=Ky%20Fan&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=41&mx-pid=838482 MR0838482]}}
* {{Literatur
   |Autor=Philippe G. Ciarlet
   |Titel=Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications
   |TitelErg=
   |Auflage=
   |Verlag=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]]
   |Ort=Philadelphia, PA
   |Jahr=2013
   |ISBN=978-1-611972-58-0
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Linear%20and%20Nonlinear%20Functional%20Analysis&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=3136903 MR3136903]}}
* {{Literatur
   |Autor=Ivar Ekeland, [[Roger Temam]]
   |Titel=Convex analysis and Variational Problems
   |TitelErg=Translated from the French
   |Reihe=Studies in Mathematics and its Applications
   |BandReihe=1
   |Verlag=North-Holland Publishing Company
   |Ort=Amsterdam, Oxford
   |Datum=1976
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Ekeland&s5=convex&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=24&mx-pid=463994 MR0463994]}}
* {{Literatur
   |Autor=Ky Fan
   |Titel=Minimax theorems
   |Sammelwerk=[[National Academy of Sciences|Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A.]]
   |Band=39
   |Datum=1953
   |Seiten=42–47
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=RT&pg5=RT&pg6=AUCN&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Minimax&s6=Fan%2C%20Ky&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=11&mx-pid=55678 MR0055678]}}
* {{Literatur
   |Autor=Rudolf A. Hirschfeld
   |Titel=On a minimax theorem of K. Fan
   |Sammelwerk=[[Königlich Niederländische Akademie der Wissenschaften|Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Indag. Math.]]
   |Band=20
   |Datum=1958
   |Seiten=470–474
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=RT&pg5=RT&pg6=AUCN&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=&s5=Minimax&s6=hirschfeld&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR0099014]}}
* {{Literatur
   |Autor=Hansgeorg Jeggle
   |Titel=Nichtlineare Funktionalanalysis
   |TitelErg=Existenz von Lösungen nichtlinearer Gleichungen
   |Reihe=Teubner Studienbücher: Mathematik
   |BandReihe=
   |Verlag=B. G. Teubner Verlag
   |Ort=Stuttgart
   |Datum=1979
   |ISBN=3-519-02057-2
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Jeggle%2C%20Hansgeorg&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=533478 MR0533478]}}
* {{Literatur
   |Autor=Jürgen Kindler
   |Titel=Minimaxtheoreme und das Integraldarstellungsproblem
   |Sammelwerk=Manuscripta Mathematica
   |Band=29
   |Datum=1979
   |Seiten=277–294
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=1990&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=JOUR&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kindler&s5=Manuscripta&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=lt&r=3&mx-pid=545045 MR0545045]}}
* {{Literatur
   |Autor=Heinz König
   |Titel=Über das von Neumannsche Minimax-Theorem
   |Sammelwerk=[[Archiv der Mathematik]]
   |Band=19
   |Datum=1968
   |Seiten=482–487
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=TI&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Minimax&s5=K%C3%B6nig&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=240600 MR0240600]}}
* {{Literatur
   |Autor=Heinz König, Michael Neumann
   |Titel=Mathematische Wirtschaftstheorie. Mit einer Einführung in die konvexe Analysis
   |Reihe=Mathematical Systems in Economics
   |BandReihe=100
   |Verlag=Anton Hain
   |Ort=Königstein
   |Datum=1986
   |ISBN=3-445-02393-X
   |Seiten=
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=1990&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=TI&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Mathematische&s5=Wirtschaftstheorie&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=lt MR0842432]}}
* {{Literatur
   |Autor=Peter Kosmol
   |Titel=Optimierung und Approximation
   |Reihe=De Gruyter Studium
   |BandReihe=
   |Auflage=2.
   |Verlag=Walter de Gruyter & Co.
   |Ort=Berlin
   |Datum=2010
   |ISBN=978-3-11-021814-5
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kosmol&s5=Approximation&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=2599674 MR2599674]}}
* {{Literatur
   |Autor=J. von Neumann
   |Titel=Zur Theorie der Gesellschaftsspiele
   |Sammelwerk=[[Mathematische Annalen]]
   |Band=100
   |Datum=1928
   |Seiten=295–320
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=1990&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=JOUR&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=von%20Neumann&s5=Math.%20Ann.&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=lt&r=34&mx-pid=1512486 MR1512486]}}
* {{Literatur
   |Autor=John von Neumann, [[Oskar Morgenstern]]
   |Titel=Spieltheorie und wirtschaftliches Verhalten
   |TitelErg=Unter Mitwirkung von F. Docquier. Herausgegeben von F. Sommer. Übersetzt von M. Leppig
   |Verlag=Physica-Verlag
   |Ort=Würzburg
   |Datum=1961
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=von%20Neumann&s5=Morgenstern&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=lt&r=5&mx-pid=127419 MR0127419]}}
* {{Literatur
   |Autor=A. Wayne Roberts, Dale E. Varberg
   |Titel=Convex Functions
   |Reihe=Pure and Applied Mathematics
   |BandReihe=57
   |Verlag=Academic Press
   |Ort=New York, San Francisco, London
   |Datum=1973
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Roberts&s5=Convex&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=14&mx-pid=442824 MR0442824]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Ralph Tyrrell Rockafellar|R. Tyrrell Rockafellar]]
   |Titel=Convex Analysis
   |Reihe=Princeton Mathematical Series
   |BandReihe=28
   |Auflage=
   |Verlag=[[Princeton University Press]]
   |Ort=Princeton, NJ
   |Datum=1970
   |ISBN=
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Rockafellar&s5=Convex%20Analysis&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=9&mx-pid=274683 MR0274683]}}
* {{Literatur
   |Herausgeber=Oved Shisha
   |Titel=Inequalities - III
   |TitelErg=Proceedings of the Third Symposium on Inequalities. Held at The University of California, Los Angeles, September 1–9, 1969. Dedicated to the memory of Theodore S. Motzkin
   |Reihe=
   |BandReihe=
   |Verlag=Academic Press
   |Ort=New York, London
   |Datum=1972
   |Seiten=103–113
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=1972&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Fan%2C%20Ky&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=341029 MR0341029]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Maurice Sion]]
   |Titel=On general minimax theorems
   |Sammelwerk=[[Pacific Journal of Mathematics]]
   |Band=8
   |Datum=1958
   |Seiten=171–176
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=RT&pg6=RT&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Sion%2C%20Maurice&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=35&mx-pid=97026 MR0097026]}}
* {{Literatur
   |Autor=Anton Ştefănescu
   |Titel=The minimax theorem without vector space structures
   |Sammelwerk=Rev. Roumaine Math. Pures Appl.
   |Band=44
   |Datum=1999
   |Seiten=307–313
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=TI&pg5=RT&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=minimax%20theorems&s5=Ky%20Fan&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=17&mx-pid=1837337 MR1837337]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Josef Stoer]], [[Christoph Witzgall]]
   |Titel=Convexity and Optimization in Finite Dimensions. I.
   |Reihe=Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen
   |BandReihe=163
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin, Heidelberg, New York
   |Datum= 1970
   |ISBN=
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Stoer&s5=Witzgall&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=286498 MR0286498]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Frederick A. Valentine]]
   |Titel=Konvexe Mengen
   |TitelErg=Übersetzung aus dem Englischen durch E. Heil
   |Reihe=BI-Hochschultaschenbücher
   |BandReihe=Band 402/402a
   |Verlag=Bibliographisches Institut
   |Ort=Mannheim
   |Datum=1968
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Valentine%3B%20Frederick%20A.&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=226495 MR0226495]}}

== Siehe auch ==
* [[Min-Max-Theorem]]

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Funktionalanalysis|Ky Fan, Satz von]]

KKKategorie:Numerische Mathematik|Ky Fan, Satz von]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Ky Fan]]

= Satz von Hadamard =
Der '''Satz von Hadamard''' ({{enS|''Hadamard theorem''}})  ist ein [[mathematisch]]er [[Lehrsatz]], der auf eine [[Wissenschaftliche Publikation|Arbeit]] von [[Jacques Hadamard]] aus dem Jahr 1906 zurückgeht und der im [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Analysis]] angesiedelt ist. Der Satz behandelt die Frage, unter welchen Bedingungen eine [[stetig differenzierbar]]e [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]] auf dem [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] <math>{\R}^n</math> ein [[Homöomorphismus]] ist.<ref name="JMO-WCR-001">J. M. Ortega]], W. C. Rheinboldt: ''Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables.'' 2000, S. 137–140</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Darstellung in der Monographie von [[James M. Ortega|Ortega]] / [[Werner C. Rheinboldt|Rheinboldt]] folgend lässt sich der Satz folgendermaßen formulieren:<ref name="JMO-WCR-002">Ortega/Rheinboldt, op. cit., S. 137</ref>
: ''Gegeben seien eine stetig differenzierbare Abbildung <math>F \colon \R^n \to \R^n \; (n \in \N)</math> des euklidischen Raums <math>{\R}^n</math> und dazu eine [[reelle Zahl]] <math> 0 < \gamma < +\infty</math>, für die in jedem [[Raumpunkt]] <math>x_0 \in \R^n</math> für die [[Operatornorm]] des [[Li]] die Bedingung <math>\,</math> <math>\| {F'(x_0)}^{-1}  \| \leq \gamma </math> erfüllt sein soll.''
:
: ''Dann gilt:''
: ''<math>F \colon \R^n \to \R^n</math> ist ein [[Homöomorphismus]].''

== Verwandtes Resultat ==
Verwandt ist das sogenannte Norm-Coerciveness theorem (O/R, S. 136-137):
: ''Gegeben seien einee offene und wegzusammenhängenmde Teilmenge <math>D \subseteq \R^n \; (n \in \N)</math> des euklidischen Raums <math>{\R}^n</math>  im  eine stetig Abbildung <math>F \colon D \to \R^n</math>, die in jedem Punkt lokal ein Homöomorphismus ist.''
:
: ''Dann gilt:''
: ''<math>F \colon \R^n \to \R^n</math> ist ein globaler Homöomorphismus, wenn es norm-coercive auf D ist .''

== Verallgemeinerung ==
Im Jahre 1920 gab erweiterte M. P. Lévy den Hadamard'schen Satz auf [[reell]]en [[Hilbertraum|Hilberträumen]], worauf im Jahre 1969 Rheinboldt zeigte, dass er sich auch auf beliebige reelle [[Banachraum|Banachräume]] ausdehnen lässt:<ref name="JMO-WCR-003">Ortega/Rheinboldt, op. cit., S. 139</ref>
: ''Sei F eine stetige Frechet-differenzierbare Abbildung von einem BR W in einen BR V. Dabei sei für jeden Punkt y aus W F'(y) mit einer beschränkten Inversen F^-1(y) versehen, wobei stets |F^-1(y)|| <= Gamma sei.

Dann Ist F ein Homöomorphismus un sogar ein [[Diffeomorphismus]] von W auf V.''

== Erläuterungen und Anmerkungen ==
* Ist <math>X</math> ein [[metrischer Raum]].<ref name="JMO-WCR-004">Ortega/Rheinboldt, op. cit., S. 139</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=J. Hadamard
   |Titel=Sur les transformations ponctuelles
   |Sammelwerk=Bulletin de la Société Mathématique de France
   |Band=34
   |Datum=1906
   |Seiten=71-84
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=1906&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Hadamard&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=1504541]}}
* {{Literatur
   |Autor=M. P. Levy
   |Titel=Sur les foncttions de lignes implicites
   |Sammelwerk=Bulletin de la Société Mathématique de France
   |Band=48
   |Datum=1920
   |Seiten=13-27
   |Online=}}
* {{Literatur
   |Autor=[[James M. Ortega|J. M. Ortega]], [[Werner C. Rheinboldt|W. C. Rheinboldt]]
   |Titel=Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables
   |TitelErg=Reprint of the 1970 original
   |Reihe=Classics in Applied Mathematics
   |BandReihe=30
   |Verlag=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]] (SIAM), 
   |Ort=Philadelphia, PA
   |Datum=2000
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Ortega&s5=Rheinboldt&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=1744713 MR1744713]}}
* {{Literatur
   |Autor=Werner C. Rheinboldt
   |Titel=Local mapping relations and global implicit function theorems
   |Sammelwerk=[[Transactions of the American Mathematical Society ]]
   |Band=138
   |Datum=1969 
   |Seiten=183–198
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=1969&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=RT&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Rheinboldt&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=240644 MR0240644]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Analysis|Hadamard, Satz von]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Hadamard]]

= Kantorowitsch-Ungleichung =
Die '''Kantorowitsch-Ungleichung''' ({{enS|''Kantorovich inequality''}}) ist eine [[Ungleichung]], die auf eine [[wissenschaftliche Publikation]] des [[sowjetisch]]en [[Mathematiker]]s [[Leonid Witaljewitsch Kantorowitsch]] aus dem Jahre 1948 zurückgeht und sowohl dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Funktionalanalysis]] als auch dem der [[Numerische Mathematik|Numerischen Mathematik]] zugerechnet werden kann. Sie liefert eine [[Abschätzung]] für [[Positiv definite Matrix|positiv definite]] und [[Symmetrische Matrix|symmetrische Matrizen]] des [[reell]]en [[Matrizenring]]s <math>{\R}^{n \times n}</math> und ist verwandt mit der [[Ungleichung von Schweitzer]]. Die Kantorowitsch-Ungleichung ist nicht zuletzt in der Numerischen Mathematik bedeutsam bei [[Grenzwert (Folge)|Konvergenzverhaltensuntersuchungen]] im Zusammenhang mit dem [[Gradientenverfahren]] und gab Anlass zu einer Anzahl von Verallgemeinerungen und weitergehenden [[wissenschaftliche Publikation|Arbeiten]].<ref name="PK-A1">Peter Kosmol: ''Methoden zur numerischen Behandlung nichtlinearer Gleichungen und Optimierungsaufgaben.'' 1989, S. 110–112</ref><ref name="DSM_A1">D. S. Mitrinović: ''Analytic Inequalities.'' 1970, S. 60–65</ref><ref name="OA-A1">Owe Axelsson: ''Iterative Solution Methods.'' 1994, S. 95&nbsp;ff.</ref><ref name="WF-DH-A1">Wilhelm Forst, Dieter Hoffmann: ''Optimization — Theory and Practice.'' 2010, S. 100&nbsp;ff.</ref>

== Darstellung der Ungleichung ==
Die Ungleichung lässt sich folgendermaßen darstellen:<ref name="PK-A2">Kosmol, op. cit., S. 110</ref><ref name="WF-DH-A2">Kosmol, op. cit., S. 101</ref>
:''Gegeben sei – für eine [[natürliche Zahl]] <math>n > 0</math> –  eine positiv definite und symmetrische Matrix <math>Q \in {\R}^{n \times n}</math>, welche als [[Größtes und kleinstes Element|kleinsten]] [[Eigenwert]] die [[positive reelle Zahl]] <math>m</math> habe und als [[Größtes und kleinstes Element|größten]] die positive reelle Zahl <math>M</math>.''
:''Dann gilt für alle <math>x \in {\R}^n \setminus \{ 0 \}</math> die Ungleichung''
:: <math>\frac { {\langle x , x \rangle}^2 }{ {\langle x , Qx \rangle} \cdot {\langle x , Q^{-1}x \rangle} } \geq 4 \frac {M \cdot m}{(M+m)^2} </math>&nbsp;.<ref><math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist das [[Skalarprodukt]] des <math>{\R}^n</math>.</ref>
: ''Anders ausgedrückt – und über das obige hinaus – gilt, wenn''
:: <math>\mathrm{cond}(Q):=\frac{M}{m}</math><ref>In der englischsprachigen Fachliteratur wird die Größe <math>\mathrm{cond}(Q)</math> auch als ''condition number of <math>Q</math>'' bezeichnet.</ref>
: ''gesetzt wird:''<ref name="OA-A2">Axelsson, op. cit., S. 96</ref>
:: <math>1 \leq  \frac{ {\langle x , Qx \rangle} \cdot {\langle x , Q^{-1}x \rangle} }{ {\langle x , x \rangle}^2 } \leq  \frac { \bigl( 1+\mathrm{cond}(Q) \bigr)^2 }{ 4 \cdot\mathrm{cond}(Q) } </math>&nbsp;,
: ''und dabei ist die [[Abschätzung|obere Abschätzung]] in dem Sinne scharf, dass die Gleichung''
:: <math>\sup_{x \in {\R}^n \setminus \{ 0 \}}{ \frac { {\langle x , Qx \rangle} \cdot {\langle x , Q^{-1}x \rangle} }{ {\langle x , x \rangle}^2 } } = \frac { (1+\mathrm{cond}(Q))^2 }{ 4 \cdot\mathrm{cond}(Q)}</math>
: ''besteht.''

== Allgemeinere Darstellung der Ungleichung ==
In der Fachliteratur zur [[Konvexe und konkave Funktionen|Theorie der konvexen Funktionen]] wird die Kantorowitsch-Ungleichung in einen weiteren Kontext gestellt und hier auch in der allgemeineren Version angegeben:<ref name="AWR-DEV-A1">A. Wayne Roberts, Dale E. Varberg: ''Convex Functions.'' 1973, S. 208–209</ref>
:''Gegeben seien ein [[kompaktes Intervall]] <math>[a,b] \subset \R</math> sowie zwei [[nichtnegativ]]e konvexe Funktionen <math>f \;,\; g \;\colon [a,b] \to [0, {+\infty})</math>.''
:''Weiterhin gegeben seien eine natürliche Zahl <math>n > 0</math> und dazu reelle Zahlen <math>x_1, \ldots, x_n \in [a,b]</math> sowie positive reelle Zahlen <math>p_1, \ldots, p_n</math> mit <math>p_1 + \ldots + p_n =1</math> und darüber hinaus eine weitere positive reelle Zahl <math>c</math>.''
:''Unter diesen Bedingungen gilt für die zugehörigen [[Konvexkombination]]en''
:: <math>K_f:=p_1 f(x_1) + \ldots + p_n f(x_n)</math>
:''und''
:: <math>K_g:=p_1 g(x_1) + \ldots + p_n g(x_n)</math> 
:''die allgemeine Ungleichung''
:: <math>\sqrt{K_f} \cdot \sqrt{K_g} \leq \frac {1}{2} \cdot \max \left( c f(a) + \frac {g(a)}{c}  \; , \; c f(b) + \frac {g(b)}{c} \right)</math> &nbsp;.
:
:''Ist für <math>x \in [a,b]</math> sogar stets <math>f(x)g(x) \geq 0</math>, so hat man zudem die untere Abschätzung''
:: <math>1 \leq \sqrt{K_f} \cdot \sqrt{K_g} </math> &nbsp;.
:
:''Insbesondere<ref>Mit <math>f(x)=x</math> und <math>g(x)=\frac {1 }{x}</math> und  <math>c=\frac {1 }{\sqrt {ab}}</math>!</ref> gelten im Falle <math>a>0</math> stets die beiden Ungleichungen''
:: <math>1 \leq \bigl( p_1 x_1 + \ldots + p_n x_n \bigr) \cdot \bigl( \frac {p_1 }{x_1} + \ldots + \frac {p_n}{x_n}\bigr) \leq \frac {1}{4} \cdot \left( \sqrt{\frac {a}{b}} + \sqrt{\frac {b}{a}} \right)^2</math> &nbsp;.

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Owe Axelsson]]
   |Titel=Iterative Solution Methods
   |TitelErg=
   |Reihe=
   |BandReihe=
   |Verlag=[[Cambridge University Press]]
   |Ort=Cambridge
   |Datum=1994
   |ISBN=0-521-44524-8
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=1994&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Axelsson&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=7&mx-pid=1276069 MR1276069]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Wilhelm Forst]], [[Dieter Hoffmann (Mathematiker)|Dieter Hoffmann]]
   |Titel=Optimization — Theory and Practice
   |TitelErg=
   |Reihe=Springer Undergraduate Texts in Mathematics and Technology
   |BandReihe=
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=New York, Dordrecht, Heidelberg, London
   |Datum=2010
   |ISBN=978-0-387-78976-7
   |DOI=10.1007/978-0-387-78976-4 
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Forst%2C%20Wilhelm&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=2675748 MR2675748]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Werner H. Greub|Werner Greub]],  [[Werner Rheinboldt]]
   |Titel=On a generalization of an inequality of L. V. Kantorovich
   |Sammelwerk=[[Proceedings of the American Mathematical Society ]]
   |Band=10
   |Datum=1959
   |Seiten=407–415
   |DOI=10.2307/2032857
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Kantorovich%20inequality&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=81&mx-pid=105028 MR0105028]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Leonid Witaljewitsch Kantorowitsch|L. V. Kantorovič]]
   |Titel=Functional analysis and applied mathematics
   |TitelErg=(Russisch)
   |Sammelwerk=Uspehi Mat. Nauk (N.S.)  
   |Band=3
   |Datum=1948
   |Seiten=89–185
   |DOI=
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=1948&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kantorovich&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=27947 MR0027947]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Peter Kosmol]]
   |Titel=Methoden zur numerischen Behandlung nichtlinearer Gleichungen und Optimierungsaufgaben
   |Reihe=Teubner Studienbücher Mathematik
   |BandReihe=
   |Auflage=
   |Verlag=[[B. G. Teubner Verlag]]
   |Ort=Stuttgart
   |Datum=1989
   |ISBN=3-519-02085-8
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kosmol&s5=Methoden&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=1002944 MR1002944]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Dragoslav Mitrinović|D. S. Mitrinović]]
   |Titel=Analytic Inequalities
   |TitelErg=In cooperation with [[Petar Vasić|P. M. Vasić]]
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
   |BandReihe=165
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin (u.&nbsp;a.)
   |Datum=1970
   |ISBN=3-540-62903-3
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=1970&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Mitrinovic&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=6&mx-pid=274686 MR0274686]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[A. Wayne Roberts]], [[Dale E. Varberg]]
   |Titel=Convex Functions
   |TitelErg=
   |Reihe=Pure and Applied Mathematics
   |BandReihe=57
   |Verlag=[[Academic Press]]
   |Ort=New York, San Francisco, London
   |Datum=1973
   |ISBN=
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Roberts&s5=Convex&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=14&mx-pid=442824 MR0442824]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Gilbert Strang|W. G. Strang]]
   |Titel=On the Kantorovich inequality
   |Sammelwerk=[[Proceedings of the American Mathematical Society ]]
   |Band=11
   |Datum=1960
   |Seiten=60
   |DOI=10.2307/2034801
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Kantorovich%20inequality&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=79&mx-pid=112046 MR0112046]}}

== Weblinks ==
*{{MathWorld|KantorovichInequality|Kantorovich inequality}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />


KKKategorie:Funktionalanalysis]]

KKKategorie:Numerische Mathematik]]

KKKategorie:Ungleichung|Kantorowitsch-Ungleichung]]



= Formel von Ascoli =
Die '''Formel von Ascoli''' ({{enS|''formula of Ascoli''}}) ist eine [[mathematisch]]e [[Formel]], die auf eine von dem [[Italiener|italienischen]] [[Mathematiker]] [[Guido Ascoli]] im Jahre 1932 vorgelegte [[Wissenschaftliche Publikation|Arbeit]] zurückgeht und im Übergangsfeld zwischen den [[Teilgebiete der Mathematik|Gebieten]] [[Funktionalanalysis]] und [[Geometrie]] angesiedelt ist. Sie gibt eine Beschreibung des [[Abstand]]es zwischen einem [[Raumpunkt]] und einer gegebenen [[Affine Hyperebene|affinen Hyperebene]] in einem [[reell]]en [[Normierter Raum|normierten Raum]].<ref name="PK_001">Peter Kosmol: ''Optimierung und Approximation.'' 2010, S. 399–400</ref><ref name="PK-DMW_001">Peter Kosmol, Dieter Müller-Wichards: ''Optimization in Function Spaces.'' 2011, S. S. 108</ref><ref name="IS_001">Ivan Singer: ''Best Approximation in Normed Linear Spaces by Elements of Linear Subspaces.'' 1970 , S. 24</ref> 

== Darstellung der Formel ==
Die Formel lässt sich folgendermaßen angeben:<ref name="PK-002">Kosmol, op. cit., S. 400</ref><ref name="PK-DMW_001" />
: ''Gegeben seien ein normierter <math>\R</math>-[[Vektorraum]] <math>X</math> und sein [[Dualraum]] <math>X^{*}</math> der [[Reellwertige Funktion|reellwertigen]] [[Stetiges lineares Funktional|stetigen linearen Funktionale]], wobei sowohl die Norm von <math>X</math> als auch die [[Operatornorm]] von <math>X^{*}</math> mit <math>{\|\cdot\|}</math> bezeichnet sein sollen.''
: ''Weiter gegeben sei eine affine Hyperebene <math>H \subset X</math>, wobei <math>H = \{x \in X \mid u^{*}(x) = \alpha \}</math> gelten soll mit einer [[Reelle Zahl|reellen Zahl]] <math>\alpha</math> und einem Funktional <math>u^{*} \in {X^{*} \setminus \{ 0\} }</math> .''
:
: ''Dann berechnet sich für einen beliebigen Raumpunkt <math>a \in X</math> der Abstand <math>d(a, H)  = \inf_{h \in H}{\| h - a \|}</math> zwischen ihm und der Hyperebene nach der Formel''
: <math>d(a, H) = \frac{| u^{*} (a)  - \alpha |}{\| u^{*} \|} </math>.<ref><math>| \cdot |</math> ist die [[Betragsfunktion]].</ref>

=== Direkter Beweis ===
Anschließend an die Darstellung in der Monographie von [[Ivan Singer]] lässt sich ein direkter Beweis in folgender Weise führen:<ref name="IS_001" />

Zunächst ist für beliebiges <math>h \in H</math> 
: <math>u^{*} (h) = \alpha</math>

und damit – aufgrund der Eigenschaften der Operatornorm! –
: <math>| u^{*} (a)  - \alpha | = | u^{*} (a-h)| \leq \| u^{*} \| \cdot \| a-h \|</math>

und daher
: <math>\| h - a \| \geq  \frac{| u^{*} (a)  - \alpha |}{\| u^{*} \|}</math>.

Also gilt die [[Ungleichung]] 
: <math>d(a, H) \geq  \frac{| u^{*} (a)  - \alpha |}{\| u^{*} \|}</math>.

Zum Beweis der umgekehrten Ungleichung stellt man in Rechnung, dass – wiederum aufgrund der Eigenschaften der Operatornorm! – die Beziehung
: <math>0 < {\| u^{*} \|} = \sup_{x \in X \; , \; \| x \| = 1}{| u^{*}(x) |}</math>

besteht, und somit für jede [[reelle Zahl]] <math>r</math> mit <math>0 < r < \| u^{*} \| </math> stets ein <math>x_r \in X</math> mit <math>\| x_r \| = 1</math> und <math>| u^{*} (x_r)| > \| u^{*} \| -r</math> gegeben ist.

Hierfür wird 
: <math>h_r := a - \frac{u^{*} (a)  - \alpha }{u^{*}(x_r) } \cdot x_r</math>

gesetzt. Offenbar ist <math>h_r \in H</math> und dabei
: <math>d(a, H) \leq \| h_r - a \| = | \frac{u^{*} (a)  - \alpha }{u^{*}(x_r)} | \cdot 1 = \frac{| u^{*} (a)  - \alpha |}{|u^{*}(x_r)|} < \frac{| u^{*} (a)  - \alpha |}{\| u^{*} \| -r} </math>.

Durch [[Grenzübergang (Konvergenz)|Grenzübergang]] <math>r \to 0</math> gewinnt man schließlich
: <math>d(a, H) \leq  \frac{| u^{*} (a)  - \alpha |}{\| u^{*} \|} </math>.

Das beweist die Formel.

== Hintergrund ==
Die Ascoli'sche  Formel lässt sich ebenfalls aus dem sogenannten ''Dualitätssatz der linearen Approximationstheorie'' ({{enS|duality theorem of linear approximation theory}}) gewinnen, der folgendes besagt:<ref name="PK-003">Kosmol, op. cit., S. 399</ref><ref name="PK-DMW_001" />
: ''Seien <math>X</math>, <math>X^{*}</math> und <math>\| \cdot  \|</math> gegeben wie oben.''
: ''Seien weiter ein [[Untervektorraum]] <math>V \subseteq X</math> gegeben sowie ein Raumpunkt <math>a \in X</math>.''
: ''Dabei sei <math>V^{\perp} = \{ x^{*} \in X^{*} \mid \forall v \in V \colon x^{*}(v) = 0 \}</math> das orthogonale Komplement von <math>V</math> in <math>X^{*}</math>.''
:
: ''Dann gilt für den Abstand <math>d(a, V)  = \inf_{v \in V}{\| v - a \|}</math> zwischen Raumpunkt und Untervektorraum die Formel''
: <math>d(a, V) = \max_{x^{*} \in V^{\perp} \text{ und } \| x^{*} \| \leq 1 }{ x^{*}(a)}</math>.

== Erläuterungen und Anmerkungen ==
* Die Fragestellung, die der Formel von Ascoli zu Grunde liegt, ist eng verwandt mit dem in der [[Analytische Geometrie|Analytischen Geometrie]] im Zusammenhang mit der [[Hessesche Normalform|Hesse'schen Normalform]] gestellten Problem, wie man den [[Euklidischer Abstand|euklidischen Abstand]] eines [[Punkt (Geometrie)|Punktes]] von einer [[Gerade]]n im <math>{\R}^2</math> beziehungsweise von einer [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] im <math>{\R}^3</math> berechnet.
* Ist oben <math>u^{*}(h_0) = \alpha</math> für einen Raumpunkt <math>h_0 \in H</math>, so berechnet sich der in der Ascoli'schen Formel behandelte Abstand auch nach der Formel <math>d(a, H) = \frac{| u^{*} (a - h_0)|}{\| u^{*} \|} </math>.<ref name="PK-002" />
* Einem allgemeinen [[Lehrsatz]] des Mathematikers [[Werner Fenchel]] zufolge existiert das im obigen Dualitätssatz der linearen Approximationstheorie auftretende Maximum stets.<ref name="PK-004">Kosmol, op. cit., S. 385, S. 399</ref>

== Beispielrechnung ==
Zum reellen Vektorraum <math>{\R}^3 = \{ (x_1, x_2 , x_3) \mid x_1, x_2 , x_3 \in \R \}</math> soll für den Raumpunkt <math>a = (1, 2 , 3)</math> und den Operator <math> u^{*}: (x_1, x_2 , x_3) \mapsto  x_1 + 3 x_2 + x_3 </math> sowie die zugehörige Ebene <math>H = \{(x_1, x_2 , x_3) \in {\R}^3  \mid x_1 + 3 x_2 + x_3  = 1 \}</math> nach wechselnder Norm <math>\| \cdot \| </math> innerhalb <math>X = ({\R}^3 , {\| \cdot \|} )</math> der Abstand <math>d(a, H)</math> berechnet werden. Dabei soll diese Norm nacheinander die [[euklidische Norm]] <math>\| \cdot  \|_2 </math>, die [[Summennorm]] <math>\| \cdot \|_1</math> und die [[Maximumsnorm]] <math>\| \cdot \|_{\max}</math> sein. 

Man erhält dazu die folgenden Abstände:<ref name="PK-002" /><ref group="A">Zu beachten ist hierbei, dass hier die im Nenner auftretende Norm von <math> u^{*} </math> jeweils die '''Operatornorm''' von <math>X^{*}</math> ist, die ja ebenfalls Bezeichnung  <math>\| \cdot \|</math> hat.</ref>

'''(a)''' Für <math>\| \cdot \| = \| \cdot  \|_2 </math>: 
: <math>d(a, H) = \frac{| 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 3  - 1|}{\sqrt {1 + 3^2 + 1} } = \frac{9}{\sqrt {11}}</math>

'''(b)''' Für <math>\| \cdot \| = \| \cdot  \|_1 </math>:
: <math>d(a, H) = \frac{9}{\max \{1, 3, 1 \} } = \frac{9}{3}</math>

'''(c)''' Für <math>\| \cdot \| = \| \cdot  \|_{\max} </math>:
: <math>d(a, H) =  \frac{9}{1 + 3 + 1} = \frac{9}{5}</math>

'''(d)''' Für <math>\| \cdot \| = \| \cdot  \|_7 </math>:<ref group="A">Bei <math> p=7 </math> gilt ja  <math> \, \frac{1}{7} + \frac{6}{7} = 1 \, </math>.</ref>
: <math>d(a, H) = \frac{9}{ \left( 1 + 3^{\frac{7}{6}} + 1 \right)^{\frac{6}{7}} } </math>

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=Guido Ascoli
   |Titel=Sugli spazi lineari metrici e le loro varietà lineari
   |Sammelwerk=Annali di Matematica Pura ed Applicata
   |Band=10
   |Datum=1932
   |Seiten=33–81, 203-232
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Ascoli&s5=lineari&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=6&mx-pid=1553181 MR1553181]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]]
   |Titel=Lineare Algebra
   |TitelErg=Eine Einführung für Studienanfänger
   |Auflage=16., überarbeitete und erweiterte
   |Verlag=[[Vieweg+Teubner]]
   |Ort=Wiesbaden 
   |Datum=2008
   |Seiten=280–281
   |ISBN=978-3-8348-0428-0
}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Peter Kosmol]]
   |Titel=Optimierung und Approximation
   |Reihe=De Gruyter Studium
   |BandReihe=
   |Auflage=2.
   |Verlag=[[Walter de Gruyter & Co.]]
   |Ort=Berlin
   |Datum=2010
   |ISBN=978-3-11-021814-5
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kosmol&s5=Approximation&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=2599674 MR2599674]}}
* {{Literatur
   |Autor=Peter Kosmol, [[Dieter Müller-Wichards]]
   |Titel=Optimization in Function Spaces
   |TitelErg=With stability considerations in Orlicz spaces
   |Reihe=De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications
   |BandReihe=13
   |Auflage=
   |Verlag=Walter de Gruyter & Co.
   |Ort=Berlin
   |Datum=2011
   |ISBN=978-3-11-025020-6
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kosmol&s5=M%C3%BCller-&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=2760903 MR2760903]}}
* {{Literatur
   |Autor=Ivan Singer
   |Titel=Best Approximation in Normed Linear Spaces by Elements of Linear Subspaces
   |TitelErg=Translation of the original Romanian version "Cea mai bună aproximare în spații vectoriale normate prin elemente din subspații vectoriale". Translated by [[Radu Georgescu]]
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
   |BandReihe=171
   |Auflage=
   |Verlag=Springer Verlag
   |Ort=Berlin, Heidelberg, New York
   |Datum=1970
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Singer%20&s5=best%20approximation&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=15&mx-pid=270044 MR0270044]}}

== Siehe auch ==
* [[Hessesche Normalform]]

== Einzelnachweise ==
rreferences />

== Hinweise ==
rreferences group="A" />

KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Satz (Geometrie)|Ascoli, Formel von]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Ascoli, Formel von]]

= Konvexitätssatz von Ljapunow =
Der '''Konvexitätssatz von Ljapunow''' ist ein [[mathematisch]]er [[Begriff]] der [[Funktionalanalysis]], der auf den [[Russland|russischen]] [[Mathematiker]] und [[Physiker]] [[zrückgeht]].<ref name="HH_001">Harro Heuser: ''Funktionalanalysis.'' 2006, S. 464</ref>

== Formulierung des Satzes ==

== Erläuterungen und Anmerkungen ==
* ...

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Harro Heuser]]
   |Titel=Funktionalanalysis
   |TitelErg=Theorie und Anwendung
   |Reihe=Mathematische Leitfäden
   |BandReihe=
   |Auflage=4.
   |Verlag=B. G. Teubner
   |Ort=Wiesbaden
   |Datum=2006
   |ISBN=978-3-8351-0026-8
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=RT&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Heuser%2C%20Harro&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=2380292 MR2380292]}}

== Siehe auch ==
* ...

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Funktionalanalysis]]


= Stetige Konvergenz =
'''Stetige Konvergenz''' ({{enS|''continuous convergence''}}) ist ein [[mathematisch]]er [[Begriff]], der sowohl in der [[Funktionalanalysis]] und als auch in der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]] und nicht zuletzt in der [[Approximationstheorie]], der [[Optimierungstheorie]] und der [[Variationsrechnung]] Verwendung findet. Mit ihm verbunden sind die Begriffe der [[Gleichgradige Stetigkeit|gleichgradigen Stetigkeit]]  und der [[Kompakte Konvergenz|kompakten Konvergenz]].<ref name="PK-001">Peter Kosmol: ''Optimierung und Approximation.'' 2010, S. 69&nbsp;ff.</ref><ref name="PK-DMW-001">Peter Kosmol, Dieter Müller-Wichards: ''Optimization in Function Spaces.'' 2011, S. 134&nbsp;ff.</ref>

== Definition ==
Gegeben seien zwei beliebige [[Metrischer Raum|metrische Räume]] <math>X</math> und <math>Y</math> sowie [[Abzählbare Menge|abzählbar viele]] [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] <math>f, \; f_1, f_2, f_3 \ldots \; \; \colon X \to Y</math>.

Man sagt dann, ''die [[Funktionenfolge]] <math>(f_n)_{n=1,2,\ldots}</math> sei stetig konvergent gegen <math>f</math>'', falls folgende Bedingung erfüllt ist:
: Für <math>x \in X</math> und für jede in <math>X</math> [[konvergente Folge]] <math>x_n \rightarrow x \ (n \to \infty \; , \;  x_n \in X )</math> gilt in <math>Y</math> stets die Konvergenz <math>f_n(x_n) \rightarrow f(x) \ (n \to \infty)</math>.

Man sagt dann auch, ''die Funktionenfolge der <math>f_n</math> konvergiere stetig gegen <math>f</math>'' oder Ähnliches.<ref name="PK-002">Kosmol, op. cit., S. 71</ref><ref name="PK-DMW-002">Kosmol / Müller-Wichards, op. cit., S. 134</ref>

== Zusammenhang der Begrifflichkeiten  ==
Der Zusammenhang zwischen stetiger Konvergenz, kompakter Konvergenz und gleichgradiger Stetigkeit wird durch folgenden [[Lehrsatz|Satz]] aufgezeigt:<ref name="PK-003">Kosmol, op. cit., S. 336–337</ref><ref name="PK-DMW-002">Kosmol / Müller-Wichards, op. cit., S. 134</ref>
: ''Für abzählbar viele Funktionen <math>f, f_1, f_2, f_3 \ldots \; \colon X \to Y</math> zweier metrischer Räume <math>X</math> und <math>Y</math> gelte <math>f_n \xrightarrow{\text{punktweise}} f\ (n \to \infty)</math> und die <math>f_n</math> seien alle [[stetig]].''
: ''Dann sind die folgenden Aussagen gleichwertig:''
:: '' '''(i)''' Die <math>f_n</math> bilden eine gleichgradig stetige Funktionenfolge.''
:: '' '''(ii)''' <math>f</math> ist eine stetige Funktion und die Funktionenfolge konvergiert stetig gegen <math>f</math>.''
:: '' '''(iii)''' Die Funktionenfolge [[Funktionenfolge#Kompakte Konvergenz|konvergiert kompakt]] gegen <math>f</math>.''

=== Der Satz von Dini  ===
In den obigen Zusammenhang lässt sich nicht zuletzt der bekannte [[Satz von Dini]] bringen, der in einer erweiterten Fassung folgendermaßen dargestellt werden kann:<ref name="PK-002" /><ref name="PK-DMW-003">Kosmol / Müller-Wichards, op. cit., S. 133</ref>
: ''Gegeben seien auf einem metrischen Raum eine punktweise konvergente und [[monotone Folge|monotone]] Funktionenfolge [[Reellwertige Funktion|reellwertiger]] stetiger Funktionen, deren [[Grenzfunktion]] ebenfalls stetig sein soll.''
: ''Dann ist die Konvergenz dieser Funktionenfolge stetig und auf jeder [[Kompakte Teilmenge|kompakten Teilmenge]] des metrischen Raums [[Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]].''

=== Stetige Konvergenz auf Banachräumen ===
Als weiteres Resultat aus dem obigen Satz gewinnt man ein Resultat für gewisse Folgen [[Konvexes Funktional|konvexer Funktionale]] auf [[Banachraum|Banachräumen]]:<ref name="PK-004">Kosmol, op. cit., S. 338</ref>
: ''Gegeben seien ein Banachraum <math>X</math> und darin ein [[Konvexe Teilmenge|konvexes]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>U \subseteq X</math> sowie eine Funktionenfolge von stetigen konvexen Funktionen <math>f_1, f_2, f_3 \ldots \; \colon U \to \R</math>, welche punktweise gegen eine Grenzfunktion <math>f \colon U \to \R</math> konvergieren sollen.''
: ''Dann gilt:''
:: '' '''(1)''' Die Grenzfunktion ist konvex und stetig.''
:: '' '''(2)''' Die Funktionenfolge konvergiert stetig und kompakt.''

== Anmerkungen ==
* Aus stetiger Konvergenz folgt stets [[punktweise Konvergenz]].<ref name="PK-002" />
* Jeder Banachraum ist ein [[normierter Raum]] und als solcher unter der zugehörigen [[Metrischer Raum#Durch Normen erzeugte Metriken|Metrik]] ein [[vollständiger Raum]].

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Peter Kosmol]]
   |Titel=Optimierung und Approximation
   |Reihe=De Gruyter Studium
   |BandReihe=
   |Auflage=2.
   |Verlag=[[Walter de Gruyter & Co.]]
   |Ort=Berlin
   |Datum=2010
   |ISBN=978-3-11-021814-5
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kosmol&s5=Approximation&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=2599674 MR2599674]}}
* {{Literatur
   |Autor=Peter Kosmol, [[Dieter Müller-Wichards]]
   |Titel=Optimization in Function Spaces
   |TitelErg=With stability considerations in Orlicz spaces
   |Reihe=De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications
   |BandReihe=13
   |Auflage=
   |Verlag=Walter de Gruyter & Co.
   |Ort=Berlin
   |Datum=2011
   |ISBN=978-3-11-025020-6
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kosmol&s5=M%C3%BCller-&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=2760903 MR2760903]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Numerische Mathematik]]



= Minimallösung  =
'''Minimallösung''' ({{enS|''minimal solution''}}) ist ein [[mathematisch]]er [[Begriff]], der sowohl in der [[Approximationstheorie]] als auch in der [[Optimierungstheorie]] sowie in zugehörigen [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebieten der Mathematik]], wie der [[Funktionalanalysis]], der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]] oder der [[Variationsrechnung]], eine bedeutende Rolle spielt.<ref name="PK_0">Peter Kosmol: ''Optimierung und Approximation.'' 2010, S. II (Vorwort), S. 8&nbsp;ff., S. 79&nbsp;ff.</ref><ref name="LC_1">Lothar Collatz: ''Funktionalanalysis und numerische Mathematik.'' 1968, S. 320&nbsp;ff.</ref><ref name="LC-WK_1">Lothar Collatz, Werner Krabs: ''Approximationstheorie.'' 1973, S. 12&nbsp;ff., S. 38&nbsp;ff.</ref><ref name="GM_1">Günter Meinardus: ''Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung.'' 1964, S. 1&nbsp;ff.</ref><ref name="PK-DMW_0">Peter Kosmol, Dieter Müller-Wichards: ''Optimization in Function Spaces.'' 2011, S. 1&nbsp;ff., S. 385</ref>

Den [[Terminus]] einer Minimallösung findet man in der Mathematik – wenngleich in einem anderen Sinne verstanden – auch in der [[Zahlentheorie]] im Zusammenhang mit der [[Pellsche Gleichung|pellschen Gleichung]] sowie in der ''Theorie der Differentialungleichungen'' im Sinne einer Lösung gewisser [[Anfangswertproblem]]e.<ref>Weder auf den zahlentheoretischen Aspekt noch auf den in der Theorie der Differentialungleichungen wird hier eingegangen. Eine Darstellung zu den Minimallösungen der pellschen Gleichung findet man etwa in dem Lehrbuch ''„Einführung in die Zahlentheorie“'' von [[Peter Bundschuh]] (Springer 1988). Der Begriff der '' Minimallösung einer Differentialungleichung'' wird kurz im dritten Band des ''Lexikons der Mathematik in sechs Bänden'' (Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg & Berlin 2001, S. 425) dargelegt.</ref>

== Definition ==
Den Begriff verwendet man in einem weiteren und einem engeren Sinne.

=== Der Begriff im weiteren Sinne ===
Gegeben seien eine beliebige [[Menge (Mathematik)|Menge]] <math>X</math>, eine [[Teilmenge]] <math>C \subseteq X</math> sowie eine [[numerische Funktion]] <math>f \colon X \to \bar{\R}= \R \cup \{-\infty,\infty\}</math>. Dann gibt es folgende Begriffsfestlegungen:<ref name="PK_1">Kosmol, op. cit., S. 8</ref>
* Als ''Minimalwert von <math>f</math> auf <math>C</math>'' bezeichnet man das [[Infimum]] <math>\inf_{x \in C}{f(x)}</math>, wobei im Falle <math>C = \emptyset</math> dieses Infimum <math>= +\infty</math> gesetzt wird.
* Unter der ''Menge der Minimallösungen von <math>f</math> auf <math>C</math>'' versteht man die Teilmenge derjenigen [[Element (Mathematik)|Elemente]] von <math>C</math>, welche den Minimalwert von <math>f</math> auf <math>C</math> annehmen, also die Teilmenge <math>M(f,C): = \{ c \in C \mid f(c) = \inf_{x \in C}{f(x)} \}</math>. Jedes dieser Elemente nennt man eine ''Minimallösung von <math>f</math> auf <math>C</math>''.
* Ist <math>X</math> ein [[topologischer Raum]] und dabei <math>c_0 \in C \subseteq X</math>, so heißt <math>c_0</math> eine ''lokale Minimallösung von <math>f</math> auf <math>C</math>'', falls eine [[Offene Umgebung|(offene) Umgebung]] <math>U</math> von <math>c_0</math> in <math>X</math> derart existiert, dass <math>c_0</math> eine Minimallösung von <math>f</math> auf <math>U \cap C</math> ist. Dieser Begriff ist vor allem wichtig für den Fall, dass <math>X</math> ein [[Metrischer Raum|metrischer]] oder ein [[normierter Raum]] ist.
* Unter einem ''Maximalwert von <math>f</math> auf <math>C</math>'', einer ''Maximallösung von <math>f</math> auf <math>C</math>'' und einer ''lokalen Maximallösung von <math>f</math> auf <math>C</math>'' versteht man die [[Dualität (Verbandstheorie)#Ordnungs-Definition der Dualität|durch Dualisierung]] entstehenden Begriffe, wenn man die [[Ordnungsrelation]] <math>\leq </math> von <math>\bar{\R}</math> nach <math>\geq </math> umkehrt.<ref name="PK_1" />

=== Der Begriff im engeren Sinne ===
Gegeben seien ein [[normierter Raum]] <math>X</math> (über dem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>\R</math> der [[Reelle Zahl|reellen]] oder dem Körper <math>\Complex</math> der [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]]), der mit einer [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot\| \colon X \to {\R}_0^{+}</math> versehen sein soll, sowie ein fester [[Raumpunkt]] <math>a \in X</math> und weiter eine Teilmenge <math>V \subseteq X</math>.
* Hier betrachtet man, in Bezug auf die dadurch gegebene [[Abstandsfunktion]] <math>d(x,y) = \| x - y\| \; (x,y \in X)</math>, die zu <math>a</math> gehörige Funktion <math>d(a, \cdot) \colon X \to {\R}_0^{+}\subset \bar{\R}</math> und wendet die oben im weiteren Sinne festgelegten Begriffsbildungen an. Ist dann eine Minimallösung von <math>d(a, \cdot)</math> auf <math>V</math> vorhanden, so hat man – bezüglich <math>V</math> und <math>a</math>! – einen Punkt ''kürzesten Abstands'', also einen solchen Raumpunkt <math>v_0 \in V</math>, der dieses Abstandsinfimum annimmt und damit die Gleichung <math>\| v_0 - a \| = \inf_{v \in V}{\| v - a \|}</math> erfüllt.
* Man nennt dieses <math>v_0</math> – insbesondere in Approximationstheorie – eine ''Minimallösung für <math>a</math> bezüglich <math>V</math>'',<ref name="GM_2">Meinardus, op. cit., S. 63</ref> (wobei man hier den Zusammenhang mit der Abstandsfunktion als gegeben unterstellt).
* Statt von einer Minimallösung (im engeren Sinne) spricht man hier nicht selten auch von einer ''[[Beste Approximation|besten Approximation]] (beziehungsweise besten Näherung) von <math>a</math> bezüglich <math>V</math>''<ref name="PK_X">Kosmol, op. cit., S. 98&nbsp;ff.</ref><ref name="JTM_1">Jürg T. Marti: ''Konvexe Analysis.'' 1977, S. 31</ref><ref name="SGW_1">Guido Walz [Red.]: ''Lexikon der Mathematik. Erster Band.'' 2001, S. 202</ref> oder von einem ''[[Proximum]] zu <math>a</math> in <math>V</math>''<ref name="AH_1">Arnold Schönhage: ''Approximationstheorie.'' 1971, S. 8&nbsp;ff., S. 148&nbsp;ff.</ref> oder auch von einer ''Bestapproximation an / von <math>a</math> in <math>V</math>''<ref name="HH_1">Harro Heuser: ''Funktionalanalysis.'' 2006, S. 29&nbsp;ff., S. 572&nbsp;ff.</ref>. In der [[Topologischer Vektorraum|Theorie der topologischen Vektorräume]] wird eine solche Minimallösung (im engeren Sinne) manchmal auch als ''Lotpunkt'' bezeichnet.<ref name="GK_1">Gottfried Köthe: ''Topologische lineare Räume. I.'' 1966, S. 346&nbsp;ff.</ref>
* Das Konzept der ''besten Approximation'' ({{enS|''best approximation''}}) findet man im gleichen Sinne in dem allgemeineren Zusammenhang der [[Metrischer Raum|metrischen Räume]]. Ist <math>(X,d)</math> ein solcher und sind darin ein fixierter Raumpunkt <math>a \in X</math> sowie eine Teilmenge <math>V \subseteq X</math> gegeben, so bezeichnet man – wie oben!– eine Minimallösung von <math>d(a, \cdot)</math> auf <math>V</math> als ''beste Approximation von <math>a</math> bezüglich <math>V</math>'' (oder ähnlich). Dies ist demnach ein Element <math>v_0 \in V</math>, welches die Gleichung <math>d(a,v_0) = \inf_{v \in V}{d(a,v)}</math> erfüllt.<ref name="PK_Z">Kosmol, op. cit., S. 68&nbsp;ff.</ref><ref name="IS_0">Ivan Singer: ''Best Approximation in Normed Linear Spaces by Elements of Linear Subspaces.'' 1970, S. 377&nbsp;ff.</ref>
* Die Zahl <math>d(a,v_0)</math> nennt manche Autoren auch die ''Minimalabweichung von <math>a</math> bezüglich <math>V</math>'' (oder ähnlich).<ref name="SGW_1" />

== Sätze ==
Die folgenden [[Lehrsatz|Sätze]] zählen zu den Resultaten, die im Zusammenhang mit Fragestellungen zu Minimallösungen oft zur Anwendung kommen.

=== Minimallösungen in der Allgemeinen Topologie und Analysis ===
Hier ist als besonders wichtiges Resultat die folgende Version des [[Weierstraß]]'schen [[Satz vom Minimum und Maximum|Satzes vom Minimum]] zu nennen :<ref name="PK_Y">Kosmol, op. cit., S. 450</ref>
: ''Gegeben seien ein [[topologischer Raum]] <math>X</math> und darin eine [[nichtleer]]e [[Kompakte Menge|kompakte]] oder [[folgenkompakt]]e Teilmenge <math>K \subseteq X</math> sowie eine [[unterhalbstetige Funktion]] <math>f \colon K \to \R</math>.''
: ''Dann besitzt besitzt <math>f</math> auf <math>K</math> eine Minimallösung.''

=== Minimallösungen in der konvexen Optimierung ===
Hier ist zunächst der folgende einfache Satz zu erwähnen, der den Zusammenhang zwischen lokalen und globalen Minimallösungen behandelt:<ref name="AWR-DEV-001">A. Wayne Roberts, Dale E. Varberg: ''Convex Functions.'' 1973, S. 122–128, S. 123</ref>
: ''Gegeben seien ein reeller Vektorraum <math>X</math> und darin eine konvexe Teilmenge <math>C \subseteq X</math> sowie ein Raumpunkt <math>x_0 \in X</math>. Weiter sei <math>f \colon C \to \R</math> eine [[konvexe Funktion]], die in <math>x_0</math> eine lokale Minimallösung haben möge.''
: ''Dann besitzt <math>f</math> auch auf ganz <math>C</math> eine Minimallösung und der zugehörige Minimalwert ist <math>f(x_0)</math>. ''

Darüber hinaus eine Reihe von weiteren Ergebnissen. Hier ist nicht zuletzt der folgende ''Charakterisierungssatz der konvexen Optimierung'' zu nennen:<ref name="PK_2">Kosmol, op. cit., S. 78</ref>
: ''Gegeben seien ein reeller Vektorraum <math>X</math> und darin eine konvexe Teilmenge <math>C \subseteq X</math> sowie ein Raumpunkt <math>x_0 \in X</math>. Weiter sei <math>f \colon C \to \R</math> eine konvexe Funktion.''
: ''Dann ist <math>x_0</math> genau dann eine Minimallösung von <math>f</math> auf <math>C</math>, wenn für alle <math>x \in C</math> in Hinblick auf das [[Gâteaux-Differential#Halbseitiges Differential und Richtungsableitung|rechtsseitige Gâteaux-Differential]] die [[Ungleichung]] <math>\delta_+ f(x_0,x - x_0) \geq 0</math> erfüllt ist.''

Hieraus ergibt sich als Folgerung:<ref name="PK_3">Kosmol, op. cit., S. 79</ref>
: ''Sind im [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] <math>{\R}^n \; (n \in \N)</math> ein konvexes [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>U \subseteq {\R}^n</math> gegeben und darin ein Raumpunkt <math>x_0 \in U</math> sowie eine konvexe [[Differenzierbarkeit#Reellwertige Funktionen mehrerer Variablen|differenzierbare Funktion]] <math>f \colon U \to \R</math>, so ist <math>x_0</math> eine Minimallösung von <math>f</math> auf <math>U</math> genau dann, wenn das [[Totales Differential#Reeller Vektorraum|totale Differential]] <math>{\nabla f}(x_0)</math> der [[Nullvektor]] des <math>{\R}^n</math> ist.''

Der Charakterisierungssatz führt in [[reeller Vektorraum|reellen]] [[Prähilbertraum|Prähilberträumen]] (und speziell in reellen [[Hilbertraum|Hilberträumen]]!) wegen der dort gegebenen reichhaltigen geometrischen Struktur zu einem grundlegenden ''Approximationssatz'', welcher die Bedingungen beschreibt, unter denen dort ''beste Approximationen'' gewährtleistet sind. Dieser Approximationssatz ist folgendermaßen zu formulieren:<ref name="PK_X1">Kosmol, op. cit., S. 100–101</ref>
: ''Sei <math>X</math> ein reeller Prähilbert- oder Hilbertraum (mit <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> als [[Skalarprodukt#In allgemeinen reellen und komplexen Vektorräumen|innerem Produkt]]) und seien darin eine konvexe Teilmenge <math>C \subseteq X</math> sowie ein Raumpunkt <math>x_0 \in X</math> gegeben.''
: ''Unter diesen Gegebenheiten ist ein <math>c_0 \in C</math> die (eindeutig bestimmte!) beste Approximation von <math>x_0</math> bezüglich <math>C</math> genau dann, wenn für alle <math>c \in C</math> die Ungleichung <math> {\langle c_0 - x_0 , c - c_0 \rangle} \geq 0</math> erfüllt ist.''

Mit diesem Approximationssatz gewinnt man direkt den folgenden ''Projektionssatz'':<ref name="PK_X2">Kosmol, op. cit., S. 102</ref>
: ''Sei (wie zuvor) <math>X</math> ein reeller Prähilbert- oder Hilbertraum und seien darin ein [[linearer Unterraum]] <math>U \subseteq X</math> gegeben sowie ein Raumpunkt <math>x_0 \in X</math> .''
: ''Unter diesen Gegebenheiten ist ein <math>u_0 \in U</math> genau dann die beste Approximation von <math>x_0</math> bezüglich <math>U</math>, wenn für alle <math>u \in U</math> die Gleichung <math> {\langle u_0 - x_0 , u \rangle} = 0</math> erfüllt ist. Mit anderen Worten: Ein <math>u_0 \in U</math> ist die beste Approximation von <math>x_0</math> bezüglich <math>U</math> genau dann, wenn der Differenzvektor <math>u_0 - x_0</math> zu allen <math>u \in U</math> [[Orthogonalität#Orthogonalität in der linearen Algebra|senkrecht steht]].''

=== Minimallösungen und reflexive Banachräume ===
Hier sind nicht zuletzt die beiden folgenden Sätze bedeutsam:<ref name="PK_4">Kosmol, op. cit., S. 388&nbsp;ff.</ref>
;Der Satz von James
[[Satz von James|Dieser Satz]] geht auf den Mathematiker [[Robert Clarke James]] zurück und besagt folgendes:<ref name="PK_5">Kosmol, op. cit., S. 391</ref>
: ''Ein [[Banachraum]] <math>X</math> ist genau dann [[Reflexiver Raum|reflexiv]], wenn jedes [[Stetiges lineares Funktional|stetige lineare Funktional]] auf der [[Abgeschlossene Einheitskugel|abgeschlossenen Einheitskugel]] <math>\overline{B_X}</math> eine Minimallösung besitzt.''

;Der Satz von Schauder-Mazur
Dieser den beiden Mathematikern [[Juliusz Schauder]] und [[Stanisław Mazur]] zugerechnete Satz lässt sich wie folgt darstellen:<ref name="PK_6">Kosmol, op. cit., S. 390</ref>
: ''Ist <math>X</math> ein reflexiver Banachraum <math>X</math> und ist <math>V \subseteq X</math> eine darin gelegene [[nichtleer]]e, abgeschlossene, konvexe und [[Beschränkte Menge|beschränkte Teilmenge]], so besitzt jede stetige [[konvexe Funktion]] <math>f \colon V \to \R</math> auf <math>V</math> eine Minimallösung.''

=== Minimallösungen und Stabilitätfragen ===
Zur [[Stabilität (Numerik)|Stabilitätfrage]] im Zusammenhang mit Minimallösungen gibt es einen allgemeinen ''Stabilitätssatz'', der folgendermaßen dargestellt werden kann:<ref name="PK_7">Kosmol, op. cit., S. 71</ref><ref name="PK-DMW_1">Kosmol / Müller-Wichards, op. cit., S. 142</ref>
: ''Gegeben seien ein metrischer Raum <math>X</math> und darin zwei [[Folge (Mathematik)|Folgen]] von nichtleeren Teilmengen <math>S, S_1, S_2, \ldots \subseteq X</math> sowie Funktionen <math>f, f_1, f_2, \ldots \colon X \to \R</math>.''
: ''Für jedes <math>n =1,2,\ldots</math> gebe es eine Minimallösung <math>a_n</math> von <math>f_n</math> auf <math>S_n</math>.''
: ''Hierzu soll gelten:''
:: '' (i) Die <math>f_n</math> seien [[Stetige Konvergenz|stetig konvergent]] gegen <math>f</math>.''
:: '' (ii) <math>S</math> liege als Teilmenge in dem im Sinne von Kuratowski verstandenen oberen Limes <math>\varlimsup_{n\rightarrow\infty}{S_n}</math>.''
: ''Dann ist jeder [[Häufungspunkt]] der Folge <math>(a_n)_{n=1,2,\ldots}</math>, der in <math>S</math> liegt, eine Minimallösung von <math>f</math> auf <math>S</math>.''

=== Minimallösungen (im engeren Sinne) in der Linearen Approximationstheorie ===
Hier kennt man einen ''Existenz- und Eindeutigkeitssatz'', der sich zusammengefasst wie folgt angeben lässt:<ref name="LC_2">Collatz, op. cit., S. 323</ref><ref name="GK_1" /><ref name="GM_3">Meinardus, op. cit., S. 1</ref>
: ''Sei <math>X</math> ein [[Strikt konvexer Raum|strikt konvexer]] normierter Raum und sei darin eine [[Abgeschlossene Teilmenge|abgeschlossene]], [[Lokalkompakter Raum|lokalkompakte]] und [[konvexe Teilmenge]] <math>V \subseteq X</math> gegeben. Dann gibt es für jeden Raumpunkt <math>x_0 \in X</math> bezüglich <math>V</math> immer genau eine Minimallösung – also genau eine beste Approximation (oder einen Lotpunkt)! – <math>v_0 \in V</math>. Dies gilt insbesondere dann, wenn <math>V</math> in <math>X</math> ein [[Untervektorraum]] [[endlich]]er [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] ist.''

Damit eng zusammenhängend ist der (von dem [[Ungarn|ungarischen]] Mathematiker [[Alfréd Haar]] im Jahr 1917 vorgelegte) ''Eindeutigkeitssatz von Haar'', der folgendes besagt:<ref name="GM_4">Meinardus, op. cit., S. 15–16</ref><ref name="RH-PZ_1">Rainer Hettich, Peter Zencke: ''Numerische Methoden der Approximation und semi-infiniten Optimierung.'' 1982, S. 115–116</ref>
: ''Sei <math>B</math> ein [[kompakter Raum]] und sei hierzu <math>X=C(B)</math> der (mit der [[Maximumsnorm]] versehene!) [[Funktionenraum]] der auf <math>B</math> [[stetig]]en ([[Reellwertige Funktion|reell-]] oder [[Komplexwertige Funktion|komplexwertigen]]) Funktionen.''
: ''Hier sei <math>V \subseteq X</math> ein Untervektorraum der endlichen Dimension <math>n=1,2,\ldots</math> und <math>V</math> erfülle die Bedingung, dass jede nicht mit der Nullfunktion identische Funktion <math>v \in V</math> höchstens <math>n-1</math> [[Nullstelle]]n in <math>B</math> besitzen soll.''
: ''Dann gibt es bezüglich <math>V</math> für jede Funktion <math>f \in X</math> exakt eine Minimallösung <math>v_f \in V</math>.''

Ein in der Linearen Approximationstheorie wichtiger Satz ist auch der (nach dem Mathematiker [[Ivan Singer]] benannte) ''Satz von Singer'', der eine Charakterisierung der besten Approximationen liefert und folgendes besagt:<ref name="PK_Z1">Kosmol, op. cit., S. 401</ref><ref name="PK-DMW_X">Kosmol / Müller-Wichards, op. cit., S. 109</ref>
: ''Es seien <math>(X,\|\cdot\|)</math> ein reeller normierter Raum und <math>(X^{*},{\|\cdot\|})</math> der zugehörige [[Dualraum]] der [[Reellwertige Funktion|reellwertigen]] [[Stetiges lineares Funktional|stetigen linearen Funktionale]], wobei dessen [[Operatornorm]] ebenfalls mit <math>{\|\cdot\|}</math> bezeichnet sein soll, und es seien weiter ein Untervektorraum <math>V \subseteq X</math> sowie ein Raumpunkt <math>a \in X</math> gegeben.''
: ''Dann gilt:''
: '' Ein Unterraumpunkt <math>v_0 \in V</math> ist eine beste Approximation von <math>a</math> bezüglich <math>V</math> genau dann, wenn für es ein <math>u \in X^{*}</math> gibt, welches die folgenden drei Bedingungen erfüllt:''
:: '' (1) <math>\| u \| = 1</math>.''
:: '' (2) <math>u(v) = 0 </math> für alle <math>v \in V</math>.''
:: '' (3) <math>u(a - v_0) = \| a - v_0 \| </math>.''

== Erläuterungen und Anmerkungen ==
* Die obigen Infima existieren stets, da <math>\bar{\R}</math>, versehen mit der üblichen [[Totalordnung]] <math>\leq</math>, ein [[vollständiger Verband]] ist.
* Für [[Funktionenfolge]]n auf metrischen Räume ist der Begriff der ''stetigen Konvergenz'' eine Verschärfung des Begriffs der [[Punktweise Konvergenz|punktweisen Konvergenz]].<ref name="PK_8">Kosmol, op. cit., S. 71</ref><ref name="PK-DMW_2">Kosmol / Müller-Wichards, op. cit., S. 134</ref>
* Ein Punkt <math>y \in X</math> gehört dem ''im Sinne von Kuratowski verstandenen oberen Limes'' <math>\varlimsup_{n\rightarrow\infty}{S_n}</math> definitionsgemäß genau dann an, wenn es dazu in <math>\N</math> eine [[streng monoton wachsende Folge]]<math>n_1 < n_2 < \cdots </math> sowie eine [[Auswahlfunktion|Auswahlfolge]] <math>y_{n_k} \in S_{n_k} \; (k=1,2,\ldots)</math> gibt mit <math>\lim_{n\to\infty}y_{n_k} = y \ (k \to \infty)</math>.<ref name="PK_9">Kosmol, op. cit., S. 69</ref><ref name="PK-DMW_3">Kosmol / Müller-Wichards, op. cit., S. 131</ref>
* Die im Eindeutigkeitssatz von Haar auftretende Bedingung ist die sogenannte ''Haarsche Bedingung''. Ein endlich-dimensionaler Funktionenunterraum, der in einem Funktionenraum dieser Bedingung genügt, wird als [[Haarscher Teilraum]] ({{enS|''Haar subspace''}}) oder [[Haarscher Raum]] bezeichnet.<ref name="GM_4" /><ref name="PK_10">Kosmol, op. cit., S. 298</ref><ref name="PK-DMW_4">Kosmol / Müller-Wichards, op. cit., S. 12</ref><ref name="JTM_2">Marti, op. cit., S. 58–59</ref><ref name="RH-PZ_1" />
* Der Eindeutigkeitssatz von Haar wird bei manchen Autoren – wegen der in Approximationstheorie hierzu erbrachten Leistungen des [[Sowjetunion|sowjetischen]] Mathematikers [[Andrej Nikolajewitsch Kolmogoroff]] – auch ''Satz von Kolmogoroff-Haar'' genannt.<ref name="JTM_2" />
* Für einen [[endlich]]-[[Dimension (Mathematik)|dimensionalen]] (!) normierten Raum <math>X</math> sowie eine [[abgeschlossene Teilmenge]] <math>F \subseteq X</math> besitzt jeder Raumpunkt <math>a \in X</math> bezüglich <math>F</math> eine Minimallösung im engeren Sinne, also in <math>F</math> eine beste Approximation.<ref name="PK_11">Kosmol, op. cit., S. 68</ref>
* Für einen normierten Raum (und speziell für einen normierten Funktionenraum) <math>X</math> und jeden darin fest gewählten Raumpunkt <math>a \in X</math> ist die zugehörige Funktion <math>d(a, \cdot) \colon X \to {\R}_0^{+}</math> mit <math>d(a,y) = \| a - x \| \; (x \in X)</math> stets ein [[konvexes Funktional]]<ref>Vgl. Hettich / Zencke, op. cit., S. 39! Hettich und Zencke führen den Beweis zwar nur für den Fall des Raums der auf einem Kompaktum des <math>{\R}^n</math> stetigen reellwertigen Funktionen. Der Sachverhalt gilt jedoch offensichtlich allgemeiner.</ref> und in jedem Falle stetig.
* Ist <math>X = {\R}^n \; (n \in \N)</math> der <math>n</math>-dimensionale [[Euklidischer Raum|euklidische Raum]] und sind hier eine abgeschlossene und konvexe Teilmenge <math>C \subset X</math> gegeben sowie eine stetige Funktion <math>f \colon C \to \R </math>, so bezeichnet man die Menge <math>M(f,C) \subseteq C</math> gelegentlich auch als ''Minimalmenge''. Sie ist im <math>{\R}^n</math> stets abgeschlossen und im Falle, dass <math>f</math> konvex ist, eine konvexe Teilmenge des euklidischen Raums.<ref>Vgl. Marti, op. cit., S. 184! Marti erwähnt hier die Konvexitätsbedingung für die Funktion <math>f</math> zwar nicht. Dies ist jedoch offenbar gemeint. Der hier dargestellte Sachverhalt gilt auch allgemein in normierten Räumen <math>X</math>.</ref>
* Neben den oben aufgeführten Sätzen gibt es eine Fülle weiterer nennenswerter Resultate. Als wichtiges Beispiel kann hier der ''[[Gleichmäßig konvexer Raum#Der Approximationssatz|Approximationssatz für gleichmäßig konvexe Räume]]'' gelten, der bedeutsam für die gesamte Approximationstheorie ist.<ref name="AH_2">Schönhage, op. cit., S. 15</ref> Daneben wäre auch der [[Fundamentalsatz der Variationsrechnung]] zu nennen.

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Lothar Collatz]]
   |Titel=Funktionalanalysis und numerische Mathematik
   |TitelErg=Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage von 1964
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
   |BandReihe=120
   |Auflage=2.
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
   |Ort=Berlin, Heidelberg, New York
   |Datum=1968
   |ISBN=3-540-04135-4
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Collatz&s5=Funktionalanalysis%20&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=165651 MR0165651]}}
* {{Literatur
   |Autor=Lothar Collatz, [[Werner Krabs]]
   |Titel=Approximationstheorie
   |TitelErg=Tschebyscheffsche Approximation mit Anwendungen
   |Reihe=Teubner Studienbücher
   |BandReihe=
   |Auflage=
   |Verlag=[[B. G. Teubner]]
   |Ort=Stuttgart
   |Datum=1973
   |ISBN=3-519-02041-6
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Krabs&s5=Approximation&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=12&mx-pid=445153 MR0445153]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Klaus Floret]]
   |Titel=Weakly Compact Sets
   |TitelErg=Lectures held at S.U.N.Y., Buffalo, in Spring 1978
   |Reihe=Lecture Notes in Mathematics
   |BandReihe=801
   |Auflage=
   |Verlag=Springer-Verlag
   |Ort=Berlin
   |Datum=1980
   |ISBN=3-540-09991-3
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=1981&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=RT&pg6=RT&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Floret&s5=space&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=lt&r=3&mx-pid=576235 MR0576235]}}
* {{Literatur
   |Autor=Alfréd Haar
   |Titel=Die Minkowskische Geometrie und die Annäherung an stetige Funktionen
   |Sammelwerk=[[Mathematische Annalen]]
   |Band=78
   |Datum=1917 
   |Seiten=294–311
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=1930&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=haar&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=lt&r=6&mx-pid=1511900]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Harro Heuser]]
   |Titel=Funktionalanalysis
   |TitelErg=Theorie und Anwendung
   |Reihe=Mathematische Leitfäden
   |BandReihe=
   |Auflage=4.
   |Verlag=B. G. Teubner
   |Ort=Wiesbaden
   |Datum=2006
   |ISBN=978-3-8351-0026-8
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=RT&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Heuser%2C%20Harro&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=2380292 MR2380292]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Rainer Hettich]], [[Peter Zencke]]
   |Titel=Numerische Methoden der Approximation und semi-infiniten Optimierung
   |Reihe=Teubner Studienbücher Mathematik
   |BandReihe=
   |Verlag=B. G. Teubner
   |Ort=Stuttgart
   |Datum=1982
   |ISBN=3-519-02063-7
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Hettich&s5=Zencke&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=5&mx-pid=653476 MR0653476]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Peter Kosmol]]
   |Titel=Optimierung und Approximation
   |Reihe=De Gruyter Studium
   |BandReihe=
   |Auflage=2.
   |Verlag=[[Walter de Gruyter & Co.]]
   |Ort=Berlin
   |Datum=2010
   |ISBN=978-3-11-021814-5
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kosmol&s5=Approximation&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=2599674 MR2599674]}}
* {{Literatur
   |Autor=Peter Kosmol, [[Dieter Müller-Wichards]]
   |Titel=Optimization in Function Spaces
   |TitelErg=With stability considerations in Orlicz spaces
   |Reihe=De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications
   |BandReihe=13
   |Auflage=
   |Verlag=Walter de Gruyter & Co.
   |Ort=Berlin
   |Datum=2011
   |ISBN=978-3-11-025020-6
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kosmol&s5=M%C3%BCller-&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=2760903 MR2760903]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Gottfried Köthe]]
   |Titel=Topologische lineare Räume. I.
   |TitelErg=
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
   |BandReihe=107
   |Auflage=2. verbesserte
   |Verlag=[[Springer Science%2BBusiness Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin, Heidelberg, New York
   |Datum=1966
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=K%C3%B6the&s5=lineare&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=194863 MR0194863]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Jürg T. Marti]]
   |Titel=Konvexe Analysis
   |Reihe=Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe
   |BandReihe=54
   |Verlag=[[Birkhäuser Verlag]]
   |Ort=Basel, Stuttgart
   |Datum=1977
   |ISBN=3-7643-0839-7
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Marti%2C%20J%C3%BCrg%20T.&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=5&mx-pid=511737 MR0511737]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Günter Meinardus]]
   |Titel=Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung
   |Reihe=Springer Tracts in Natural Philosophy
   |BandReihe=4
   |Verlag=Springer Verlag
   |Ort=Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York
   |Datum=1964
   |ISBN=
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Meinardus&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=60&mx-pid=176272 MR0176272]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Arnold Schönhage]]
   |Titel=Approximationstheorie
   |Reihe=de Gruyter Lehrbuch
   |BandReihe=
   |Verlag=Walter de Gruyter & Co.
   |Ort=Berlin, New York
   |Datum=1971
   |ISBN=
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=1980&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Sch%C3%B6nhage&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=lt&r=19&mx-pid=277960 MR0277960]}}
* {{Literatur
   |Autor=Ivan Singer
   |Titel=Best Approximation in Normed Linear Spaces by Elements of Linear Subspaces
   |TitelErg=Translation of the original Romanian version "Cea mai bună aproximare în spații vectoriale normate prin elemente din subspații vectoriale". Translated by [[Radu Georgescu]]
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
   |BandReihe=171
   |Auflage=
   |Verlag=Springer Verlag
   |Ort=Berlin, Heidelberg, New York
   |Datum=1970
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Singer%20&s5=best%20approximation&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=15&mx-pid=270044 MR0270044]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[A. Wayne Roberts]], [[Dale E. Varberg]]
   |Titel=Convex Functions
   |TitelErg=
   |Reihe=Pure and Applied Mathematics
   |BandReihe=57
   |Verlag=[[Academic Press]]
   |Ort=New York, San Francisco, London
   |Datum=1973
   |ISBN=
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Roberts&s5=Convex&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=14&mx-pid=442824 MR0442824]}}
* {{Literatur
   |Autor=Guido Walz [Red.]
   |Titel=Lexikon der Mathematik in sechs Bänden
   |TitelErg=Erster Band. A bis Eif
   |Band=
   |Verlag=[[Spektrum Akademischer Verlag]]
   |Ort=Heidelberg, Berlin
   |Datum=2001
   |ISBN=3-8274-0303-0
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Lexikon%20der%20Mathematik&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=1839735 MR1839735]}}

== Siehe auch ==
* [[Proximum]]
* [[Fundamentalsatz der Variationsrechnung]]

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Numerische Mathematik]]

= Satz von Motzkin = 
Der '''Satz von Motzkin''' ist ein [[mathematisch]]er [[Lehrsatz]], der auf eine [[Wissenschaftliche Publikation|Arbeit]] des [[Mathematiker]]s [[Theodore Motzkin|Theodore Samuel Motzkin]] aus dem Jahr 1935 zurückgeht. Er behandelt die Frage der Charakterisierung [[Konvexe Teilmenge|konvexer Teilmengen]] des [[Euklidischer Raum|euklidischen Raums]] und ist angesiedelt im Übergangsfeld zwischen [[Analysis]], [[Geometrie]] und der [[Topologischer Vektorraum|Theorie der topologischen Vektorräume]].<ref name="JTM-01">Jürg T. Marti: ''Konvexe Analysis.'' 1977, S. 153–158</ref><ref name="SRL_01">Steven R. Lay: ''Convex Sets and Their Applications.'' 1982, S. 53</ref><ref name="FAV_01">Frederick A. Valentine: ''Konvexe Mengen.''  1968, S. 103–107, S. 185</ref><ref name="KL-01">Kurt Leichtweiß: ''Konvexe Mengen.'' 1980, S. 95–97</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Monographie von [[Jürg T. Marti]] folgend lässt sich der Satz wie folgt formulieren:<ref name="JTM-02">Marti, op. cit., S. 158</ref>
: ''Im <math>\R^n \; (n \in \N)</math> ist eine '''motzkinsche Menge''' stets [[Konvexe Teilmenge|konvex]].''

== Verallgemeinerung ==
Im Jahre 1951 erhielten [[Frederick Arthur Ficken]]<ref>F. A. Ficken (13. August 1910–20. Dezember 1978) war ein [[US-amerikanisch]]er Mathematiker (s. [https://prabook.com/web/frederick_arthur.ficken/274225 Link]) und Herausgeber der [[:en:American Mathematical Monthly#Editors|American Mathematical Monthly]] im Zeitraum 1962-1966.</ref> und [[Victor LaRue Klee]] in Verallgemeinerung des Motzkin'schen Satzes den folgenden Charakterisierungssatz für konvexe Mengen in [[reell]]en [[Hilbertraum|Hilberträumen]]:<ref name="JTM-03">Marti, op. cit., S. 156</ref><ref>Dieser Charakterisierungssatz und seine Herleitung sind, wie Victor Klee in seiner Publikation von 1961 ausdrücklich festhält, im Wesentlichen F. A. Ficken zuzurechnen. In Martis Monographie (s. S. 156 und S. 271) wird der Satz als '''Satz von Ficken-Klee''' bezeichnet.</ref>
: ''Jede beschränkt kompakte motzkinsche Menge in einem reellen Hilbertraum ist konvex.''

== Erläuterungen und Anmerkungen ==
* Ist <math>X</math> ein [[metrischer Raum]] mit der zugehörigen [[Abstandsfunktion]] <math>d</math>, so bezeichnet man eine [[nichtleer]]e  [[abgeschlossene Teilmenge]] <math>T \subseteq X</math> als ''motzkinsche Menge'', falls es zu jedem [[Raumpunkt]] <math>x_0 \in X</math> genau einen Raumpunkt <math>x_1 \in T</math> gibt, der nach Maßgabe der Abstandsfunktion <math>d</math> dem Raumpunkt <math>x_0</math> am nächsten liegt. Manche Autoren nennen eine solche Menge auch eine ''tschebyschewsche Menge''.<ref name="FAV_02">Valentine, op. cit., S. 185</ref><ref name="JTM_04">Marti, op. cit., S. 153</ref>
* In einem metrischen Raum <math>X</math> mit der Abstandsfunktion <math>d</math> ist eine nichtleere abgeschlossene Teilmenge <math>T \subseteq X</math> demzufolge eine  motzkinsche Menge genau dann, wenn es zu jedem  <math>x_0 \in X</math> genau ein <math>x_1 \in T</math> gibt mit <math>d(x_1,x_0) = \inf_{y \in T} { d(y,x_0) }</math>. Ist <math>X</math> dabei sogar ein [[normierter Vektorraum]] mit <math>\|\cdot\|</math> als Norm und der durch <math>(x,y) \mapsto d(x,y) = \| x-y \|</math> gegebenen Abstandsfunktion, so ist hier eine nichtleere abgeschlossene Teilmenge <math>T \subseteq X</math> eine  motzkinsche Menge genau dann, wenn es zu jedem  <math>x_0 \in X</math> genau ein <math>x_1 \in T</math> gibt mit <math>\| x_1-x_0 \| = \inf_{y \in T} {|y-x_0\| }</math>.<ref name="SRL_02">Lay, op. cit., S. 112</ref>
* Der euklidische Raum <math>\R^n \; (n \in \N)</math> wird stets als mit dem [[Standardskalarprodukt]] und der damit gegebenen geometrischen und metrischen Struktur versehen betrachtet.
* In einem normierten Vektorraum <math>X</math> nennt man – gemäß Marti – eine Teilmenge <math>K \subseteq X</math> ''beschränkt kompakt'', wenn für jede [[natürliche Zahl]]  <math>n</math> die <math>X</math>-[[Teilmenge]] <math>\{ x \in K \colon \| x \| \leq n \}</math> dort eine [[kompakte Teilmenge]] ist.<ref name="JTM_05">Marti, op. cit., S. 154</ref>
* In einem [[Strikt konvexer Raum|strikt konvexen normierten Raum]] ist jede nichtleere [[Kompakte Teilmenge|kompakte]] [[konvexe Teilmenge]] eine motzkinsche Menge.<ref name="JTM_05" />
* In einem strikt konvexen [[Reflexiver Raum|reflexiven]] [[Banachraum]] – und folglich auch in jedem [[Hilbertraum]] – ist jede nichtleere abgeschlossene konvexe Teilmenge eine motzkinsche Menge.<ref name="JTM_05" />
* Der Satz von Motzkin lässt sich aus dem [[Auswahlsatz von Blaschke]] gewinnen.<ref name="JTM_06">Marti, op. cit., S. 158</ref>
* In seinem Lehrbuch ''Konvexe Mengen'' bewertet [[Kurt Leichtweiß]] den Satz von Motzkin – wenngleich er ihn nicht ausdrücklich unter diesem Namen darstellt – als ''eine bemerkenswerte, von T. S. Motzkin stammende Charakterisierung der Konvexität bei abgeschlossenen Untermengen des euklidischen Raumes''.<ref name="KL-02">Leichtweiß, op. cit., S. 95</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=Victor Klee
   |Titel=Convexity of Chevyshev sets
   |Sammelwerk=[[Mathematische Annalen]]
   |Band=142
   |Datum=1961 
   |Seiten=292-304
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=1970&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Klee&s5=convexity&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=lt&r=3&mx-pid=121633 MR0121633]}}
* {{Literatur
   |Autor=Steven R. Lay
   |Titel=Convex Sets and Their Applications
   |TitelErg=
   |Reihe=Pure and Applied Mathematics
   |Auflage=
   |Verlag=[[John Wiley & Sons]]
   |Ort=New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore
   |Datum=1982
   |ISBN=0-471-09584-2
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Lay%2C%20Steven%20R.&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=655598 MR0655598]}}
* {{Literatur
   |Autor=Kurt Leichtweiß
   |Titel=Konvexe Mengen
   |Reihe=Hochschultext
   |Verlag=Springer-Verlag
   |Ort=Berlin, Heidelberg, New York
   |Datum=1980
   |ISBN=3-540-09071-1
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Leichtwei%C3%9F&s5=Konvexe&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=586235 MR0586235]}}
* {{Literatur
   |Autor=Jürg T. Marti
   |Titel=Konvexe Analysis
   |Reihe=Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe
   |BandReihe=54
   |Verlag=[[Birkhäuser Verlag]]
   |Ort=Basel, Stuttgart
   |Datum=1977
   |ISBN=3-7643-0839-7
   |Seiten=
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Marti%2C%20J%C3%BCrg%20T.&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=5&mx-pid=511737 MR0511737]}}
* {{Literatur
   |Autor=T. S. Motzkin
   |Titel=Sur quelques propriétés caractéristiques des ensembles convexes 
   |Sammelwerk=Atti. Reale Accad. Naz. Lincei, Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. (Rom), Serie VI
   |Band=21
   |Datum=1935
   |Seiten=562–567
   |Online=}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Frederick A. Valentine]]
   |Titel=Konvexe Mengen
   |TitelErg=Übersetzung aus dem Englischen durch E. Heil
   |Reihe=BI-Hochschultaschenbücher
   |BandReihe=Band 402/402a
   |Verlag=[[Bibliographisches Institut]]
   |Ort=Mannheim
   |Datum=1968
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Valentine%3B%20Frederick%20A.&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=226495 MR0226495]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Analysis|Motzkin, Satz von]]
KKKategorie:Geometrie|Motzkin, Satz von]]
KKKategorie:Topologischer Vektorraum|Motzkin, Satz von]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Motzkin]]


= Satz von Moskovitz-Dines = 
Der '''Satz von Moskovitz-Dines''' ist ein [[mathematisch]]er [[Lehrsatz]], der die Frage der Charakterisierung [[Konvexe Teilmenge|konvexer Teilmengen]] [[Topologischer Vektorraum|topologischer Vektorräume]] behandelt. Er entstammt einer Arbeit der beiden [[Mathematiker]] [[David Moskovitz]] und [[Lloyd Lyne Dines]] aus dem Jahr 1939 und ist eng verwandt mit zwei anderen Sätzen, die auf [[Stanisław Mazur]] bzw. auf [[Errett Bishop]] und [[Robert Phelps|Robert Ralph Phelps]] zurückgehen.<ref name="JTM-001">Jürg T. Marti: ''Konvexe Analysis.'' 1977, S. 158–161</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Monographie von [[Jürg T. Marti]] folgend, lässt sich der Satz wie folgt formulieren:<ref name="JTM-002">Marti, op. cit., S. 159</ref>
: ''Gegeben seien ein topologischer <math>\R</math>-[[Vektorraum]] <math>X</math> sowie eine darin enthaltene [[abgeschlossene Teilmenge]] <math>T \subseteq X</math>, welche mindestens einen [[Innerer Punkt|inneren Punkt]] besitzen soll.''
: ''Weiterhin genüge <math>T</math> der Bedingung, dass die regulären Punkte von <math>T</math> eine [[dichte Teilmenge]] der Randpunktmenge <math>\partial {T}</math> bilden.''
: ''Dann gilt:''
: ''<math>T</math> ist eine [[konvexe Teilmenge]] von <math>X</math>.''

== Verwandte Sätze ==
Der Satz von Moskovitz-Dines ist (für [[Separabler Raum|separable]] [[Banachraum|Banachräume]]) in einem gewissen Sinne die Umkehrung eines ''Satzes von Stanisław Mazur'' aus dem Jahre 1933, der (in Anschluss an Marti) folgendermaßen darstellbar ist:<ref name="JTM_003">Marti, op. cit., S. 112&nbsp;&&nbsp;S. 160</ref>
: ''Gegeben seien ein separabler <math>\R</math>-Banachraum <math>X</math> und darin eine eine abgeschlossene konvexe Teilmenge <math>T \subseteq X</math>, welche mindestens einen inneren Punkt besitzen soll.''
: ''Dann ist die Menge der regulären Punkte von <math>T</math> eine dichte Teilmenge der [[Randpunkt]]menge <math>\partial {T}</math>.''

Damit erhält man folgendes Korollar:<ref name="JTM_004">Marti, op. cit., S. 160</ref>
: ''Ist <math>X</math> ein separabler Banachraum  über <math>\R</math> und <math>U \subseteq X</math> eine darin enthaltene abgeschlossene [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] des [[Nullpunkt]]es, so  ist <math>U</math> eine konvexe Teilmenge von <math>X</math> genau dann, wenn die Beziehung <math>\overline{ {\partial}_r {T} } = \partial {T}</math> gilt.''

In diesem Zusammenhang ist ein ''Satz von Bishop und Phelps'' ({{enS|Bishop-Phelps support point theorem}}<ref name="REM-001">Robert E. Megginson: ''An Introduction to Banach Space Theory.'' 1998, S. 275</ref>) aus dem Jahre 1961<ref>Megginson nennt in ''An Introduction to Banach Space Theory'' (S. 275) das Jahr 1963, in dem der Band VII der ''Proceedings of Symposia in Pure Mathematics'' erschien. Die Tagung selbst fand im Jahre 1961 statt.</ref> erwähnenswert, der (zumindest für den Fall der Banachräume) die Bedeutung der Stützpunkte im Zusammenhang mit konvexen Mengen herausarbeitet:<ref name="JTM_005">Marti, op. cit., S. 70</ref>
: ''Ist  <math>T</math> eine abgeschlossene konvexe Teilmenge eines <math>\R</math>-Banachraums <math>X</math>, so die Menge der Stützpunkte von <math>T</math> eine dichte Teilmenge der Randpunktmenge <math>\partial {T}</math>.''

== Erläuterungen und Anmerkungen ==
* Ein [[Stützhyperebene#Verallgemeinerung|Stützpunkt]] <math>p \in \partial {T}</math> ist genau dann ein ''regulärer Punkt'' von <math>T</math>, wenn jedes seiner zugehörigen [[Stützfunktional]]e immer nur als [[Positive Zahl|positives]] [[Vielfaches]] eines jeden anderen seiner zugehörigen Stützfunktionale vorkommt.<ref name="JTM_006">Marti, op. cit., S. 66, S. 108</ref>
* Die [[Menge (Mathematik)|Menge]] der regulären Punkte von <math>T</math> ist also eine [[Teilmenge]] des [[Rand (Topologie)|Randes]] <math>\partial {T}</math> von <math>T</math> und wird mit <math>{\partial}_r {T}</math> bezeichnet.<ref name="JTM_006" />
* Moskovitz und Dines haben ihren Satz ursprünglich nur für reelle [[Hilbertraum|Hilberträume]] bewiesen. Wie Marti jedoch ausführt, lässt er sich der Beweis ''ohne große Modifikationen'' auf beliebige topologische <math>\R</math>-Vektorräume ausdehnen.<ref name="JTM_007">Marti, op. cit., S. 158</ref>
* Der obige Satz von Bishop und Phelps ist verwandt, wenngleich nicht identisch mit demjenigen Resultat, welches in der englischsprachigen Fachliteratur als ''Bishop-Phelps theorem'' oder als ''Bishop-Phelps subreflexivity theorem'' bekannt ist und demzufolge ''jeder Banachraum ein subreflexiver Raum ist''. Das Konzept des ''subreflexiven Raums'' geht auf Phelps zurück und stellt eine Abschwächung des Konzepts der [[Reflexiver Raum|reflexiven Raums]] dar. Dabei wird ein [[normierter Raum]] <math>X</math> als ''subreflexiv'' bezeichnet, wenn in seinem [[Dualraum]] <math>X^{'}</math> die Menge derjenigen linearen Funktionale <math>x^{'} \in X^{'}</math>, welche ihre [[Operatornorm]] <math> \| x^{'}  \|</math> in einem Punkte der [[Einheitskugel]] <math>B_X \subset X</math> annehmen, dort eine dichte Teilmenge bilden.<ref name="AP-001">Albrecht Pietsch: ''History of Banach Spaces and Linear Operators.'' 2007, S. 81</ref><ref name="REM-003">Megginson, op. cit., S. 270–279</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=Errett Bishop, R. R. Phelps
   |Titel=The support functionals of a convex set
   |TitelErg=In: Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. VII: Convexity. Held at the University of Washington, Seattle, Wash., June 13-15, 1961
   |Verlag=[[American Mathematical Society]]
   |Ort=Providence, R.I. 
   |Datum=1963
   |ISBN=
   |Seiten=27–35
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=TI&pg5=TI&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Proceedings&s5=Pure%20Mathematics&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=6&mx-pid=151352 MR0151352]}}
* {{Literatur
   |Autor=Jürg T. Marti
   |Titel=Konvexe Analysis
   |Reihe=Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe
   |BandReihe=54
   |Verlag=[[Birkhäuser Verlag]]
   |Ort=Basel, Stuttgart
   |Datum=1977
   |ISBN=3-7643-0839-7
   |Seiten=
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Marti%2C%20J%C3%BCrg%20T.&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=5&mx-pid=511737 MR0511737]}}
* {{Literatur
   |Autor=S. Mazur
   |Titel=Über konvexe Mengen in linearen normierten Räumen
   |Sammelwerk=[[Studia Mathematica]]
   |Band=4
   |Datum=1933
   |Seiten=70–84
   |Online=}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Robert E. Megginson]]
   |Titel=An Introduction to Banach Space Theory
   |Reihe=Graduate Texts in Mathematics
   |BandReihe=183
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
   |Ort=New York
   |Datum=1998
   |ISBN=0-387-98431-3
   |Seiten=
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Megginson%2C%20Robert&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=1650235 MR1650235 ]}}
* {{Literatur
   |Autor=David Moskovitz,  L. L. Dines
   |Titel=Convexity in a linear space with an inner product
   |Sammelwerk=[[Duke Mathematical Journal]]
   |Band=5 
   |Datum=1939
   |Seiten=520–534
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Dines&s5=convexity&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=349 MR0000349]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Albrecht Pietsch]]
   |Titel=History of Banach Spaces and Linear Operators
   |Verlag=Birkhäuse
   |Ort=Boston, Basel, Berlin
   |Datum=2007
   |ISBN=0-8176-4367-2
   |Seiten=
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Pietsch&s5=History&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=2300779 MR2300779]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />


KKKategorie:Topologischer Vektorraum]]
KKKategorie:Geometrie]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Moskovitz-Dines]]




= Fixpunktsatz von Krasnoselski =
Der '''Fixpunktsatz von Krasnoselski''' ({{enS|''Krasnoselskii’s fixed-point theorem''}}) ist einer der zahlreichen [[Lehrsatz|Lehrsätze]], die der [[sowjetisch]]e [[Mathematiker]] [[Mark Alexandrowitsch Krasnoselski]] zum [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Nichtlinearer Operator|Nichtlinearen]] [[Funktionalanalysis]] beigesteuert hat. Der Satz geht auf eine [[wissenschaftliche Publikation]] Krasnoselskis aus dem Jahre 1962 zurück und behandelt die Frage nach den Bedingungen, unter denen für [[Kompakter Operator|kompakte Operatoren]] auf [[Banachraum|Banachräumen]] ein [[Fixpunktsatz]] gilt. Der Satz ist verwandt mit dem [[Fixpunktsatz von Schauder]].<ref name="EZ-I-01">Eberhard Zeidler: ''Vorlesungen über nichtlineare Funktionalanalysis I'' 1976, S. 154</ref><ref name="EZ-II-01">Eberhard Zeidler: ''Nonlinear Functional Analysis and its Applications I'' 1986, S. 562</ref><ref name="PGC-01">Philippe G. Ciarlet: ''Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications.''  2013, S. 736</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Krasnoselski’sche Fixpunktsatz lässt sich folgendermaßen angeben:<ref name="EZ-I-01" /><ref name="EZ-II-01" />
: ''Gegeben seien ein [[Geordneter Vektorraum|geordneter]] <math>\R</math>-Banachraum <math>X</math> mit [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\| \cdot \|</math> und [[Ordnungskegel]] <math>K=\{x \in X \, \colon \, 0 \preceq x \} \subset X</math>.''
: ''Der Ordnungskegel <math> K=\{x \in X \, \colon \, 0 \preceq x \} </math> sei eine [[abgeschlossene Teilmenge]] von <math>X</math>, die nicht aus dem [[Nullpunkt]] allein bestehen soll, und die zugehörige [[Relation]] <math>\preceq</math> eine [[Halbordnung]]srelation.''
: ''Weiter seien auf <math>K</math> ein kompakter Operator <math>\Psi \colon K \to K</math> gegeben sowie zwei [[Paarweise verschieden|verschiedene]] [[reelle Zahl]]en <math>R_1 > 0</math> und <math>R_2 > 0</math>, so dass die beiden Bedingungen''
:: ''(i) <math>\Psi(x) {\not \preceq} x \, (\, \forall x \in {K \cap S_{R_1}(0)}  \, ) </math>.''
:: ''(ii) <math>{x \not \preceq} \Psi(x)  \, (\, \forall x \in {K \cap S_{R_2}(0)} \, ) </math>.''<ref>Für <math>r > 0</math> ist hierbei <math>S_r(0)</math> die <math>r</math>-[[Sphäre (Mathematik)#Sphären in normierten Räumen|Sphäre]].</ref>
: ''erfüllt seien.''
: ''Dann gilt:''
: ''<math>\Psi</math> besitzt einen Fixpunkt <math>x_0 = \Psi(x_0) \in K</math>, welcher zudem der Beziehung''
:: <math>\min \left( R_1 \; , \; R_2 \right) < \| x_0 \| < \max \left( R_1 \; , \; R_2 \right)</math>
: ''genügt.''

=== Erläuterungen ===
* Die obigen Bedingungen (i) und (ii) bedeuten, dass für <math>x \in K</math> mit <math>\| x \| = R_1</math> stets <math>{x - \Psi(x)}  \not \in K</math> gilt und für <math>x \in K</math> mit <math>\| x \| = R_2</math> stets <math>{\Psi(x) - x}  \not \in K</math>.<ref name="EZ-II-01" />
* Falls die obigen Bedingungen (i) und (ii) erfüllt sind, spricht man (in der englischen Fachsprache) für <math>R_1 < R_2</math> von einer ''cone compression'', für <math>R_1 > R_2</math> von einer ''cone expansion''.<ref name="EZ-II-01" />

=== Hintergrund ===
Die Herleitung des Krasnoselski’schen Fixpunktsatzes nutzt an entscheidender Stelle den folgenden wichtigen Satz des [[US-amerikanisch]]en Mathematikers [[James Dugundji]] aus dem Jahre 1951:<ref name="EZ-I-01" /><ref name="HA-01">Herbert Amann: ''Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spaces.'' SIAM Review 18, S. 657</ref>
: ''In einem Banachraum <math>X</math> ist jede [[nichtleer]]e, abgeschlossene und [[konvexe Teilmenge]] <math>C \subseteq X</math> ein [[Retraktion und Koretraktion#Topologische Räume|Retrakt]] von <math>X</math>.''

== Folgerung ==
Mit dem Fixpunktsatz von Krasnoselski gelingt es, unter gewissen Umständen auf die Existenz sehr vieler Fixpunkte zu schließen. Er zieht nämlich folgendes Korollar nach sich:
: ''Gelten oben die Bedingungen (i) und (ii) sogar für eine ganze [[Folge (Mathematik)|Folge]] <math>\left( R_1(n) \; , \; R_2(n) \right)_{n=1,2,3,\ldots}</math> von Zahlenpaaren mit [[Positive Zahl|positiven reellen Zahlen]] <math>R_1(n) \neq R_2(n) \; (n \in \N)</math> und [[Grenzwert (Folge)|konvergieren]] die beiden Zahlenfolgen <math>\left( R_1(n) \right)_{n=1,2,3,\ldots}</math> und <math>\left( R_2(n) \right)_{n=1,2,3,\ldots}</math> beide gegen <math>\infty</math>, so besitzt der kompakte Operator <math>\Psi \colon K \to K</math> [[Abzählbare Menge|abzählbar unendlich viele]] Fixpunkte''.<ref name="EZ-II-01" /><ref name="EZ-II-02">Zeidler (1986), S. 563</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Herbert Amann]]
   |Titel=Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spaces
   |Sammelwerk=[[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM Review]]
   |Band=18
   |Datum=1976
   |Seiten=620–709
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=RT&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Amann&s5=ordered%20Banach%20space&s6=Fixed%20point&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=415432 MR0415432]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Philippe G. Ciarlet]]
   |Titel=Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications
   |Verlag=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]]
   |Ort=Philadelphia, PA
   |Datum=2013
   |ISBN=978-1-61197-258-0
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Linear%20and%20Nonlinear%20Functional%20Analysis&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=3136903 MR3136903]}}
* {{Literatur
   |Autor=J. Dugundji
   |Titel=An extension of Tietze's theorem
   |Sammelwerk=[[Pacific Journal of Mathematics]]
   |Band=1
   |Datum=1951
   |Seiten=353–367
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=1955&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=RT&pg6=RT&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Dugundji&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=lt&r=2&mx-pid=44116 MR0044116]}}
* {{Literatur
   |Autor=M. Krasnoselskii
   |Titel=Positive Lösungen von Operatorgleichungen (Russisch. Auf Englisch herausgegeben unter dem Titel „Positive Solutions of Operator Equations“ von Leo F. Boron, Noordhoff, Groningen)
   |Verlag=Staatlicher Verlag für physikalisch-mathematische Literatur
   |Ort=Moskau
   |Datum=1962
   |Seiten=
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Krasnoselskii&s5=Positive&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=8&mx-pid=181881 MR0181881]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Eberhard Zeidler (Mathematiker)|Eberhard Zeidler]]
   |Titel=Vorlesungen über nichtlineare Funktionalanalysis I: Fixpunktsätze
   |Verlag=[[B. G. Teubner Verlagsgesellschaft]]
   |Ort=Leipzig
   |Datum=1976
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Zeidler&s5=Vorlesungen&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=6&mx-pid=473927 MR0473927]}}
* {{Literatur
   |Autor=Eberhard Zeidler
   |Titel=Nonlinear Functional Analysis and its Applications I: Fixed-Point Theorems
   |TitelErg=Translated by Peter R. Wadsack
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo
   |Datum=1986
   |ISBN=0-387-90914-1
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Zeidler&s5=Nonlinear&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=816732 MR0816732]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Krasnoselski, Fixpunktsatz von]]
KKKategorie:Funktionalanalysis]]


= Satz von Birkhoff–Kellogg =
Der '''Satz von Birkhoff–Kellogg''' ({{enS|''Birkhoff–Kellogg Theorem''}}) ist ein [[Lehrsatz]] aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Nichtlinearer Operator|Nichtlinearen]] [[Funktionalanalysis]], der auf eine im Jahre 1922 von den beiden [[Mathematiker]]n [[George David Birkhoff]] und [[Oliver Dimon Kellogg]] vorgelegte [[wissenschaftliche Arbeit]] zurückgeht. Er behandelt die Frage, unter welchen Bedingungen für gewisse [[Operator (Mathematik)|Operatoren]] auf [[unendlich]]-[[Dimension (Mathematik)|dimensionalen]] [[Banachraum|Banachräumen]] das '''[[Eigenwertproblem]]''' lösbar ist. Der Satz erweist sich dabei als Analogon des klassischen [[Satz vom Igel#Verallgemeinerung|Satzes von Poincaré-Brouwer]] in der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]].<ref name="EZ-I-001">Eberhard Zeidler: ''Vorlesungen über nichtlineare Funktionalanalysis I'' 1976, S. 12, S. 152–153</ref><ref name="EZ-II-001">Eberhard Zeidler: ''Nonlinear Functional Analysis and its Applications I'' 1986, S. 557 ff</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Satz lässt sich zusammengefasst darstellen wie folgt:<ref name="EZ-I-002">Zeidler (1976), S. 153</ref><ref name="EZ-II-002">Zeidler (1986), S. 559</ref>
: ''Gegeben seien ein [[unendlich]]-[[Dimension (Mathematik)|dimensionaler]] [[Banachraum]] <math>X</math> und darin eine [[Beschränkte Menge|beschränkte]] [[offene Teilmenge]] <math>G \subset X</math>, welche den [[Nullpunkt]] <math>0 \in X</math> [[Inklusionsrelation|enthalte]].''
: ''Auf der [[Abgeschlossene Hülle|abgeschlossenen Hülle]] <math>\overline {G}</math>  von <math>G</math> sei ein [[Kompakter Operator|kompakter]] ([[Lineare Abbildung|linearer]] oder nichtlinearer) Operator <math>\Kappa \colon \overline {G} \to X</math> gegeben, der die Bedingung''
:: <math>\inf_{x \in \partial {G}}{\| \Kappa(x) \|}  > 0</math>.<ref><math>\partial {G}</math> ist die Menge der [[Randpunkt]]e von <math>G</math>.</ref>
: ''erfülle.''
: ''Dann gilt:''
: ''Das Eigenwertproblem ist für <math>\Kappa</math> lösbar. Dabei gibt es einen [[Randpunkt]] <math>x_0 \in \partial {G}</math> und dazu eine [[reelle Zahl]] <math>\lambda \in \R \setminus \{ 0 \}</math>, welche die Gleichung <math> \Kappa(x_0) = \lambda x_0</math> erfüllen.''

== Hintergrund ==
Der Beweis des Birkhoff–Kellogg'schen Satzes beruht wesentlich auf einem allgemeinen '''Eigenwertprinzip''', zu dessen Herleitung der [[Leray-Schauder-Abbildungsgrad|Leray-Schauder'sche Abbildungsgrad]] genutzt wird, sowie dem folgenden '''Approximationssatz für kompakte Operatoren''' ({{enS|''Approximation Theorem for Compact Operators''}}):<ref name="EZ-I-003">Zeidler (1976), S. 25, S. 152–153</ref><ref name="EZ-II-003">Zeidler (1986), S. 55, S. 558–559</ref>
: ''Gegeben seien zwei Banachräume <math>X, Y</math> (über <math>\mathbb K</math> mit <math>\mathbb K \in \{\R,\Complex \}</math> ) sowie eine beschränkte [[nichtleer]]e Teilmenge <math>M \subset X</math> und hierauf ein beliebiger Operator <math>\Psi \colon M \to Y</math>.''
: ''Dann gilt:''
: ''<math>\Psi</math> ist ein kompakter Operator genau dann, wenn es eine [[Folge (Mathematik)|Folge]] <math>{\Psi}_n \colon M \to Y \, (n = 1,2,3,\ldots)</math> von Operatoren gibt derart, dass für <math>n = 1,2,3,\ldots</math> stets folgende drei Bedingungen erfüllt sind:''
:: '''(i)''' ''<math>{\Psi}_n</math> ist kompakt.''
:: '''(ii)''' <math>\sup_{x \in M}{\| \Psi(x) - {\Psi}_n(x)\|_Y} \leq \frac{1}{n}</math>.
:: '''(iii)''' ''Der von der [[Bildmenge]] <math>{\Psi}_n(M)</math>  ( über <math>\mathbb K</math>  ) [[Lineare Hülle|aufgespannte]] [[Untervektorraum|lineare Unterraum]] <math>\operatorname{span}\left( {\Psi}_n(M) \right)</math> hat [[endlich]]e [[Dimension (Mathematik)#Hamel-Dimension (Dimension eines Vektorraumes)|Dimension]].''

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=G. D. Birkhoff, O. D. Kellogg
   |Titel=Invariant points in function space.
   |Sammelwerk=[[Transactions of the American Mathematical Society]]
   |Band=23
   |Datum=1922
   |Seiten=96–115
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=ICN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Birkhoff&s5=Kellogg&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=1501192 MR1501192]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Eberhard Zeidler (Mathematiker)|Eberhard Zeidler]]
   |Titel=Vorlesungen über nichtlineare Funktionalanalysis I: Fixpunktsätze
   |Verlag=[[B. G. Teubner Verlagsgesellschaft]]
   |Ort=Leipzig
   |Datum=1976
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Zeidler&s5=Vorlesungen&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=6&mx-pid=473927 MR0473927]}}
* {{Literatur
   |Autor=Eberhard Zeidler
   |Titel=Nonlinear Functional Analysis and its Applications I: Fixed-Point Theorems
   |TitelErg=Translated by Peter R. Wadsack
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo
   |Datum=1986
   |ISBN=0-387-90914-1
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Zeidler&s5=Nonlinear&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=816732 MR0816732]}}

== Einzelnachweise ==

rreferences />


KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Birkhoff–Kellogg]]




= Satz von Wille = 
Der '''Satz von Wille''' ist ein [[Lehrsatz]], den der [[Deutschland|deutsche]] [[Mathematiker]] [[Friedrich Wille (Mathematiker)|Friedrich Wille]] (1935–1992) zum [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Analysis]] beigetragen hat. Der Satz geht auf eine Arbeit Willes aus dem Jahr 1972 zurück und behandelt ein [[Überdeckung (Mathematik)|Überdeckungsproblem]] für [[Beschränktheit#Analysis|beschränkte]] [[Teilmenge]]n im [[Dimension (Mathematik)|höherdimensionalen]] [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]. Er ist eng verbunden mit mehreren bedeutenden Sätzen der Mathematik wie etwa mit dem [[Pflastersatz von Lebesgue]] oder dem [[Borsukscher Antipodensatz|Borsuk'schen Antipodensatz]]. Mit seiner Hilfe lassen sich Lösbarkeitskriterien für [[Gleichung#Nichtlineare Gleichungssysteme|Nichtlineare Gleichungssysteme]] mit gewissen [[Konvexe und konkave Funktionen|Konvexitätseigenschaften]] ableiten.<ref name="JTM-001">Jürg T. Marti: ''Konvexe Analysis.'' 1977, S. 214 ff, S. 273</ref><ref name="FW-a">Friedrich Wille: ''Überdeckungen mit konvexen Mengen und nichtlineare Gleichungssysteme.''  Comment. Math. Helv. 47, S. 273–288</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Monographie von [[Jürg T. Marti]] folgend, lässt sich der Satz wie folgt angeben:<ref name="JTM-002">Marti, op. cit., S. 217</ref>
: ''Gegeben seien im <math>\R^n \; (n \in \N, n \geq 2)</math> [[endlich viele]] [[nichtleer]]e [[Teilmenge]]n <math>T, T_1, \ldots , T_m \subset \R^n \; (m \in \N)</math> . Die Teilmenge <math>T</math> sei beschränkt und die anderen Teilmengen <math>T_j</math> seien [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] und [[Konvexe Menge|konvex]].''
: ''Die Teilmengen <math>T_j</math> sollen die <math>T</math>-[[Rand (Topologie)|Randpunktmenge]] <math>\partial {T} = \overline{T} \setminus T^\circ</math> ganz überdecken, zugleich sollen aber noch [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] in der [[Differenzmenge]] <math>D = T \setminus \left( \bigcup_{j=1, \ldots , m} {T_j} \right)</math> [[Element (Mathematik)|liegen]].''
: ''Dann gilt:''
: '' '''(i)'''  <math>m \geq n+1</math>.''
: '' '''(ii)''' In der [[Schnittmenge]] der <math>m</math> Teilmengen <math>T_j</math> liegt kein einziger Punkt: <math>\bigcap_{j=1, \ldots , m} {T_j} = \emptyset</math>.''
: '' '''(iii)''' Es gibt unter den <math>m</math> Teilmengen <math>T_j</math> eine <math>n</math>-[[Folge (Mathematik)|gliedrige]] [[Mengenfolge]] <math>T_{j_1}, \ldots , T_{j_n}</math>, deren Schnittmenge <math>\bigcap_{k=1, \ldots , n} {T_{j_k}}</math> nichtleer ist und die dabei einen Punkt <math>p</math> enthält, der zugleich ein [[Häufungspunkt#Häufungspunkte und Berührpunkte einer Menge|Berührpunkt]] der Differenzmenge <math>D</math> ist.''

=== Korollar ===
Der Satz von Wille zieht – wegen '''(i)''' !– ein [[Korollar]] nach sich, das sich folgendermaßen angeben lässt:<ref name="JTM-003">Marti, op. cit., S. 218</ref>
: ''Wenn im <math>n</math>-dimensionalen euklidischen Raum <math>n</math> abgeschlossene und konvexe Teilmengen die Randpunktmenge <math>\partial {T}</math> einer gegebenen beschränkten Teilmenge <math>T</math> überdecken, so überdecken diese <math>n</math> Teilmengen schon die gesamte Teilmenge <math>T</math>.''

== Verwandtes Resultat: Ein Satz von Berge ==
Im Jahre 1959 lieferte der [[Franzose|französische]] Mathematiker [[Claude Berge]] (1926–2002) einen verwandten Satz, der sich der Frage widmet, unter welchen Bedingungen endlich viele abgeschlossene konvexe Teilmengen im euklidischen Raum (und allgemeiner in einem gegebenen [[Topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]]) eine andere gegebene konvexe Teilmenge nicht überdecken. Diesen Satz kann man in Anschluss an die Monographie von [[Josef Stoer]] und [[Christoph Witzgall]] folgendermaßen darstellen:<ref name="JS-CW-01">Josef Stoer, Christoph Witzgall: ''Convexity and Optimization in Finite Dimensions. I.''  1970, S. 119–121</ref>
: ''Gegeben sei ein topologischer Vektorraum <math>X</math> oder es sei sogar <math>X =\R^n \; (n \in \N)</math>.''
: ''Weiterhin gegeben seien endlich viele konvexe Teilmengen <math>T, T_1, \ldots , T_m \subseteq X \; (m \in \N)</math>, wobei die <math>T_j</math> allesamt abgeschlossen in <math>X</math> sein sollen.''
: ''Zudem sollen die folgenden Bedingungen erfüllt sein:''
:: '' '''(a)'''  Für <math>k=1, \ldots , m</math> sei stets''
:::<math>T \cap \bigcap_{j=1, \ldots , m \; \atop\;\ j \neq k} {T_j} \neq \emptyset</math>.
:: '' '''(b)'''  Insgesamt sei''
:::  <math>T \cap \bigcap_{j=1, \ldots , m} {T_j} = \emptyset</math>.
:
: ''Dann gilt:''
::: <math>T \nsubseteq  \bigcup_{j=1, \ldots , m} {T_j}</math>.

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=Claude Berge
   |Titel=Sur une propriété combinatoire des ensembles convexes
   |Sammelwerk=[[Comptes rendus de l’Académie des sciences]] Paris
   |Band=248
   |Datum=1959
   |Seiten=2698–2699
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=1959&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Berge&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=106435 MR0106435]}}
* {{Literatur
   |Autor=Jürg T. Marti
   |Titel=Konvexe Analysis
   |Reihe=Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe
   |BandReihe=54
   |Verlag=[[Birkhäuser Verlag]]
   |Ort=Basel, Stuttgart
   |Datum=1977
   |ISBN=3-7643-0839-7
   |Seiten=
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Marti%2C%20J%C3%BCrg%20T.&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=5&mx-pid=511737 MR0511737]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Josef Stoer]], [[Christoph Witzgall]] 
   |Titel=Convexity and Optimization in Finite Dimensions. I.
   |Reihe=Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen
   |BandReihe=163
   |Verlag=[[Springer_Science%2BBusiness_Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin, Heidelberg, New York
   |Datum= 1970
   |ISBN=
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Stoer&s5=Witzgall&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=286498 MR0286498]}}
* {{Literatur
   |Autor=Friedrich Wille 
   |Titel=Überdeckungen mit konvexen Mengen und nichtlineare Gleichungssysteme
   |Sammelwerk=Commentarii Mathematici Helvetici 
   |Band=47
   |Datum=1972
   |Seiten=273–288
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Wille&s5=%C3%9Cberdeckungen&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=317183 MR0317183]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />


KKKategorie:Analysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Wille]]

= Satz von Mazur (Konvexität und Kompaktheit) = 
Der '''Satz von Mazur''' zu [[Konvexe Menge|Konvexität]] und [[Kompakter Raum|Kompaktheit]] ist einer von mehreren [[Lehrsatz|Lehrsätzen]], die der [[Polen (Volk)|polnische]] [[Mathematiker]] [[Stanisław Mazur]] zum [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Funktionalanalysis]] beigetragen hat. Der Satz geht auf eine Arbeit Mazurs aus dem Jahr 1930 zurück und behandelt eine grundlegende Kompaktheitsfrage im Zusammenhang mit [[Konvexe Teilmenge|konvexen Teilmengen]] von [[Banachraum|Banachräumen]].<ref name="LC-01">Lothar Collatz: ''Funktionalanalysis und numerische Mathematik.'' 1968, S. 352 ff, S. 359</ref><ref name="AP-01">Albrecht Pietsch: ''History of Banach Spaces and Linear Operators.'' 2007, S. 74</ref> Aus diesem Mazur'schen Satz lässt sich der [[Fixpunktsatz von Schauder]] – in der Version für Banachräume – als Folgerung gewinnen.<ref name="LC-02">Collatz, op. cit. , S. 355</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Satz besagt folgendes:<ref name="LC-03">Collatz, op. cit. , S. 352</ref><ref name="AP-01" />
: ''Gegeben seien ein Banachraum <math>X</math> und weiter eine darin gelegene [[Teilmenge]] <math>T \subseteq X</math> sowie deren [[Abgeschlossene Teilmenge|abgeschlossene]] [[konvexe Hülle]] <math>K = \overline{\operatorname{conv} {T}}\supseteq T</math>.''
: ''Dann gilt:''
: ''Ist <math>T</math> eine [[kompakte Teilmenge]] von <math>X</math>, so ist auch <math>K</math> eine solche.''

== Verallgemeinerung ==
In dem Lehrbuch von [[Jürg T. Marti]] und ebenso in dem von [[Alexander Provan Robertson|A. P. Robertson]] und [[Wendy J. Robertson|W. J. Robertson]] wird der Mazur'sche Satz noch allgemeiner formuliert.<ref name="JTM-01">Jürg T. Marti: ''Konvexe Analysis.'' 1977, S. 23</ref><ref name="APR-WJR-01">A. P. Robertson, W. J. Robertson: ''Topologische Vektorräume.'' 1967, S. 61</ref><ref>Allerdings wird bei Robertson/Robertson der Name von Stanisław Mazur nicht weiter erwähnt, während Marti ausdrücklich auf Mazur verweist.</ref> Zusammengefasst lässt sich dies wie folgt darstellen:
: ''Gegeben seien ein [[hausdorffsch]]er [[Lokalkonvexer topologischer Vektorraum|lokalkonvexer topologischer]] <math>\R</math>-[[Vektorraum]] <math>X</math> sowie eine Teilmenge <math>T \subseteq X</math>.''
: ''Dann gilt:''
: ''Ist <math>T</math> eine [[Totalbeschränktheit#Verallgemeinerung auf uniforme Räume|präkompakte Teilmenge]] von <math>X</math>, so sind auch deren konvexe Hülle <math>\operatorname{conv} {T}</math>, deren [[absolutkonvexe Hülle]] <math>\Gamma {T}</math> und deren abgeschlossene absolutkonvexe Hülle <math>\overline{\Gamma {T}}</math> präkompakte Teilmengen.''

== Weitere Verschärfung im euklidischen Raum ==
Im [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] gilt sogar:<ref name="EH-01">Egbert Harzheim: ''Einführung in die Kombinatorische Topologie.'' 1978, S. 25</ref><ref name="KL-01">Kurt Leichtweiß: ''Konvexe Mengen.'' 1980, S. 24</ref><ref name="JTM-02">Marti, op. cit. , S. 202</ref>
: ''Für jede beliebige kompakte Teilmenge <math>T \subset \R^n \; (n \in \N)</math> ist die konvexe Hülle <math>\operatorname{conv} {T}</math> (schon selbst) kompakt.''

== Anmerkungen und Erläuterungen ==
* Die ''Präkompaktheit'' einer Teilmenge <math>T \subset X</math> ist hier in Bezug auf die durch die [[Nullumgebungsbasis]] von <math>X</math> induzierte [[Uniformer Raum#Beispiele|uniforme Struktur]] zu verstehen. Eine solche Teilmenge ist demnach genau dann präkompakt, wenn zu jeder Nullumgebung <math>W \subseteq X</math> [[endlich viele]] [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] <math>x_1, x_2, \ldots , x_m \in X \; (m \in \N)</math> existieren, so dass die [[Überdeckung (Mathematik)|Überdeckung]] <math>\bigcup_{j=1}^m {\left( x_j + W \right)} \supseteq T</math> gegeben ist.<ref name="APR-WJR-02">Robertson/Robertson, op. cit. , S. 58</ref>
* In jedem [[Metrischer Raum|metrischen Raum]] – also auch in jedem Banachraum – ist eine Teilmenge präkompakt genau dann, wenn ihre [[abgeschlossene Hülle]] präkompakt ist. Hier ist eine Teilmenge damit [[relativ kompakt]], wenn sie präkompakt und ihre abgeschlossene Hülle [[Vollständiger Raum#Einige Sätze|vollständig]] ist.<ref name="FH-WS-01">Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: ''Einführung in die Funktionalanalysis.'' 1971, S. 18</ref> In einem Banachraum ist demnach eine Teilmenge präkompakt dann und nur dann, wenn sie relativ kompakt ist.
* Ist <math>T \subset \R^n</math> beschränkt, so gilt <math>\operatorname{conv} {\overline {T} } = \overline {\operatorname{conv}{T} }</math>.<ref name="JTM-02" />

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Lothar Collatz]]
   |Titel=Funktionalanalysis und numerische Mathematik
   |TitelErg=Unveränderter Nachdruck  der 1. Auflage von 1964
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen
   |BandReihe=120
   |Auflage=2.
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
   |Ort=Berlin, Heidelberg, New York
   |Datum=1968
   |ISBN=3-540-04135-4
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Collatz&s5=Funktionalanalysis%20&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=165651 MR0165651]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Egbert Harzheim]]
   |Titel=Einführung in die Kombinatorische Topologie
   |Reihe=Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften
   |Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft
   |Ort=Darmstadt
   |Datum=1978
   |ISBN=3-534-07016-X
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Harzheim&s5=Topologie&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=533264 MR0533264]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Friedrich Hirzebruch]], [[Winfried Scharlau (Mathematiker)|Winfried Scharlau]]
   |Titel=Einführung in die Funktionalanalysis
   |Reihe=B. I.-Hochschultaschenbücher
   |BandReihe=296
   |Verlag=[[Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus|Bibliographisches Institut]]
   |Ort=Mannheim / Wien / Zürich
   |Datum=1971
   |ISBN=3-411-00296-4
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Hirzebruch&s5=Scharlau&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=1183466 MR1183466]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Kurt Leichtweiß]]
   |Titel=Konvexe Mengen
   |Reihe=Hochschultext
   |Verlag=Springer-Verlag
   |Ort=Berlin, Heidelberg, New York
   |Datum=1980
   |ISBN=3-540-09071-1
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Leichtwei%C3%9F&s5=Konvexe&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=586235 MR0586235]}}
* {{Literatur
   |Autor=Jürg T. Marti
   |Titel=Konvexe Analysis
   |Reihe=Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe
   |BandReihe=54
   |Verlag=[[Birkhäuser Verlag]]
   |Ort=Basel, Stuttgart
   |Datum=1977
   |ISBN=3-7643-0839-7
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Marti%2C%20J%C3%BCrg%20T.&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=5&mx-pid=511737 MR0511737]}}
* {{Literatur
   |Autor=S. Mazur
   |Titel=Über die kleinste konvexe Menge, die eine gegebene kompakte Menge enthält
   |Sammelwerk=[[Studia Mathematica]]
   |Band=2
   |Datum=1930
   |Seiten=7–9}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Albrecht Pietsch]]
   |Titel=History of Banach Spaces and Linear Operators
   |Verlag=Birkhäuse
   |Ort=Boston, Basel, Berlin
   |Datum=2007
   |ISBN=0-8176-4367-2
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Pietsch&s5=History&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=2300779 MR2300779]}}
* {{Literatur
   |Autor=A. P. Robertson, W. J. Robertson
   |Titel=Topologische Vektorräume
   |TitelErg=Übersetzung aus dem Englischen durch Horst S. Holdgrün
   |Reihe=B. I.-Hochschultaschenbücher
   |BandReihe=164/164a
   |Verlag=Bibliographisches Institut
   |Ort=Mannheim
   |Datum=1967
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Robertson&s5=Topologische&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR0209926]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Mazur (Konvexitat und Kompaktheit)]]



= Maximumprinzip von Bauer =
Das '''Maximumprinzip von Bauer''', auch genannt als das '''H. Bauersche Maximum-Prinzip''' ({{enS|H. Bauer's maximum principle}}), ist ein [[mathematisch]]er [[Lehrsatz]], der im Übergangsfeld zwischen den [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebieten]] der [[Analysis]], der [[Lineare Optimierung|Linearen Optimierung]] und der [[Variationsrechnung]] angesiedelt ist. Es entstammt einer [[Wissenschaftliche Publikation|wissenschaftlichen Arbeit]] des [[Deutsche Staatsangehörigkeit|deutschen]] [[Mathematiker]]s [[Heinz Bauer (Mathematiker)|Heinz Bauer]] (1928–2002) aus dem Jahre 1960 und ist verwandt sowohl mit dem [[weierstraß]]schen [[Satz vom Minimum und Maximum]] als auch mit dem [[Fundamentalsatz der Variationsrechnung]]. Wie diese behandelt das Maximumprinzip die grundlegende Frage der Existenz von [[Extremwert|Extremstellen]] gewisser [[reellwertige Funktion|reellwertiger]] [[Funktional]]e und formuliert Bedingungen, unter denen diese ihr [[Größtes und kleinstes Element|Maximum]] annehmen.<ref name="PB-EB-a01">Philippe Blanchard, Erwin Brüning: ''Direkte Methoden der Variationsrechnung: Ein Lehrbuch.''  1982 , S. 30&nbsp;ff.</ref><ref name="PB-EB-b01">Philippe Blanchard, Erwin Brüning: ''Variational Methods in Mathematical Physics.'' 1992, S. 30&nbsp;ff.</ref><ref name="GC-001">Gustave Choquet: ''Lectures on Analysis / Volume II.'' 1969, S. 102&nbsp;ff.</ref><ref name="AP-001">Albrecht Pietsch: ''History of Banach Spaces and Linear Operators.'' 2007, S. 231</ref> Darüber hinaus kann auch der [[Satz von Krein-Milman]] als Folgerung aus dem Bauer'schen Maximumprinzip verstanden werden.<ref name="BB-001">Bernard Beauzamy: ''Introduction to Banach Spaces and their Geometry.''  1982 , S. 125</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Das Maximumprinzip von Bauer lässt sich angeben wie folgt:<ref name="PB-EB-a01" /><ref name="PB-EB-b01" /><ref name="GC-001" /><ref name="AP-001" /><ref name="BB-002">Beauzamy, op. cit., S. 123</ref>
: ''Gegeben seien ein [[hausdorffsch]]er [[Lokalkonvexer topologischer Vektorraum|lokalkonvexer topologischer]] <math>\R</math>-[[Vektorraum]] <math>X</math> und darin eine [[nichtleer]]e [[Konvexe Teilmenge|konvexe]] [[kompakte Teilmenge]] <math>K \subset X</math>.''
: ''Dann gilt:''
: ''Jedes [[Konvexe Funktion|konvexe]] [[Halbstetigkeit#Definition|oberhalbstetige]] Funktional <math>\phi \colon K \to \R</math>  (und insbesondere jedes [[Lineare Abbildung|lineare]] [[Stetigkeit|stetige]] Funktional <math>\phi \colon X \to \R</math>) nimmt auf <math>K</math> sein Maximum in einem der [[Extremalpunkt]]e von <math>K</math> an.''
: ''Das bedeutet: Für jedes solche <math>\phi</math> existiert ein (nicht notwendig eindeutig bestimmter) Extremalpunkt <math>e_0 \in K</math> mit''
:: <math> \phi(e_0) = \sup_{x \in K}{\phi(x)} = \max_{x \in K}{\phi(x)}</math>.

== Bedeutung für die Lineare Optimierung ==
Dazu bemerken [[Philippe Blanchard]] und [[Erwin Brüning]] in ihrem [[Springer Science%2BBusiness Media|Springer]]-Lehrbuch ''Direkte Methoden der Variationsrechnung'' (1982):
: ''Die Aussage des Satzes ist für die Bestimmung des Maximums sehr wichtig, weil dadurch die Menge der potentiellen Extremalpunkte der Funktion ganz stark eingeschränkt wird. Speziell im Falle von konvexen Polyedern, wie er in konkreten Anwendungen oft vorliegt, braucht man also die Extrema der Funktion nur noch in der endlichen Menge der Extremalpunkte des Polyeders zu suchen.''<ref name="PB-EB-a02">Philippe Blanchard, Erwin Brüning: ''Direkte Methoden der Variationsrechnung: Ein Lehrbuch.''  1982 , S. 30–31.</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=Bernard Beauzamy
   |Titel=Introduction to Banach Spaces and their Geometry. Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage von 1964
   |Reihe=North-Holland Mathematics Studies
   |BandReihe=68
   |Verlag=North-Holland Publishing Company
   |Ort=Amsterdam [u.&nbsp;a.]
   |Datum=1982
   |ISBN=0-444-86416-4
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Beauzamy&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=58&mx-pid=670943 MR0670943]}}
*{{Literatur
   |Autor=Heinz Bauer
   |Titel=Minimalstellen von Funktionen und Extremalpunkte. II
   |Sammelwerk=[[Archiv der Mathematik]]
   |Band=11 
   |Datum=1960
   |Seiten=200–205
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=1961&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=JOUR&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Bauer%2C%20Heinz&s5=Arch.%20Math.&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=lt&r=1&mx-pid=130390 MR0130390]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Philippe Blanchard]], [[Erwin Brüning]]
   |Titel=Direkte Methoden der Variationsrechnung
   |TitelErg=Ein Lehrbuch
   |Auflage=
   |Verlag=[[Springer Science%2BBusiness Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Wien, New York
   |Datum=1982
   |ISBN=3-211-81692-5
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Blanchard&s5=Br%C3%BCning&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=6&mx-pid=687073 MR0687073]}} 
*{{Literatur
   |Autor=Philippe Blanchard, Erwin Brüning
   |Titel=Variational Methods in Mathematical Physics
   |TitelErg=A unified approach. Translated from the German by Gillian M. Hayes.
   |Reihe=Texts and Monographs in Physics
   |BandReihe=
   |Auflage=
   |Verlag=Springer Verlag
   |Ort=Berlin
   |Datum=1992
   |ISBN=
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Blanchard&s5=Variational&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=1230382 MR1230382]}}
*{{Literatur
   |Autor=[[Gustave Choquet]] 
   |Titel=Lectures on Analysis / Volume II : Representation Theory
   |TitelErg=Edited by J. Marsden, T. Lance and S. Gelbart
   |Reihe=Mathematics Lecture Note Series
   |BandReihe=
   |Auflage=
   |Verlag=W. A. Benjamin, Inc.
   |Ort=New York, Amsterdam
   |Datum=1969 
   |ISBN=
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Choquet&s5=Analysis&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=12&mx-pid=250012 MR0250012]}}
*{{Literatur
   |Autor=D. A. Edwards
   |Titel=On the representation of certain functionals by measures on the Choquet boundary
   |Sammelwerk=[[Universität Grenoble|Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier]]
   |Band=13
   |Datum=1963
   |Seiten=111–121
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=RT&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Bauer%27s%20maximum%20principle&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=16&mx-pid=147900 MR0147900]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Albrecht Pietsch]]
   |Titel=History of Banach Spaces and Linear Operators
   |Verlag=Birkhäuse
   |Ort=Boston, Basel, Berlin
   |Datum=2007
   |ISBN=0-8176-4367-2
   |Seiten=
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Pietsch&s5=History&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=2300779 MR2300779]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Bauer, Maximumprinzip von]]
KKKategorie:Analysis]]
KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Variationsrechnung]]



= Fortsetzungssatz von Krein =
Der '''Fortsetzungssatz von Krein'''  ({{enS|''Krein's extension theorem''}}) ist ein [[Lehrsatz]] des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiets]] der [[Analysis]], welcher auf eine von dem [[Sowjetunion|sowjetischen]] [[Mathematiker]] [[Mark Grigorjewitsch Krein]] (1907–1989) im Jahre 1937 vorgelegten [[Wissenschaftliche Arbeit|Arbeit]] zurückgeht. Der Krein'sche Fortsetzungssatz gibt eine Antwort auf die Frage, unter welchen Bedingungen [[Fortsetzung (Mathematik)|Fortsetzungen]] [[Positiver Operator#Positive Operatoren zwischen Ordnungsstrukturen|positiver]] [[Lineares Funktional|linearer Funktionale]] auf [[Reeller Vektorraum|reellen Vektorräumen]] möglich sind, und ist insofern verwandt mit (und dabei sogar herleitbar aus) dem [[Satz von Hahn-Banach]]. Wie dieser und andere Fortsetzungssätze der Mathematik stützt sich sein Beweis auf das [[Lemma von Zorn]] und benötigt damit die Annahme der Gültigkeit des [[Auswahlaxiom]]s.<ref name="EH-KRS-a">Edwin Hewitt, Karl R. Stromberg: ''Real and Abstract Analysis.'' 1975, S. 219–220</ref><ref name="MAN-a">Mark Neumark: ''Normierte Algebren.'' 1990, S. 84–85</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Fortsetzungssatz von Krein kommt in zwei – miteinander jedoch eng verwandten – Formulierungen vor.

=== Formulierung nach Neumark ===
Die eine Formulierung des Fortsetzungssatzes hat der sowjetische Mathematiker [[Mark Neumark]] in seiner Monographie ''Normierte Algebren'' vorgelegt:<ref name="MAN-b">Neumark, op. cit., S. 84</ref>
: Gegeben seien ein [[Lokalkonvexer topologischer Vektorraum|lokalkonvexer topologischer]] <math>\R</math>-[[Vektorraum]] <math>E</math> und darin ein [[nichtleer]]er [[konvexer Kegel]] <math>P \subseteq E</math> sowie ein [[linearer Unterraum]] <math>S \subseteq E</math>.
:
: Der Kegel <math>P</math> möge [[Innerer Punkt|innere Punkte]] enthalten und dabei soll <math>\left( S \cap P^{\circ} \right) \neq \emptyset</math> gelten, also mindestens ein [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] <math>p \in P^{\circ}</math> zugleich Punkt des Unterraums <math>S</math> sein.
:
: Dann gilt:
:: ''Jedes auf dem Unterraum <math>S</math> definierte positive lineare Funktional lässt sich zu einem auf dem gesamten Raum <math>E</math> definierten positiven linearen Funktional fortsetzen.''
:: ''Das heißt: Ist <math>f \colon S \rightarrow \R </math> ein lineares Funktional, welches der Bedingung <math>f(p) \geq 0</math> für alle <math>p \in \left( S \cap P \right)</math> genügt, so existiert dazu stets ein Funktional <math>F \colon E \rightarrow \R</math> mit <math>F(p) \geq 0</math> für alle <math>p \in  P</math> und <math>F(x) = f(x)</math> für alle <math>x \in  S</math>.''

=== Formulierung nach Hewitt/Stromberg ===
Eine etwas andere Formulierung des Fortsetzungssatzes von Krein findet man in der Monographie ''Real and Abstract Analysis'' der beiden der [[US-amerikanisch]]en Mathematiker [[Edwin Hewitt]] und [[Karl Robert Stromberg]]:<ref name="EH-KRS-a" />
: Gegeben seien ein <math>\R</math>-Vektorraum <math>E</math> und darin ein nichtleerer konvexer Kegel <math>P \subseteq E</math> sowie ein linearer Unterraum <math>S \subseteq E</math>.
:
: Hinsichtlich der Beziehungen zwischen dem Kegel <math>P</math> und den [[Gruppentheorie#Nebenklassen|Nebenklassen]] des Unterraums <math>S</math> soll gelten, dass ein Punkt <math>x \in  E</math> der Bedingung <math>\left( \left[ x + S \right] \cap P \right) \neq \emptyset</math> dann und nur dann genügt, wenn für den Spiegelpunkt <math>-x</math> die entsprechende Bedingung <math>\left( \left[ -x + S \right] \cap P \right) \neq \emptyset</math> gegeben ist.
:
: Dann gilt:
:: ''Ein auf dem Unterraum <math>S</math> definiertes positives lineares Funktional lässt sich stets zu einem auf dem gesamten Raum <math>E</math> definierten positiven linearen Funktional fortsetzen.''

== Unmittelbare Folgerung ==
Aus dem Krein'schen Fortsetzungssatz zieht man als unmittelbare Folgerung den folgenden Satz:<ref name="MAN-c">Neumark, op. cit., S. 85</ref>
: ''Ist <math>P</math> ein konvexer Kegel in einem lokalkonvexen topologischen <math>\R</math>-Vektorraum <math>E</math> und ist <math>p_0 \in P^{\circ}</math> ein darin gelegener innerer Punkt, so gibt es stets ein positives lineares Funktional <math>\phi \colon E \rightarrow \R</math> mit <math>{\phi} (p_0) = 1</math>.''

== Anmerkung ==
Hewitt und Stromberg bezeichnen den Krein'sche Fortsetzungssatz explizit als ''Krein's extension theorem for nonnegative linear functionals''.<ref name="EH-KRS-b">Hewitt/Stromberg , op. cit., S. 220</ref> In diesem Zusammenhang ist zu bemerken, dass man in der analytischen Fachliteratur statt von ''nichtnegativen linearen Funktionalen'' (o.&nbsp;ä.) nicht selten auch von ''positiven linearen Funktionalen'' (o.&nbsp;ä.) spricht. Gemeint sind in jedem Falle [[Reellwertige Funktion|reellwertige]] lineare Funktionale auf dem gegebenen topologischen Vektorraum, welche die von dem konvexen Kegel induzierte [[Ordnungsstruktur]] [[Monotone Abbildung|monoton]] in die Ordnungsstruktur von <math>\R </math> übertragen.

== Literatur ==
*{{Literatur
   |Autor=Edwin Hewitt, Karl R. Stromberg
   |Titel=Real and Abstract Analysis: A Modern Treatment of the Theory of Functions of a Real Variable
   |Reihe=Graduate Texts in Mathematics
   |BandReihe=25
   |Auflage=3.
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
   |Ort=New York, Heidelberg, Berlin
   |Datum=1975
   |ISBN=0-387-90138-8
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Hewitt&s5=Stromberg&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=367121 MR0367121]}}
* {{Literatur
   |Autor=M. G. Krein
   |Titel=Über positive additive Funktionale in linearen normierten Räumen ([[Ukrainische Sprache|ukrainisch]])
   |Sammelwerk=Comm. Soc. Math. [[Charkow]]
   |Band=14
   |Datum=1937
   |Seiten=227–237}}
* {{Literatur
   |Autor=M. G. Krein, [[M. A. Rutman]]
   |Titel=Linear operators leaving invariant a cone in a Banach space
   |Sammelwerk=Amer. Math. Soc. Translation
   |Band=1950
   |Datum=1950
   |Seiten=
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Krein&s5=Rutman&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=38008 MR0038008]}}
*{{Literatur
   |Autor=Mark Neumark
   |Titel=Normierte Algebren
   |Verlag=[[Verlag Harri Deutsch]]
   |Ort=Thun und Frankfurt / Main
   |Datum=1990
   |ISBN=3-8171-1001-4}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Krein, Fortsetzungssatz von]]
KKKategorie:Analysis]]



= Formel von Burnside =
Die '''Formel von Burnside''' ist eine [[Formel]] des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiets]] der [[Analysis]], welche auf den [[England|englischen]] [[Mathematik|Mathematiker]] [[William Burnside]] zurückgeht. Sie ist eng verwandt mit der [[Formel von Stirling]] und gibt wie diese eine [[Approximation]] der [[Fakultät (Mathematik)|Fakultätenfunktion]].<ref name="CA-RBN-a">Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''Bezaubernde Beweise: eine Reise durch die Eleganz der Mathematik.'' 2013, S. 269, 306–307</ref>

== Darstellung der Formel ==
Die Burnside’sche Formel lässt sich angeben wie folgt:<ref name="CA-RBN-b">Alsina/Nelsen, op. cit., S. 269</ref><ref name="FJM-a">Francis J. Murray: ''Formulas for Factorial N.''  Math. Comp. 39 (1982), S. 655–661</ref>
: <math>n! \sim \sqrt{2 \pi} \; \left(\ n + \frac {1}{2} \right)^{\left(\ n + \frac {1}{2} \right)} {\mathrm e}^{- \left(\ n + \frac {1}{2} \right)} = \sqrt{2 \pi} \; \left( \frac {n + \frac {1}{2}}{\mathrm e} \right)^{\left(\ n + \frac {1}{2} \right)} </math>

== Güte der Annäherung ==
[[Claudi Alsina]] und [[Roger B. Nelsen]] verweisen in ihrer Monographie ''Bezaubernde Beweise'' (Springer, 2013) darauf, dass die Burnside’sche Formel „ungefähr doppelt so genau wie die Stirling’sche Formel“<ref name="CA-RBN-b" /> ist und dass man ihre Herleitung „durch Näherungen für das [[Integralrechnung|Integral]] <math>\int_1^{n + \frac {1}{2}} {\ln(x)} \; \mathrm dx</math> “<ref name="CA-RBN-c">Alsina/Nelsen, op. cit., S. 306</ref> gewinnt.

== Siehe auch ==
* [[Gammafunktion#Näherungsweise Berechnung|Näherungsweise Berechnung der Gammafunktion]]

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=Claudi Alsina, Roger B. Nelsen
   |Titel=Bezaubernde Beweise: eine Reise durch die Eleganz der Mathematik
   |BandReihe=
   |Verlag=[[Springer Spektrum]]
   |Ort=Berlin (u.&nbsp;a.)
   |Datum=2013
   |ISBN=978-3-642-34792-4}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Francis J. Murray]]
   |Titel=Formulas for Factorial N
   |Sammelwerk=[[Mathematics of Computation]]
   |Band=39
   |Datum=1982
   |Seiten=655–661
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=JOUR&pg5=AUCN&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Mathematics&s5=Murray%2C%20Francis&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=669657 MR0669657]}}
* {{Literatur
   |Autor=W. Burnside
   |Titel=A rapidly convergent series for Log N!
   |Sammelwerk=The [[Messenger of Mathematics]]
   |Band=46
   |Datum=1917
   |Seiten=157–159}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />


KKKategorie:Analysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Burnside, Formel von]]



= Überdeckungslemma von Wiener =
Das '''Überdeckungslemma von Wiener''' ({{enS|''Wiener covering lemma''}}) ist ein [[mathematisch]]er [[Lehrsatz]], der im Übergangsfeld zwischen den [[Teilgebiete der Mathematik|Gebieten]] der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]], der [[Maßtheorie]] und der [[Harmonische Analysis|Harmonischen Analyse]] angesiedelt ist. Dieses Lemma wird dem [[US-amerikanisch]]en [[Mathematiker]] [[Norbert Wiener]] zugeschrieben und behandelt eine Fragestellung zu [[Offene Überdeckung|offenen Überdeckungen]] von [[Kompakte Teilmenge|kompakten Teilmengen]] im [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und in ''Räumen vom homogenen Typ''. Es ist verwandt mit einem ähnlichen Überdeckungslemma, welches auf den [[italien]]ischen Mathematiker [[Giuseppe Vitali]] zurückgeht. Beide Lemmata sind bedeutungsvoll für die Herleitung von Sätzen zur Frage der [[Punktweise Konvergenz|punktweisen Konvergenz]] von [[Fourier-Reihe]]n.<ref name="SGK-01">Steven G. Krantz: ''A Panorama of Harmonic Analysis.'' 1999, S. 71, 235 ff, 357</ref><ref name="DD-YH-01">Donggao Deng, Yongsheng Han: ''Harmonic Analysis on Spaces of Homogeneous Type.'' 1999, S. 13</ref><ref name="YK-01">Yitzhak Katznelson: ''An Introduction to Harmonic Analysis.'' 2004, S. 96 ff</ref><ref name="HH-01">Henry Helson: ''Harmonic Analysis.'' 1983, S. 130</ref>

== Formulierung ==
Das Lemma lässt sich angeben wie folgt:<ref name="SGK-02">Krantz, op. cit., S. 71, 246</ref><ref name="DD-YH-02">Deng/Han, op. cit., S. 13</ref>
:''Sei <math>X</math> der [[Dimension (Mathematik)|n-dimensionale]] euklidische Raum <math>\R^n \; (n \in \N)</math> oder – allgemeiner – ein '''Raum vom homogenen Typ''', für den <math>K</math> die in der Quasi-[[Dreiecksungleichung]]  erscheinende Konstante sein soll.''
:''In <math>X</math> seien eine kompakte Teilmenge <math>Y \neq \emptyset </math> gegeben und zudem eine [[Mengenfamilie|Familie]] <math>\mathcal {B}=\left( B(x_j, r_j) \right)_{j \in J}</math> von [[Offene Menge|offenen]] <math>X</math>-Kugeln, welche <math>Y</math> überdecken.''
:
:''Dann gilt:''
:''Es gibt in <math>\mathcal {B}</math> eine aus [[endlich viele]]n [[paarweise disjunkt]]en <math>X</math>-Kugeln bestehende Teilfamilie <math>\left( B(x_t, r_t) \right)_{t \in T} \; , \; T \subset J \; , \; |T| < \infty , </math> derart, dass für <math>M =2 K^2 + K</math> die <math>M</math>-fach vergrößerten  <math>X</math>-Kugeln <math>\left( B(x_t, M r_t) \right)_{t \in T}</math> eine Überdeckung von <math>Y</math> bilden.''
:''Im Falle <math>X = \R^n</math> kann dabei <math>K = 1</math> und damit <math>M = 3</math> gewählt werden.''

=== Erläuterungen und Anmerkungen ===
* Ein '''Raum vom homogenen Typ''' ({{enS|''space of homogeneous type''}}) ist eine mathematische Raumstruktur <math>X = (X,d,\mu)</math> über einer [[nichtleer]]en [[Grundmenge]] <math>X </math> derart, dass <math>(X,d)</math> ein [[Metrischer Raum#Nicht-archimedische Metriken|semimetrischer Raum]] und <math>(X,\mu)</math> ein [[Maßraum]] ist, wobei die folgenden Zusatzbedingungen gelten:
** Die Semimetrik <math>d \colon {X \times X} \to [0,\infty]</math>, welche die [[topologische Struktur]] von <math>(X,d)</math> erzeugt, hängt ab von einer Konstanten <math>K \geq 1</math>, so dass für <math>x,y,z \in X</math> stets die ''Quasi-Dreiecksungleichung'' ({{enS|''quasi-triangle inequality ''}}) <math>d(x,y) \leq K (d(x,z) + d(z,y))</math> erfüllt ist.<ref>Aufgrund dieser Ungleichung wird in der englischsprachigen Fachliteratur im hiesigen Kontext auch von einer ''quasi-metric'' gesprochen. Das Konzept der ''Quasimetrik'' wird allerdings in der deutschsprachigen Fachliteratur stellenweise – wie etwa in [[Horst Schubert]]s ''Topologie'' (4. Auflage, S. 114) – anders aufgefasst, nämlich so, dass zwar für zwei verschiedene Punkte sowohl der Abstand <math>0</math> als auch der Abstand <math>\infty</math> zugelassen sind, dass jedoch ansonsten die ''Quasimetrik'' alle üblichen Eigenschaften einer [[Metrischer Raum|Metrik]] besitzt und insbesondere die Dreiecksungleichung erfüllt.</ref>
** Der [[Maßraum#Definition|Maßraumstruktur]] von <math>(X,\mu)</math> liegt eine [[σ-Algebra]] <math>\mathcal{A}</math> über der Grundmenge <math>X</math> zugrunde, welche die [[borelsche σ-Algebra]] von <math>X</math> sowie alle <math>X</math>-Kugeln <math>B(x,r) = \{ p \in X \colon d(x,p) < r \}; ( x \in X \; , \; r > 0 )</math> enthält.<ref>Die <math>X</math>-Kugeln sind im Falle <math>K > 1</math> nicht notwendig [[offene Teilmenge]]n von <math>(X,d)</math>.</ref>
** <math>\mu \colon \mathcal{A} \to [0,\infty]</math> ist ein [[Maß (Mathematik)|Maß]] auf <math>\mathcal{A}</math>,
*** welches einerseits für jede <math>X</math>-Kugel <math>B(x,r)</math> die Ungleichungen <math>0 < \mu \bigl( B(x,r) \bigr) < \infty </math> erfüllt,
*** welches andererseits eine Konstante <math>L > 0</math> aufweist, so dass jede <math>X</math>-Kugel <math>B(x,r)</math> die ''Verdopplungseigenschaft'' <math>\mu \bigl( B(x,2r) \bigr) <  L \mu \bigl( B(x,r) \bigr)</math> hat,<ref>In der englischsprachigen Fachliteratur bezeichnet man die ''Verdopplungseigenschaft'' ({{enS|''doubling property''}}) auch als ''Verdopplungsbedingung'' ({{enS|''doubling condition''}}).</ref>
*** und welches schließlich für die [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] <math>x \in X</math> stets der Bedingung <math>\mu (\{ x \})=0</math> genügt.
* Im Falle <math>X = \R^n</math> wird in der Regel als <math>d</math> die übliche [[euklidische Metrik]] und als <math>\mu</math> das [[Lebesgue-Maß]] <math>\lambda^{n}</math> als gegeben vorausgesetzt.
*  Die Grundkonzeption der Räume vom homogenen Typ beruht auf Ideen, welche [[Kennan T. Smith]] und [[Lars Hörmander]] entwickelt haben und die in der heutigen Form im Wesentlichen von [[Ronald Raphael Coifman]] und [[Guido Weiss (Mathematiker)|Guido Weiss]] ausgearbeitet wurden. Eine weiter verallgemeinerte Auffassung des Konzepts gab [[Steven G. Krantz]] in seiner Monographie ''Explorations in Harmonic Analysis''.<ref name="SGK-03">Steven G. Krantz: ''Explorations in Harmonic Analysis.'' 2009, S. 192 ff</ref>
* Die Räume vom homogenen Typ sind nicht zu verwechseln mit den [[Homogener Raum|homogenen Räumen]].

== Das Überdeckungslemma von Vitali ==
Das Überdeckungslemma von Vitali ({{enS|''Vitali covering lemma''}}) lässt sich folgendermaßen formulieren:<ref name="YK-02">Katznelson, op. cit., S. 97</ref><ref name="HH-01" />
:''Ist <math>\left( I_j \right)_{j \in J}</math> eine nichtleere Familie von [[Reelles Intervall|reellen Intervallen]], die allesamt dem Intervall <math>\mathbb{T} = [0,2 \pi)</math> [[Teilmenge|angehören]] und die dabei eine [[Lebesgue-Maß|Lebesgue-messbare Menge]] <math>A \subseteq \mathbb{T}</math> überdecken, so lässt sich daraus eine [[Tupel|endliche]] oder [[unendliche Folge]] <math>\left( I_{j_m} \right)_{m=1,2,3,\ldots} </math> von paarweise disjunkten Intervallen auswählen, welche in Bezug auf das Lebesgue-Maß die [[Ungleichung]]''
::<math> \lambda^{1} \Bigl( \bigcup_{m=1,2,3,\ldots}{I_{j_m}} \Bigr) > \frac{1}{4} \lambda^{1} \Bigl( A \Bigr)</math>
:''erfüllt.''

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=Ronald R. Coifman, Guido L. Weiss
   |Titel=Analyse harmonique non-commutative sur certains espaces homogènes: étude de certaines intégrales singulières
   |TitelErg=Étude de certaines intégrales singulières
   |Reihe=Lecture Notes in Mathematics
   |BandReihe=242
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin, New York
   |Datum=1971
   |ISBN=
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Coifman&s5=Weiss&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=17&mx-pid=499948 MR0499948]}}
* {{Literatur
   |Autor=Ronald R. Coifman, Guido Weiss
   |Titel=Extensions of Hardy spaces and their use in analysis
   |Sammelwerk=[[Bulletin of the American Mathematical Society]]
   |Band=83
   |Datum=1977
   |Seiten=569–645
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Coifman&s5=Weiss&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=9&mx-pid=447954 MR0447954]}}
* {{Literatur
   |Autor=Donggao Deng, Yongsheng Han
   |Titel=Harmonic Analysis on Spaces of Homogeneous Type
   |TitelErg=With a preface by Yves Meyer
   |Verlag=Springer Verlag
   |Ort=Berlin, Heidelberg
   |Datum=2009
   |ISBN=978-3-540-88744-7
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Katznelson&s5=Analysis&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=2039503 MR2039503]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Henry Helson]]
   |Titel=Harmonic Analysis
   |Verlag=Addison-Wesley
   |Ort=Reading, Mass (u.&nbsp;a.)
   |Datum=1983
   |ISBN=0-201-12752-0
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Helson&s5=Harmonic&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=729682 MR0729682]}}
* {{Literatur
   |Autor=Lars Hörmander
   |Titel=L<sup>p</sup> estimates for (pluri-) subharmonic functions
   |Sammelwerk=[[Mathematica Scandinavica]]
   |Band=20
   |Datum=1967
   |Seiten=65–78
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=H%C3%B6rmander&s5=Subharmonic&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=234002 MR0234002]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Roberto A. Macías]], [[Carlos Segovia]]
   |Titel=Lipschitz functions on spaces of homogeneous type
   |Sammelwerk=[[Advances in Mathematics]]
   |Band=33
   |Datum=1979
   |Seiten=257–270
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Macias%20&s5=Segovia&s6=homogeneous&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=546295 MR0546295]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Yitzhak Katznelson]]
   |Titel=An Introduction to Harmonic Analysis
   |Reihe=Cambridge Mathematical Library
   |BandReihe=
   |Auflage=3.
   |Verlag=[[Cambridge University Press]]
   |Ort=Cambridge
   |Datum=2004
   |ISBN=0-521-54359-2
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=RT&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Krantz&s5=harmonic&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=1710388 MR1710388]}}
* {{Literatur
   |Autor=Steven G. Krantz
   |Titel=A Panorama of Harmonic Analysis
   |Reihe=Carus Mathematical Monographs
   |BandReihe=27
   |Verlag=[[Mathematical Association of America|The Mathematical Association of America]]
   |Ort=Washington, DC
   |Datum=1999
   |ISBN=0-88385-031-1
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=RT&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Krantz&s5=harmonic&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=1710388 MR1710388]}}
* {{Literatur
   |Autor=Steven G. Krantz
   |Titel=Explorations in Harmonic Analysis
   |Reihe=Applied and Numerical Harmonic Analysis
   |BandReihe=27
   |Verlag=[[Birkhäuser Verlag]]
   |Ort=Boston, Basel, Berlin
   |Datum=2009
   |ISBN=978-0-8176-4668-4
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Krantz&s5=Harmonic&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=2508404 MR2508404]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Horst Schubert (Mathematiker)|Horst Schubert]]
   |Titel=Topologie
   |Auflage=4.
   |Verlag=B. G. Teubner Verlag
   |Ort=Stuttgart
   |Datum=1975
   |ISBN=3-519-12200-6
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Schubert%2C%20Horst&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=423277 MR0423277]}}
* {{Literatur
   |Autor=K. T. Smith
   |Titel=A generalization of an inequality of Hardy and Littlewood
   |Sammelwerk=[[Canadian Journal of Mathematics]]
   |Band=8
   |Datum=1956
   |Seiten=157–170
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Smith&s5=Littlewood&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=9&mx-pid=86889 MR0086889]}}
* {{Literatur
   |Autor=Norbert Wiener
   |Titel=The Fourier Integral and Certain of its Applications
   |Verlag=[[Dover Publications|Dover Publications, Inc.]]
   |Ort=New York
   |Datum=1959
   |ISBN=
   |Kommentar=An unaltered republication of the 1933 edition [University Press, Cambridge]
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=RT&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Wiener&s5=Fourier&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=5&mx-pid=100201 MR0100201]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

SSSORTIERUNG:Überdeckungslemma von Wiener}}

KKKategorie:Topologie]]
KKKategorie:Maßtheorie]]
KKKategorie:Harmonische Analysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Wiener, Überdeckungslemma von]]



= Satz von Young (Fourier-Koeffizienten) =
Der '''Satz von Young über [[Fourier-Koeffizient]]en''' ist ein klassischer [[Lehrsatz]] des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiets]] der [[Harmonische Analyse|Harmonischen Analyse]]. Er geht auf den [[Vereinigtes Königreich|englischen]] [[Mathematiker]] [[William Henry Young]] zurück und behandelt die Frage, welche [[Nullfolge]]n als [[Folge (Mathematik)|Folgen]] von Fourier-Koeffizienten [[Lebesgue-integrierbar]]er [[Reelle Funktion|reeller Funktionen]] auftreten. Wie der Mathematiker [[Jürgen Elstrodt]] in seinem Lehrbuch ''Maß- und Integrationstheorie'' anmerkt, gilt diese Frage als ''ein schwieriges Problem in der Theorie der [[Fourier-Reihe]]n''. Der erwähnte Satz sei ''einer der schönsten Sätze von Young''.<ref name="JE-01">Jürgen Elstrodt: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 2011, S. 138</ref><ref name="ZT-01">Živorad Tomovski: ''Convergence and integrability for some classes of trigonometric series.'', Dissertationes Mathematicae 420, S. 1 ff, S. 6</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Satz lässt sich folgendermaßen formulieren :<ref name="JE-01" />
: ''Ist <math>\left( a_n \right)_{n=1,2,3,\ldots}</math> eine konvexe Nullfolge [[Positive Zahl|positiver reeller Zahlen]],''
: ''so ist die daraus gebildete [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] <math>\sum_{n=1}^{\infty} \bigl( a_n \cos {nt} \bigr)</math> die Fourierreihe einer Lebesgue-integrierbaren [[Gerade Funktion|geraden Funktion]],''
: ''d.h., es gibt eine Lebesgue-integrierbare gerade Funktion <math>f \colon[-\pi,\pi] \to \R</math> derart,''
: ''dass für <math>n=1,2,3,\ldots</math> stets die Gleichung  <math>a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \bigl( f(t) \cos {nt} \bigr) \mathrm dt</math> erfüllt ist.''

=== Erläuterungen ===
* In der Folgenlehre benutzt man einen ''Delta-Operator'', welcher so wirkt, dass durch ihn einer Folge <math>\left( z_n \right)_{n=1,2,3,\ldots}</math> von [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] (bzw. einer Folge von [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] oder allgemeiner einer Folge in einer [[Abelsche Gruppe|abelschen Gruppe]]) die ''Folge der sukzessiven [[Subtraktion|Differenzen]]'' [[Funktion (Mathematik)|zugeordnet]] wird. Dabei geht <math>\left( z_n \right)_{n=1,2,3,\ldots}</math> in die neue Folge <math>\left( \Delta {z_n} \right)_{n=1,2,3,\ldots} = \left( z_n - z_{n+1}\right)_{n=1,2,3,\ldots}</math> über.
* Die zweifache Anwendung des Delta-Operators auf die Folge <math>\left( z_n \right)_{n=1,2,3,\ldots}</math> ergibt die weitere Folge <math>\left( {\Delta}^2 {z_n} \right)_{n=1,2,3,\ldots} = \left( z_n - 2 z_{n+1} + z_{n+2} \right)_{n=1,2,3,\ldots}</math>.
* Man nennt eine Folge reeller Zahlen eine ''konvexe Folge'', wenn für <math>n=1,2,3,\ldots</math> stets die [[Ungleichung]] <math>{\Delta}^2 {z_n} \geq 0</math> erfüllt ist.<ref name="AZ-01">Antoni Zygmund: ''Trigonometric Series. Vol. I.'' 1977, S. 93 ff</ref>
* Die genannte Konvexitätsbedingung bedeutet, dass für <math>n=1,2,3,\ldots</math> stets die Ungleichung <math>z_{n+1} \leq \frac {z_n + z_{n+2}}{2}</math> besteht.

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Jürgen Elstrodt]]
   |Titel=Maß- und Integrationstheorie
   |Reihe=Springer-Lehrbuch - Grundwissen Mathematik
   |Auflage=7., korrigierte und aktualisierte
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
   |Ort=Heidelberg (u. &nbsp; a.)
   |Datum=2011
   |ISBN=978-3-642-17904-4}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Živorad Tomovski]]
   |Titel=Convergence and integrability for some classes of trigonometric series
   |Sammelwerk=[[Dissertationes Mathematicae|Dissertationes Mathematicae (Rozprawy Matematyczne)]]
   |Band=420
   |Datum=2003
   |Seiten=
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Tomovski&s5=Convergence&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=2030824 MR2030824]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Antoni Zygmund]]
   |Titel=Trigonometric Series. Volumes I and II
   |TitelErg=Reprinting of the 1968 Version of the Second Edition
   |BandReihe=
   |Auflage=2.
   |Verlag=[[Cambridge University Press]]
   |Ort=Cambridge, London, New York, Melbourne
   |Datum=1977
   |ISBN=0-521-07477-0
   |Seiten=
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Zygmund&s5=Trigonometric%20series&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=617944 MR0617944]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

SSSORTIERUNG:Satz von Young (Fourier-Koeffizienten)}}
KKKategorie:Harmonische Analysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Young (Fourier-Koeffizienten)]]



= Satz von Bishop = 
Der '''Satz von Bishop''' ist ein [[Lehrsatz]] des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Funktionalanalysis]], der auf eine Arbeit des [[Vereinigte Staaten|US-amerikanischen]] [[Mathematiker]]s [[Errett Bishop]] aus dem Jahr 1961 zurückgeht. Er ist eng mit dem [[Approximationssatz von Stone-Weierstraß]] verbunden, welchen er als unmittelbare Folge nach sich zieht und damit verallgemeinert. Der bishopsche Satz lässt sich mit Hilfe der Sätze von [[Satz von Krein-Milman|Krein-Milman]], [[Satz von Hahn-Banach|Hahn-Banach]] und [[Satz von Banach-Alaoglu|Banach-Alaoglu]] herleiten.<ref name="WR-01">Walter Rudin: ''Functional Analysis.'' 1991, S. 121 ff</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Er lässt sich angeben wie folgt:<ref name="WR-02">Rudin, op. cit., S. 121</ref>
:''Gegeben seien ein [[Kompakter Raum|kompakter]] [[Hausdorff-Raum]] <math>X \neq \emptyset</math> und dazu die [[Funktionenraum|Funktionenalgebra]] <math>C = C(X, \mathbb{C})</math> der [[Stetige Funktion|stetigen]] [[Komplexwertige Funktion|komplexwertigen Funktionen]] <math>f \colon X \to \mathbb{C}</math>.''
:
:''Darin sei eine [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene]] [[Algebra über einem Körper#Unteralgebren und Ideale|Unteralgebra]] <math>A \subseteq C</math> gegeben und weiter ein <math>g \in C</math>.''
:
:''<math>A</math> enthalte die [[Konstante Funktion|konstanten Funktionen]] und darüber hinaus gelte folgende Bedingung:''
::'' Ist <math>E \subseteq X</math> irgend eine [[Maximales Element|maximale]] <math>A</math>-antisymmetrische [[Teilmenge]], so gibt es stets ein <math>f \in A</math> mit <math>g(x) = f(x)</math> für alle <math>x \in E</math>.''
:
:
:''Dann ist <math>g \in A</math>.''

=== Erläuterungen und Anmerkungen ===
* Die Funktionenalgebra <math>C</math> ist wie üblich mit der [[Supremumsnorm]] versehen.
* Abgeschlossenheit innerhalb der Funktionenalgebra <math>C</math> ist im Sinne der aus der [[Supremumsnorm]] erwachsenden [[Topologischer Raum|Topologie]] der [[Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßigen Konvergenz]] zu verstehen.
* In der Funktionenalgebra <math>C</math> ist <math>A \subseteq C</math> genau dann eine Unteralgebra, wenn <math>A</math> ein [[linearer Unterraum]] von <math>C</math> ist und zudem die Eigenschaft hat, dass für je zwei <math>f_1 \in A</math> und <math>f_2 \in A</math> stets auch für die durch komplexe [[Multiplikation]] entstehende Funktion <math>f_1 f_2 \colon X \to \mathbb{C} \; , \; x \mapsto f_1(x) f_2(x) \; , \;</math> in <math>A</math> [[Elementrelation|enthalten]] ist.
* Eine [[Teilmenge]] <math>E \subseteq X</math> wird ''<math>A</math>-antisymmetrisch'' genannt, wenn jedes <math>f \in A</math> mit <math>f(E) \subseteq {\mathbb R}</math> stets eine konstante Funktion ist.
* Eine maximale <math>A</math>-antisymmetrische Teilmenge ist eine solche, welche von keiner anderen <math>A</math>-antisymmetrischen  Teilmenge [[Obermenge|echt umfasst]] wird.
* Jede maximale <math>A</math>-antisymmetrische Teilmenge ist innerhalb des topologischen Raums <math>X</math> abgeschlossen.
* Das [[Mengensystem]] aller maximalen <math>A</math>-antisymmetrischen Teilmenge bildet eine [[Partition (Mengenlehre)|Zerlegung]] von <math>X</math>.
* Den Approximationssatz von Stone-Weierstraß gewinnt man aus dem Satz von Bishop, indem man berücksichtigt, dass wegen der beim Approximationssatz gemachten Voraussetzungen keine <math>A</math>-antisymmetrische Teilmenge zwei oder mehr [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] enthalten kann.

== Das Lemma von Machado ==
Zum Satz von Bishop und zum Approximationssatz von Stone-Weierstraß hat der [[Brasilien|brasilianische]] [[Mathematiker]] [[Silvio Machado]] ein Lemma geliefert, mit dem er diese Resultate auf neuem Wege hergeleitet und verallgemeinert hat. Es ergibt sich auf '''nichtkonstruktivem''' Wege, nämlich unter Anwendung des [[Lemma von Zorn|zornschen Lemmas]]. Das Lemma von Machado lässt sich angeben wie folgt:<ref name="MOS-1">Mícheál Ó Searcóid: ''Elements of Abstract Analysis.'' 2002, S. 241</ref>
:''Gegeben seien ein Hausdorffraum <math>X \neq \emptyset</math> und dazu die Funktionenalgebra <math>C_0= C_0(X, \mathbb{K})</math> der [[C0-Funktion|im Unendlichen verschwindenden stetigen Funktionen]] <math>f \colon X \to \mathbb {K}</math>, wobei <math>{\mathbb K}</math> der [[Körper der reellen Zahlen]] oder der [[Körper der komplexen Zahlen]] sein möge.''
:
:''Weiterhin sei <math>A</math> eine abgeschlossene Unteralgebra von <math>C_0</math> und <math>f_0 \in C_0</math> .''
:
:''Dann gilt:''
: ''Es existiert eine [[nichtleer]]e abgeschlossene <math>A</math>-antisymmetrische Teilmenge <math>E \subseteq X </math> mit der Eigenschaft, dass hinsichtlich der zugehörigen [[Distanzfunktion]]en die Gleichung <math>{\operatorname {dist}}_E (f_0,A) = {\operatorname {dist}}_X (f_0,A) </math> erfüllt ist.''

=== Erläuterungen und Anmerkungen ===
* In der Funktionenalgebra <math>C_0</math> gelten hinsichtlich [[Normierter Raum|Norm]] und Topologie die gleichen Gegebenheiten wie oben.
* Man sagt von einer (stetigen) Funktion <math>f \colon X \to \mathbb{K}</math>, dass sie ''im Unendlichen verschwindet'', wenn zu jeder beliebigen [[Positive Zahl|positiven Zahl]] <math>\epsilon</math> eine [[kompakte Teilmenge]] <math>C \subseteq X</math> existiert, so dass für <math>x \in {X \setminus C} </math> stets <math>|f(x)| < \epsilon</math> erfüllt ist.
*Für eine Teilmenge <math>S \subseteq X </math> und eine Funktion <math>f \in C_0</math> ist hierbei <math>{\operatorname {dist}}_S (f,A) = \inf_{g \in A} \| f - g \|_S </math>, wobei <math> \| f \|_S = \sup_{x \in S} | f(x) |</math> bedeutet und <math> | \cdot |</math> die [[Betragsfunktion]] ist.

=== Eine verallgemeinerte Fassung des Approximationssatzes von Stone-Weierstraß ===
Sie besagt:<ref name="MOS-02">Ó Searcóid, op. cit., S. 243</ref>
:''Hat die im Lemma von Machado auftretende abgeschlossene Unteralgebra <math>A \subseteq  C_0</math> die im Approximationssatz genannten [[Satz von Stone-Weierstraß#Satz|allgemeinen Eigenschaften]], so ist <math>A = C_0</math>.''
:''Das heißt:.''
:''Für jede abgeschlossene Unteralgebra <math>A \subseteq  C_0</math>, welche die folgenden drei Eigenschaften hat, nämlich:''
::'' '''1.''' dass zu je zwei [[Paarweise verschieden|verschiedenen]] <math>x , y \in X</math> ein <math>f \in A</math> existiert mit <math>f(x)\neq f(y)</math>,''
::'' '''2.''' dass zu jedem <math>x \in X</math> ein <math>g \in A</math> existiert mit <math>g(x)\neq 0</math>,''
::'' '''3.''' dass – im Falle <math>\mathbb{K} = \mathbb{C}</math> – mit jedem <math>f \in A</math> auch die zugehörige [[konjugiert-komplex]]e Funktion <math>\overline{f} \colon X \to \mathbb {K}, x \mapsto \overline{f(x)},</math> in <math>A</math> [[Elementrelation|enthalten]] ist,''
:
:''gilt auch schon <math>A = C_0</math>.''

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=Errett Bishop
   |Titel=A generalization of the Stone-Weierstrass theorem
   |Sammelwerk=[[Pacific Journal of Mathematics]]
   |Band=11
   |Datum=1961
   |Seiten=777–783
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=JOUR&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Bishop&s5=Pacific&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=7&mx-pid=133676 MR0133676]}}
* {{Literatur
   |Autor=Silvio Machado
   |Titel=On Bishop's generalization of the Weierstrass-Stone theorem
   |Sammelwerk=[[Königlich Niederländische Akademie der Wissenschaften|Indagationes Mathematicae]]
   |Band=39
   |Datum=1977
   |Seiten=218–224
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Machado%2C%20Silvio&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=448046 MR0448046]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Friedrich Hirzebruch]], [[Winfried Scharlau (Mathematiker)|Winfried Scharlau]]
   |Titel=Einführung in die Funktionalanalysis
   |Reihe=Reihe "B. I.-Hochschultaschenbücher"
   |BandReihe=296
   |Verlag=[[Bibliographisches Institut]]
   |Ort=Mannheim, Wien, Zürich
   |Datum=1971
   |ISBN=3-411-00296-4
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Scharlau%2C%20Winfried&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=35&mx-pid=463864 MR0463864]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Thomas J. Ransford]]
   |Titel=A short elementary proof of the Bishop-Stone-Weierstrass theorem
   |Sammelwerk=[[Cambridge Philosophical Society|Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society]]
   |Band=96
   |Datum=1984
   |Seiten=309–311
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=RT&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Machado&s5=Weierstrass-Stone%20theorem&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=757664 MR0757664]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Walter Rudin]]
   |Titel=Functional Analysis
   |Reihe=International Series in Pure and Applied Mathematics
   |BandReihe=
   |Auflage=2.
   |Verlag=[[McGraw-Hill]]
   |Ort=Boston (u.&nbsp;a.)
   |Datum=1991
   |ISBN=0-07-054236-8
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Rudin&s5=Functional%20Analysis&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=1157815 MR1157815]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Mícheál Ó Searcóid]]
   |Titel=Elements of Abstract Analysis
   |Reihe=Springer Undergraduate Mathematics Series
   |BandReihe=15
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=London (u.&nbsp;a.)
   |Datum=2002
   |ISBN=1-85233-424-X
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=%C3%93%20Searc%C3%B3id%2C%20M%C3%ADche%C3%A1l&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=1870768 MR1870768]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Stephen Willard]]
   |Titel=General Topology
   |Reihe=Addison-Wesley Series in Mathematics
   |Verlag=[[Addison-Wesley]]
   |Ort=Reading, Massachusetts (u.&nbsp;a.)
   |Datum=1970
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?pg1=MR&s1=0264581&loc=fromrevtext MR0264581]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Bishop, Satz von]]



= Satz von Wiener =
Der '''Satz von Wiener''' ({{enS|Wiener’s <math>1/f</math> theorem}} oder {{lang|en|Wiener’s theorem}}) ist ein klassischer [[mathematisch]]er [[Lehrsatz]], der im Übergangsfeld zwischen den [[Teilgebiete der Mathematik|Gebieten]] der [[Harmonische Analysis|Harmonischen Analyse]] und der [[Funktionalanalysis]] angesiedelt ist. Er geht auf eine Arbeit des [[US-amerikanisch]]en [[Mathematiker]]s [[Norbert Wiener]] aus dem Jahre 1932 zurück und behandelt die Frage der [[Reihenentwicklung]]sfähigkeit von [[Kehrwert]]en gewisser [[Fourier-Reihe]]n.<ref name="NW-01">Norbert Wiener: ''Tauberian theorems''. In: ''Ann. of Math.'', 33 (2), S. 1–100</ref><ref name="SKB-01">Sterling K. Berberian: ''Lectures in Functional Analysis and Operator Theory.'' 1974, S. 1 ff, S. 267 ff</ref><ref name="MAN-01">M. A. Neumark: ''Normierte Algebren.'' 1990, S. 221</ref><ref name="KY-01">Kōsaku Yosida: ''Functional Analysis.'' 1980, S. 301</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Satz von Wiener lautet wie folgt:<ref name="SKB-02">Berberian, op. cit., S. 1</ref><ref name="KY-01" />
: ''Der Kehrwert einer [[Nullstellenmenge|nichtverschwindenen]], [[Absolut konvergente Reihe|absolut konvergenten]] trigonometrischen Reihe ist stets selbst eine absolut konvergente trigonometrische Reihe.''
: ''Es gilt also mit anderen Worten:''
: ''Ist <math>\left( a_n \right)_{n \in \Z}</math> eine [[Folge (Mathematik)|Folge]] von [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] mit''
:: <math>\sum_{n=-\infty}^{\infty} |a_n| < \infty </math>
: ''und besitzt die durch''
:: <math>f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n e^{in t} \; ( t \in \R)</math>
: ''definierte [[komplexwertige Funktion]] <math> f \colon \R \to \Complex </math> keine [[Nullstelle]], so existiert eine Folge <math>\left( b_n \right)_{n \in \Z}</math> komplexer Zahlen, so dass''
:: <math>\sum_{n=-\infty}^{\infty} |b_n| < \infty </math>
: '' gilt und zugleich die mittels Kehrwertbildung entstehende Funktion <math>g \colon \R \to \Complex \;,\; t \mapsto g(t) = \frac{1}{f(t)} \; ( t \in \R)</math> in der Form''
:: <math> g(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} b_n e^{in t} \; ( t \in \R)</math>
: ''darstellbar ist.''

== Zu Hintergrund und Beweis ==
Der US-amerikanische Mathematiker [[Sterling K. Berberian]] vollzieht in seinem Lehrbuch ''Lectures in Functional Analysis and Operator Theory'' den Beweis von [[Israel Moissejewitsch Gelfand|I. M. Gel'fand]] aus dem Jahre 1941 nach und hebt in diesem Zusammenhang hervor, dass dieser Beweis Gel'fands einen ''frühen Triumph der funktionalanalytischen Betrachtungsweise'' („early triumph of the functional-analytic point of view“) darstelle.<ref name="SKB-03">Berberian, op. cit., S. 1–10</ref> Daneben gibt es zahlreiche weitere Beweise, darunter auch einen elementaren Beweis von [[:en:Donald J. Newman|Donald Joseph Newman]] (1930–2007).<ref name="DJN-01">D. J. Newman: ''A simple proof of Wiener’s 1/f theorem''. In: ''Proc. Amer. Math. Soc.'', 48, S. 264–265</ref> Der Wienersche Satz ergibt sich ebenfalls als Korollar aus weiterreichenden Sätzen der Theorie der [[Kommutative Algebra|kommutativen]] [[Banachalgebra|Banachalgebren]].<ref name="MAN-01" /><ref name="SKB-04">Berberian, op. cit., S. 267–269</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Sterling K. Berberian]]
   |Titel=Lectures in Functional Analysis and Operator Theory
   |Reihe=Graduate Texts in Mathematics
   |BandReihe=15
   |Verlag=Springer Verlag
   |Ort=New York / Heidelberg / Berlin
   |Datum=1974
   |ISBN=0-387-90080-2
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Berberian%2C%20Sterling%20K.%20&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=8&mx-pid=417727 MR0417727]}}
* {{Literatur
   |Autor=I. M. Gel'fand
   |Titel=Über absolut konvergente trigonometrische Reihen und Integrale
   |Sammelwerk=[[Matematitscheskii sbornik]]<ref>{{ruS|Математический сборник}}</ref> (N.S.)
   |Band=9 (51)
   |Datum=1941
   |Seiten=51–66
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Gelfand&s5=%C3%9Cber&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=4727 MR0004727]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Mark Neumark|M. A. Neumark]]
   |Titel=Normierte Algebren
   |Verlag=Verlag Harri Deutsch
   |Ort=Thun / Frankfurt/Main
   |Datum=1990
   |ISBN=3-8171-1001-4
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Neumark&s5=Algebren&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=1038909 MR1038909]}}
* {{Literatur
   |Autor=D. J. Newman
   |Titel=A simple proof of Wiener’s 1/f theorem
   |Sammelwerk=[[Proceedings of the American Mathematical Society]]
   |Band=48
   |Datum=1975
   |Seiten=264–265
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Newman&s5=A%20simple%20proof%20of%20Wiener%27s%20&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR0365002]}}
* {{Literatur
   |Autor=Norbert Wiener
   |Titel=Tauberian Theorems
   |Sammelwerk=[[Annals of Mathematics]]
   |Band=33 (2)
   |Datum=1932
   |Seiten=1–100
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Wiener&s5=Tauberian&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=5&mx-pid=1503035 MR1503035]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Kōsaku Yosida]]
   |Titel=Functional Analysis
   |Reihe=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften
   |BandReihe=123
   |Auflage=6.
   |Verlag=Springer Verlag
   |Ort=New York / Heidelberg / Berlin
   |Datum=1980
   |ISBN=3-540-10210-8}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Harmonische Analysis]]
KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Wiener]]

= Nepersche Ungleichung =
Die '''Nepersche Ungleichung''' ({{enS|''Napier’s inequality''}}) ist eine [[Ungleichung]] des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiets]] der [[Analysis]], die auf den [[Schottland|schottischen]] [[Mathematiker]] [[John Napier]] (1550–1617) zurückgeht. Sie liefert elementare [[Abschätzung|untere und obere Abschätzungen]] für den [[Reelle Funktion|reellen]] [[Natürlicher Logarithmus|natürlichen Logarithmus]].<ref name="CA-RBN-1">Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''Math Made Visual: Creating Images for Understanding Mathematics.'' 2006, S. 16</ref>

== Darstellung der Ungleichung ==
Die Ungleichung lautet folgendermaßen:<ref name="CA-RBN-1" />
:''Gegeben seien zwei [[Reelle Zahl|reelle Zahlen]] <math>a</math> und <math>b</math> und es gelte <math>0 < a < b</math>.''
:''Dann bestehen die Ungleichungen''
: '''(N)''' <math>\frac {1}{b} < \frac {\ln b - \ln a}{b-a} < \frac {1}{a}</math>&nbsp;.

== Herleitung der neperschen Ungleichung mittels Integralrechnung ==
Mit der neperschen Ungleichung gleichwertig ist die folgende:
: '''(N<sup>'</sup>)''' <math>\frac {b-a}{b} < \ln b - \ln a < \frac {b-a}{a}</math>&nbsp;.

Also erhält man die neperschen Ungleichung mittels [[Integralrechnung]]. Denn danach ist der mittlere [[Term]] von '''(N<sup>'</sup>)''' nichts weiter als der [[Flächeninhalt#Integralrechnung|Inhalt der Fläche]] unterhalb des [[Funktionsgraph]]s der reellen [[Kehrwert]]funktion im [[Reelles Intervall|Intervall]] <math>[a, b]</math>.

== Anwendung ==
Eine nützliche Anwendung der neperschen Ungleichung ergibt sich, wenn man darin <math>a=1</math> sowie – für eine [[natürliche Zahl]] <math>n</math> – noch <math>b=1+\tfrac {1}{n}</math> setzt.

Dann nämlich ergibt sich wegen <math>b-a=\tfrac {1}{n}</math> und <math>\ln a = 0</math>
: <math>\frac {1}{1 + \frac {1}{n} }< \frac {\ln \left( 1+ \frac {1}{n}  \right)}{\frac {1}{n} } < \frac {1}{1} </math>

und weiter
: <math>\frac {n}{n+1}< n \cdot \ln \left( 1+ \frac {1}{n} \right) < 1 </math>

und schließlich
: <math>\frac {n}{n+1}< \ln {\left( 1+ \frac {1}{n} \right)}^n < 1 </math>&nbsp;.

Durch [[Grenzwert (Folge)|Limesbildung]] erhält man dann
:<math>\lim_{n \to \infty} { \ln {\left( 1+ \frac {1}{n} \right)}^n }= 1 </math>

und es folgt aus [[Stetigkeit]]sgründen und durch Anwendung der [[Exponentialfunktion]]
:<math>\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = \exp (1) = e </math>&nbsp;.

== Verwandte Ungleichungen ==
Die nepersche Ungleichung lässt sich erheblich verschärfen. Dies zeigt etwa die [[Ungleichung von Hermite-Hadamard]], welche die nepersche Ungleichung nach sich zieht. Denn berücksichtigt man hier die Tatsache , dass die [[Einschränkung]] der reellen Umkehrfunktion auf das [[Reelles Intervall|Intervall]] <math>]0,\infty[</math> der [[Positive Zahl|positiven Zahlen]] eine [[konvexe Funktion]] ist, so ergeben sich für <math>0 < a < b</math> sogleich die Abschätzungen
: <math> \frac {1}{\left( \tfrac{a+b}{2}\right)}  \leq  \frac {\ln b - \ln a}{b-a}  \leq \frac{\frac {1}{a} + \frac {1}{b}}{2} </math>

und damit
: <math> \frac {2}{a+b}  \leq  \frac {\ln b - \ln a}{b-a}  \leq \frac {1}{2} \left(  \frac {1}{a} + \frac {1}{b} \right)</math>&nbsp;.<ref>Die vordere Ungleichung, wenn auch formuliert für die Kehrwerte, findet man in: D. S. Mitrinović: ''Analytic Inequalities.'' 1970, S. 273</ref>

Für den Fall, dass insbesondere <math>b=a+1</math> ist, hat man sogar die folgenden – und für diesen Fall besseren! – Abschätzungen:<ref name="DSM_n1">D. S. Mitrinović: ''Analytic Inequalities.'' 1970, S. 273–274</ref>
: <math> \frac {2}{2a+1}  <  \ln \left( 1 + \frac {1}{a} \right) < \frac {1}{\sqrt{a^2+a}} </math>&nbsp;.

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Claudi Alsina]], [[Roger B. Nelsen]]
   |Titel=Math Made Visual: Creating Images for Understanding Mathematics
   |Reihe=Classroom Resource Materials Series
   |Verlag=The [[Mathematical Association of America]]
   |Ort=Washington, DC
   |Datum=2006
   |ISBN=0-88385-746-4
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Alsina&s5=Visual&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=2216733 MR2216733]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Dragoslav Mitrinović|D. S. Mitrinović]]
   |Titel=Analytic Inequalities
   |TitelErg=In cooperation with [[Petar Vasić|P. M. Vasić]]
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
   |BandReihe=165
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin (u.&nbsp;a.)
   |Datum=1970
   |ISBN=3-540-62903-3
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Mitrinovi%C4%87&s5=Analytic%20Inequalities&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=274686 MR0274686]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Nepersche Ungleichung]]

KKKategorie:Ungleichung|Nepersche Ungleichung]]



= Ungleichung von Schur =
Die '''Ungleichung von Schur''' ({{enS|''Schur’s inequality''}}) ist eine von mehreren klassischen [[Ungleichung]]en, die der [[Mathematiker]] [[Issai Schur]] auf dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Gebiet]] der [[Analysis]] beigesteuert hat.<ref name="DSM-1a">D. S. Mitrinović: ''Analytic Inequalities.'' 1970, S. 119 ff</ref><ref name="GHH-JEL-GP-1a">G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya: ''Inequalities.'' 1964, S. 64</ref><ref name="CA-RBN-I">Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''When Less is More : Visualizing Basic Inequalities.'' 2009, S. 37–38</ref>

== Darstellung der Ungleichung ==
Die Ungleichung lautet folgendermaßen:<ref name="DSM-1a" /><ref name="GHH-JEL-GP-1a" /><ref name="CA-RBN-I" />
:''Gegeben seien [[Reelle Zahl|reelle Zahlen]] <math>r,x,y,z</math> und dabei gelte <math>x,y,z > 0</math>.''
:''Dann besteht die Ungleichung''
:: <math>x^r (x-y) (x-z) + y^r (y-z) (y-x) + z^r (z-x) (z-y) \geq 0</math>
:''und es gilt hierbei das [[Gleichheitszeichen]] genau dann, wenn die drei Zahlen <math>x,y,z </math> alle übereinstimmen.''

== Anwendung ==
In Anwendung der obigen schurschen Ungleichung (mit <math>r=2</math>) lässt sich eine der zahlreichen geometrischen Ungleichungen in der [[Dreiecksgeometrie]] der [[Euklidische Ebene|euklidischen Ebene]] herleiten:<ref name="CA-RBN-II">Alsina / Nelsen, op. cit., S. 38</ref>
: ''Ist in der euklidischen Ebene ein beliebiges Dreieck <math>ABC</math> gegeben, dessen [[Polygon|Seiten]] die [[Länge (Mathematik)|Längen]] <math>a, b, c </math> haben sollen, und ist hier <math>s</math> gleich dem [[halb]]en [[Umfang (Geometrie)|Umfang]] von <math>ABC</math>, so gilt stets die Ungleichung''
:: <math>abcs  \geq a^3 \cdot (s-a) + b^3 \cdot (s-b)+ c^3 \cdot (s-c)</math>

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Claudi Alsina]], [[Roger B. Nelsen]]
   |Titel=When Less is More : Visualizing Basic Inequalities
   |Reihe=The Dolciani Mathematical Expositions
   |BandReihe=36
   |Verlag=The [[Mathematical Association of America]]
   |Ort=Washington, DC
   |Datum=2009
   |ISBN=978-0-88385-342-9
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Alsina&s5=Nelsen&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=10&mx-pid=2498836 MR2498836]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[G. H. Hardy]], [[John Edensor Littlewood|J. E. Littlewood]], [[George Pólya|G. Pólya]]
   |Titel=Inequalities
   |TitelErg=Reprint (of the 2. edition 1952)
   |BandReihe=
   |Verlag=[[Cambridge University Press]]
   |Ort=Cambridge
   |Datum=1973
   |ISBN=
   |Seiten=}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Dragoslav Mitrinović|D. S. Mitrinović]]
   |Titel=Analytic Inequalities
   |TitelErg=In cooperation with [[Petar Vasić|P. M. Vasić]]
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
   |BandReihe=165
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin (u.&nbsp;a.)
   |Datum=1970
   |ISBN=3-540-62903-3
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Mitrinovi%C4%87&s5=Analytic%20Inequalities&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=274686 MR0274686]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Schur, Ungleichung von]]

KKKategorie:Ungleichung|Schur, Ungleichung von]]



= Ungleichung von Guha =
Die '''Ungleichung von Guha''' ({{enS|''Guha’s inequality''}}) ist eine von mehreren elementaren [[Ungleichung]]en im Umfeld der [[AGM-Ungleichung]] und lässt sich als solche dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Gebiet]] der [[Analysis]] zurechnen. Sie geht auf eine [[wissenschaftliche Publikation]] von U. C. Guha aus dem Jahre 1967 zurück.<ref name="CA-RBN-a">Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''When Less is More : Visualizing Basic Inequalities.'' 2009, S. 29</ref><ref name="PSB-DSM-PMV-a">P. S. Bullen, D. S. Mitrinović, Petar M. Vasić: ''Means and Their Inequalities.'' 1988, S. 77</ref>

== Darstellung der Ungleichung ==
Die Ungleichung lautet folgendermaßen:<ref name="CA-RBN-a" /><ref name="PSB-DSM-PMV-a" />
:''Gegeben seien [[Reelle Zahl|reelle Zahlen]] <math>a,p,q,x,y</math> und für diese gelte <math>a \geq 0</math> sowie <math>p \geq q > 0</math> und <math>x \geq y > 0</math>.''
:''Dann ist:''
:: <math> \bigl(px + y + a \bigr) \cdot \bigl(x + qy + a \bigr) \geq \bigl((p+1)x + a \bigr) \cdot \bigl((q+1)y + a \bigr)</math>

== Anmerkungen ==
* Die Bedeutung der Ungleichung liegt darin, dass sie, wie Guha 1967 zeigte, eine einfache und zugleich geschickte Herleitung der AGM-Ungleichung für beliebig (jedoch [[Endlich viele|endlich]]) viele [[nichtnegative Zahl]]en ermöglicht.<ref name="CA-RBN-b">Alsina / Nelsen, op. cit., S. 29–30</ref><ref name="PSB-DSM-PMV-a" />
* Der Beweis der Ungleichung lässt sich rein [[algebraisch]] führen. Mittels [[Term#Algebraische Umformungen|algebraischer Umformungen]] kann man ihre Gleichwertigkeit mit der Ungleichung <math> \left(px - qy \right) \cdot \left(x - y \right) \geq 0</math> nachweisen, welche aufgrund der getroffenen Voraussetzungen offenbar gültig ist. Sie lässt sich ebenfalls auf [[geometrisch]]-anschauliche Weise zeigen.<ref name="CA-RBN-a" />
* Es gilt das [[Gleichheitszeichen]] genau im Falle  <math>x = y</math>.<ref name="CA-RBN-a" />

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Claudi Alsina]], [[Roger B. Nelsen]]
   |Titel=When Less is More : Visualizing Basic Inequalities
   |Reihe=The Dolciani Mathematical Expositions
   |BandReihe=36
   |Verlag=The [[Mathematical Association of America]]
   |Ort=Washington, DC
   |Datum=2009
   |ISBN=978-0-88385-342-9
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Alsina&s5=Nelsen&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=10&mx-pid=2498836 MR2498836]}}
* {{Literatur
   |Hrsg=[[P. S. Bullen]], [[Dragoslav Mitrinović|D. S. Mitrinović]], [[Petar Vasić|Petar M. Vasić]]
   |Titel=Means and Their Inequalities
   |Reihe=Mathematics and Its Applications (East European Series)
   |BandReihe=31.
   |Verlag=[[D. Reidel Publishing Company]]
   |Ort=Dordrecht
   |Datum=1988
   |ISBN=90-277-2629-9
   |Kommentar=Translated and revised from the Serbo-Croatian
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Bullen&s5=Mitrinovic&s6=Means&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=947142 MR0947142]}}
* {{Literatur
   |Autor=U. C. Guha
   |Titel=Arithmetic&nbsp;mean&nbsp;–&nbsp;geometric&nbsp;mean inequality
   |Sammelwerk=[[Mathematical Gazette]]
   |Band=51
   |Datum=1967
   |Seiten=145–146}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie::Analysis]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Guha, Ungleichung von]]



= Fakultätenreihe =
Der Begriff der '''Fakultätenreihe'''  ({{enS|factorial series}}) entstammt der [[Mathematik]]. Die Fakultätenreihen zählen zu den [[Funktionenreihe]]n und stehen in enger Verwandtschaft mit den [[Dirichletreihe]]n. Sie sind nicht zuletzt von besonderer Bedeutung beim Studium von [[Differenzengleichung]]en.

== Definition ==
Ist eine [[Folge (Mathematik)|Folge]] <math>\mathcal {A} = \left( a_n \right)_{n=0,1,2,3,\ldots}</math> von [[Reelle Zahl|reellen]] oder  [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] gegeben, so ist die Funktionenreihe
: <math>
\begin{align}
\Omega (z)
&= \sum_{n=0}^\infty { \frac{n! a_n}{z(z+1) \cdots (z+n)} }  \\
&= \frac{a_0}{z} +\frac{a_1}{z(z+1)} + \frac{2 a_2}{z(z+1)(z+2)} + \frac{6 a_3}{z(z+1)(z+2)(z+3)} + \cdots +  \frac{n! a_n}{z(z+1) \cdots (z+n)}  + \cdots \;\; (z \in \Complex \setminus \{ 0,-1,-2,\ldots \}) \\
\end{align}
</math>

die ''(zu der Folge <math>\mathcal {A}</math> gehörige) Fakultätenreihe''.<ref name="EL-01">E. Landau: '' Über die Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen.'' Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften 36, S. 151 ff</ref><ref name="M-T_01">L. M. Milne-Thomson: ''The Calculus of Finite Differences.'' 1981, S. 271 ff</ref><ref name="NN_01">Niels Nielsen: ''Handbuch der Theorie der Gammafunktion. Kapitel XVII'' 1965, S. 237 ff</ref>

Dabei wird von manchen Autoren angenommen, dass das Anfangsglied <math>a_0 = 0</math> ist.<ref name="GMF_01">G. M. Fichtenholz: ''Differential- und Integralrechnung II.'' 1974, S. 322</ref><ref name="KK_01">Konrad Knopp: ''Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen.'' 1964, S. 462 ff</ref> Andere Autoren lassen dagegen sogar zu, dass zu obigem <math>\Omega (z)</math> noch ein reelle oder komplexe [[Konstante Funktion|Konstante]] <math>c</math> [[Addition|hinzuaddiert]] wird und bezeichnen die so gegebene Funktionenreihe <math>c + \Omega (z)</math> ebenfalls als Fakultätenreihe.<ref name="NEN_01">Niels Erik Nörlund: ''Vorlesungen über Differenzenrechnung.'' 1924, S. 256 ff</ref> Alle diese Auffassungen des Begriffs der Fakultätenreihe sind im Wesentlichen gleichwertig.

== Konvergenzverhalten ==
Über das Konvergenzverhalten der Fakultätenreihen geben einige [[Lehrsatz|Sätze]] Auskunft, welche nicht zuletzt auf Mathemetiker wie [[Edmund Landau]], [[Johan Ludwig Jensen]], [[Salvatore Pincherle]] und [[Niels Erik Nørlund]] zurückgehen.

=== Der Satz von Landau ===
Dieser von Edmund Landau gefundene Satz bringt die Frage nach dem Konvergenzverhalten der Fakultätenreihen in Zusammenhang mit der entsprechenden Frage für die Dirichletreihen. Er besagt nämlich:<ref name="EL-02">E. Landau: '' Über die Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen.'' Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften 36, S. 167</ref><ref name="GMF_01" /><ref name="KK-02">Knopp, op. cit. , S. 462</ref>
: ''Die oben beschriebene Fakultätenreihe <math>\Omega (z)</math> und die zugehörige Dirichletreihe''
: <math>\Psi (z) = \sum_{n=1}^\infty { \frac{a_n}{n^z} }</math>
: ''haben innerhalb des [[Gebiet (Mathematik)|Gebietes]] <math>\Complex \setminus \{ 0,-1,-2,\ldots \}</math> das gleiche Konvergenzverhalten. Dabei gilt im Einzelnen:''
: '' '''(I)''' Die beiden Reihen <math>\Omega (z)</math> und <math>\Psi (z)</math> sind für ein und dieselben <math>z \in \Complex \setminus \{ 0,-1,-2,\ldots \}</math> konvergent und divergent.''
: '' '''(II)''' Ist <math>\Omega (z)</math> auf einer [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen]] [[Kreis#Kreisflächen|Kreisscheibe]] <math>\overline{U_{r}(z_0)} \subset \Complex \setminus \{ 0,-1,-2,\ldots \} \; \; (r > 0 \; , \; z_0 \neq 0,-1,-2,\ldots)</math>  [[Gleichmäßige Konvergenz#Gleichmäßige Konvergenz komplexer Funktionenfolgen|gleichmäßig konvergent]], so gilt dies auch für <math>\Psi (z)</math>  und nur dann.''

=== Die Sätze von Jensen und Pincherle ===
Der Satz von Jensen behandelt die Frage nach der Beschaffenheit des [[Konvergenzbereich]]s der Fakultätenreihen. Er besagt folgendes:<ref name="NN_02">Nielsen, op. cit. , S. 245</ref><ref name="M-T_02">L. M. Milne-Thomson, op. cit. , S. 275 ff</ref>
: ''Zu einer Fakultätenreihe <math>\Omega (z)</math> gibt es stets eine – auch als '''Konvergenzabszisse'''<ref>({{enS|abscissa of convergence}})</ref> bezeichnete – [[endlich]]e oder [[unendlich]]e [[Zahl]] <math>\lambda \in \R \cup \{ -\infty ,  +\infty \}</math> derart, dass <math>\Omega (z)</math> für jede komplexe Zahl des Gebietes <math>\{ z \in \Complex \setminus \{ 0,-1,-2,\ldots \} \colon \operatorname{Re} (z) < \lambda \}</math> divergiert und für jede komplexe Zahl des Gebiets <math>\{ z \in \Complex \setminus \{ 0,-1,-2,\ldots \} \colon \operatorname{Re} (z) > \lambda \}</math> konvergiert. Das '''Konvergenzgebiet'''<ref>({{enS|region of convergence}})</ref> einer Fakultätenreihe ist also eine nach rechts offene [[Halbebene]], aus der (gegebenenfalls) die [[Null]] und die [[Negative Zahl|negativen]] [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] entfernt wurden.''<ref>Im  Grenzfall <math>\lambda = +\infty </math> ist das Konvergenzgebiet die [[leere Menge]]. Dennoch greift man auch hier den Terminus ''Gebiet'' zurück. Genauso spricht man in dem anderen Grenzfall <math>\lambda = -\infty </math>, obwohl hier das Konvergenzgebiet das gesamte Gebiet <math>\{ z \in \Complex \setminus \{ 0,-1,-2,\ldots \} \colon \operatorname{Re} (z) < \lambda \}</math> ist, also eine unendlich oft punktierte [[Ebene (Mathematik)|Ebene]], auch von einer Halbebene.</ref>

Der Satz von Pincherle behandelt die entsprechende Frage in Hinblick auf die [[Absolut konvergente Reihe|absolute Konvergenz]] der Fakultätenreihen und lässt sich angeben wie folgt:<ref name="NN_02" /><ref name="M-T_03">Milne-Thomson, op. cit. , S. 276</ref>
: ''Das Gebiet der absoluten Konvergenz einer Fakultätenreihe ist ebenfalls eine nach rechts offene Halbebene, aus der (gegebenenfalls) die Null und die negativen ganzen Zahlen entfernt wurden. Zu einer Fakultätenreihe <math>\Omega (z)</math> gibt es also stets eine – auch als '''Abszisse der absoluten Konvergenz'''<ref>({{enS|abscissa of absolute convergence}})</ref>  bezeichnete –  endliche oder unendliche [[Zahl]] <math>\mu\in \R \cup \{ -\infty ,  +\infty \}</math> derart, dass <math>\Omega (z)</math> im Gebiet <math>\{ z \in \Complex \setminus \{ 0,-1,-2,\ldots \} \colon \operatorname{Re} (z) > \mu \}</math> absolut konvergent ist. Dabei ist <math>\Omega (z)</math> für jede komplexe Zahl <math>z</math> mit <math>\lambda < \operatorname{Re} (z) <  \mu </math> zwar konvergent, aber nicht absolut konvergent. Die Breite des zwischen den beiden Abzissen gelegenen unendlichen Streifens ist höchstens <math>1</math>; es gilt also die [[Ungleichung]] <math>\lambda\leq \mu \leq  \lambda + 1</math>.''

=== Der Satz von Nørlund ===
Diesen Satz hat Niels Erik Nørlund gefunden und damit in der Frage der gleichmäßigen Konvergenz von Fakultätenreihen Klarheit geschaffen. Der Satz lässt sich folgendermaßen formulieren:<ref name="NEN_02">Nörlund, op. cit., S. 258</ref><ref name="M-T_04">L. M. Milne-Thomson, op. cit. , S. 284–287</ref>
: ''Die Fakultätenreihe <math>\Omega (z)</math> konvergiere in einem Punkte <math>z_0 \in {\Complex \setminus \{ 0,-1,-2,\ldots \} }</math> . Weiterhin sei eine beliebige [[positive Zahl]] <math>\eta < \frac{\pi}{2}</math> gegeben und dazu das im Punkte <math>z_0</math> verankerte, nach rechts geöffnete [[Winkel#Darstellung als Teil der Ebene|Winkelfeld]] <math>W(z_0,\eta) \subset \Complex \setminus \{ 0,-1,-2,\ldots \}</math>, dessen beiden Schenkel durch zwei <math>\eta</math>-[[Radiant (Einheit)|Radiant]]-[[Drehung]]en aus den beiden von <math>z_0</math> ausgehenden, zur [[Zahlengerade|reellen Achse]] [[Orthogonalität|senkrechten]] [[Halbgerade]]n hervorgehen.''<ref>Die Winkel werden hier im [[Bogenmaß]] angegeben. Der Punkt <math>z_0</math> ist sowohl '''Drehzentrum''' der beiden Drehungen als auch '''Scheitelpunkt''' des durch das Winkelfeld bestimmten Winkels, welcher <math>(\pi - 2 \eta) \text{ } \mathrm{rad}</math> beträgt. Bei den beiden Drehungen wird die untere Halbgerade <math>z_0 - {\mathrm i} \cdot \R^{\geq 0}</math> durch Drehung um den Winkel <math>\eta \text{ } \mathrm{rad}</math> in mathematisch positiver [[Drehrichtung]] in den unteren Schenkel des Winkelfeldes überführt und die obere Halbgerade <math>z_0 + {\mathrm i} \cdot \R^{\geq 0}</math> durch Drehung um den Winkel <math>-\eta \text{ } \mathrm{rad}</math> in mathematisch negativer Drehrichtung in den oberen Schenkel.</ref>
: '' Dann gilt:''
: '' <math>\Omega (z)</math> ist auf dem Winkelfeld <math>W(z_0,\eta)</math> stets gleichmäßig konvergent.''

=== Analogon ===
Wie [[Gregor Michailowitsch Fichtenholz|G. M. Fichtenholz]] in seiner ''Differential- und Integralrechnung II'' ausführt, sind  – einem Satz von [[Konrad Knopp]] zufolge – hinsichtlich des Konvergenzverhaltens die Beziehungen zwischen einer Fakultätenreihe und ihrer Dirichletreihe ähnlich denen, welche zwischen einer [[Lambert-Reihe#Konvergenz|Lambert-Reihe]] und der dieser Lambert-Reihe zugehörigen [[Potenzreihe]] bestehen.<ref name="GMF-02">Fichtenholz, op. cit., S. 323</ref>

== Holomorphie ==
Die durch Fakultätenreihen gegebenen [[Komplexe Funktion|komplexen Funktionen]] weisen – in gleicher Weise wie die durch die zugehörigen Dirichletreihen gegebenen komplexen Funktionen – einige Regularitätseigenschaften auf. Dies beruht auf einer Verknüpfung des [[Weierstraßscher Konvergenzsatz|weierstraßschen Konvergenzsatzes]] mit dem Satz von Nørlund.<ref>Der Satz von Nørlund zieht nach sich, dass eine Fakultätenreihe in jedem Punkt ihres Konvergenzgebiets [[Lokal gleichmäßige Konvergenz|lokal gleichmäßig konvergent]] ist.</ref> Insgesamt gilt der folgende Satz:<ref name="EL-a1">E. Landau: ''Bemerkung zu meinem Aufsatze: Über die Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen.'' Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften 39, S. 7</ref><ref name="NEN_03">Nörlund, op. cit., S. 258, S. 262 ff</ref><ref name="M-T_06">Milne-Thomson, op. cit., S. 287, S. 297</ref>
: ''Zu einer wie oben gegebenen Fakultätenreihe wird durch die Zuordnung <math>z \mapsto \Omega (z)</math> auf der Konvergenzhalbebene <math>\{ z \in \Complex \setminus \{ 0,-1,-2,\ldots \} \colon \operatorname{Re} (z) > \lambda \}</math> eine [[holomorphe Funktion]] definiert. Diese (ebenfalls mit <math>\Omega (z)</math> bezeichnete Funktion) hat die folgende [[Ableitungsfunktion]]:''
: <math>\Omega^{'} (z) = - \sum_{n=1}^\infty { \frac{n! \cdot \left( \frac{a_0}{n} +\frac{a_1}{n-1} + \cdots +  \frac{a_{n-1}}{1}  \right)  }{z(z+1) \cdots (z+n)} } </math> &nbsp; .

== Weitere Darstellungen ==
Fakultätenreihen lassen sich auch mit Hilfe der [[Gammafunktion]] und der [[Eulersche Betafunktion|eulerschen Betafunktion]] darstellen. Es gilt nämlich:<ref name="NN_01" /><ref name="M-T_07">Milne-Thomson, op. cit., S. 287–288</ref>
: ''Eine wie oben gegebene Fakultätenreihe erfüllt stets die [[Identitätsgleichung|Gleichungen]]:''
: <math>
\begin{align}
\Omega (z)
&= \Gamma(z) \cdot \sum_{n=0}^\infty { \frac{n! a_n}{\Gamma (z+n+1)} } \\
&= \sum_{n=0}^\infty { a_n \cdot \Beta (z+n+1)} \;\; (z \in \Complex \setminus \{ 0,-1,-2,\ldots \}) \\
\end{align}
</math>

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=G. M. Fichtenholz
   |Titel=Differential- und Integralrechnung II
   |TitelErg=Übersetzung aus dem Russischen und wissenschaftliche Redaktion: Dipl.-Math. Brigitte Mai, Dipl.-Math. Walter Mai
   |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik
   |BandReihe=62
   |Auflage=6.
   |Verlag=[[Volkseigener Betrieb|VEB]] [[Deutscher Verlag der Wissenschaften]]
   |Ort=Berlin
   |Datum=1974}}
* {{Literatur
   |Autor=Konrad Knopp
   |Titel=Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen
   |Reihe=Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften
   |BandReihe=2
   |Auflage=5., berichtigte
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York
   |Datum=1964
   |ISBN=3-540-03138-3
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Knopp&s5=Reihen&s6=Theorie&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=183997 MR0183997]}}
* {{Literatur
   |Autor=Edmund Landau
   |Titel=Über die Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen
   |Sammelwerk=[[Bayerische Akademie der Wissenschaften|Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften]]
   |Band=36
   |Datum=1906
   |Seiten=151–218}}
* {{Literatur
   |Autor=Edmund Landau
   |Titel=Bemerkung zu meinem Aufsatze: Über die Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen
   |Sammelwerk=Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften
   |Band=39
   |Datum=1909
   |Seiten=7–10}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Louis Melville Milne-Thomson|L. M. Milne-Thomson]]
   |Titel=The Calculus of Finite Differences
   |TitelErg=Re-issued by arrangemant with The Macmillan Press
   |Auflage=2., unveränderte
   |Verlag=[[Chelsea Publishing Company]]
   |Ort=New York
   |Datum=1981
   |ISBN=0-8284-0308-2
   |Kapitel=X
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Nielsen&s5=Gammafunktion&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=185152 MR0185152]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Niels Nielsen]]
   |Titel=Die Gammafunktion
   |TitelErg=Band I: Handbuch der Theorie der Gammafunktion. Dritter Teil: Theorie der Fakultätenreihen
   |Verlag=Chelsea Publishing Company
   |Ort=Bronx, New York
   |Datum=1965
   |ISBN=
   |Kapitel=XVII
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=The%20Calculus%20of%20Finite%20Differences&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=23&mx-pid=43339 MR0043339]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Niels Erik Nörlund]]
   |Titel=Vorlesungen über Differenzenrechnung
   |Reihe=Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften
   |BandReihe=13
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin
   |Datum=1924
   |ISBN=978-3-642-50514-0
   |Kapitel=9
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Vorlesungen%20%C3%BCber%20Differenzenrechnung&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=1549596 MR1549596]
   |DOI=10.1007/978-3-642-50824-0_10}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Folgen und Reihen]]



= Lobatschewskische Formeln = 
Die '''lobatschewskischen Formeln''' sind zwei [[mathematische Formel]]n für [[Uneigentliches Integral|uneigentliche Integrale]] im Zusammenhang mit dem [[Kardinalsinus]], welche dem [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet]] der [[Analysis]] zuzurechnen sind. Gemäß der Darstellung von [[Gregor Michailowitsch Fichtenholz|G. M. Fichtenholz]] in Band II der dreibändigen ''Differential- und Integralrechnung'' wurden sie von dem [[Russland|russischen]] Mathematiker [[Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski]] (1792–1856) gefunden.<ref name="GMF-L1">G. M. Fichtenholz: ''Differential- und Integralrechnung II.'' 1974, S. 635–636, 655–657, 695, 832</ref>

== Darstellung der Formeln ==
Sie lauten:<ref name="GMF-L2">Fichtenholz, op. cit., S. 655–657, 695</ref>
: ''Gegeben sei eine [[reelle Funktion]]''
:: <math>f \colon [0,\infty[ \to \R</math>
: ''mit folgenden Eigenschaften:''

::'' '''(1)''' <math>f</math> ist im [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>\left[0,\frac{\pi}{2}\right]</math> eigentlich oder uneigentlich [[Riemannsches Integral|Riemann-integrierbar]].''
::'' '''(2)''' Die mit dem Kardinalsinus gebildete [[Produkt (Mathematik)|Produktfunktion]] <math>f \cdot \operatorname{si} \colon [0,\infty[ \to \R \; ,  x \mapsto f(x) \cdot \operatorname{si}(x) </math> ist im Intervall <math>[0,\infty[</math> uneigentlich Riemann-integrierbar.''
::'' '''(3)''' <math>f</math> ist eine <math>\pi</math>-[[periodische Funktion]], erfüllt also für <math>x \in [0,\infty[</math> stets die [[Gleichung]] <math>f(x + {\pi})=f(x)</math> .''
::'' '''(4)''' <math>f</math> erfüllt für <math>x \in [0,\pi]</math> stets die Gleichung <math>f({\pi} - x)=f(x)</math> .''

:''Dann gilt:''
: '' '''(a)''' <math>\int_0^{\infty} {f(x) \cdot \frac{\sin x}{x} } \, \mathrm{d}x = \int_0^{\frac{\pi}{2}} {f(x)} \, \mathrm{d}x </math>''
: '' '''(b)''' <math>\int_0^{\infty} {f(x) \cdot \frac{{\sin}^2 x}{x^2} } \, \mathrm{d}x = \int_0^{\frac{\pi}{2}} {f(x)} \, \mathrm{d}x </math>''

== Anwendungen ==
Mit Hilfe der lobatschewskischen Formeln (und unter Zuhilfenahme der üblichen [[Rechenmethode]]n der [[Integralrechnung]]) lassen sich mehrere [[Identitätsgleichung|Identitäten]] ableiten, unter anderem die folgenden:
: '' '''(A-1)''' <math>\int_0^{\infty} {\frac{\sin x}{x} } \, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2}</math>'' <ref name="GMF-L3">Fichtenholz, op. cit., S. 635–636</ref>
: '' '''(A-2)''' <math>\int_0^{\infty} {\frac{{\sin}^{2n+1} x}{x}} \, \mathrm{d}x =  \frac{\pi}{2} \cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}  \; (n = 0,1,2,3,\ldots) </math>'' <ref name="GMF-L4">Fichtenholz, op. cit., S. 656</ref><ref>Mit dem doppelten [[Ausrufezeichen]] wird die [[Fakultät (Mathematik)#Doppelfakultät|Doppelfakultätenfunktion]] gekennzeichnet.</ref>
: '' '''(A-3)''' <math>\int_0^{\infty} {\frac{{\sin}^2 x}{x^2}} \, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2}</math>'' <ref name="GMF-L5">Fichtenholz, op. cit., S. 656–657</ref>
: '' '''(A-4)''' <math>\int_0^{\infty} {\frac{\arctan{\left(a \cdot \sin x \right)} }{x} } \, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2} \cdot  \ln{\left(a + \sqrt{1+a^2} \right)}  \; (a > 0) </math>'' <ref name="GMF-L6">Fichtenholz, op. cit., S. 656, 697</ref>
: '' '''(A-5)''' <math>\int_0^{\infty} {\ln{|\sin x |}  \cdot \frac{\sin x}{x}} \, \mathrm{d}x = - {\frac{\pi}{2} \cdot \ln 2 }</math>'' <ref name="GMF-L7">Fichtenholz, op. cit., S. 695</ref><ref>Mit <math>| \cdot |</math> wird die [[Betragsfunktion]] gekennzeichnet.</ref>
: '' '''(A-6)''' <math>\int_0^{\infty} { \frac{\ln{|\cos x |}}{x^2}} \, \mathrm{d}x = - {\frac{\pi}{2} }</math>'' <ref name="GMF-L7" />
: '' '''(A-7)''' <math>\int_0^{\infty} { \frac{ {\ln}^2{|\cos x |}}{x^2}} \, \mathrm{d}x = - {\pi  \cdot \ln 2}</math>'' <ref name="GMF-L7" />

== Hintergrund: Partialbruchzerlegungen ==
Wie Fichtenholz darlegt, beruhen die lobatschewskischen Formeln wesentlich auf den [[Partialbruchzerlegung]]en der beiden [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] <math>x \mapsto \frac{1}{\sin x} \; , \; x \mapsto \frac{1}{{\sin}^2 x} \; (x \notin {\pi \cdot \Z})</math> . Hier gilt:<ref name="GMF-L8">Fichtenholz, op. cit., S. 489, 656</ref>
: <math>\frac{1}{\sin x} = \frac{1}{x} +  \sum_{n=1}^\infty { (-1)^n \left( \frac{1}{x-n \pi} + \frac{1}{x+n \pi} \right)} = \frac{1}{x} +  \sum_{n=1}^\infty { (-1)^n  \frac{2x}{x^2-n^2 {\pi}^2} }</math>

sowie
: <math>\frac{1}{{\sin}^2 x} = \frac{1}{x^2} +  \sum_{n=1}^\infty { \left( \frac{1}{\left[ x-n \pi \right]^2} + \frac{1}{\left[ x+n \pi \right]^2} \right)} </math> &nbsp; .

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=G. M. Fichtenholz
   |Titel=Differential- und Integralrechnung II
   |TitelErg=Übersetzung aus dem Russischen und wissenschaftliche Redaktion: Dipl.-Math. Brigitte Mai, Dipl.-Math. Walter Mai
   |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik
   |BandReihe=62
   |Auflage=6.
   |Verlag=[[Volkseigener Betrieb|VEB]] [[Deutscher Verlag der Wissenschaften]]
   |Ort=Berlin
   |Datum=1974}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Analysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Lobatschewskische Formeln]]

= Sapogowsches Kriterium =
Das '''sapogowsche Kriterium''' ist eines der [[Konvergenzkriterium|Konvergenzkriterien]] für [[unendliche Reihe]]n und gehört als solches in das [[Teilgebiete der Mathematik|mathematische Teilgebiet]] der [[Analysis]]. Es geht, wie [[Gregor Michailowitsch Fichtenholz|G. M. Fichtenholz]] in Band II seiner dreibändigen ''Differential- und Integralrechnung'' ausweist, auf den [[sowjetisch]]en Mathematiker [[Nikolai Alexandrowitsch Sapogow]] (1915–1983) zurück.<ref name="GMF-I">G. M. Fichtenholz: ''Differential- und Integralrechnung II.'' 1974, S. 304, S. 834</ref><ref>Obwohl im Geburtsjahr Sapogows die Sowjetunion noch nicht bestand, wird bei Fichtenholz Sapogow dennoch als „sowjetischer Mathematiker“ bezeichnet.</ref>

== Formulierung ==
Fichtenholz folgend kann man das Kriterium folgendermaßen formulieren:<ref name="GMF-II">Fichtenholz, op. cit. , S. 304</ref>
: ''Gegeben sei eine [[monoton wachsende Folge]] <math>\mathcal {A} = \left( a_n \right)_{n=1,2,3,\ldots}</math> von [[Positive Zahl|positiven reellen Zahlen]].''
: ''Dazu sei die Reihe''
:: <math>S = \sum_{n=1}^\infty {\left( 1 - \frac{a_n}{a_{n+1}} \right)}</math>
: ''gebildet. Dann gilt:''
: '' '''(I)''' <math>S</math> ist eine [[Reihe (Mathematik)#Auswertung und Einteilung|konvergente Reihe]], wenn <math>\mathcal {A}</math> eine [[beschränkte Folge]] ist. In diesem Falle ist auch die verwandte Reihe <math>\textstyle S^{*} = \sum_{n=1}^\infty {\left(  \frac{a_{n+1}}{a_n} - 1 \right)}</math> konvergent.''
: '' '''(II)''' Ist <math>\mathcal {A} </math> jedoch unbeschränkt, so ist <math>S</math> divergent.''

== Verwandte Kriterien ==
Mit dem sapogowschen Kriterium verknüpft ist ein weiteres, welches auf [[Niels Henrik Abel]] und [[Ulisse Dini]] zurückgeht und mit dessen Hilfe Fichtenholz den Beweis des sapogowschen Kriterium führt.<ref name="GMF-III">Fichtenholz, op. cit. , S. 303–304</ref> Dieses Kriterium tritt ebenfalls in [[Konrad Knopp]]s Monographie ''Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen'' auf und wird dort als '''Satz von Abel und Dini''' bezeichnet. Der Darstellung von Knopp folgend lässt es sich folgendermaßen angeben:<ref name="KK-I">Konrad Knopp: ''Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen.'' 1964, S. 299</ref>
: ''Gegeben seien eine Folge <math>\left( d_n \right)_{n=1,2,3,\ldots}</math> positiver reeller Zahlen sowie eine beliebige reelle Zahl <math>\alpha </math>. Die der Folge zugehörige Reihe <math>\sum_{n=1}^\infty {d_n} </math> sei divergent.''
: ''Dann gilt hinsichtlich der [[Partialsumme]]nfolge <math>\left( D_n \right)_{n=1,2,3,\ldots} = \left( d_1, d_1+d_2, d_1+d_2+d_3, \ldots \right)</math>:''
: '' '''(a)''' Für <math>\alpha \leq 1</math> ist die dazu neu gebildete Reihe <math> \sum_{n=1}^\infty { \frac{d_n}{ {D_n}^{\alpha}} } </math> ebenfalls divergent.''
: '' '''(b)''' Für <math>\alpha > 1</math> jedoch ist <math> \sum_{n=1}^\infty { \frac{d_n}{ {D_n}^{\alpha}} } </math> konvergent.''

Den Satz von Abel und Dini führt Knopp wiederum auf ein Resultat zurück, welches von [[Alfred Pringsheim]] stammt und bei Knopp als '''Satz von Pringsheim''' bezeichnet wird:<ref name="KK-II">Knopp, op. cit. , S. 300</ref>
: ''Ist <math>\left( d_n \right)_{n=1,2,3,\ldots}</math> eine Folge positiver reeller Zahlen mit Partialsummenfolge <math>\left( D_n \right)_{n=1,2,3,\ldots}</math> und ist die der Folge zugehörige Reihe <math>\sum_{n=1}^\infty {d_n} </math> divergent, so ist für eine beliebige reelle Zahl <math>\beta> 0 </math> die verwandte Reihe''
:: <math> \sum_{m=2}^\infty { \frac{d_m}{ D_m \cdot {D_{m-1}}^{\beta}} } </math>
: ''stets konvergent.''

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=N.H. Abel
   |Titel=Note sur le mémoire de Mr. L. Olivier No. 4 du second tome de ce journal, ayant pour titre „remarques sur les séries infinies et leur convergence“
   |Sammelwerk=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]
   |Band=3
   |Datum=1828
   |Seiten=79–82
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Abel%2C%20N.%20H.&s5=Note&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=1577677 MR1577677]}}
* {{Literatur
   |Autor=U. Dini
   |Titel=Sulle serie a termini positivi
   |Sammelwerk=[[Annali delle Università Toscane]]
   |Band=9
   |Datum=1867
   |Seiten=41-76
   |Online=[[s:it:Sulle|serie a termini positivi (Wikisource)]]}}
* {{Literatur
   |Autor=G. M. Fichtenholz
   |Titel=Differential- und Integralrechnung II
   |TitelErg=Übersetzung aus dem Russischen und wissenschaftliche Redaktion: Dipl.-Math. Brigitte Mai, Dipl.-Math. Walter Mai
   |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik
   |BandReihe=62
   |Auflage=6.
   |Verlag=[[Volkseigener Betrieb|VEB]] [[Deutscher Verlag der Wissenschaften]]
   |Ort=Berlin
   |Datum=1974}}
* {{Literatur
   |Autor=Konrad Knopp
   |Titel=Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen
   |Reihe=Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften
   |BandReihe=2
   |Auflage=5., berichtigte
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York
   |Datum=1964
   |ISBN=3-540-03138-3
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Knopp&s5=Reihen&s6=Theorie&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=183997 MR0183997]}}
* {{Literatur
   |Autor=Alfred Pringsheim
   |Titel=Allgemeine Theorie der Divergenz und Convergenz von Reihen mit positiven Gliedern
   |Sammelwerk=[[Mathematische Annalen]]
   |Band=35
   |Datum=1890
   |Seiten=297–394}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Konvergenzkriterium|Sapogowsches Kriterium]]



= Wallissche Ungleichungen =
In der [[Analysis]], einem der [[Teilgebiete der Mathematik]], bezeichnet man als '''wallissche Ungleichungen''' ({{enS|''Wallis’s inequalities''}}) solche [[Ungleichung]]en, welche mit der nach dem [[Mathematiker]] [[John Wallis]] benannten [[Wallissches Produkt|Produktformel]] zusammenhängen. Diese Ungleichungen liefern [[Abschätzung]]en, die  den Zusammenhang zwischen der [[Fakultät (Mathematik)#Doppelfakultät|Doppelfakultätenfunktion]] und der [[Kreiszahl]] <math>\pi</math> beleuchten. Die wallisschen Ungleichungen wurden in einer Vielzahl von [[Wissenschaftliche Publikation|Arbeiten]] weiterführenden Untersuchungen unterworfen.<ref name="DSM_w1">D. S. Mitrinović: ''Analytic Inequalities.'' 1970, S. 192–193, S. 287</ref><ref>Vgl. [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publications.html?pg4=TI&s4=inequality&co4=AND&pg5=TI&s5=Wallis&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&s7=&co7=AND&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&review_format=html&Submit=Suche Liste im MathSciNet]!</ref>

== Darstellung der Ungleichungen ==
Zwei der geläufigsten wallisschen  Ungleichungen sind folgende:<ref name="DSM_w2">Mitrinović, op. cit., S. 192</ref>
:''Für jede [[natürliche Zahl]] <math>n > 0</math> gelten die Abschätzungen''
: <math>\frac{1}{\sqrt {\pi \cdot (n + \frac{1}{2})} } < \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}  = \frac{(2n-1) \cdot (2n-3) \cdot \mathrm{  }  \cdots \mathrm{  } \cdot 3 \cdot 1}{2n \cdot (2n-2) \cdot \mathrm{  }  \cdots \mathrm{  } \cdot 4 \cdot 2 } < \frac{1}{\sqrt {\pi \cdot n} }</math> &nbsp; .

=== Folgerungen ===
Aus den obigen Ungleichungen lassen sich die folgenden Ungleichungen ableiten, die, wenn von einigen kleinen [[Indexmenge (Mathematik)|Indizes]] abgesehen wird, schwächer als die zuvorigen beiden sind:<ref name="DSM_w2" />
:''Für jede natürliche Zahl <math>n > 0</math> hat man''
: <math>\sqrt { \frac{ \frac{5}{4} }{4n+1} }< \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} < \sqrt {\frac{ \frac{3}{4} }{2n+1} }</math> &nbsp; .

Wie [[Robert Alexander Rankin]] in seiner Monographie ''An Introduction to Mathematical Analysis'' zeigt, gewinnt man die letztgenannten Ungleichungen auch auf direktem Wege mit einem [[Induktionsbeweis]].<ref name="RAR-01">Robert A. Rankin: ''An Introduction to Mathematical Analysis.'' 1963, S. 13</ref>

== Verschärfungen ==
Ein Mathematiker namens [[Donat K. Kazarinoff]] zeigte im Jahre 1956 eine Verschärfung der oberen Abschätzung, nämlich:<ref name="DSM_w2">Mitrinović, op. cit., S. 192</ref>
:''Für jede natürliche Zahl <math>n > 0</math> gilt''
: <math>\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} < \frac{1}{\sqrt {\pi \cdot (n + \frac{1}{4})} }</math> &nbsp; .

Im Jahre 2005 bewiesen die beiden Mathematiker Chen Chao-Ping und Qi Feng eine Verschärfung der unteren Abschätzung, nämlich:
:''Für jede natürliche Zahl <math>n > 0</math> gilt''
: <math>\frac{1}{\sqrt {\pi \cdot (n + \frac{4}{\pi} - 1)} } \leq \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} </math> &nbsp; .

== Zusammenhang mit dem wallisschen Produkt ==
Der oben angesprochene Zusammenhang zwischen der Doppelfakultätenfunktion und der Kreiszahl ergibt sich bei Berücksichtigung des folgenden Resultats, welches man in der ''Differential- und Integralrechnung II'' von [[Gregor Michailowitsch Fichtenholz|G. M. Fichtenholz]] findet (und ebenfalls in der genannten Monographie von Rankin):<ref name="GMF-01">G. M. Fichtenholz: ''Differential- und Integralrechnung II.'' 1974, S. 149–150</ref><ref name="RAR-02">Rankin, op. cit., S. 380</ref>
:''Für jede natürliche Zahl <math>n > 0</math> ist''
: <math>\Biggl[ \frac{ (2n)!!}{(2n-1)!! } \Biggr]^2 \cdot \frac{1}{2n+1} < \frac{\pi}{2} < \Biggl[ \frac{ (2n)!!}{(2n-1)!! } \Biggr]^2 \cdot \frac{1}{2n} </math>
:''und folglich''<ref>Wie Fichtenholz ausführt, ist nämlich die Differenz der beiden äußeren Ausdrücke  <math> < \frac{\pi}{4n} </math>&nbsp; .</ref>
: <math>
\begin{align}
\frac{\pi}{2}
&= \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \Biggl[ \frac{ (2n)!!}{(2n-1)!! } \Biggr]^2 \cdot \frac{1}{2n} \right) \\
&= \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \Biggl[ \frac{ (2n)!!}{(2n-1)!! } \Biggr]^2 \cdot \frac{1}{2n+1} \right) \\
&= \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{ 2^2\cdot 4^2 \cdot \mathrm{  }  \cdots \mathrm{  } \cdot (2n-2)^2 \cdot  (2n)^2 }{ 1 \cdot [1 \cdot 3] \cdot [3 \cdot 5] \cdot \mathrm{  }  \cdots \mathrm{  } \cdot [(2n-3) \cdot (2n-1)] \cdot [(2n-1) \cdot (2n+1)] } \right) \\
\end{align}
</math> &nbsp; .

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=G. M. Fichtenholz
   |Titel=Differential- und Integralrechnung II
   |TitelErg=Übersetzung aus dem Russischen und wissenschaftliche Redaktion: Dipl.-Math. Brigitte Mai, Dipl.-Math. Walter Mai
   |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik
   |BandReihe=62
   |Auflage=6.
   |Verlag=[[Volkseigener Betrieb|VEB]] [[Deutscher Verlag der Wissenschaften]]
   |Ort=Berlin
   |Datum=1974}}
* {{Literatur
   |Autor=Chen Chao-Ping, Qi Feng
   |Titel=Best upper and lower bounds in Wallis' inequality
   |Sammelwerk=Journal of the Indonesian Mathematical Society (MIHMI)
   |Band=11
   |Datum=2005
   |Seiten=137–141
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=TI&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=inequality&s5=Wallis&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=15&mx-pid=2168684 MR2168684]}}
* {{Literatur
   |Autor=D. K. Kazarinoff
   |Titel=On Wallis' formula
   |Sammelwerk=Edinburgh Mathematical Notes
   |Band=1956, no. 40
   |Datum=1956
   |Seiten=19–21
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kazarinoff%2C%20Donat&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=82501 MR0082501]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Dragoslav Mitrinović|D. S. Mitrinović]]
   |Titel=Analytic Inequalities
   |TitelErg=In cooperation with [[Petar Vasić|P. M. Vasić]]
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
   |BandReihe=165
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin (u.&nbsp;a.)
   |Datum=1970
   |ISBN=3-540-62903-3
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Mitrinovi%C4%87&s5=Analytic%20Inequalities&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=274686 MR0274686]}}
* {{Literatur
   |Autor=Robert A. Rankin
   |Titel=An Introduction to Mathematical Analysis
   |Reihe=International Series of Monographs on Pure and Applied Mathematics
   |BandReihe=165
   |Verlag=[[Pergamon Press]]
   |Ort=Oxford, London, New York, Paris
   |Datum=1963}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Wallissche Ungleichungen]]



= Satz von Lusin-Denjoy =
Der '''Satz von Lusin-Denjoy''' ist einer der klassischen [[Lehrsatz|Sätze]] des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiets]] der [[Analysis]]. Er geht auf zwei im Jahre 1912 in ein und derselben [[Fachzeitschrift]] nebeneinander veröffentlichte Arbeiten zurück, die von den beiden [[Mathematiker]]n [[Nikolai Nikolajewitsch Lusin]] und [[Arnaud Denjoy]] eingereicht wurden. Der Satz behandelt und klärt die wichtige Frage des [[Funktionenfolge#Konvergenzbegriffe|Konvergenzverhaltens]] der [[Trigonometrisches Polynom#Trigonometrische Reihe|reellen trigonometrischen Reihen]].<ref name="FGT-1">Francesco Giacomo Tricomi: ''Vorlesungen über Orthogonalreihen.'' 1970, S. 77 ff</ref><ref name="AZ-1">Antoni Zygmund: ''Trigonometric Series. Vol. I.'' 1977, S. 232 ff</ref>

== Formulierung des Lusin-Denjoy'schen Satzes ==
Er lässt sich folgendermaßen formulieren:<ref name="FGT-2">Tricomi, op. cit. , S. 77</ref>
:''Sei im [[Körper der reellen Zahlen]] <math>X \subseteq \R</math> eine [[Lebesgue-Maß#Charakterisierung der Lebesgue-Messbarkeit|Lebesgue-messbare]] [[Punktmenge]] von [[Positive Zahl|positivem]] Lebesgue-Maß <math>\lambda(X)</math>.''
:''Sei weiter''
: <math>s(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \left( a_k\cos (kx)+b_k\sin (k x)\right) \; (x \in X)</math>
:''eine trigonometrische Reihe auf <math>X</math> mit aus [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] bestehenden [[Koeffizient]]enfolgen <math>\left( a_k \right)_{k=0,1,2,3, \ldots}</math> und <math>\left( b_k \right)_{k=1,2,3, \ldots}</math>.''
:''Dann gilt:''
:''[[Notwendige und hinreichende Bedingung|Notwendig und hinreichend]] für die [[absolute Konvergenz]] der Reihe <math>s(x)</math> ist, dass die beiden zugehörigen Koeffizientenreihen''
:: <math>A = \sum_{k=1}^{\infty} { a_k }</math>
:''und''
:: <math>B = \sum_{k=1}^{\infty} { b_k }</math>
:''beide absolut konvergieren.''

=== Anmerkung zum Beweis ===
Beim Beweis des Satzes von Lusin-Denjoy liegt, wie der italienische Mathematiker [[Francesco Giacomo Tricomi]] in seinen ''Vorlesungen über Orthogonalreihen'' hervorhebt, die eigentliche Schwierigkeit und der wesentliche Beweisschritt in dem Nachweis, dass – unter den genannten Voraussetzungen! – aus der absoluten Konvergenz der gegebenen trigonometrischen Reihe <math>s(x)</math> notwendigerweise schon die absolute Konvergenz der beiden zugehörigen Koeffizientenreihen <math>A</math> und <math>B</math> folgt. Bei diesem Beweisschritt ist gemäß Tricomi ein Hilfssatz aus der reellen [[Maßtheorie]] bedeutsam, der im Wesentlichen folgendes besagt:<ref name="FGT-2" />
:''Ist <math>X \subseteq \R</math> eine Lebesgue-messbare reelle Punktmenge von positivem Lebesgue-Maß und ist auf dieser eine Lebesgue-messbare [[reelle Funktion]] <math>f \colon X \to \R</math> gegeben, so gibt es zu jeder vorgegebenen positiven reellen Zahl <math>{\lambda}^{*} < \lambda(X)</math>  eine Lebesgue-messbare reelle Punktmenge <math>X^{*} \subseteq X</math>, die einerseits ein Lebesgue-Maß <math>\lambda(X^{*}) > {\lambda}^{*}</math> hat und für die andererseits die [[Einschränkung]] <math>f|_{X^{*}}</math> eine [[beschränkte Funktion]] ist.''

== Unmittelbare Folgerungen ==
Mit dem Satz von Lusin-Denjoy gewinnt man unmittelbar die folgenden beiden [[Korollar]]e:
:'' '''(I)''' Wenn unter den genannten Voraussetzungen die trigonometrische Reihe <math>s(x)</math> auch nur auf irgend einem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>I \subseteq X</math> von positiver [[Länge (Mathematik)|Länge]] absolut konvergent ist, so ist <math>s(x)</math> auch schon auf ganz <math>X</math> absolut konvergent.''<ref name="FGT-3">Tricomi, op. cit. , S. 79</ref>
:'' '''(II)''' Wenn eine trigonometrische Reihe <math>s(x)</math>  auf einer beliebigen Punktmenge <math>X \subseteq \R</math> absolut konvergiert, so konvergiert <math>s(x)</math> auch schon absolut und [[Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] auf jedem darin gelegenen Intervall positiver Länge.''<ref name="FGT-4">Tricomi, op. cit. , S. 80</ref>

== Verwandter Satz ==
Eng verbunden mit dem Lusin-Denjoy'schen Satz ist der ''Satz von Cantor-Lebesgue'', der nach den beiden Mathematikern [[Georg Cantor]] und [[Henri Lebesgue]] benannt ist. Dieser Satz greift die verwandte Frage auf, inwieweit das Konvergenzverhalten einer trigonometrischen Reihe das Konvergenzverhalten der zugehörigen Koeffizientenfolgen beeinflusst. Er besagt nämlich:<ref name="FGT-5">Tricomi, op. cit. , S. 105–106</ref></ref><ref name="AZ-2">Zygmund, op. cit. , S. 316</ref>
:''Sind die allgemeinen Voraussetzungen des Satzes von Lusin-Denjoy erfüllt und sind hier für <math>x \in X</math> die [[Partialsumme]]n von <math>s(x)</math> durchweg [[Nullfolge]]n, so sind die beiden Koeffizientenfolgen <math>\left( a_k \right)_{k=0,1,2,3, \ldots}</math> und <math>\left( b_k \right)_{k=1,2,3, \ldots}</math> ebenfalls Nullfolgen. Dies ist insbesondere der Fall, wenn die <math>s(x)</math> auf <math>X</math> konvergieren.''

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=A. Denjoy
   |Titel=Sur l'absolue convergence des séries trigonométriques
   |Sammelwerk=[[Comptes rendus de l’Académie des sciences|Comptes Rendus Mathématique. Académie des Sciences. Paris]]
   |Band=155
   |Datum=1912
   |Seiten=580–582
   |Online=[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31089/f141]}}
* {{Literatur
   |Autor=N. Lusin
   |Titel=Sur l'absolue convergence des séries trigonométriques
   |Sammelwerk=Comptes Rendus Mathématique. Académie des Sciences. Paris
   |Band=155
   |Datum=1912
   |Seiten=135–136}}
* {{Literatur
   |Autor=Francesco Giacomo Tricomi
   |Titel=Vorlesungen über Orthogonalreihen
   |TitelErg=Übersetzt und zum Druck bearbeitet von Prof. Dr. [[Friedrich Kasch]], München
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
   |BandReihe=76
   |Auflage=2., korrigierte
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin, Heidelberg, New York
   |Datum=1970
   |ISBN=
   |Seiten=
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Tricomi&s5=Orthogonalreihen&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=261250 MR0261250]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Antoni Zygmund]]
   |Titel=Trigonometric Series. Volumes I and II
   |TitelErg=Reprinting of the 1968 Version of the Second Edition
   |BandReihe=
   |Auflage=2.
   |Verlag=[[Cambridge University Press]]
   |Ort=Cambridge, London, New York, Melbourne
   |Datum=1977
   |ISBN=0-521-07477-0
   |Seiten=
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Zygmund&s5=Trigonometric%20series&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=617944 MR0617944]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Lusin-Denjoy]]



= Mathieusche Ungleichungen =
Die '''mathieuschen Ungleichungen''' ({{enS|''Mathieu’s inequalities''}}) sind zwei klassische [[Ungleichung]]en, die dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Analysis]] angehören. Sie sind nach dem [[Frankreich|französischen]] [[Mathematiker]] [[Émile Léonard Mathieu]] benannt.

Die mathieuschen Ungleichungen liefern eine untere und einer obere [[Abschätzung]] zu gewissen [[Reihe (Mathematik)|Reihen]] [[Positive Zahl|positiver Zahlen]], von denen die obere von Mathieu im Jahre 1890 vermutet, aber nicht bewiesen wurde. Diese obere Abschätzung kommt in der [[Mathematische Physik|Mathematischen Physik]] zum Tragen, wo mit ihrer Hilfe [[Reihenentwicklung]]en zur Lösung von [[Randwertaufgabe]]n bei [[Elastizität (Physik)|Elastizitätsuntersuchungen]] hergeleitet werden können.<ref name="KS-a">Kurt Schröder: ''Das Problem der eingespannten rechteckigen elastischen Platte.'' Math. Ann. 121, S. 247 ff, S. 258 ff</ref>

Der erste vollständige Beweis der von Mathieu vermuteten oberen Abschätzung wurde im Jahre 1952 durch den deutschen Mathematiker [[Lothar Berg (Mathematiker)|Lothar Berg]] geliefert. In der Folge wurden dazu zahlreiche [[Wissenschaftliche Publikation|Arbeiten]] verfasst, von denen die des [[Ungarn|ungarischen]] Mathematikers [[Endre Makai]] (1915–1987)<ref>Siehe [[:hu:Makkai Endre (egyértelműsítő lap)|Eintrag in der ungarischen Wikipedia]]!</ref> aus dem Jahre 1957 besondere Erwähnung verdient, da hier der Autor den ersten gänzlich elementaren Beweis der mathieuschen Vermutung vorlegte.<ref name="DSM_a1">D. S. Mitrinović: ''Analytic Inequalities.'' 1970, S. 360–361, S. 392</ref><ref>Vgl. Liste ([http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=TI&s4=Mathieu&co4=AND&pg5=TI&s5=inequality&co5=AND&pg6=AUCN&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&s7=&co7=AND&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&review_format=html&Submit=Suche Liste im MathSciNet])!</ref>

== Formulierung ==
Die mathieuschen Ungleichungen besagen:<ref name="EM-I">E. Makai: ''On the inequality of Mathieu.'' Publ. Math. Debrecen 5 , S. 204–205</ref><ref name="DSM_a2">Mitrinović, op. cit., S. 360</ref>
:''Für jede [[reelle Zahl]] <math>x \neq 0</math> gelten die Abschätzungen''
::  <math>\frac{1}{x^2 + \frac{1}{2}} < \sum_{n=1}^{\infty} { \frac{2n}{(n^2+x^2)^2} } < \frac{1}{x^2}</math> &nbsp; .

=== Beweisskizze ===
Der Beweis lässt sich nach Makai folgendermaßen skizzieren:<ref name="EM-I" /><ref name="DSM_a3">Mitrinović, op. cit., S. 360–361</ref>

Für jedes reelle <math>x \neq 0</math> werden zwei [[unendliche Folge]]n <math>\left( a_n \right)_{n=1,2,3, \ldots}</math> und <math>\left( b_n \right)_{n=1,2,3, \ldots}</math> definiert, wobei für eine [[natürliche Zahl]] <math>n > 0</math>
: <math>a_n = \frac{1}{(n - \frac{1}{2})^2 + x^2 - \frac{1}{4} }</math>

und
: <math>b_n = \frac{1}{(n - \frac{1}{2})^2 + x^2 + \frac{1}{4} }</math>

gesetzt seien.

Mittels [[Term#Algebraische Umformungen|algebraischer Umformungen]] ergeben sich
: <math>a_n - a_{n+1} = \frac{2n}{(n^2+x^2)^2 - n^2} > \frac{2n}{(n^2+x^2)^2} </math>

und entsprechend
: <math>b_n - b_{n+1} = \frac{2n}{(n^2+x^2 + \frac{1}{2})^2 - n^2} = \frac{2n}{(n^2+x^2)^2 + x^2 + \frac{1}{4}} < \frac{2n}{(n^2+x^2)^2} </math> &nbsp; .

Nun bildet man die beiden zugehörigen [[Teleskopsumme]]n und gewinnt so die Ungleichungskette
: <math>
\begin{align}
\frac{1}{x^2 + \frac{1}{2}} &= b_1 \\
    &=  \sum_{n=1}^{\infty} { (b_n - b_{n+1}) }   \\
    &<  \sum_{n=1}^{\infty} { \frac{2n}{(n^2+x^2)^2} }   \\
    &<  \sum_{n=1}^{\infty} { (a_n - a_{n+1}) }   \\
    &= a_1 \\
    &= \frac{1}{x^2} \\
\end{align}
</math>

und daraus die behaupteten Abschätzungen.

== Anmerkung ==
Noch in der Abhandlung des Jahres 1949 verwies der Mathematiker [[Kurt Schröder (Mathematiker)|Kurt Schröder]] darauf, dass er die Richtigkeit der oberen mathieuschen Ungleichung nicht einsehen könne.<ref name="KS-b">Schröder, op. cit. S. 260</ref>

Statt dessen bewies er die schwächere (für seine Zielsetzung aber ausreichende) Ungleichung
::  <math>\sum_{n=1}^{\infty} { \frac{n}{(n^2+x^2)^2} } < \frac{2}{3 x^2}</math> &nbsp; .<ref name="KS-c">Schröder, op. cit. S. 258</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=L. Berg
   |Titel=Über eine Abschätzung von Mathieu
   |Sammelwerk=[[Mathematische Nachrichten]]
   |Band=7
   |Datum=1952
   |Seiten=257–259
   |DOI=10.1002/mana.19520070502}}
* {{Literatur
   |Autor=E. Makai
   |Titel=On the inequality of Mathieu
   |Sammelwerk=[[Publicationes Mathematicae Debrecen]]
   |Band=5
   |Datum=1957
   |Seiten=204–205
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Makai%2C%20E&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=88&mx-pid=91361 MR0091361]}}
* {{Literatur
   |Autor=E. Mathieu
   |Titel=Traité de physique mathématique
   |TitelErg=VI–VII, part 2
   |BandReihe=
   |Ort=Paris
   |Datum=1890
   |ISBN=
   |Kapitel=Kap. X}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Dragoslav Mitrinović|D. S. Mitrinović]]
   |Titel=Analytic Inequalities
   |TitelErg=In cooperation with [[Petar Vasić|P. M. Vasić]]
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
   |BandReihe=165
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin, Heidelberg, New York
   |Datum=1970
   |ISBN=3-540-62903-3
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Mitrinovi%C4%87&s5=Analytic%20Inequalities&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=274686 MR0274686]}}
* {{Literatur
   |Autor=Kurt Schröder
   |Titel=Das Problem der eingespannten rechteckigen elastischen Platte
   |Sammelwerk=[[Mathematische Annalen]]
   |Band=121
   |Datum=1959
   |Seiten=247–326}}

== Einzelnachweise und Fußnoten ==

rreferences />

KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Mathieusche Ungleichungen]]

= Ungleichungen von Weierstraß =
Die '''Ungleichungen von Weierstraß''' ({{enS|''Weierstrass’ inequalities''}}) gehören zu den elementaren [[Ungleichung]]en des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Gebiets]] der [[Analysis]]. Sie gehen auf den deutschen [[Mathematiker]] [[Karl Weierstraß]] zurück.<ref name="DSM_a">D. S. Mitrinović: ''Analytic Inequalities.'' 1970, S. 210, S. 396</ref>

Die weierstraßschen Ungleichungen führten zu einer Anzahl weiterführender Untersuchungen, welche verbesserte und allgemeinere Ungleichungen ähnlichen Typs lieferten.<ref>Vgl. Liste ([http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publications.html?pg4=TI&s4=Weierstrass&co4=AND&pg5=TI&s5=inequalities&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&s7=&co7=AND&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&review_format=html&Submit=Suche]) im MathSciNet!</ref>

== Formulierung ==
Die Ungleichungen lauten folgendermaßen:<ref name="DSM_b">Mitrinović, op. cit., S. 210</ref>
:''Gegeben seien zu einer [[natürliche Zahl]] <math>N > 0</math> im [[Offene Teilmenge|offenen]] [[Reelles Intervall|reellen Intervall]] <math>(0, 1)</math> die <math>N</math> [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>a_1, \ldots, a_N \in (0, 1)</math>.''
:''Dann gelten:''
:: '''(W1a)''' <math>\prod_{k=1}^N {(1-a_k)}  >   1 - \sum_{k=1}^N {a_k}</math>
:: '''(W1b)''' <math>\prod_{k=1}^N {(1-a_k)}  <  \frac{1}{ 1 + \sum_{k=1}^N {a_k} } </math>
:: '''(W2a)''' <math>\prod_{k=1}^N {(1+a_k)}  >  1 + \sum_{k=1}^N {a_k} </math>
:: '''(W2b)''' <math>\prod_{k=1}^N {(1+a_k)}  <  \frac{1}{ 1 - \sum_{k=1}^N {a_k} } </math> &nbsp;, ''sofern'' <math>\sum_{k=1}^N {a_k} < 1 </math>

=== Anmerkung ===
Die obigen Ungleichungen '''(W1a)''' und '''(W2a)''' beinhalten eine Verallgemeinerung der [[Bernoullische Ungleichung|bernoullischen Ungleichung]].<ref>Vgl. Mitrinović, op. cit., S. 35!</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Dragoslav Mitrinović|D. S. Mitrinović]]
   |Titel=Analytic Inequalities
   |TitelErg=In cooperation with [[Petar Vasić|P. M. Vasić]]
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
   |BandReihe=165
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin (u.a.)
   |Datum=1970
   |ISBN=3-540-62903-3
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Mitrinovi%C4%87&s5=Analytic%20Inequalities&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=274686 MR0274686]}}

== Einzelnachweise und Fußnoten ==
rreferences />

KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Weierstraß, Ungleichung von]]


= Weierstrass product inequality (improved) =
In [[real analysis]], the following four [[Inequality (mathematics)|inequalities]] are joined with the name of the [[Germany|German]] [[mathematician]] [[Karl Weierstrass]]:

Given a [[positive integer]] <math>N</math> and [[real number]]s <math>a_1, \ldots, a_N \in (0, 1)</math>, it follows that
: <math>\prod_{k=1}^N {(1-a_k)}  >   1 - \sum_{k=1}^N {a_k}</math>
: <math>\prod_{k=1}^N {(1-a_k)}  <  \frac{1}{ 1 + \sum_{k=1}^N {a_k} } </math>
: <math>\prod_{k=1}^N {(1+a_k)}  >  1 + \sum_{k=1}^N {a_k} </math>
: <math>\prod_{k=1}^N {(1+a_k)}  <  \frac{1}{ 1 - \sum_{k=1}^N {a_k} } </math> &nbsp;, ''given that'' <math>\sum_{k=1}^N {a_k} < 1 .</math>

== Reference ==
*{{cite book
 | last = [[Dragoslav Mitrinović|Mitrinović]]
 | first = D. S.
 | title = Analytic Inequalities
 | pages = 210
 | publisher = [[Springer Verlag]]
 | series = Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
 | volume = 165
 | edition = first
 | year = 1970
 | location = Berlin
 | isbn = 3-540-62903-3
 | mr = 0274686}}

CCCategory:Inequalities]]



= Ungleichung von Schweitzer =
Die '''Ungleichung von Schweitzer''' ({{enS|''Schweitzer’s inequality''}}) ist ein [[Ungleichung]] des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Gebiets]] der [[Analysis]] und in gewisser Weise komplementär zur [[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Ungleichung von Cauchy-Schwarz]]. Sie geht auf eine [[Wissenschaftliche Publikation|Arbeit]] eines [[Pál Schweitzer]]<ref>Siehe Diskussion! Möglicherweise handelt es sich um den aus Ungarn stammenden, später in die USA ausgewanderten Maschinenbauingenieur '''Paul Henry [[Schweitzer (Familienname)|Schweitzer]]''' (1893-1980).</ref> aus dem Jahre 1914 zurück, an die in der Folge eine Anzahl von weiterführenden Untersuchungen anschloss, welche weitere Ungleichungen gleichen Typs lieferten. Eng verwandt mit dieser Ungleichung ist nicht zuletzt die von dem [[sowjetisch]]en [[Mathematiker]]s [[Leonid Witaljewitsch Kantorowitsch]] im Jahre 1948 vorgelegte [[Kantorowitsch-Ungleichung]]. Mit der schweitzerschen Ungleichung gewinnt man unter anderem gewisse obere [[Abschätzung]]en für die [[Arithmetisches Mittel|arithmetischen Mittelwerte]] von [[endlich viele]]n [[positive Zahl|positiven Zahlen]].<ref name="DSM_A">D. S. Mitrinović: ''Analytic Inequalities.'' 1970, S. 59–66</ref><ref name="GP-GS-01">Georg Pólya, Gábor Szegö: ''Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, Bd. I.'' 1970, S. 57, S. 213–214</ref><ref name="JBD-FTM-I">J. B. Diaz, F. T. Metcalf: ''Inequalities complementary to Cauchy's inequality for sums of real numbers.'' In: Oved Shisha (Hrsg.): ''Inequalities: Proceedings of a Symposium Held at Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, August 19 - 27, 1965.'' Academic Press, New York, London (1967), S. 73–77</ref>

== Formulierung ==
Die Ungleichung besagt folgendes:<ref name="DSM_B">Mitrinović, op. cit., S. 59</ref>
:''Gegeben seien ein [[reelles Intervall]] <math>[m, M] \subset \R^{>0}</math> zu zwei positiven Zahlen  <math>m \leq M</math> und weiter eine [[natürliche Zahl]] <math>N > 0</math> sowie <math>N</math> positive Zahlen <math>a_1, \ldots, a_N \in [m, M]</math>.''
:''Dann gilt:''
:: <math>\left( \frac{1}{N} \sum_{k=1}^N {a_k} \right) \cdot \left( \frac{1}{N} \sum_{k=1}^N { \frac{1}{a_k} } \right) \leq \frac{(m + M)^2}{4mM} </math> &nbsp;.
:''Sind weiter ein beliebiges reelles Intervall <math>[a, b] \subseteq \R</math> sowie eine [[reelle Funktion]] <math>f \colon [a, b]  \to [m, M] </math> gegeben und sind <math>f</math> und ebenso die zugehörige reelle Funktion <math>x \mapsto \frac{1}{f(x)}</math> [[Integralrechnung#Konstruktionen|integrierbar]], so gilt die Integralungleichung''
:: <math>\left( \frac{1}{b - a} \int_a^b {f(x)} \,dx  \right) \cdot \left( \frac{1}{b - a}\int_a^b {\frac{1}{f(x)} } \,dx  \right) 
\leq
\frac{(m + M)^2}{4mM} </math> &nbsp;.

== Verallgemeinerung ==
Im Band I ihres zweibändigen Lehrbuchs ''Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis'' präsentieren [[George Pólya|Georg Pólya]] und  [[Gábor Szegö]] eine weitgehende Verallgemeinerung der schweitzerschen Ungleichung:<ref name="GP-GS-02">Pólya/Szegö, op. cit. S. 57</ref><ref name="DSM_C">Mitrinović, op. cit., S. 60</ref><ref name="JBD-FTM-II">Diaz/Metcalf, op. cit., S. 74</ref>
:''Gegeben seien zwei reelle Intervalle <math>[m_1, M_1] , [m_2, M_2] \subset \R^{>0}</math> zu vier positiven Zahlen  <math>m_1 \leq M_1, m_2 \leq M_2</math> und weiter eine natürliche Zahl <math>N > 0</math> sowie <math>2N</math> positive Zahlen <math>a_1, \ldots, a_N \in [m_1, M_1]</math> und <math>b_1, \ldots, b_N \in [m_2, M_2]</math>.''
:''Dann gilt:''
:: <math> 1 
\leq
\frac{ \left( \sum_{k=1}^N { {a_k}^2} \right) \cdot \left( \sum_{k=1}^N { {b_k}^2} \right) }{\left( \sum_{k=1}^N { a_k b_k} \right)^2 }
\leq 
\left(  \frac{ \sqrt{ \frac{M_1 M_2}{m_1 m_2} } + \sqrt{ \frac{m_1 m_2}{M_1 M_2} } }{2} \right)^2  </math> &nbsp;.
:''Sind weiter ein beliebiges reelles Intervall <math>[a, b] \subseteq \R</math> sowie zwei integrierbare reelle Funktionen <math>f_1 \colon [a, b]  \to [m_1, M_1] </math> und <math>f_2 \colon [a, b]  \to [m_2, M_2] </math> gegeben, so ist''
:: <math> 1 
\leq
\frac{ \left( \int_a^b { [f_1(x)]^2 \,dx  } \right) \cdot \left( \int_a^b {[f_2(x)]^2 \,dx  } \right)  }{\left( \int_a^b {f_1(x) f_2(x) \,dx  }  \right)^2 } 
\leq
\left(  \frac{ \sqrt{ \frac{M_1 M_2}{m_1 m_2} } + \sqrt{ \frac{m_1 m_2}{M_1 M_2} } }{2} \right)^2  </math> &nbsp;.<ref>Hier und zuvor entspricht die vordere Ungleichung der Ungleichung von Cauchy-Schwarz.</ref>

=== Anmerkung ===
Manche Autoren bezeichnen die Ungleichung von Schweitzer, die oben genannte Ungleichung von Pólya-Szegö und auch weitere Ungleichungen ähnlichen Typs als zur [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] ''komplementäre Ungleichungen'' ({{enS|''complementary inequalities''}}).<ref name="JBD-FTM-I" />

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=J. B. Diaz, F. T. Metcalf
   |Titel=Inequalities complementary to Cauchy's inequality for sums of real numbers
   |Sammelwerk=Oved Shisha (Hrsg.): Inequalities: Proceedings of a Symposium Held at Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, August 19–27, 1965, Academic Press, New York, London
   |Band= 
   |Datum=1967
   |Seiten=73–77
   |DOI=
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Diaz&s5=Metcalf&s6=complementary&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=222228 MR0222228]
}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Dragoslav Mitrinović|D. S. Mitrinović]]
   |Titel=Analytic Inequalities
   |TitelErg=In cooperation with [[Petar Vasić|P. M. Vasić]]
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
   |BandReihe=165
   |Verlag=[[Springer Science%2BBusiness Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin (u.&nbsp;a.)
   |Datum=1970
   |ISBN=3-540-62903-3
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Mitrinovi%C4%87&s5=Analytic%20Inequalities&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=274686 MR0274686]
}}
* {{Literatur
   |Autor=Georg Pólya, Gábor Szegö
   |Titel=Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis
   |TitelErg=Band I: Reihen, Integralrechnung, Funktionentheorie 
   |Reihe=Heidelberger Taschenbücher
   |BandReihe=73
   |Auflage=4. 
   |Verlag=[[Springer Science%2BBusiness Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin
   |Datum=1970
   |ISBN=
   |Seiten=
   |DOI=
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=TI&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Aufgaben%20und%20Lehrs%C3%A4tze%20aus%20der%20Analysis%20&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=271277 MR0271277]
}}
* {{Literatur
   |Autor=P. Schweitzer
   |Titel=Egy egyenlötlenség az aritmetikai középértékröl [''Eine Ungleichung im Zusammenhang mit dem arithmetischen Mittel'']
   |Sammelwerk=Math. és phys. lapok
   |Band=23
   |Datum=1914
   |Seiten=257–261
   |DOI=
   |Online=
}}
* {{Literatur
   |Herausgeber=Oved Shisha
   |Titel=Inequalities: Proceedings of a Symposium Held at Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, August 19–27, 1965
   |TitelErg=
   |Reihe=
   |BandReihe=
   |Auflage=
   |Verlag=[[Academic Press]]
   |Ort=New York, London
   |Datum=1967
   |ISBN=
   |Seiten=
   |DOI=
   |Online=
}}

== Weblinks ==
*[https://www.cut-the-knot.org/m/Algebra/ProofsOfSchweitzerInequality.shtml Ungleichung von Schweitzer und Beweise] auf cut-the-knot.org

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Schweitzer, Ungleichung von]]

KKKategorie:Ungleichung|Schweitzer, Ungleichung von]]

= Ungleichung von Popoviciu =
Die '''Ungleichung von Popoviciu''' ({{enS|''Popoviciu’s inequality''}}) ist ein [[Lehrsatz]] der [[Analysis]], einem der [[Teilgebiete der Mathematik]]. Die [[Ungleichung]], welche einer [[Wissenschaftliche Publikation|Arbeit]] des [[Rumänien|rumänischen]] [[Mathematiker]]s [[Tiberiu Popoviciu]] (1906–1975)<ref>Vgl. Artikel [[:ro:Tiberiu Popoviciu|Tiberiu Popoviciu]] in der der rumänischen Wikipedia!</ref> aus dem Jahre 1965 entstammt, stellt eine [[Charakterisierung|charakteristische Eigenschaft]] [[stetig]]er [[Konvexe Funktion|konvexer Funktionen]] auf [[Reelles Intervall|reellen Intervallen]] dar. Sie lässt sich als Folgerung aus dem [[Majorisierungsprinzip von Hardy-Littlewood-Pólya]] gewinnen.<ref name="CPN-LEP-01">Constantin P. Niculescu, Lars-Erik Persson: ''Convex Functions and Their Applications.'' 2006, S. 12, 33</ref>

== Formulierung ==
Der Lehrsatz lässt sich angeben wie folgt:<ref name="CPN-LEP-02">Niculescu/Persson, op. cit., S. 12</ref>
:''Gegeben seien ein beliebiges reelles Intervall <math>I \subseteq \R</math> und eine stetige [[reelle Funktion]] <math>f \colon I \to \R </math>.''
:''Dann sind folgende Bedingungen gleichwertig:''
:'' '''(B_1)''' <math>f</math> ist eine [[konvexe Funktion]].''
:'' '''(B_2)''' Je drei [[reelle Zahl]]en <math>x,y,z \in I</math> erfüllen die Ungleichung''
:: <math>\frac{f(x)+f(y)+f(z)}{3}  +  f \left( \frac{x+y+z}{3}  \right) \geq \frac{2}{3}  \cdot \bigl[ f \left( \frac{x+y}{2}  \right) + f \left( \frac{y+z}{2}  \right)  + f \left( \frac{z+x}{2}  \right)  \bigr]   </math> &nbsp;.
:''Dabei ist <math>f</math> [[Konvexe Funktion|streng konvex]] dann und nur dann, wenn für je drei  <math>x,y,z \in I</math>, vom Fall <math>x=y=z</math> abgesehen, die obige Ungleichung mit dem [[Vergleichszeichen]] <math> > </math>  anstelle des [[Vergleichszeichen]]s <math> \geq  </math> gilt.''

=== Zwei Ungleichungen als Anwendung ===
Mit Hilfe von Popovicius Ungleichung lassen sich unter anderem die folgenden beiden herleiten:<ref name="CPN-LEP-03">Niculescu/Persson, op. cit., S. 14</ref>
:''Für je drei reelle Zahlen <math>a, b, c > 0</math>, welche nicht alle gleich sind, gilt stets:''
:: '''(1)'''  <math>27 (a+b)^2 (b+c)^2 (c+a)^2   > 64 abc (a+b+c)^3  </math> &nbsp;.
:: '''(2)'''  <math>a^6 + b^6 + c^6 + 3a^2 b^2 c^2   > 2 \left( a^3 b^3 +b^3 c^3 + c^3 a^3 \right)  </math> &nbsp;.

=== Allgemeinere Ungleichungen, Integralversion ===
Tiberiu Popoviciu gab in der Arbeit von 1965 seine Ungleichung in einer noch allgemeineren Fassung an, welche in der Folge – insbesondere durch [[Petar Vasić|Petar M. Vasić]] und [[Ljubomir R. Stanković]] – noch erweitert wurde.<ref name="CPN-LEP-04">Niculescu/Persson, op. cit., S. 60</ref> Andere Autoren fanden weitere Verallgemeinerungen und Abwandlungen.<ref>Vgl. Liste ([http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=Popoviciu%E2%80%99s+inequality&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&s7=&co7=AND&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&review_format=html&Submit=Suche =>]) im MathSciNet!</ref> Nicht zuletzt wurde die Ungleichung von Popoviciu auch in eine Integralversion übertragen.<ref name="CPN-01">Constantin P. Niculescu: ''The integral version of Popoviciu's inequality.'' J. Math. Inequal. 3 (2009), no. 3, 323–328</ref>

== Weitere Ungleichung von Popoviciu ==
Mit dem Namen von Tiberiu Popoviciu sind einige weitere Ungleichungen verbunden und insbesondere die folgende, welche eine Verallgemeinerung einer bekannten Ungleichung von [[János Aczél]] darstellt:<ref name="SW-01">Shanhe Wu: ''Some improvements of Aczél’s inequality and Popoviciu’s inequality'' In:  Comput. Math. Appl. 56, S. 1196 ff</ref><ref name="DSM">D. S. Mitrinović: ''Analytic Inequalities.'' 1970, S. 58, 39</ref>
:''Gegeben seien [[reelle Zahl]]en <math>p,q > 1 \text{ mit } \tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1 </math> sowie (zu einer gegebenen [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahl]] <math>n \geq 2</math>) zwei <math>n</math>-Tupel <math>(a_1, \ldots, a_n)</math> und <math>(b_1, \ldots, b_n)</math> [[Positive Zahl|positiver reeller Zahlen]].''
:''Weiter seien <math>{a_1}^p - {a_2}^p-  \ldots - {a_n}^p > 0</math> und <math>{b_1}^q - {b_2}^q-  \ldots - {b_n}^q > 0</math> &nbsp;.''
:''Dann gilt:''
::<math>\left( {a_1}^p - {a_2}^p -  \ldots - {a_n}^p  \right)^{\tfrac{1}{p}} \left( {b_1}^q - {b_2}^q -  \ldots - {b_n}^q \right)^{\tfrac{1}{q}} \leq a_1 b_1 - a_2 b_2 -  \ldots - a_n b_n </math> &nbsp;.<ref>Die ''Ungleichung von Aczél'' ergibt sich durch Setzung von <math>p=q=2</math> &nbsp;.</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=Marcela V. Mihai, Flavia-Corina Mitroi-Symeonidis
   |Titel=New extensions of Popoviciu's inequality
   |Sammelwerk=Mediterranean Journal of Mathematics
   |Band=13
   |Datum=2016
   |Seiten=3121–3133
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Popoviciu%E2%80%99s%20inequality&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=3554298 MR3554298]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Dragoslav Mitrinović|D. S. Mitrinović]]
   |Titel=Analytic Inequalities
   |TitelErg=In cooperation with [[Petar Vasić|P. M. Vasić]]
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
   |BandReihe=165
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin (u.a.)
   |Datum=1970
   |ISBN=3-540-62903-3
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Mitrinovi%C4%87&s5=Analytic%20Inequalities&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=274686 MR0274686]}}
* {{Literatur
   |Autor=Constantin Niculescu, Lars-Erik Persson
   |Titel=Convex Functions and Their Applications
   |TitelErg=A Contemporary Approach
   |Reihe=CMS Books in Mathematics
   |BandReihe=23
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=New York
   |Datum=2006
   |ISBN=978-0-387-24300-9
   |Seiten=
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Persson&s5=Convex%20Functions&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=2178902 MR2178902]}}
* {{Literatur
   |Autor=Constantin P. Niculescu
   |Titel=The integral version of Popoviciu's inequality
   |Sammelwerk=Journal of Mathematical Inequalities
   |Band=3
   |Datum=2009
   |Seiten=323–328
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Popoviciu%E2%80%99s%20inequality&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=5&mx-pid=2597657 MR2597657]}}
* {{Literatur
   |Autor=T. Popoviciu
   |Titel=Sur quelques inégalités
   |Sammelwerk=Gaz. Mat. Fiz. Ser. A
   |Band=11 (64)
   |Datum=1959
   |Seiten=451–461
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=JOUR&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Popoviciu&s5=Gaz.&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=125925 MR0125925]}}
* {{Literatur
   |Autor=Tiberiu Popoviciu
   |Titel=Sur certaines inégalités qui caractérisent les fonctions convexes
   |Sammelwerk=Analele Ştiințifice Univ. “Al. I. Cuza”, Iasi, Secția Mat. [Neue Serie]
   |Band=11
   |Datum=1965
   |Seiten=155–164
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Popoviciu%2C%20Tiberiu&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=30&mx-pid=206178 MR0206178]}}
* {{Literatur
   |Autor=Shanhe Wu
   |Titel=Some improvements of Aczél’s inequality and Popoviciu’s inequality
   |Sammelwerk=Computers & Mathematics with Applications
   |Band=56
   |Datum=2008
   |Seiten=1196–1205
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Popoviciu%E2%80%99s%20inequality&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=7&mx-pid=2437287 MR2437287]
   |DOI=10.1016/j.camwa.2008.02.021}}

== Einzelnachweise und Fußnoten ==
rreferences />

KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Popoviciu , Ungleichung von]]



= Ungleichung von Mulholland =
Die '''Ungleichung von Mulholland''' ({{enS|''Mulholland’s inequality''}}) ist ein Resultat der [[Analysis]], einem der [[Teilgebiete der Mathematik]]. Die [[Ungleichung]]  ist verwandt mit der [[Minkowskische Ungleichung|minkowskischen Ungleichung]], welche sich im Wesentlichen  aus der mulhollandschen Ungleichung als [[Korollar]] ergibt. Sie wurde von [[H.P. Mulholland]] im Jahre 1950 [[Wissenschaftliche Publikation|publiziert]] und gab Anlass zu einer Reihe weiterführender Untersuchungen.<ref name="MK-a">Marek Kuczma: ''An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities.'' 2009, S. 218–222</ref><ref name="DSM-a">D. S. Mitrinović: ''Analytic Inequalities.'' 1970, S. 55 ff</ref>

== Formulierung ==
Das Resultat lässt sich angeben wie folgt:<ref name="MK-b">Kuczma, op. cit., S. 221</ref><ref name="DSM-b">Mitrinović, op. cit., S. 56–57</ref>
:''Gegeben seien das [[Reelles Intervall|reelle Intervall]] <math>I = [0, \infty)</math> und eine [[reelle Funktion]] <math>f \colon I \to I </math> mit folgenden Eigenschaften:''
::'' '''(1)''' <math>f(0) = 0</math> &nbsp;.
::'' '''(2)''' <math>f </math> ist ein [[stetig]]e [[Bijektion]] und dabei eine [[streng monoton steigende Funktion]].''
::'' '''(3)''' Die [[Einschränkung]] <math>f|_{(0, \infty)}</math> auf das [[Innerer Punkt#Definition|Innere]] des Intervalls ist eine [[Jensen-konvexe Funktion]].''
::'' '''(4)''' Die durch die Zuordnung <math>t \mapsto F(t) = \ln \left( f \left( e^t \right) \right)</math> gegebene reelle Funktion <math>F \colon \R \to \R</math> ist ebenfalls Jensen-konvex.''

:''Dann gilt für jede [[natürliche Zahl]] <math>N > 0</math> und je zwei <math>N</math>-[[Tupel]] <math>(a_1, \ldots, a_N)  , (b_1, \ldots, b_N) \in I^N</math> stets die Ungleichung''
:: <math> f^{-1} \left( \sum_{i=1}^N {f (a_i+b_i)}  \right) \leq  f^{-1} \left( \sum_{i=1}^N {f (a_i)}  \right) + f^{-1} \left( \sum_{i=1}^N {f (b_i)}  \right)</math> &nbsp;.

=== Korollar ===
Nimmt man oben (zu einer gegebenen reellen Zahl <math>p \geq 1</math>) als Funktion <math>f</math> die [[Potenzfunktion]] <math>t \mapsto f(t) = t^p \; (t \geq 0)</math> , so erhält man eine Version der minkowskischen Ungleichung:<ref name="MK-b" /><ref>Dabei folgt man der Konvention <math>0^p = \sqrt[p]{0}= 0</math>.</ref>
:''Für jede natürliche Zahl <math>N > 0</math> und je zwei <math>N</math>-Tupel <math>(a_1, \ldots, a_N)</math> und <math>(b_1, \ldots, b_N)</math> [[Positive und negative Zahlen|nichtnegativer reeller Zahlen]] gilt stets''
:: <math> \sqrt[p]{ \sum_{i=1}^N {(a_i+b_i)^p} } \leq  \sqrt[p]{ \sum_{i=1}^N {{a_i}^p} } + \sqrt[p]{ \sum_{i=1}^N {{b_i}^p} }</math> &nbsp;.

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Marek Kuczma]]
   |Titel=An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities
   |TitelErg=Cauchy's Equation and Jensen's Inequality
   |BandReihe=
   |Auflage=2.
   |Verlag=[[Birkhäuser Verlag]]
   |Ort=Basel
   |Datum=2009
   |ISBN=978-3-7643-8748-8
   |Seiten=
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kuczma&s5=Introduction&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=2467621 MR2467621]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Dragoslav Mitrinović|D. S. Mitrinović]]
   |Titel=Analytic Inequalities
   |TitelErg=In cooperation with [[Petar Vasić|P. M. Vasić]]
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
   |BandReihe=165
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin (u.a.)
   |Datum=1970
   |ISBN=3-540-62903-3
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Mitrinovi%C4%87&s5=Analytic%20Inequalities&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=274686 MR0274686]}}
* {{Literatur
   |Autor=H. P. Mulholland
   |Titel=On generalizations of Minkowski's inequality in the form of a triangle inequality
   |Sammelwerk=[[Proceedings of the London Mathematical Society|Proceedings of the London Mathematical Society (2)]]
   |Band=51
   |Datum=1950
   |Seiten=294–307
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Mulholland&s5=inequality&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=33865 MR0033865]}}
* {{Literatur
   |Autor=Zhen Xiao Huang, Bicheng Yang
   |Titel=On a half-discrete Hilbert-type inequality similar to Mulholland's inequality
   |Sammelwerk=[[Journal of Inequalities and Applications]]
   |Band=
   |Datum=2013
   |Seiten=2013:290
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Mulholland%27s%20inequality&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=3073994 MR3073994]}}

== Einzelnachweise und Fußnoten ==
rreferences />

KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Mulholland, Ungleichung von]]





= Jordansche Ungleichung (Überschneidung mit [[Jordan-Ungleichung]]!) =
Die '''Jordansche Ungleichung''' ({{enS|''Jordan’s inequality''}}) ist eine [[Ungleichung]] der [[Analysis]], einem der [[Teilgebiete der Mathematik]]. Sie geht auf den [[Frankreich|französischen]] Mathematiker [[Camille Jordan]] zurück und  liefert eine [[Abschätzung]] zur [[Reelle Funktion|reellen]] [[Sinusfunktion]].<ref name="DSM-01">D. S. Mitrinović: ''Analytic Inequalities.'' 1970, S. 33, 391</ref>

== Formulierung ==
Die Ungleichung lautet:<ref name="DSM-02">Mitrinović, op. cit.'' 1970, S. 33</ref>
:''Für eine [[reelle Zahl]] <math>t</math> mit <math>0 < t \leq \frac{\pi}{2}</math> ist stets''
:: <math> \frac{\sin t}{t} \geq \frac{2}{\pi}</math> &nbsp;,
: ''wobei nur im Falle <math>t = \frac{\pi}{2}</math> Gleichheit gilt.''

== Folgerung ==
:''Für eine reelle Zahl <math>t</math> mit <math>0 < |t| \leq \frac{\pi}{2}</math> ist stets''
:: <math> \frac{2}{\pi} \leq \frac{\sin t}{t} < 1 </math> &nbsp; .''

== Verwandte Ungleichung ==
Ausgehend von einer Aufgabenstellung des [[Vereinigte Staaten|US-amerikanischen]] Mathematikers [[Raymond Redheffer]] bewiesen J. P. Williams und andere:<ref name="DSM-02" /><ref name="RR-JPW-01">Raymond Redheffer, J. P. Williams: ''Solutions of Advanced Problems: 5642.'' In: Amer. Math. Monthly, 76, S. 1153–1154</ref>
:''Für eine reelle Zahl <math>t \; (t \neq 0)</math> ist stets''
:: <math>\frac{\sin t}{t} \geq \frac{{\pi}^2 - t^2}{{\pi}^2 + t^2} </math> &nbsp; .

== Quellen und Hintergrundliteratur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Dragoslav Mitrinović|D. S. Mitrinović]]
   |Titel=Analytic Inequalities
   |TitelErg=In cooperation with [[Petar Vasić|P. M. Vasić]]
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
   |BandReihe=165
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin (u.a.)
   |Datum=1970
   |ISBN=3-540-62903-3
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Mitrinovi%C4%87&s5=Analytic%20Inequalities&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=274686 MR0274686]}}
* {{Literatur
   |Autor=Raymond Redheffer, J. P. Williams
   |Titel=Solutions of Advanced Problems: 5642
   |Sammelwerk=[[American Mathematical Monthly]]
   |Band=76
   |Datum=1969
   |Seiten=1153–1154
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=JOUR&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Redheffer&s5=Amer.%20Math.%20Monthly&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=22&mx-pid=1535709 MR1535709]
   |DOI=10.2307/2317211}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)]]


= Ungleichung von Hilbert =
Die '''Ungleichung von Hilbert''' ({{enS|''Hilbert’s inequality''}}) ist eine klassische [[Ungleichung]] der [[Analysis]], einem der [[Teilgebiete der Mathematik]]. Sie geht auf eine [[Wissenschaftliche Publikation|Arbeit]] des deutschen Mathematikers [[David Hilbert]] aus dem Jahre 1888 zurück und gibt eine obere [[Abschätzung]] zu gewissen [[Summe#Doppelsummen|Doppelsummen]] [[Positive Zahl|positiver reeller Zahlen]]. Hilberts Ungleichung wurde von zahlreichen Autoren verschärft, verallgemeinert und abgewandelt. Nicht zuletzt haben [[Hermann Weyl]] – etwa in seiner [[Inauguraldissertation]] ''Singuläre Integralgleichungen mit besonderer Berücksichtigung des Fourierschen Integraltheorems'' von 1908 – und inbesondere [[Godfrey Harold Hardy]] sie intensiver Untersuchung unterzogen.<ref name="DSM-I">D. S. Mitrinović: ''Analytic Inequalities.'' 1970, S. 357–358</ref><ref name="GHH-JEL-GP-I">G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya: ''Inequalities.'' 1973, S. 226 ff</ref>

== Formulierung der Ungleichung ==
Hilberts Ungleichung lässt sich angeben wie folgt:<ref name="DSM-II">Mitrinović, op. cit., S. 357</ref>
: ''Gegeben sei für eine [[natürliche Zahl]] <math>N > 0</math> ein <math>(N+1)</math>-[[Tupel]] <math>(a_0, \ldots, a_N)</math> positiver reeller Zahlen.''
:''Dann gilt:''
:: '''(H)''' <math>\sum_{i=0}^N { \sum_{j=0}^N {\frac{a_i a_j} {i+j+1}} } \leq \pi \cdot \sum_{i=0}^N {{a_i}^2} </math> &nbsp;.

=== Verschärfungen ===
Nach H. Frazer hat die letzte Ungleichung eine Verschärfung, in der die [[Kreiszahl]] durch einen besseren ''Abschätzungsfaktor'' ersetzt wird:<ref name="DSM-II" />
:: '''(HF)''' <math>\sum_{i=0}^N { \sum_{j=0}^N {\frac{a_i a_j} {i+j+1}} } \leq (N+1) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{N+1}\right) \cdot \sum_{i=0}^N {{a_i}^2}</math> &nbsp;.

[[David Widder|D. V. Widder]] zeigte die folgende stärkere Ungleichung:<ref name="DSM-II" />
:: '''(HW)''' <math>\sum_{i=0}^N { \sum_{j=0}^N {\frac{a_i a_j} {i+j+1}} } \leq \pi \cdot  \sum_{i=0}^N { \sum_{j=0}^N { \frac{(i+j)!} {i! j!} \frac{a_i a_j} {2^{i+j+1}} } } </math> &nbsp;.

=== Verwandte Ungleichung ===
Fu Cheng Hsiang bewies die folgende verwandte Ungleichung:<ref name="DSM-II" />
:''Gegeben seien eine natürliche Zahl <math>N > 0</math> und dazu zwei <math>(N+1)</math>-Tupel <math>(a_0, \ldots, a_N)</math> und <math>(b_0, \ldots, b_N)</math> von [[nichtnegativ]]en reellen Zahlen.''
:''Dann gilt:''
:: '''(HHs)''' <math>\sum_{i=0}^N { \sum_{j=0}^N {\frac{a_i b_j} {2i+2j+1}} }  \leq (N+1) \cdot \sin {\frac{\pi}{2 (N+1)} } \cdot \left( \sum_{i=0}^N {{a_i}^2} \right)^{\frac{1}{2} }  \cdot \left( \sum_{j=0}^N {{b_j}^2} \right)^{\frac{1}{2} }  </math> &nbsp;.

== Analoga und Erweiterungen ==
In Analogie und Erweiterung der obigen Ungleichungen gewinnt man entsprechende für ''Doppelreihen und -integrale'':<ref name="GHH-JEL-GP-II">Hardy et al., op. cit., S. 226</ref><ref>Hinsichtlich des Übergangs von Doppelsummen auf Doppelreihen ist zu beachten, dass die [[Paarmenge]]n <math>\N_0 \times \N_0</math> und <math>\N \times \N </math> zueinander in [[Bijektion]] stehen und dass für <math>i,j \in \N</math> stets <math>\tfrac{1}{i+1+j+1} < \tfrac{1}{i+j+1} </math> ist.</ref>
:''Für zwei [[Folge (Mathematik)|Folgen]] <math>\left( a_i \right)_{i \in \N}</math> und <math>\left( b_j \right)_{j \in \N}</math> von nichtnegativen reellen Zahlen, die nicht beide lediglich <math>0</math> als [[Folgenglied]] haben, und zwei positive reelle Zahlen <math> p,q </math> mit <math> \tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1</math> gilt stets:''
:: '''(HH_1)''' <math>\sum_{i=1}^{\infty} { \sum_{j=1}^{\infty} {\frac{a_i b_j} {i+j}} }
<
{ \frac{\pi}{\sin \left( \frac{\pi}{p}\right) } }
\cdot \left( \sum_{i=1}^{\infty} {{a_i}^p} \right)^{\frac{1}{p}}
\cdot \left( \sum_{j=1}^{\infty} {{b_j}^q} \right)^{\frac{1}{q}} </math> &nbsp;.

:''Für zwei [[reelle Funktion]]en <math> f,g \colon [0,\infty) \to [0,\infty) </math>, die nicht beide die [[Nullfunktion]] sind, und zwei positive reelle Zahlen <math> p,q </math> mit <math> \tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1</math> gilt stets:''
:: '''(HH_2)''' <math>\int_0^{\infty}\int_0^{\infty} {\frac{f(x) g(y)} {x+y}}  \,\mathrm dx \,\mathrm dy
<
{ \frac{\pi}{\sin \left( \frac{\pi}{p}\right) } }
\cdot \left( \int_0^{\infty} {f^p (x)}  \,\mathrm dx \right)^{\frac{1}{p}}
\cdot \left( \int_0^{\infty} {g^q (x)} \,\mathrm dx \right)^{\frac{1}{q}}</math> &nbsp;.

:''Zusatz: Es ist sowohl bei '''(HH_1)''' als auch bei '''(HH_2)''' der Abschätzungsfaktor <math>\tfrac{\pi}{\sin \left( \frac{\pi}{p}\right) } </math> der bestmögliche.''

=== Anmerkungen ===
* Für <math> p = q = 2</math> spricht man in Bezug auf '''(HH_1)''' auch vom ''hilbertschen Doppelreihensatz'' ({{enS|''Hilbert’s double series theorem''}}).<ref name="GHH-JEL-GP-II" />
* Hinsichtlich des allgemeinen Falls ist es heute üblich, die obigen Ungleichungen '''(HH_1)''' bzw. '''(HH_2)''' als ''hardy-hilbertsche Ungleichung'' ({{enS|''Hardy-Hilbert’s inequality''}}) bzw. als ''hardy-hilbertsche Integralungleichung'' ({{enS|''Hardy-Hilbert’s integral inequality''}}) zu bezeichnen.

== Zwei weitere verwandte Ungleichungen ==
Im Rahmen der Bemühungen, einen möglichst einfachen Beweis des hilbertschen Doppelreihensatzes zu liefern, wurden – beginnend in den Jahren 1920 bis 1925 mit Arbeiten von G. H. Hardy und [[Edmund Landau]] – zwei verwandte Ungleichungen für Reihen und Integrale gefunden und abgeleitet, welche beide unter dem Stichwort ''hardysche Ungleichung'' ({{enS|''Hardy’s inequality''}}) bekannt wurden. Es handelt sich um die folgenden:<ref name="GHH-JEL-GP-III">Hardy et al., op. cit., S. 239 ff</ref>
:''Für eine Folge <math>\left( a_i \right)_{i \in \N}</math> nichtnegativer reeller Zahlen, die nicht alle gleich <math>0</math> sind, und eine reelle Zahl <math> p > 1</math> gilt stets:''
:: '''(H_1)''' <math>\sum_{i=1}^{\infty} \left( \frac{a_1 + \ldots + a_i} {i} \right)^p
<
\left( \frac{p}{p-1} \right)^p
\cdot  \sum_{i=1}^{\infty} {{a_i}^p}  </math> &nbsp;.

:''Für eine reelle Funktion <math> f \colon [0,\infty) \to [0,\infty) </math>, die nicht die Nullfunktion ist, und eine reelle Zahl <math> p > 1</math> gilt stets:''
:: '''(H_2)'''  <math>\int_0^{\infty} \left( \frac{\int_0^x f(t) \,\mathrm dt} {x} \right)^p \,\mathrm dx
<
\left( \frac{p}{p-1} \right)^p
\cdot
\int_0^{\infty} f^p (x) \,\mathrm dx  </math> &nbsp;.

:''Zusatz: Sowohl bei '''(H_1)''' als auch bei '''(H_2)''' ist der Abschätzungsfaktor <math>\left( \frac{p}{p-1} \right)^p </math> der bestmögliche.''

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=H. Frazer
   |Titel=Note on Hilbert’s inequality
   |Sammelwerk=[[Journal of the London Mathematical Society|The Journal of the London Mathematical Society]]
   |Band=21
   |Datum=1946
   |Seiten=7–9
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Frazer&s5=Hilbert&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=18226 MR0018226]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[G. H. Hardy]]
   |Titel=Note on a theorem of Hilbert
   |Sammelwerk=[[Mathematische Zeitschrift]]
   |Band=6
   |Datum=1920
   |Seiten=
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Note%20on%20a%20theorem%20of%20Hilbert&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=1544414 MR1544414]}}
* {{Literatur
   |Autor=G. H. Hardy
   |Titel=Note on a theorem of Hilbert concerning series of positive terms
   |Sammelwerk=[[Proceedings of the London Mathematical Society|Proceedings of the London Mathematical Society (2)]]
   |Band=23
   |Datum=1925
   |Seiten=}}
* {{Literatur
   |Autor=G. H. Hardy, [[John Edensor Littlewood|J. E. Littlewood]], [[George Pólya|G. Pólya]]
   |Titel=Inequalities
   |TitelErg=Reprint (of the 2. edition 1952)
   |BandReihe=
   |Verlag=[[Cambridge University Press]]
   |Ort=Cambridge
   |Datum=1973
   |ISBN=
   |Seiten=}}
* {{Literatur
   |Autor=David Hilbert
   |Titel=Ueber die Darstellung definiter Formen als Summe von Formenquadraten
   |Sammelwerk=[[Mathematische Annalen]]
   |Band=32
   |Datum=1888
   |Seiten=342–350
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Hilbert&s5=Formenquadraten&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR1510517]}}
* {{Literatur
   |Autor=Fu Cheng Hsiang
   |Titel=An inequality for finite sequences
   |Sammelwerk=[[Mathematica Scandinavica]]
   |Band=5
   |Datum=1957
   |Seiten=12–14
   |Online=[http://www.digizeitschriften.de/en/dms/img/?PID=GDZPPN002344947]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Edmund Landau|E. Landau]]
   |Titel=A note on a theorem concerning series of positive terms
   |Sammelwerk=The Journal of the London Mathematical Society
   |Band=1
   |Datum=1926
   |Seiten=38–39}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Dragoslav Mitrinović|D. S. Mitrinović]]
   |Titel=Analytic Inequalities
   |TitelErg=In cooperation with [[Petar Vasić|P. M. Vasić]]
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
   |BandReihe=165
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin (u.a.)
   |Datum=1970
   |ISBN=3-540-62903-3
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Mitrinovi%C4%87&s5=Analytic%20Inequalities&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=274686 MR0274686]}}
* {{Literatur
   |Autor=Waadallah Tawfeeq Sulaiman
   |Titel=Hardy-Hilbert's integral inequalities via homogeneous functions and some other generalizations
   |Sammelwerk=[[Universität Tartu|Acta et Commentationes Universitatis Tartuensis de Mathematica]]
   |Band=11
   |Datum=2007
   |Seiten=23–32
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Sulaiman&s5=Hardy-Hilbert&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=23&mx-pid=2391968 MR2391968]}}
* {{Literatur
   |Autor=D. V. Widder
   |Titel=An Inequality Related to One of Hilbert’s
   |Sammelwerk=The Journal of the London Mathematical Society
   |Band=4
   |Datum=1929
   |Seiten=194–198
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Widder&s5=Hilbert&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=1575045 MR1575045]}}
* {{Literatur
   |Autor=Bicheng Yang, Qiang Chen
   |Titel=A new extension of Hardy-Hilbert's inequality in the whole plane
   |Sammelwerk=[[Journal of Function Spaces]]
   |Band=
   |Datum=2016
   |Seiten=
   |Kommentar=Art. ID 9197476, 8 Seiten
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Hardy-Hilbert%20inequality&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=3548430 MR3548430]}}

== Einzelnachweise und Fußnoten ==
rreferences />


KKKategorie:Analysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Hilbert, Ungleichung von]]
KKKategorie:Ungleichung|Hilbert, Ungleichung von]]
KKKategorie:David Hilbert als Namensgeber]]

= Integralungleichung von Hadamard =
Die '''Integralungleichung von Hadamard''' ({{enS|''Hadamard's integral inequality''}}) oder auch '''Ungleichung von Hadamard''' ({{enS|''Hadamard inequality''}}) ist eine der klassischen [[Ungleichung]]en der [[Mathematik]] und als solche der [[Analysis]] zugehörig. Sie geht auf eine [[Wissenschaftliche Publikation|Publikation]] des [[Frankreich|französischen]] Mathematikers [[Jacques Salomon Hadamard]] aus dem Jahre 1893 zurück und gibt eine obere und untere [[Abschätzung]] für [[Integralrechnung|Integrale]] gewisser [[Konvexe Funktion|konvexer Funktionen]]. Die hadamardsche Integralungleichung gab Anlass zu zahlreichen Untersuchungen und Verallgemeinerungen.<ref name="MK_I">Marek Kuczma: ''An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities.'' 2009, S. 215 ff</ref>

== Formulierung ==
Die Ungleichung lässt sich angeben wie folgt:<ref name="MK_II">Kuczma, op. cit. , S. 216</ref>
:''Gegeben sei im [[Körper der reellen Zahlen]] ein [[kompaktes Intervall]] <math>J = [a, b] \; (a, b \in \R  \; , a < b)</math> und hierauf eine [[stetige Funktion]] <math>f \colon J \to \R </math>, deren [[Einschränkung]] <math>f|_{J^{\circ}}</math> auf das [[Innerer Punkt#Definition|Innere]] des Intervalls zudem [[Jensen-konvexe Funktion|Jensen-konvex]] sein soll.''
:''Dann gilt:''
:: <math> f \left( \frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x) \,dx \leq \frac{f(a) + f(b)}{2} </math> &nbsp;.

== Anmerkungen ==
* Manche Autoren bezeichnen die hadamardsche Integralungleichung  - unter zusätzlicher Bezugnahme auf den [[Dänemark|dänischen]] Mathematiker [[Johan Ludwig Jensen]] - als ''Ungleichung von Jensen-Hadamard'' ({{enS|''Jensen-Hadamard inequality''}}). Hierzu ist zu bemerken, dass die vordere Abschätzung der Integralungleichung sich als einfache Anwendung der [[Jensensche Ungleichung#Varianten|stetigen Variante der jensenschen Ungleichung]] ergibt.
* Man nennt die Integralungleichung nicht selten auch ''Ungleichung von Hermite-Hadamard'' ({{enS|''Hermite-Hadamard inequality''}}), da sie im Wesentlichen – und zwar schon im Jahre 1881! – von dem französischen Mathematiker [[Charles Hermite]] gefunden (und sogar angekündigt) war. Dies blieb jedoch zunächst unbeachtet, ebenso wie die von Hermite dazu im Jahr 1883 in der ''Mathesis'' vorgelegte Publikation.<ref name="CPN-LEP-I">Constantin P. Niculescu, Lars-Erik Persson: ''Convex Functions and Their Applications.'' 2006, S. 50 ff</ref>
* Die Integralungleichung kann als der Startpunkt der [[Choquet-Theorie]] angesehen werden.<ref name="CPN-LEP-II">Niculescu/Persson, op. cit., S.52, S. 177 ff</ref> Im Rahmen dieser Theorie lässt sich zeigen, dass unter den im  [[Choquet-Theorie#Satz von Choquet|Satz von Choquet]] beschriebenen Gegebenheiten eine analoge Integralungleichung gilt. Insbesondere ist dieses Analogon für jedes <math>n</math>-[[Dimension (Mathematik)#Dimension eines Simplizialkomplexes|dimensional Simplex]] <math>\Delta \subset \R^n \; (n \in \N)</math> und jedes auf <math>\Delta</math> definierte [[Borelmaß|borelsche]] [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] gültig.<ref name="CPN-LEP-III">Niculescu/Persson, op. cit., S. 193 ff</ref><ref name="CPN-I">Constantin P. Niculescu: ''The Hermite-Hadamard inequality for convex functions of a vector variable.''  Math. Inequal. Appl. 5 (2002), S. 619–623</ref>

== Anwendung ==
Indem man die Integralungleichung auf die reelle Funktion <math>x \mapsto f(x) = \frac{1}{1+x} \; (x \geq 0)</math> anwendet, lässt sich, wie schon Hermite in seiner Arbeit von 1883 zeigte, die folgende Ungleichung ableiten:<ref name="CPN-LEP-IV">Niculescu/Persson, op. cit., S. 51</ref>
: <math>x - \frac{x^2}{2+x} < \ln (1+x) < x - \frac{x^2}{2+2x}  </math> &nbsp;.

Daraus ergibt sich für alle [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] <math> n > 0 </math>
: <math> \frac{1}{n+ \tfrac{1}{2} } < \ln (n+1) - \ln n < \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}  \right)</math> &nbsp;.

Die letztere Ungleichung führt hin zu einer Herleitung der [[Stirlingsche Formel|stirlingschen Formel]].<ref name="CPN-LEP-IV" />

== Quellen und Hintergrundliteratur ==
* {{Literatur
   |Autor=S. S. Dragomir
   |Titel=Further properties of some mappings associated with Hermite-Hadamard inequalities
   |Sammelwerk=Tamkang Journal of Mathematics
   |Band=34
   |Datum=2003
   |Seiten=45–57
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=RT&pg5=TI&pg6=RT&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=convex&s5=Hadamard-Hermite&s6=Jensen&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=gt&r=15&mx-pid=1960410 MR1960410]}}
* {{Literatur
   |Autor=Ivan B. Lacković, Miomir S. Stanković
   |Titel=On Hadamard's integral inequality for convex functions
   |Sammelwerk=[[Universität Belgrad|Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. Fiz.]]
   |Band=No. 412–460
   |Datum=1973
   |Seiten=89–92
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Stankovic&s5=Lackovic&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=349934 MR0349934]}}
* {{Literatur
   |Autor=J. Hadamard
   |Titel=Étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d'une fonction considérée par Riemann
   |Sammelwerk=[[:fr:Journal de mathématiques pures et appliquées|J. Math. Pures Appl. (4<sup>e</sup> série)]]
   |Band=9
   |Datum=1893
   |Seiten=171–215}}
* {{Literatur
   |Autor=Ch. Hermite
   |Titel=Sur deux limites d’une intégrale définie
   |Sammelwerk=Mathesis
   |Band=3
   |Datum=1883
   |Seiten=82}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Marek Kuczma]]
   |Titel=An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities
   |TitelErg=Cauchy's Equation and Jensen's Inequality
   |BandReihe=
   |Auflage=2.
   |Verlag=[[Birkhäuser Verlag]]
   |Ort=Basel
   |Datum=2009
   |ISBN=978-3-7643-8748-8
   |Seiten=
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kuczma&s5=Introduction&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=2467621 MR2467621]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Constantin Niculescu]], [[Lars-Erik Persson]]
   |Titel=Convex Functions and Their Applications
   |TitelErg=A Contemporary Approach
   |Reihe=CMS Books in Mathematics
   |BandReihe=23
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=New York
   |Datum=2006
   |ISBN=978-0-387-24300-9
   |Seiten=
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Persson&s5=Convex%20Functions&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=2178902 MR2178902]}}
* {{Literatur
   |Autor=Constantin P. Niculescu
   |Titel=The Hermite-Hadamard inequality for convex functions of a vector variable
   |Sammelwerk=Mathematical Inequalities & Applications
   |Band=5
   |Datum=2002
   |Seiten=619–623
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=RT&pg5=RT&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Hermite-Hadamard&s5=Choquet&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=5&mx-pid=1931222 MR1931222]}}
* {{Literatur
   |Autor=Zoltán Retkes
   |Titel=An extension of the Hermite-Hadamard inequality
   |Sammelwerk=[[Universität der Wissenschaften Szeged#Acta Universitatis Szegediensis|Acta Sci. Math. (Szeged)]]
   |Band=74
   |Datum=2008
   |Seiten=95–106
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=TI&pg5=AUCN&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=An%20extension%20of%20the%20Hermite%E2%80%93Hadamard%20Inequality&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=2431093 MR2431093]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Hadamard, Integralungleichung von]]

= Ungleichung von Petrović =
Die '''Ungleichung von Petrović''' ({{enS|''Petrović inequality''}}) ist ein Resultat der [[Analysis]], einem der [[Teilgebiete der Mathematik]].

Die [[Ungleichung]] wurde von dem [[Serbien|serbischen]] Mathematiker [[Mihailo Petrović]] im Jahre 1932 [[Wissenschaftliche Publikation|publiziert]] und ist verwandt mit der [[Ungleichung von Jensen]], aus der sie als [[Korollar]] gewonnen werden kann. Sie gibt eine einfache [[Abschätzung]] gewisser [[Konvexe Funktion|konvexer Funktionen]] im [[Körper der reellen Zahlen]]. Die Publikation von Petrović gab Anlass zu einer Reihe weiterer Untersuchungen.

== Formulierung ==
Das Resultat lässt sich angeben wie folgt:<ref name="MK-I">Marek Kuczma: ''An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities.'' 2009, S. 217</ref>
:''Sei <math>I = [0, a)</math> ein [[reelles Intervall]] mit  <math>0 \leq a \leq \infty</math> und sei <math>f \colon I \to \R </math> eine [[stetige Funktion]], deren [[Einschränkung]] <math>f|_{I^{\circ}}</math> auf das [[Innerer Punkt#Definition|Innere]] des Intervalls [[Jensen-konvexe Funktion|Jensen-konvex]] ist.''
:''Dann gilt für jede [[natürliche Zahl]] <math>n \geq 1</math> und je <math>n</math> [[reelle Zahl]]en  <math> x_1, \ldots ,x_n \in I </math> mit   <math> x_1 + \dots  + x_n \in I </math> stets die Ungleichung''
:: <math> f \left( x_1 + \dots  + x_n  \right) \geq  f(x_1) + \dots  + f(x_n)  - (n-1) f(0)</math> &nbsp;.

=== Beweisskizze ===
In Marek Kuczmas Monographie werden zwei Beweise gegeben. Der erstere der beiden benutzt [[Vollständige Induktion]]. Der wesentliche Schritt dieses Beweises ist der Nachweis, dass die obige Ungleichung für den Fall <math>n = 2</math> gilt, und erfolgt unter Anwendung der Jensen-Ungleichung.<ref name="MK-I" />

Unter der den genannten Bedingungen kann man dabei [[ohne Beschränkung der Allgemeinheit]] <math>x_1 + x_2 > 0</math> annehmen und man erhält
: <math>
\begin{align}
f(x_1)  &= f \left( \frac {x_1}{x_1 + x_2} \cdot \left( x_1 + x_2  \right) + \frac {x_2}{x_1 + x_2} \cdot 0 \right)  \\
                                                                                                                     \\
        &{\leq} \frac {x_1}{x_1 + x_2} \cdot f \left( x_1 + x_2  \right) + \frac {x_2}{x_1 + x_2} \cdot f(0)         \\
\end{align}
</math>

und in gleicher Weise auch
: <math>
\begin{align}
f(x_2)  &{\leq} \frac {x_2}{x_1 + x_2} \cdot f \left( x_1 + x_2  \right) + \frac {x_1}{x_1 + x_2} \cdot f(0)  \\
\end{align}
</math>

und schließlich mittels [[Ungleichung#Addition und Subtraktion|Addition]] der linken und der rechten Seiten dieser beiden Ungleichungen
: <math> f(x_1)  + f(x_2)  \leq f \left( x_1 + x_2  \right) + f(0) </math> &nbsp;.

Letztere Ungleichung ist jedoch gleichwertig mit der Petrović-Ungleichung für <math>n = 2</math>  &nbsp;.

== Quellen und Hintergrundliteratur ==
* {{Literatur
   |Autor=M. Petrović
   |Titel=Sur une équation fonctionnelle
   |Sammelwerk=[[Universität Belgrad|Publ. Math. Univ. Belgrade]]
   |Band=1
   |Datum=1932
   |Seiten=149–156}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Marek Kuczma]]
   |Titel=An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities
   |TitelErg=Cauchy's Equation and Jensen's Inequality
   |BandReihe=
   |Auflage=2.
   |Verlag=[[Birkhäuser Verlag]]
   |Ort=Basel
   |Datum=2009
   |ISBN=978-3-7643-8748-8
   |Seiten=
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kuczma&s5=Introduction&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=2467621 MR2467621]}}
* {{Literatur
   |Autor=J. E. Pečarić
   |Titel=On the Petrović inequality for convex functions
   |Sammelwerk=[[Universität Zagreb|Glasnik Matematički. Serija III]]
   |Band=18(38)
   |Datum=1983
   |Seiten=77–85
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=RT&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=inequality&s5=Petrovi%C4%87&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=710389 MR0710389]}}

* {{Literatur
   |Autor=Josip Pečarić, Jurica Perić
   |Titel=Improvements of the Giaccardi and the Petrović inequality and related Stolarsky type means
   |Sammelwerk=[[Universität Craiova|Analele Universităţii din Craiova. Seria Matematică-Informatică]]
   |Band=39
   |Datum=2012
   |Seiten=65–75
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=RT&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=inequality&s5=Petrovi%C4%87&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=2979954 MR2979954]}}
* {{Literatur
   |Autor=Petar M. Vasić
   |Titel=Sur une inégalité de M. Petrović
   |Sammelwerk=Matematichki Vesnik
   |Band=5(20)
   |Datum=1968
   |Seiten=473–478
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=RT&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=inequality&s5=Petrovi%C4%87&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=243019 MR0243019]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Petrović, Ungleichung von]]

KKKategorie:Ungleichung|Petrović, Ungleichung von]]

= Majorisierungsprinzip von Hardy-Littlewood-Pólya =
Das '''Majorisierungsprinzip von Hardy-Littlewood-Pólya''' ({{enS|''Hardy-Littlewood-Pólya majorization principle''}}) ist ein [[Lehrsatz]] des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiets]] der [[Analysis]], der aus einer Arbeit der drei Mathematiker [[Godfrey Harold Hardy]], [[John Edensor Littlewood]] und [[George Pólya]] aus dem Jahre 1929 hervorgeht. Darin werden Bedingungen behandelt, unter denen [[Konvexe Funktion|konvexe]] [[Reellwertige Funktion#Reelle Funktion|reelle Funktionen]] eine gewisse [[Ungleichung]] erfüllen. Diese Ungleichung wurde im Jahre 1932 ebenfalls von dem [[Jugoslawien|jugoslawischen]] Mathematiker [[Jovan Karamata]] gefunden, weswegen sie auch '''Ungleichung von Karamata''' ({{enS|''inequality of Karamata''}}) genannt wird. Zahlreiche Mathematiker - wie [[László Fuchs]] und [[Alexander Markowitsch Ostrowski]] - haben Verallgemeinerungen angegeben, während [[Ky Fan]] und [[George G. Lorentz]] eine „stetige Version“ davon fanden. Das Majorisierungsprinzip und die verwandten Resultate spielen eine wichtige Rolle in der [[Matrix (Mathematik)|Matrizentheorie]], der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] und der [[Mathematische Statistik|Mathematischen Statistik]].<ref name="MK-01">Marek Kuczma: ''An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities.'' 2009, S. 211 ff</ref><ref name="EFB-RB-01">Edwin F. Beckenbach, Richard Bellman: ''Inequalities.'' 1983, S. 30 ff, S. 52 ff</ref><ref name="GHH-JEL-GP-01">G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya: ''Inequalities.'' 1964, S. 88 ff</ref><ref name="DSM-01">D. S. Mitrinović: ''Analytic Inequalities.'' 1970, S. 164 ff</ref>

== Formulierung ==
Das Majorisierungsprinzip lässt sich angeben wie folgt:<ref name="MK-02">Kuczma, op. cit., S. 211</ref><ref name="EFB-RB--02">Beckenbach/Bellman, op. cit., S. 30</ref>
:''Gegeben seien ein [[reelles Intervall]] <math>I</math> und darin ( für eine [[natürliche Zahl]] <math>n \geq 2</math> ) [[reelle Zahl]]en  <math>x_1, \ldots ,x_n, y_1, \ldots ,y_n  \in I</math> , so dass die folgenden Ungleichungen erfüllt sind:''
: <math>
\begin{align}
x_1 &{\geq} \ldots \geq x_{n-1} \geq x_n   \\
y_1 &{\geq} \ldots \geq y_{n-1} \geq y_n   \\
y_1 &{\geq} x_1  \\
y_1 + y_2 &{\geq} x_1 + x_2  \\
&{.}  \\
&{.}  \\
&{.}  \\
y_1 + \dots + y_{n-1} &{\geq} x_1 + \dots + x_{n-1}   \\
y_1 + \dots  + y_n &= x_1 + \dots +  x_n  \\
\end{align}
</math>
:''Sei weiterhin <math>f \colon I \to \R </math> eine [[stetige Funktion]], deren [[Einschränkung]] <math>f|_{I^{\circ}}</math> auf das [[Innerer Punkt#Definition|Innere]] des Intervalls [[Jensen-konvexe Funktion|Jensen-konvex]] ist.''

:''Dann gilt:''
: <math>
\begin{align}
f(y_1) + \dots  + f(y_n) &{\geq} f(x_1) + \dots + f(x_n) \\
\end{align}
</math>

== Folgerung ==
Mit dem Majorisierungsprinzip lässt sich die folgende Ungleichung gewinnen, die aus einer Arbeit von V. K. Lim aus dem Jahre 1971 hervorgeht:<ref name="MK-03">Kuczma, op. cit., S. 214</ref>
:''Ist oben <math>I = [0,\infty) </math> und erfüllt die reelle Funktion <math>f \colon I \to \R </math> die genannten Bedingungen, so gilt für je drei reelle Zahlen <math>a \geq 0 , b \geq 0, c \geq a+b </math> stets die Ungleichung''
: <math> f(a) +  f \left( b+c \right) \geq f \left( a+b \right) + f(c)  </math> &nbsp;.

Im Falle der Funktion <math>x \mapsto f(x) = x^r  \; (x \geq 0) </math> zu dem reellen [[Potenz (Mathematik)|Exponenten]] <math>r \geq 1 </math> spricht man hier auch von der ''Ungleichung von Lim'' ({{enS|''Lim's inequality ''}}).<ref name="MK-03" />

== Quellen und Hintergrundliteratur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Edwin F. Beckenbach]], [[Richard Bellman]]
   |Titel=Inequalities
   |Reihe=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete
   |BandReihe=30
   |Auflage=4.
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo
   |Datum=1983
   |ISBN=3-540-03283-5
   |Seiten=}}

* {{Literatur
   |Autor=Ky Fan, G. G. Lorentz
   |Titel=An integral inequality
   |Sammelwerk=[[American Mathematical Monthly]]
   |Band=61
   |Datum=1954
   |Seiten=626–631
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Fan&s5=Lorentz&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR0064829]
   |DOI=10.2307/2307678}}
* {{Literatur
   |Autor=[[László Fuchs|Ladislas Fuchs]]
   |Titel=A new proof of an inequality of Hardy-Littlewood-Pólya
   |Sammelwerk=Mat. Tidsskr. B
   |Band=1947
   |Datum=1947
   |Seiten=53–54
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=JOUR&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Mat.%20Tidsskr.&s5=Hardy-Littlewood-P%C3%B3lya&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR0024480]}}
* {{Literatur
   |Autor=G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya
   |Titel=Some simple inequalities satisfied by convex functions
   |Sammelwerk=[[The Messenger of Mathematics]]
   |Band=58
   |Datum=1929
   |Seiten=145–152}}
* {{Literatur
   |Autor=G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya
   |Titel=Inequalities
   |TitelErg=Reprint (of the 2. edition 1952)
   |BandReihe=
   |Verlag=[[Cambridge University Press]]
   |Ort=Cambridge
   |Datum=1964
   |ISBN=
   |Seiten=}}
* {{Literatur
   |Autor=J. Karamata
   |Titel=Sur une inégalité relative aux fonctions convexes
   |Sammelwerk=[[Universität Belgrad|Publ. Math. Univ. Belgrade]]
   |Band=1
   |Datum=1932
   |Seiten=145–148}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Marek Kuczma]]
   |Titel=An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities
   |TitelErg=Cauchy's Equation and Jensen's Inequality
   |BandReihe=
   |Auflage=2.
   |Verlag=[[Birkhäuser Verlag]]
   |Ort=Basel
   |Datum=2009
   |ISBN=978-3-7643-8748-8
   |Seiten=
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kuczma&s5=Introduction&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=2467621 MR2467621]}}
* {{Literatur
   |Autor=V. K. Lim
   |Titel=A note on an inequality
   |Sammelwerk=[[Nanyang University|Nanta Mathematica]]
   |Band=5
   |Datum=1971
   |Seiten=38–40
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Lim%2C%20V&s5=inequality&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=297949 MR0297949]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Dragoslav Mitrinović|D. S. Mitrinović]]
   |Titel=Analytic Inequalities
   |TitelErg=In cooperation with [[Petar Vasić|P. M. Vasić]]
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
   |BandReihe=165
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin (u.a.)
   |Datum=1970
   |ISBN=3-540-62903-3
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Mitrinovi%C4%87&s5=Analytic%20Inequalities&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=274686 MR0274686]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Alexander Markowitsch Ostrowski|Alexandre Ostrowski]]
   |Titel=[[Journal de Mathématiques Pures et Appliquées|J. Math. Pures Appl. (9)]]
   |Band=31
   |Datum=1952
   |Seiten=253–292
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=JOUR&pg5=TI&pg6=AUCN&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Schur&s6=Ostrowski&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=52475 MR0052475]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />


KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Hardy-Littlewood-Pólya, Majorisierungsprinzip von]]

KKKategorie:Ungleichung|Hardy-Littlewood-Pólya, Majorisierungsprinzip von]]

= Satz von Kakutani =
In der [[Mathematik]] sind zahlreiche Resultate mit dem Namen des [[Japan|japanischen]] Mathematikers [[Shizuo Kakutani]] verbunden. Dies sind unter Anderem:

* der [[Satz von Kakutani-Yamabe-Yujobô]] ([[Algebraische Topologie]])
* die [[Korrespondenz (Mathematik)#Fixpunktsatz von Kakutani|Fixpunktsatz von Kakutani]] ([[Analysis]] / [[Korrespondenz (Mathematik)|Korrespondenzen]])
* der [[Fixpunktsatz von Kakutani]] ([[Funktionalanalysis]])
* der [[Darstellungssatz von Riesz-Markow-Kakutani]] ([[Maßtheorie]] / Funktionalanalysis)
* der [[Gleichmäßig konvexer Raum#Satz von Milman|Satz von Kakutani zu gleichmäßig konvexen Banachräumen]] (Funktionalanalysis)
* das [[Lemma von Kakutani]] ([[Konvexgeometrie]] / Funktionalanalysis)
* das [[Lemma von Kakutani-Rochlin]] ([[Ergodentheorie]])

BBBegriffsklärung}}


= Fixpunktsatz von Kakutani =
Der '''Fixpunktsatz von Kakutani''' ist [[mathematisch]]er [[Lehrsatz]], der dem [[Teilgebiete der Mathematik|Gebiet]] der [[Funktionalanalysis]] zuzurechnen ist und auf eine Arbeit des [[Japan|japanischen]] [[Mathematiker]]s [[Shizuo Kakutani]] aus dem Jahr 1938 zurückgeht. Der Satz beruht auf Eigenschaften [[Konvexe Menge|konvexer Mengen]] in [[hausdorffsch]]en  [[Lokalkonvexer Raum|lokalkonvexen Vektorräumen]] und gibt eine [[hinreichende Bedingung]] für das Vorliegen gemeinsamer [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkte]] für gewisse [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] von [[Homöomorphismus|Homöomorphismen]] solcher Mengen. Er gab Anlass zu zahlreichen Folgeuntersuchungen und ist eng verknüpft mit anderen bedeutenden Sätzen der Funktionalanalysis wie etwa mit dem [[Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski]]. Der Fixpunktsatz von Kakutani impliziert dabei  nicht zuletzt die Existenz [[Haarsches Maß|Haarscher Maße]] auf [[Kompakter Raum|kompakten]] Gruppen. Zu seinem Beweis wird der [[Hausdorffs Maximalkettensatz|hausdorffsche Maximalkettensatz]] oder das [[Lemma von Zorn]] (und damit das [[Auswahlaxiom]]) benötigt.<ref name="WR-1">Walter Rudin: ''Functional Analysis.'' 1991, S. 120 ff, 377, 393</ref><ref name="VI-1">Vasile I. Istrățescu: ''Fixed Point Theory.'' 1987, S. 276 ff</ref><ref name="RJZ-1">Robert J. Zimmer: ''Essential Results of Functional Analysis.'' 1990, S. 38 ff</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Fixpunktsatz von Kakutani lässt sich darstellen wie folgt:<ref name="WR-2">Rudin, op. cit., S. 120</ref>
: ''Gegeben seien ein hausdorffscher lokalkonvexer Raum <math>X</math> und darin eine [[nichtleer]]e, [[Kompakte Teilmenge|kompakte]] und [[konvexe Teilmenge]] <math>C \subset X</math> zusammen mit einer Gruppe <math>\mathcal {G}</math> von [[Lineare Abbildung#Besondere lineare Abbildungen|linearen Automorphismen]] <math>g \colon X \to X</math>, die <math>C</math> invariant lassen, in der also alle Automorphismen <math>g \in \mathcal {G}</math> die [[Teilmengenrelation]] <math>g(C) \subseteq C</math> erfüllen.''
: ''Die Gruppe <math>\mathcal {G}</math> sei dabei [[gleichmäßig gleichgradig stetig]].''
:
: ''Dann gilt:''
: '' <math>\mathcal {G}</math> hat auf <math>C</math> einen gemeinsamen Fixpunkt, d h.: es gibt ein <math>c_0 \in C </math> mit <math>g(c_0) = c_0 </math> für alle <math>g \in \mathcal {G}</math> .''

== Verwandtes Resultat: Der Satz von Markow ==
Der [[Russland|russische]] Mathematiker [[Andrei Andrejewitsch Markow (Mathematiker, 1903)|Markow]] hat schon im Jahre 1936 und vor Publikation des kakutanischen Fixpunktsatzes einen Satz vorgelegt, der diesem in Fragestellung und Aussage sehr ähnelt, wobei der markowsche Satz im Wesentlichen darin abweicht, dass er die Voraussetzung der gleichmäßig-gleichgradigen Stetigkeit durch eine [[Kommutativgesetz|Vertauschbarkeitsbedingung]] ersetzt:<ref name="VI-2">Istrățescu, op. cit., S. 277</ref>
: ''Gegeben seien ein hausdorffscher lokalkonvexer Raum <math>X</math> und darin eine nichtleere kompakte konvexe Teilmenge <math>C \subset X</math>.''
: ''Weiter gegeben sei eine [[Familie (Mathematik)|Familie]] <math>\mathcal {F} = (f_i)_{i \in I}</math> von [[Stetige Abbildung|stetigen]] [[Affine Abbildung|affinen Abbildungen]] <math>f_i \colon C \to C</math>, die [[Komposition (Mathematik)#Kommutativität|hinsichtlich der Hintereinanderausführung paarweise vertauschbar]] sein sollen.''
:
: ''Dann gilt:''
: ''<math>\mathcal {F}</math> hat auf <math>C</math> einen gemeinsamen Fixpunkt, d h.: es gibt ein <math>c_0 \in C </math> mit <math>f_i(c_0) = c_0 </math> für alle <math>i \in I</math> .''

=== Zusatz ===
Die Aussage des Satzes von Markow gilt insbesondere für den Fall, dass - bei sonst gleichen Voraussetzungen - '' <math>\mathcal {F}</math> als '''[[abelsche Gruppe]]''' von stetigen linearen Automorphismen <math>f \colon X \to X</math> mit <math>f(C) \subseteq C</math> vorausgesetzt wird''. Diesen abgewandelten Satz nennt man auch den ''Fixpunktsatz von Kakutani-Markow'' ({{enS|''Kakutani-Markov fixed point theorem''}}) <ref name="RJZ-2">Zimmer, op. cit., S. 39</ref>

== Erläuterungen ==
* Die '''gleichmäßig-gleichgradige Stetigkeit''' ({{enS|''Equicontinuity''}}) der obigen Abbildungsgruppe <math>\mathcal {G}</math> ist auf die durch das <math>0</math>-[[Umgebungssystem]] von <math>X</math> gegebene [[uniforme Struktur]] zu beziehen. In diesem Zusammenhang nennt man - in voller Allgemeinheit - eine Familie <math>\mathcal {F} = (f_i)_{i \in I}</math> von linearen Abbildungen <math>f_i \colon X \to Y</math> zwischen zwei [[Topologischer Vektorraum|topologischen Vektorräumen]] <math>X</math>  und <math>Y</math> gleichmäßig gleichgradig stetig genau dann, wenn folgendes gilt:<ref name="WR-3">Rudin, op. cit., S. 43</ref>
:''Zu jeder <math>0</math>-Umgebung <math>U_Y (0) \subseteq Y</math> gibt es eine <math>0</math>-Umgebung <math>U_X (0) \subseteq X</math> , welche der Bedingung <math> \bigcup_{i \in I} { f_i \left( U_X (0) \right)  } \subseteq U_Y (0)</math> genügt.''
* Eine Abbildung <math>f \colon C \to C</math> der konvexen Menge  <math>C \subseteq X</math> heißt '''affin''', wenn für je zwei Punkte <math>x,y \in C</math> und jede [[reelle Zahl]] <math>\lambda \in [0,1]</math> stets die [[Gleichung]] <math> f \left(\lambda x + (1-\lambda) y\right) = \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y)</math> erfüllt ist''.<ref name="VI-3">Istrățescu, op. cit., S. 276</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=Shizuo Kakutani
   |Titel=On the uniqueness of Haar's measure
   |Sammelwerk=Proceedings of the Imperial Academy
   |Band=14
   |Datum=1938
   |Seiten=27–31
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=JOUR&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kakutani&s5=Imperial&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=5&mx-pid=1568492 MR1568492]}}
* {{Literatur
   |Autor=Shizuo Kakutani
   |Titel=Two fixed-point theorems concerning bicompact convex sets
   |Sammelwerk=[[Proceedings of the Imperial Academy]]
   |Band=14
   |Datum=1938
   |Seiten=242–245
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=JOUR&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kakutani&s5=Imperial&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=1568507 MR1568507]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Vasile I. Istrățescu]]
   |Titel=Fixed Point Theory
   |TitelErg=An Introduction. With a Preface by [[Michiel Hazewinkel]]
   |Reihe=Mathematics and its Application
   |BandReihe=7
   |Verlag=[[D. Reidel Publishing Company]]
   |Ort=Dordrecht, Bosto, London
   |Datum=1981
   |ISBN=90-277-1224-7
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Istratescu&s5=Fixed%20Point%20theory&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=620639 MR0620639]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Andrei Andrejewitsch Markow (Mathematiker, 1903)|A. A. Markov]]
   |Titel=Quelques théorèmes sur les ensembles abeliens
   |Sammelwerk=[[Russische Akademie der Wissenschaften|Doklady Akad. Nauk. SSSR]]
   |Band=10
   |Datum=1936
   |Seiten=311-314}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Barbara Przebieracz]]
   |Titel=A proof of the Mazur-Orlicz theorem via the Markov-Kakutani common fixed point theorem, and ''vice versa''
   |Sammelwerk=[[Fixed Point Theory and Applications]]
   |Band=
   |Datum=2015
   |Seiten=
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Kakutani-Markov%20fixed%20point%20theorem&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=3304965 MR3304965]
   |DOI=10.1186/s13663-014-0257-2}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Walter Rudin]]
   |Titel=Functional Analysis
   |Reihe=International Series in Pure and Applied Mathematics
   |BandReihe=
   |Auflage=2.
   |Verlag=[[McGraw-Hill]]
   |Ort=Boston (u.&nbsp;a.)
   |Datum=1991
   |ISBN=0-07-054236-8
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Rudin&s5=Functional%20Analysis&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=1157815 MR1157815]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]
   |Titel=A proof of the Markov-Kakutani fixed point theorem via the Hahn-Banach theorem
   |Sammelwerk=[[Extracta Mathematicae]]
   |Band=8
   |Datum=1993
   |Seiten=37–38
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Kakutani-Markov%20fixed%20point%20theorem&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=5&mx-pid=1270326 MR1270326]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Robert J. Zimmer]]
   |Titel=Essential Results of Functional Analysis
   |Reihe=Chicago Lectures in Mathematics
   |BandReihe=
   |Verlag=The [[University of Chicago]] Press
   |Ort=Chicago, London
   |Datum=1990
   |ISBN=0-226-98337-4
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Zimmer&s5=Essential&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR1045444]}}

== Einzelnachweise und Hinweise ==
rreferences />


KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Kakutani, Fixpunktsatz von]]



= Satz von Bernstein-Doetsch =
Der '''Satz von Bernstein-Doetsch''' ist ein Lehrsatz des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiets]] der [[Analysis]], der auf eine Arbeit der beiden [[Mathematiker]] [[Felix Bernstein]] und [[Gustav Doetsch]] aus dem Jahre 1915 zurückgeht. Der Satz gibt eine [[hinreichende Bedingung]], unter der gewisse [[konvexe Funktion]]en des [[Euklidischer Raum|euklidischen Raums]] bereits [[Stetigkeit|stetig]] sind.<ref name="FB-GD-1">F. Bernstein, G. Doetsch: ''Zur Theorie der konvexen Funktionen.'' in:  Math. Ann. 76, S. 514–526</ref><ref name="MK-1">Marek Kuczma: ''An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities.'' 2009, S. 155 ff</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Satz von Bernstein-Doetsch lässt sich angeben wie folgt:<ref name="MK-1" /><ref name="FB-GD-1" />
:''Sei <math>\Omega</math> eine [[konvexe Teilmenge|konvexe]] und zugleich [[offene Teilmenge]] des <math>\R^n \; (n \in \N)</math>.''
:''Sei <math>f \colon \Omega \to \R </math> eine [[Jensen-konvexe Funktion]], also eine [[reellwertige Funktion]], welche der Bedingung''
:: <math> f \left(\frac{x+y}{2}\right) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2}</math>
:''für alle <math>x,y \in \Omega</math> genügen möge.''
:''Weiter gebe es mindestens einen [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] <math>x_0 \in \Omega</math> derart, dass für eine [[offene Umgebung]] <math>U(x_0) \subseteq \Omega</math> die [[Einschränkung]]  <math>f|_{U(x_0)}</math> [[Beschränktheit#Definitionen|nach oben beschränkt]] sei.''
:
:''Dann gilt:''
:''<math>f</math> ist in jedem Punkt von <math>\Omega</math> stetig.''

== Historische Anmerkung ==
Johan Ludwig Jensen hat schon im Jahre 1906 ein Vorläuferresultat zum Satz von Bernstein-Doetsch geliefert, indem er nämlich zeigte, dass der entsprechende Sachverhalt für konvexe Funktionen auf offenen [[Reelles Intervall|reellen Intervallen]] gilt.<ref name="FB-GD-2">Bernstein/Doetsch, op. cit. , S. 514</ref>

== Folgerungen ==
Der Satz von Bernstein-Doetsch zieht unmittelbar das folgende Korollar nach sich:<ref name="MK-2">Kuczma. op. cit., S. 158</ref>
:''Eine auf einer offenen und konvexen Teilmenge des euklidischen Raums gegebene Jensen-konvexe Funktion ist entweder stetig oder in jedem Punkt [[unstetig]].''

Darüber hinaus gewinnt man mit dem Satz von Bernstein-Doetsch das folgende grundlegende Resultat, welches der [[Polen|polnische]] [[Mathematiker]] [[Marek Kuczma]] in seiner bekannten Monographie ''An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities'' als ''The basic theorem'' betitelt. Dieses besagt:<ref name="MK-3">Kuczma. op. cit., S. 161–162</ref>
:''Ist <math>f \colon \Omega \to \R </math> eine reellwertige Funktion für eine konvexe offene Teilmenge <math>\Omega</math> des <math>\R^n \; (n \in \N)</math>,  so ist <math>f</math> sowohl Jensen-konvex als auch stetig genau dann,''
:''wenn für je zwei Punkte <math>x,y \in \Omega</math> und jede [[reelle Zahl]] <math>\lambda \in [0,1]</math> stets die Ungleichung''
:: <math> f \left(\lambda x+ (1-\lambda) y\right) \leq \lambda f(x)+ (1-\lambda) f(y)</math>
:''erfüllt ist.''

== Die Sätze von Sierpiński und Fréchet ==
Auf den [[Polen|polnischen]] Mathematiker [[Wacław Sierpiński]] geht ein Satz zurück, dessen Fragestellung der des Satzes von Bernstein-Doetsch gleicht, wenngleich dessen Beweis auf anderen Methoden beruht. Er lautet:<ref name="MK-4">Kuczma. op. cit., S. 241 ff</ref><ref name="WS-1">W. Sierpiński: ''Sur un problème concernant les ensembles mesurables superficiellement .'' in: Fund. Math. 1, S. 112–115</ref><ref name="WS-2">Sierpiński, op. cit. , S. 125–128</ref>
:''Gegeben seien eine konvexe offene Teilmenge <math>\Omega</math> des <math>\R^n \; (n \in \N)</math> und darauf eine Jensen-konvexe Funktion <math>f \colon \Omega \to \R </math>.''
:''Dann gilt:''
:''Ist <math>f</math> [[Messbare Funktion#Messbarkeit reellwertiger Funktionen|messbar]], so ist <math>f</math> bereits stetig.''

Der Satz von Sierpiński wiederum führt unmittelbar zu einem Satz, der für den Fall der [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] <math>n=1</math> schon von dem [[Frankreich|französischen]] Mathematiker [[Maurice René Fréchet|Maurice Fréchet]] im Jahre 1913 formuliert wurde:<ref name="MK-4" />
:''Jede messbare [[additive Funktion]] <math>f \colon \R^n  \to \R </math> ist stetig.''

== Verwandtes Resultat für normierte Räume  ==
Zum Satz von Bernstein-Doetsch gibt es ein verwandtes Resultat, welches den Fall der konvexen reellwertigen Funktionen auf [[Normierter Raum|normierten Räumen]] behandelt. Es lässt sich folgendermaßen formulieren:<ref name="PK-a">Peter Kosmol: ''Optimierung und Approximation.'' 2010, S. 328&nbsp;ff., S. 331&nbsp;ff.</ref>
: ''Gegeben seien ein normierter <math>\R</math>-[[Vektorraum]] <math>X</math> und darin eine konvexe offene Teilmenge  <math>\Omega \subseteq X</math> sowie eine konvexe reellwertige Funktion <math>f \colon \Omega \to \R </math>.''
:
: ''Dann sind die folgenden Aussagen gleichwertig:''
:: '' '''(a)''' <math>f</math> ist stetig.''
:: '' '''(b)''' <math>f</math> ist [[oberhalbstetig]].''
:: '' '''(c)''' Es gibt eine [[nichtleer]]e offene Teilmenge <math>U_0 \subseteq \Omega</math> derart, dass <math>f|_{U_0}</math> nach oben beschränkt ist.''
:: '' '''(d)''' Es gibt  mindestens einen Punkt <math>x_0 \in \Omega</math>, in dem <math>f</math> stetig ist.''
: ''Ist <math>X</math> darüber hinaus ein [[Banachraum]], so sind sogar gleichwertig:''
:: '' '''(a')''' <math>f</math> ist stetig.''
:: '' '''(b')''' <math>f</math> ist oberhalbstetig.''
:: '' '''(c')''' <math>f</math> ist [[unterhalbstetig]].''

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Felix Bernstein|F. Bernstein]] und [[Gustav Doetsch|G. Doetsch]] 
   |Titel=Zur Theorie der konvexen Funktionen
   |Sammelwerk=[[Mathematische Annalen]]
   |Band=76
   |Datum=1915
   |Seiten=514–526
   |DOI=10.1007/BF01458222
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Bernstein&s5=Doetsch&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=1511840 MR1511840]
}}
* {{Literatur
   |Autor=Maurice Fréchet
   |Titel=Pri la fukncia equacio f(x+y) = f(x) + f(y)
   |Sammelwerk=[[L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale|Enseignement Math.]]
   |Band=15
   |Datum=1913
   |Seiten=390–393
   |DOI=
   |Online=
}}
* {{Literatur
   |Autor=Maurice Fréchet
   |Titel=A propos d'un article sur l'équation fonctionelle f(x+y) = f(x) + f(y) 
   |Sammelwerk=Enseignement Math.
   |Band=16
   |Datum=1914
   |Seiten=136
   |DOI=
   |Online=
}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Johan Ludwig Jensen|J. L. W. V. Jensen]] 
   |Titel=Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes
   |Sammelwerk=[[Acta Mathematica]] 
   |Band=30
   |Datum=1906
   |Seiten=175–193
   |DOI=
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=JOUR&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Jensen&s5=Acta%20Mathematica&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=1555027 MR1555027]
}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Peter Kosmol]]
   |Titel=Optimierung und Approximation
   |Reihe=De Gruyter Studium
   |BandReihe=
   |Auflage=2.
   |Verlag=[[Walter de Gruyter & Co.]]
   |Ort=Berlin
   |Datum=2010
   |ISBN=978-3-11-021814-5
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kosmol&s5=Approximation&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=2599674 MR2599674]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Marek Kuczma]]
   |Titel=An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities
   |TitelErg=Cauchy's Equation and Jensen's Inequality
   |Reihe=
   |BandReihe=
   |Auflage=2.
   |Verlag=[[Birkhäuser Verlag]]
   |Ort=Basel
   |Datum=2009
   |ISBN=978-3-7643-8748-8
   |Seiten=
   |DOI=
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kuczma&s5=Introduction&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=2467621 MR2467621]
}}
* {{Literatur
   |Autor=Wacław Sierpiński
   |Titel=Sur un problème concernant les ensembles mesurables superficiellement
   |Sammelwerk=[[Fundamenta Mathematicae]]
   |Band=1
   |Datum=1920
   |Seiten=112–115
   |DOI=
   |Online=[http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-fmv1i1p13bwm?q=bwmeta1.element.bwnjournal-number-fm-1920-1-1;14&qt=CHILDREN-STATELESS ->Weblink]
}}
* {{Literatur
   |Autor=Wacław Sierpiński
   |Titel=Sur les fonctions convexes mesurables 
   |Sammelwerk=Fundamenta Mathematicae
   |Band=1
   |Datum=1920
   |Seiten=125–128
   |DOI=
   |Online=[http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-fmv1i1p16bwm?q=bwmeta1.element.bwnjournal-number-fm-1920-1-1;17&qt=CHILDREN-STATELESS ->Weblink]
}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />


KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Bernstein-Doetsch]]

= Satz von Edelstein =
Der '''Satz von Edelstein''' ist ein Lehrsatz des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiets]] der [[Funktionalanalysis]]. Er geht auf eine Arbeit des [[Mathematiker]]s [[Michael Edelstein]] aus dem Jahre 1962 zurück und behandelt eine [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkteigenschaft]] gewisser [[Nichtexpansive Abbildung|nichtexpansiver Abbildungen]]. Der Satz ist verwandt mit dem [[Banachscher Fixpunktsatz|banachschen Fixpunktsatz]] und dem [[Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk]].<ref name="ME-1">Michael Edelstein: ''On fixed and periodic points under contractive mappings.'' in: J. London. Math. Soc. 37, S. 74 ff</ref><ref name="JMO-WCR-1">J. M. Ortega, W. C. Rheinboldt: ''Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables.'' 2000, S. 404 ff</ref><ref name="LWK-GPA-1">L. W. Kantorowitsch, G. P. Akilow: ''Funktionalanalysis in normierten Räumen.'' 1978, S. 512</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Satz von Edelstein lässt sich zusammengefasst darstellen wie folgt:<ref name="ME-2">Edelstein, op. cit., S. 74</ref><ref name="JMO-WCR-2">Ortega-Rheinboldt, op. cit., S. 404</ref><ref name="LWK-GPA-1" />
:''Sei <math>X</math> eine [[nichtleer]]e [[Teilmenge]] eines <math>\R^n \; (n \in \N)</math>  oder allgemein ein nichtleerer [[metrischer Raum]], versehen mit einer Metrik <math>d</math> .''<ref>Im Falle, dass <math>X</math> Teilmenge eines <math>\R^n </math> ist, soll die Metrik auf <math>X</math> - wie üblich - als durch eine [[Norm (Mathematik)|Norm]], etwa durch die [[euklidische Norm]], erzeugt angenommen werden.</ref>
:''Weiter gegeben sei eine [[strikt nichtexpansive Abbildung]] <math>f \colon X \to X </math> und deren [[Bildmenge]] <math>\Omega = f(X)</math> sei [[Kompakte Teilmenge|kompakt]] in <math>X</math>.''
:
:''Dann gilt:''
:''Es gibt '''genau''' einen [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] <math>x^{*} \in X </math> mit <math>f(x^{*}) = x^{*}</math> .''
:''Dabei [[Grenzwert (Folge)#Grenzwert einer Folge von Elementen eines metrischen Raumes|konvergiert]] für jeden Punkt <math>x_0 \in X </math> die [[Iteration#Dynamische Systeme|iterative Folge]] <math>(f^n(x_0))_{n=0,1,\dots,\infty}</math> gegen diesen Fixpunkt <math>x^{*}</math> .''

== Anmerkungen zum Beweis ==
Einem Gedanken von [[Mark Grigorjewitsch Krein|M. Krein]] folgend,<ref name="LWK-GPA-1" /> gewinnt man die Existenz eines Fixpunktes wegen der Kompaktheit der Bildmenge <math>\Omega</math> unmittelbar durch Anwendung des [[Satz vom Minimum und Maximum|Satzes vom Minimum]] auf das [[nichtnegativ]]e [[Reellwertige Funktion|reelle]] [[Funktional]] <math>T \colon \Omega \to \R^{\geq 0} \; , \; x \mapsto T(x) = d (f(x),x)</math>. Damit ist nämlich gesichert, dass das <math>T</math>-Minimum in einen Punkt <math>x^{*} \in \Omega</math> angenommen wird, welcher dann ein Fixpunkt sein muss. Denn wegen der vorausgesetzten strikten Nichtexpansivität von <math>f</math> muss <math>T(x^{*}) = 0</math> gelten, da aus <math>T(x^{*}) > 0</math> sofort <math>f(x^{*}) \neq x^{*}</math> folgte und dann <math>T(f(x^{*})) = d (f(f(x^{*})),f(x^{*})) < d (f(x^{*}),x^{*}) = T(x^{*}) </math>, im Widerspruch zur Minimumseigenschaft von <math>x^{*}</math>.

Zudem ist durch die strikte Nichtexpansivität von <math>f</math> offenbar auch direkt auf die Eindeutigkeit des Fixpunktes zu schließen. Denn für einen von <math>x^{*}</math> verschiedenen Fixpunkt  <math>x^{**}</math> wäre sogleich die in sich widersprüchliche Ungleichung <math>d (x^{*},x^{**}) = d (f(x^{*}),f(x^{**})) < d (x^{*},x^{**}) </math> zu folgern.

== Quellen und Hintergrundliteratur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Michael Edelstein|M. Edelstein]]
   |Titel=On fixed and periodic points under contractive mappings
   |Sammelwerk=[[Journal of the London Mathematical Society]]
   |Band=37
   |Datum=1962
   |Seiten=74–79
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Edelstein&s5=contractive&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=133102 MR0133102]
   |DOI=10.1112/jlms/s1-37.1.74}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Leonid Witaljewitsch Kantorowitsch|L. W. Kantorowitsch]], [[Gleb Pawlowitsch Akilow|G. P. Akilow]]
   |Titel=Funktionalanalysis in normierten Räumen
   |TitelErg=In deutscher Sprache herausgegeben von Prof. Dr. rer. nat. habil. P. Heinz Müller, Technische Universität Dresden. Übersetzt aus dem Russischen von Heinz Langer, Dresden, und Rolf Kühne, Dresden
   |Verlag=[[Verlag Harri Deutsch]]
   |Ort=Thun,  Frankfurt am Main
   |Datum=1978
   |ISBN=3-87144-327-1
   |Seiten=512
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Akilow&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=458199 MR0458199]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[James M. Ortega]], [[Werner C. Rheinboldt|W. C. Rheinboldt]]
   |Titel=Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables
   |TitelErg=(Unabridged republication of the work first published by Academic Press, New York and London, 1970)
   |Reihe=Classics in Applied Mathematics
   |BandReihe=30
   |Verlag=Society for Industrial and Applied Mathematics
   |Ort=Philadelphia
   |Datum=2000
   |ISBN=0-89871-461-3
   |Seiten=404–407
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Rheinboldt&s5=Ortega&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=1744713 MR1744713]}}

== Einzelnachweise und Hinweise ==
rreferences />


KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Edelstein]]

= Nichtexpansive Abbildung =
Der Begriff der '''nichtexpansiven Abbildung''' entstammt der [[Funktionalanalysis]], einem der [[Teilgebiete der Mathematik]]. Die nichtexpansiven  [[Funktion (Mathematik)|Abbildungen]] zählen zu den [[Lipschitz-Stetigkeit|lipschitzstetigen]] Abbildungen zwischen [[Metrischer Raum|metrischen Räumen]]. Sie sind unter anderem bedeutsam im Zusammenhang mit [[Fixpunktsatz|Fixpunktsätzen]].

== Definition ==
Eine Abbildung <math>f \colon X \to Y</math> für zwei metrische Räume <math>(X,d_X)</math> und <math>(Y,d_Y)</math> heißt '''nichtexpansiv''', wenn stets die folgende [[Ungleichung]] erfüllt ist:
: <math>d_Y (f(x_1), f(x_2)) \leq d_X (x_1,x_2) \; (\forall x_1, x_2 \in X)</math>


Erfüllt eine solche Abbildung <math>f \colon X \to Y</math> für <math>x_1, x_2 \in X</math> mit <math>x_1 \neq x_2 </math> sogar stets die ''strenge Ungleichung''
: <math>d_Y (f(x_1), f(x_2)) < d_X (x_1,x_2)</math> &nbsp; ,

so nennt man <math>f</math> '''strikt nichtexpansiv'''.

== Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk ==
Zu den nichtexpansiven Abbildungen von metrischen Räumen '''in sich''' zählen nicht zuletzt auch die [[Kontraktion (Mathematik)|kontraktiven Abbildungen]]. Wie bei letzteren stellt sich auch für erstere die Frage nach der Existenz von [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkten]]. Eine Antwort auf diese Frage liefert der ''Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk''. Er ist verwandt mit den Fixpunktsätzen von [[Fixpunktsatz von Banach|Banach]] und [[Fixpunktsatz von Schauder|Schauder]] und geht auf Arbeiten von [[Felix Earl Browder]], [[Dietrich Göhde]] und [[William A. Kirk]] aus den 1960er Jahren zurück.

Der Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk lässt sich zusammengefasst darstellen wie folgt:<ref name="EZ-I">Eberhard Zeidler: ''Nonlinear Functional Analysis and its Applications I'' 1986, S. 478</ref><ref name="DW-I">Dirk Werner: ''Funktionalanalysis.'' 2007, S. 173</ref><ref name="AP-I">Albrecht Pietsch: ''History of Banach Spaces and Linear Operators.'' 2007, S. 244</ref>
: ''Gegeben seien ein [[Gleichmäßig konvexer Raum|gleichmäßig konvexer]] [[Banachraum]] <math>E</math> und darin eine [[nichtleer]]e, [[Abgeschlossene Teilmenge|abgeschlossene]], [[Beschränktheit#Beschränkte Mengen in topologischen Vektorräumen|beschränkte]] und [[konvexe Teilmenge]] <math>X \subseteq E</math>.''
: ''Sei weiterhin <math>f \colon X \to X </math> eine nichtexpansive Abbildung, also dergestalt, dass stets die Ungleichung  <math>\| {f(x_1) - f(x_2)}  \|_E  \leq \| {x_1 - x_2} \|_E  \; (\forall x_1, x_2 \in X)</math> erfüllt sei.''
:
: ''Dann gilt:''
: ''Die '''Fixpunktmenge''' <math>{\mathrm{Fix}} (f) = \{ x \in X \colon f(x) = x \} </math> ist eine nichtleere, abgeschlossene und konvexe Teilmenge von <math>X</math>.''
: ''Insbesondere gibt es ein <math>x_0 \in X </math> mit <math>f(x_0) = x_0 </math> .''

Der Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk gab Anlass zu einer Anzahl von Folgeuntersuchungen, die zu verschiedenen Beweisvarianten und Verallgemeinerungen führten.

== Anmerkungen ==
* Die nichtexpansiven Abbildungen sind genau diejenigen lipschitzstetigen Abbildungen <math>f</math> zwischen metrischen Räumen, welche die Lipschitz-Konstante <math> {\mathrm{Lip}}_f \leq 1</math> besitzen.
* Fixpunkteigenschaften gewisser strikt nichtexpansiver Abbildungen behandelt der [[Satz von Edelstein]].

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=Felix E. Browder
   |Titel=Nonexpansive nonlinear operators in a Banach space
   |Sammelwerk=[[Proceedings of the National Academy of Sciences|Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]]
   |Band=54
   |Datum=1965
   |Seiten=1041–1044
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?r=1&pg1=MR&s1=187120&loc=fromrevtext MR0187120]
   |JSTOR=73047}}
* {{Literatur
   |Autor=Kazimierz Goebel
   |Titel=An elementary proof of the fixed-point theorem of Browder and Kirk
   |Sammelwerk=[[Michigan Mathematical Journal]]
   |Band=16
   |Datum=1969
   |Seiten=381–383
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Browder&s6=Kirk&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=7&mx-pid=251604 MR0251604]
   |DOI=10.1307/mmj/1029000322}}
* {{Literatur
   |Autor=Dietrich Göhde
   |Titel=Zum Prinzip der kontraktiven Abbildung
   |Sammelwerk=[[Mathematische Nachrichten]]
   |Band=30
   |Datum=1965
   |Seiten=251–258
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=RT&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=G%C3%B6hde&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=15&mx-pid=190718 MR0190718]
   |DOI=10.1002/mana.19650300312}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Vasile I. Istrățescu]]
   |Titel=Fixed Point Theory
   |TitelErg=An Introduction. With a Preface by [[Michiel Hazewinkel]]
   |Reihe=Mathematics and its Application
   |BandReihe=7
   |Verlag=[[D. Reidel Publishing Company]]
   |Ort=Dordrecht, Bosto, London
   |Datum=1981
   |ISBN=90-277-1224-7
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Istratescu&s5=Fixed%20Point%20theory&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=620639 MR0620639]}}
* {{Literatur
   |Autor=Jacek Jachymski
   |Titel=Another proof of the Browder-Göhde-Kirk theorem via ordering argument
   |Sammelwerk=[[Australian Mathematical Society|Bulletin of the Australian Mathematical Society]]
   |Band=65
   |Datum=2002
   |Seiten=105–107
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=TI&pg5=TI&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Browder&s5=Kirk&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=1889383 MR1889383]
   |DOI=10.1017/S0004972700020104}}
* {{Literatur
   |Autor=W. A. Kirk
   |Titel=A fixed point theorem for mappings which do not increase distances
   |Sammelwerk=[[American Mathematical Monthly]]
   |Band=72
   |Datum=1965
   |Seiten=1004–1006
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?r=1&pg1=MR&s1=189009&loc=fromrevtext MR0189009]
   |JSTOR=2313345}}
* {{Literatur
   |Autor=[[James M. Ortega]], [[Werner C. Rheinboldt|W. C. Rheinboldt]]
   |Titel=Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables
   |TitelErg=(Unabridged republication of the work first published by Academic Press, New York and London, 1970)
   |Reihe=Classics in Applied Mathematics
   |BandReihe=30
   |Verlag=Society for Industrial and Applied Mathematics
   |Ort=Philadelphia
   |Datum=2000
   |ISBN=0-89871-461-3
   |Seiten=404–407
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Rheinboldt&s5=Ortega&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=1744713 MR1744713]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Albrecht Pietsch]]
   |Titel=History of Banach Spaces and Linear Operators
   |Verlag=Birkhäuser Verlag
   |Ort=Boston / Basel / Berlin
   |Datum=2007
   |ISBN=0-8176-4367-2
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Pietsch&s5=History&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=2300779 MR2300779]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]
   |Titel=Funktionalanalysis
   |Auflage=6., korrigierte
   |Verlag=Springer-Verlag
   |Ort=Berlin
   |Datum=2007
   |ISBN=978-3-540-72533-6}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Eberhard Zeidler (Mathematiker)|Eberhard Zeidler]]
   |Titel=Nonlinear Functional Analysis and its Applications
   |TitelErg=I: Fixed-Point Theorems. Translated by Peter R. Wadsack
   |Verlag=Springer Verlag
   |Ort=New York / Berlin / Heidelberg / Tokyo
   |Datum=1986
   |ISBN=0-387-90914-1
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Zeidler&s5=Nonlinear&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=816732 MR0816732]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />


KKKategorie:Funktionalanalysis]]




= Lemma von Kakutani = 
Das '''Lemma von Kakutani''' ist [[mathematisch]]er [[Lehrsatz]], der sowohl dem [[Teilgebiete der Mathematik|Gebiet]] der [[Konvexgeometrie]] als auch dem der [[Funktionalanalysis]] zugerechnet werden kann. Es geht auf eine Arbeit des [[Japan|japanischen]] [[Mathematiker]]s [[Shizuo Kakutani]] aus dem Jahr 1937 zurück und behandelt eine Eigenschaft [[Konvexe Menge|konvexer Mengen]] in [[Körper der reellen Zahlen|reellen]] [[Vektorraum|Vektorräumen]].<ref name="MB-1">Marcel Berger: ''Geometry I.'' 1987, S. 384</ref><ref name="JLK-IN-1">John L. Kelley, Isaac Namioka: ''Linear Topological Spaces.'' 1976, S. 17</ref><ref name="FAV-1">Frederick A. Valentine: ''Konvexe Mengen.'' 1968, S. 29–30</ref>

== Formulierung des Lemmas ==
Das Lemma lässt sich formulieren wie folgt:<ref name="MB-1" /><ref name="JLK-IN-1" />
:''Gegeben seien ein [[Körper der reellen Zahlen|reeller]] [[Vektorraum]] <math>X</math> und darin zwei [[disjunkt]]e konvexe [[Teilmenge]]n <math>C_1, C_2 \subset X </math> sowie ein außerhalb dieser beiden Mengen gelegener [[Punkt (Geometrie)|Punkt]]  <math>x  \in {X \setminus (C_1 \cup C_2)}</math>.''
: ''<math>{\Gamma}_i \subset X  \; (i = 1,2)</math> sei jeweils die [[konvexe Hülle]] von <math> \{ x \} \cup C_i</math>.''
:
:''Dann gilt:''
: ''Mindestens eine der beiden [[Schnittmenge]]n <math> {\Gamma}_1  \cap C_2 \; , \; {\Gamma}_2  \cap C_1 </math> ist die [[leere Menge]].''

== Folgerung: Ein Satz von Marshall Harvey Stone ==
Aus dem Lemma von Kakutani lässt sich mit Hilfe des [[Zornsches Lemma|zornschen Lemmas]] ein Satz von [[Marshall Harvey Stone]] folgern, den [[Frederick Albert Valentine|Frederick A. Valentine]] in seinem Lehrbuch ''Konvexe Mengen'' als ''grundlegend'' bezeichnet.<ref name="FAV-2">Valentine, op. cit. , S. 29</ref> Dieser Satz lässt sich folgendermaßen fomulieren:<ref name="JLK-IN-1" /><ref name="FAV-3">Valentine, op. cit. , S. 30</ref>
:''In jedem  reellen Vektorraum <math>X</math> existiert zu je zwei disjunkten [[nichtleer]]en konvexen Teilmengen <math>C_1, C_2 \subset X </math> stets eine [[Partition (Mengenlehre)|Zerlegung]] <math> Z_1 \dot{\cup}  Z_2  = X</math> mit [[Obermenge|umfassenden]] konvexen Teilmengen <math>Z_i \supset  C_i \; (i = 1,2)</math> .''

Hinsichtlich der Namensgebung ist anzumerken, dass Kelley/Namioka den genannten Satz als ''Satz von Stone'' ({{enS|: ''Stone's theorem''}}) bezeichnen,<ref name="JLK-IN-1" /> während aus der Darstellung von Valentine eher zu entnehmen ist, dass der Satz in gleichem Maße Kakutani zuzuweisen ist und vermutlich auch von anderen Mathematikern gezeigt wurde. Bemerkenswert an der Darstellung von Valentine ist der Umstand, dass er das Lemma von Kakutani implizit beim Beweis benutzt, jedoch nicht explizit als solches nennt.<ref name="FAV-1" />

=== Bezug zum Trennungssatz von Eidelheit ===
Von [[Gottfried Köthe]] wird der Satz von Stone als ''Trennungssatz'' genannt, denn er steht in direkter Beziehung zum ''[[Trennungssatz]] von Eidelheit'' ({{enS|: ''Eidelheit's Separation Theorem''}}), welcher seinerseits hinführt zur [[Trennungssatz|Geometrischen Form des Satzes von Hahn-Banach]]. Der eidelheitsche Trennungssatz gab Shizuo Kakutani den Anlass zu seiner Arbeit von 1937.<ref name="GK-1">Gottfried Köthe: ''Topologische lineare Räume I.'' 1966, S. 189 ff</ref><ref name="NB-1">Nicolas Bourbaki: ''Topological Vector Spaces.'' 1998, II.36 ff</ref><ref name="REM-1">Robert E. Megginson: ''An Introduction to Banach Space Theory.'' 1998, S. 179</ref>

Der Trennungssatz von Eidelheit lässt sich konvexgeometrisch angeben wie folgt:<ref name="SK-1">Shizuo Kakutani: ''Ein Beweis des Satzes von M. Eidelheit über konvexe Mengen.'' in:  Proc. Imp. Acad. 13, S. 93</ref><ref name="GK-2">Köthe, op. cit. , S. 191</ref><ref name="NB-2">Bourbaki, op. cit., II.37</ref><ref name="REM-1" />
:''Es sei <math>X</math> ein reeller [[topologischer Vektorraum]] und darin enthalten seien zwei [[nichtleer]]e konvexe [[Teilmenge]]n <math>C_1, C_2 \subset X </math>.''
:''<math>C_1</math> besitze [[Innerer Punkt|innere Punkte]], von denen jedoch keiner zugleich ein Punkt von  <math>C_2</math> sei.''
:
: ''Dann gilt:''
:: '' '''(1)''' Es gibt innerhalb <math>X</math> eine <math>C_1</math> und <math>C_2</math> [[Trennungssatz#Hyperebenen|trennende]] [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene]] reelle [[Hyperebene]] <math>H \subset X </math> derart, dass keiner der inneren Punkte von <math>C_1</math> zugleich ein Punkt von <math>H </math> ist.''
:: '' '''(2)''' Sind hierbei sogar sowohl <math>C_1</math> als auch <math>C_2</math> [[Offene Menge|offene]] Teilmengen von <math>X</math>, so liegen sie in verschiedenen [[Halbraum#Allgemeine Definition|offenen Halbräumen]] und werden in diesem Sinne durch <math>H</math> voneinander '''strikt getrennt'''.''

Bei Valentine ist sogar ein noch allgemeinere Version des Trennungssatzes zu finden.<ref name="FAV-4">Valentine, op. cit. , S. 34</ref>

== Quellen und Hintergrundliteratur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Marcel Berger]]
   |Titel=Geometry I
   |TitelErg=Translated from the French by [[Michael Cole (Mathematiker)|M. Cole]] and [[Silvio Levy|S. Levy]]
   |Reihe=Universitext
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin, Heidelberg, New York
   |Datum=1987
   |ISBN=3-540-11658-3
   |Seiten=}} [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Berger%2C%20Marcel&s5=Geometry&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=2724360 MR2724360]
* {{Literatur
   |Autor=[[Nicolas Bourbaki]]
   |Titel=Topological Vector Spaces
   |TitelErg=Chapters 1 - 5. Translated by [[H. G. Egglestone]] & [[S. Madan]]
   |Reihe=[[Elements of Mathematics]]
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo
   |Datum=1987
   |ISBN=3-540-13627-4
   |Seiten=II.36 ff}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Bourbaki&s5=Topological%20&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=910295 MR0910295]
* {{Literatur
   |Autor=Shizuo Kakutani
   |Titel=Ein Beweis des Satzes von M. Eidelheit über konvexe Mengen
   |Sammelwerk=[[Proceedings of the Imperial Academy]]
   |Band=13
   |Datum=1937
   |Seiten=93–94
   |Online=[http://projecteuclid.org/euclid.pja/1195579980]}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Kakutani&s5=Eidelheit&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR1568455]
* {{Literatur
   |Autor=[[John L. Kelley]], [[Isaac Namioka]] et al.
   |Titel=Linear Topological Spaces
   |Reihe=Graduate Texts in Mathematics
   |BandReihe=36
   |Auflage=2.
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=New York, Heidelberg, Berlin
   |Datum=1976
   |ISBN=
   |Seiten=}} [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Kelley&s5=Namioka&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=394084 MR0394084]
* {{Literatur
   |Autor=Marshall Harvey Stone
   |Titel=Convexity
   |TitelErg=Vervielfältigte Vorlesungsausarbeitung von [[Harley Flanders]]
   |Verlag=[[University of Chicago]]
   |Ort=Chicago
   |Datum=1946
   |ISBN=
   |Seiten=}}
* {{Literatur
   |Autor=Gottfried Köthe
   |Titel=Topologische lineare Räume I
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
   |BandReihe=107
   |Auflage=2. verbesserte
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin, Heidelberg, New York
   |Datum=1966
   |ISBN=
   |Seiten=36 ff}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=K%C3%B6the&s5=Lineare&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=194863 MR0194863]
* {{Literatur
   |Autor=[[Robert E. Megginson]]
   |Titel=An Introduction to Banach Space Theory
   |Reihe=Graduate Texts in Mathematics
   |BandReihe=183
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=New York
   |Datum=1998
   |ISBN=0-387-98431-3
   |Seiten=}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Megginson&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=1650235 MR1650235]
* {{Literatur
   |Autor=Marshall Harvey Stone
   |Titel=Convexity
   |TitelErg=Vervielfältigte Vorlesungsausarbeitung von [[Harley Flanders]]
   |Verlag=[[University of Chicago]]
   |Ort=Chicago
   |Datum=1946
   |ISBN=
   |Seiten=}}
* {{Literatur
   |Autor=Frederick A. Valentine
   |Titel=Konvexe Mengen
   |TitelErg=Übersetzung aus dem Englischen durch [[E. Heil]]
   |Reihe=[[B. I.-Hochschultaschenbücher]]
   |BandReihe=402/402a
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Mannheim
   |Datum=1968
   |ISBN=
   |Seiten=}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Valentine&s5=Konvexe&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR0226495]

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Geometrie]]
KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Kakutani, Lemma von]]

= Satz von Vitali-Carathéodory =
Der '''Satz von Vitali-Carathéodory''' ist ein [[mathematisch]]er [[Lehrsatz]], der im Übergangsfeld zwischen dem [[Teilgebiete der Mathematik|Gebiet]] der [[Analysis]] und dem Gebiet der [[Maßtheorie]] angesiedelt ist und den der bekannte [[Analysis|Analytiker]] [[Walter Rudin]] den beiden [[Mathematiker]]n [[Giuseppe Vitali]] und [[Constantin Carathéodory]] zurechnet. Er zählt – zusammen mit dem [[Satz von Lusin]] – zu den Sätzen über [[Stetigkeit]]seigenschaften [[Messbare Funktion|messbarer]] [[Reellwertige Funktion|reellwertiger Funktionen]] auf gewissen [[Maßraum|Maßräumen]] über [[lokalkompakt]]en [[Hausdorff-Raum|Hausdorff-Räumen]].<ref name="WR-1">Walter Rudin: ''Reelle und komplexe Analysis.'' 2009, S. 65 ff.</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:<ref name="WR-2">Rudin, op. cit., S. 66</ref>

:''Gegeben sei ein lokalkompakter Hausdorff-Raum <math>X</math>, versehen mit der [[Borelsche σ-Algebra|borelschen σ-Algebra]] <math>\mathcal {B}(X)</math>  sowie einem [[Reguläres Maß#Definition|von innen wie von außen regulären]] [[Borel-Maß]]''
:: <math>\mu \colon \mathcal {B}(X) \rightarrow [0,\infty]</math>.
:''Weiter gegeben sei eine <math>\mu</math>-[[Lebesgue-Integral#Integration beliebiger messbarer Funktionen und Integrierbarkeit|integrierbare]] reellwertige Funktion''
:: <math>f \colon X \rightarrow \R</math>.
:
:''Dann gilt:''
:''Zu jeder [[Reelle Zahl|reellen Zahl]] <math>\epsilon > 0</math> gibt es ein Paar reellwertiger Funktionen''
:: <math>u,v \colon X \rightarrow \R</math>
:''mit folgenden Eigenschaften:''
::'' '''(1)''' <math>u</math> ist [[oberhalbstetig]] und [[Beschränktheit#Beschränktheit bezüglich einer Ordnungsrelation|beschränkt nach oben]].''
::'' '''(2)''' <math>v</math> ist [[unterhalbstetig]] und [[Beschränktheit#Beschränktheit bezüglich einer Ordnungsrelation|beschränkt nach unten]].''
::'' '''(3)''' <math>u(x) \leq f(x) \leq v(x) \; \; (\forall x \in X)</math> .
::'' '''(4)''' <math> {\int_X} (v - u) \; \mathrm{d} \mu \; < \epsilon</math> .

== Quellen und Hintergrundliteratur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Jürgen Elstrodt]]
   |Titel=Maß- und Integrationstheorie
   |Reihe=Springer-Lehrbuch - Grundwissen Mathematik
   |Auflage=7., korrigierte und aktualisierte
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
   |Ort=Heidelberg (u. &nbsp; a.)
   |Datum=2011
   |ISBN=978-3-642-17904-4}}
* {{Literatur
   |Autor=Walter Rudin
   |Titel=Reelle und Komplexe Analysis
   |Auflage=2., verbesserte
   |Verlag=[[Oldenbourg Wissenschaftsverlag]]
   |Ort=Berlin
   |Datum=2009
   |ISBN=978-3-486-59186-6}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Analysis]]
KKKategorie:Maßtheorie]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Vitali–Carathéodory]]


= Konvexitätssatz von Marcel Riesz =

= Satz von Kadets =


= Satz von Riesz-Riesz = 


= Satz von Kuiper = 
Der '''Satz von Kuiper'''  ist ein [[mathematisch]]er [[Lehrsatz]], der im Übergangsfeld zwischen dem [[Teilgebiete der Mathematik|Gebiet]] der [[Funktionalanalysis]] und dem Gebiet der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] angesiedelt ist und der auf eine Arbeit des [[Niederlande|niederländischen]] [[Mathematiker]]s [[Nicolaas Kuiper|Nicolaas Hendrik Kuiper]] aus dem Jahre 1965 zurückgeht. Kuiper behandelt hier [[Homotopie]]eigenschaften der [[Einheitengruppe|Gruppe der invertierbaren]] [[Linearer Operator#Beschränkte lineare Operatoren|beschränkten linearen Operatoren]] eines [[unendlich]]-[[Dimension (Mathematik)#Hilbertraum-Dimension|dimensionalen]] [[Separabler Raum|separablen]] [[Hilbertraum]]s <math>H</math> und bestätigt mit seinem Satz eine von [[Michael Atiyah]], [[Albert S. Schwarz|Albert Solomonowitsch Schwarz]] und [[Richard Sheldon Palais]] aufgestellte Vermutung.<ref name="NHK-1">Nicolaas H. Kuiper: ''The homotopy type of the unitary group of Hilbert space.'' In: ''Topology'', 3, S. 19–30</ref><ref name="FH-WS-1">Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: ''Einführung in die Funktionalanalysis.'' 1971, S. 150 ff</ref><ref name="AP-1">Albrecht Pietsch: ''History of Banach Spaces and Linear Operators.'' 2007, S. 538</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Satz von Kuiper lässt sich formulieren wie folgt:<ref name="NHK-2">Kuiper, op. cit., S. 20</ref><ref name="FH-WS-2">Hirzebruch/Scharlau, op. cit., S. 151</ref><ref name="AP-1" />
: ''Gegeben sei ein unendlich-dimensionaler separabler <math>\mathbb K</math>-Hilbertraum <math>H</math>, wobei <math>\mathbb K = \R</math>, der [[Körper der reellen Zahlen]], oder <math>\mathbb K = \Complex</math>, der [[Körper der komplexen Zahlen]], oder <math>\mathbb K = \mathbb H</math>, der [[Quaternion|Schiefkörper der Quaternionen]], sei.''
: ''Hier seien <math>\mathfrak{L}(H)</math>, versehen mit der [[Operatornorm]], der [[Topologischer Ring#Endomorphismenringe|topologische Ring]] der beschränkten linearen Operatoren auf <math>H</math> sowie <math>\mathfrak{LG}(H) \subset \mathfrak{L}(H) </math> die darin enthaltene [[topologische Gruppe]] der invertierbaren beschränkten linearen <math>H</math>-Operatoren und schließlich <math>\mathfrak{U}(H) \subset \mathfrak{LG}(H) </math> die ebenfalls darin enthaltene [[Untergruppe]] der [[Isometrie#Vektorräume mit Skalarprodukt|unitären]] <math>H</math>-Operatoren.''
: ''Dann gilt:''
: '' '''(1)''' <math>\mathfrak{LG}(H)</math> ist als [[Unterraum#Topologischer Raum|topologischer Teilraum]] von <math>\mathfrak{L}(H)</math> ein [[zusammenziehbarer Raum]].''
: '' '''(2)''' <math>\mathfrak{U}(H)</math> ist ein [[Retrakt]] von <math>\mathfrak{LG}(H)</math> und daher ebenfalls zusammenziehbar.''

== Anmerkungen ==
* Man nennt die Gruppe <math>\mathfrak{LG}(H)</math> manchmal auch die ''Lineare Gruppe'' ({{enS|linear group}}) von <math>H</math>.<ref name="AP-1" /> Kuiper nennt sie in seiner Originalarbeit die ''Allgemeine Lineare Gruppe'' ({{enS|general linear group}}) von <math>H</math>.<ref name="NHK-3">Kuiper, op. cit., S. 19</ref><ref>Allerdings sprechen manche Autoren von einer ''linearen Gruppe'' nur in Bezug auf Gruppen [[Lineare Abbildung|linearer]] [[Automorphismus|Automorphismen]] auf [[Dimension (Mathematik)|endlichdimensionalen]] [[Vektorraum|Vektorräumen]]; siehe etwa: Dieter Lutz: ''Topologische Gruppen'', 1976, S. 61.</ref>
* <math>\mathfrak{LG}(H)</math>ist innerhalb <math>\mathfrak{L}(H)</math> eine [[offene Teilmenge]].<ref name="NHK-3" />
* Aus der Topologie ist bekannt, dass ein zusammenziehbarer Raum stets [[Zusammenhängender Raum#Wegzusammenhängend|wegzusammenhängend]] und dass jeder Retrakt eines zusammenziehbaren Raumes seinerseits ein zusammenziehbarer Raum ist.<ref name="SW-1">Stephen Willard: ''General Topology.'' 1970, S. 226</ref>
* Lässt man an die Stelle des unendlich-dimensionalen separablen Hilbertraum <math>H</math> gewisse [[Banachraum#Beispiele|klassische Banachräume]] <math>X</math> treten, so gilt für <math>\mathfrak{LG}(X)</math> die obige Teilaussage '''''(1)''''' zur ''Zusammenziehbarkeit''  immer noch, wie etwa [[Dietmar Arlt]] für <math>X = c_0</math> zeigen konnte.<ref name="AP-1" /><ref name="DA-1">D. Arlt: ''Zusammenziehbarkeit der allgemeinen linearen Gruppe des Raumes ''c<sub>0</sub>'' der Nullfolgen.'' in: Invent. Math. 1, S. 36–44</ref>
* Wie jedoch [[Adrien Douady]] gezeigt hat, lassen sich [[Direkte Summe (Banachraum)|direkte Summen]] zweier klassischer Banachräume konstruieren, so dass für diese die Teilaussage '''''(1)''''' keine Gültigkeit mehr hat.<ref name="AD-1">Adrien Douady: ''Un espace de Banach dont le groupe linéaire n’est pas connexe.'' in: Indag. Math. 68, S. 787–789</ref><ref name="AP-1" />
* Hinsichtlich der Bedeutung des Kuiper'schen Satzes lässt sich auf eine Anmerkung bei [[Friedrich Hirzebruch|Hirzebruch]]/[[Winfried Scharlau (Mathematiker)|Scharlau]] verweisen, wonach der Satz ''von Wichtigkeit für die Beziehungen zwischen algebraischer Topologie und Funktionalanalysis'' ist.<ref name="FH-WS-2" />

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=D. Arlt
   |Titel=Zusammenziehbarkeit der allgemeinen linearen Gruppe des Raumes ''c<sub>0</sub>'' der Nullfolgen
   |Sammelwerk=[[Inventiones Mathematicae]]
   |Band=1
   |Datum=1966
   |Seiten=36–44
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?r=1&pg1=MR&s1=198259&loc=fromrevtext MR0198259]
   |DOI=10.1007/BF01389697}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Bernhelm Booß]]
   |Titel=Topologie und Analysis
   |TitelErg=Einführung in die Atiyah-Singer-Indexformel
   |Reihe=Hochschultext
   |Verlag=Springer Verlag
   |Ort=Berlin / Heidelberg / New York
   |Datum=1977
   |ISBN=3-540-08451-7
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Booss&s5=Topologie&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=478242 MR0478242]}}
* {{Literatur
   |Autor=Adrien Douady
   |Titel=Un espace de Banach dont le groupe linéaire n’est pas connexe
   |Sammelwerk=[[Indagationes Mathematicae]]
   |Band=68
   |Datum=1965
   |Seiten=787–789
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Douady&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=91&mx-pid=187056 MR0187056]}}
* {{Literatur
   |Autor=Nicolaas H. Kuiper
   |Titel=The homotopy type of the unitary group of Hilbert space
   |Sammelwerk=Topology
   |Band=3
   |Datum=1965
   |Seiten=19–30
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Kuiper&s5=unitary&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR0179792]}}
* {{Literatur
   |Autor=Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau
   |Titel=Einführung in die Funktionalanalysis
   |Reihe=B. I.-Hochschultaschenbücher
   |BandReihe=296
   |Verlag=Bibliographisches Institut
   |Ort=Mannheim / Wien / Zürich
   |Datum=1971
   |ISBN=3-411-00296-4
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Scharlau%2C%20Winfried&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=35&mx-pid=463864 MR0463864]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Dieter Lutz (Mathematiker)|Dieter Lutz]]
   |Titel=Topologische Gruppen
   |Verlag=BI Wissenschaftsverlag
   |Ort=Mannheim / Wien / Zürich
   |Datum=1976
   |ISBN=3-411-01502-0}}
* {{Literatur
   |Autor=Albrecht Pietsch
   |Titel=History of Banach Spaces and Linear Operators
   |Verlag=Birkhäuse
   |Ort=Boston / Basel / Berlin
   |Datum=2007
   |ISBN=0-8176-4367-2
   |Seiten=
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Pietsch&s5=History&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=2300779 MR2300779]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Stephen Willard]]
   |Titel=General Topology
   |Reihe=Addison-Wesley Series in Mathematics
   |Verlag=Addison-Wesley
   |Ort=Reading MA (u.&nbsp;a.)
   |Datum=1970
   |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?pg1=MR&s1=0264581&loc=fromrevtext MR0264581]}}

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
rreferences />

KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Satz (Topologie)|Kuiper]]

= Satz von Kato = 
Der '''Satz von Kato''' ist ein [[mathematisch]]er [[Lehrsatz]], der dem [[Teilgebiete der Mathematik|Gebiet]] der  [[Funktionalanalysis]] angehört und auf den [[Japan|japanischen]] [[Mathematiker]] [[Tosio Kato]] zurückgeht. Der Satz behandelt eine Eigenschaft der [[Stetigkeit|stetigen]] [[Lineare Abbildung|linearen Abbildungen]] zwischen [[Banachraum|Banachräumen]].<ref name="HH-1">Harro Heuser: ''Funktionalanalysis.'' 2006, S. 309-310</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Satz lässt sich angeben wie folgt:<ref name="HH-2">Heuser, op. cit., S. 310</ref>
:''Gegeben seien zwei Banachräume <math>E, F</math> und eine stetige lineare Abbildung <math> A \colon E \to F </math>.''
: ''Der [[Bildmenge|Bildraum]] <math>A(E) \subseteq F</math> besitze [[Endliche Menge|endliche]] [[Kodimension]].''
:
:''Dann gilt:''
: ''<math>A(E)</math> ist ein [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossener]] [[Untervektorraum#Unterbanachräume|Unterraum]] von <math> F</math>.''

== Verallgemeinerung ==
Der Satz von Kato ist eine direkte Folgerung aus einem allgemeineren Satz, der lautet wie folgt:<ref name="HH-2" />
:''Gibt es unter den obigen Voraussetzungen einen abgeschlossenen Unterraum <math>G \subseteq F</math> derart, dass einerseits <math>A(E) \cap G = \{0\}</math> und andererseits die [[Untervektorraum#Direkte Summe|direkte Summe]] <math>A(E) \oplus G </math> ein abgeschlossener Unterraum von <math> F</math> ist, so muss bereits <math>A(E)</math> selbst ein abgeschlossener Unterraum von <math> F</math> sein.''

== Andere Fassung ==
Der Satz von Kato ist  in der Fachliteratur auch in einer anderen Fassung zu finden, welche zwischen der oben dargebotenen Version und der obigen Verallgemeinerung angesiedelt ist. Diese Fassung lautet wie folgt:<ref name="HDW-1">Hans-Dieter Wacker: ''Über die Verallgemeinerung eines Satzes von Kato.'' In: Mathematische Zeitschrift 190 (1985), S. 55 ff</ref>
:'' Es sei <math> A </math> ein stetiger linearer [[Endomorphismus#Vektorräume|Endomorphismus]] auf dem Banachraum <math>E</math> und weiter <math>G</math> ein abgeschlossener Unterraum von <math>E</math> derart, dass einerseits <math>A(E) \cap G = \{0\}</math> und andererseits die direkte Summe <math>A(E) \oplus G </math> ein abgeschlossener Unterraum von <math>E</math> ist.''
:''Dann ist der Bildraum <math>A(E)</math> bereits selbst ein abgeschlossener Unterraum von <math>E</math>.''

== Verwandtes Resultat: Der Satz von Riesz über kompakte Operatoren ==
Die Bedeutung der im Satz von Kato aufgeworfenen Frage nach dem Zusammenhang zwischen Abgeschlossenheit und Kodimensionalität der Bildräume stetiger linearer Abbildungen zeigt sich auch bei der Untersuchung der [[Kompakter Operator|kompakten Operatoren]] auf Banachräumen. Hierzu gilt ein klassischer Satz des [[Ungarn|ungarischen]] Mathematikers [[Frigyes Riesz|F. Riesz]]:<ref name="FH-WS-I">Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: ''Einführung in die Funktionalanalysis.'' 1971, S. 103 ff</ref>
:'' Es sei <math> A </math> ein kompakter Operator auf dem Banachraum <math>E</math>.''
: ''Dann hat der zugehörige Operator <math>T = Id - A </math> die folgenden Eigenschaften:''
::'' '''(1)''' Der [[Kern (Mathematik)|Nullraum]] von  <math>T</math> ist [[endlich]]-[[Dimension (Mathematik)#Hamel-Dimension (Dimension eines Vektorraumes)|dimensional]].''
::'' '''(2)''' Der Bildraum von  <math>T</math> ist abgeschlossen.''
::'' '''(3)''' Der [[Faktorraum]] <math>E/T(E)</math> ist endlich-dimensional.''

== Anmerkungen ==
# In der obigen anderen Fassung spielt der Satz von Kato etwa in der [[Spektraltheorie]] eine bedeutende Rolle.<ref name="HDW-1" />
# Im englischsprachigen Raum wird der Satz von Kato manchmal auch als ''closed range theorem of T. Kato'' bezeichnet.<ref>Vgl. [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Wacker&s5=Verallgemeinerung&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=793348 MR0793348]!</ref>

== Quellen und Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Harro Heuser]]
   |Titel=Funktionalanalysis
   |TitelErg=Theorie und Anwendung
   |Reihe=Mathematische Leitfäden
   |Auflage=4., durchgesehene
   |Verlag=[[B. G. Teubner Verlag]]
   |Ort=Wiesbaden
   |Datum=2006
   |ISBN=978-3-8351-0026-8}} [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Heuser%2C%20Harro&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=2380292 MR2380292]
* {{Literatur
   |Autor=[[Friedrich Hirzebruch]], [[Winfried Scharlau]]
   |Titel=Einführung in die Funktionalanalysis
   |Reihe=B. I.-Hochschultaschenbücher
   |BandReihe=296
   |Verlag=[[Bibliographisches Institut]]
   |Ort=Mannheim, Wien, Zürich
   |Datum=1971
   |ISBN=3-411-00296-4}} [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Scharlau%2C%20Winfried&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=35&mx-pid=463864 MR0463864]
* {{Literatur
   |Autor=[[Hans-Dieter Wacker (Mathematiker)|Hans-Dieter Wacker]]
   |Titel=Über die Verallgemeinerung eines Satzes von Kato
   |Sammelwerk=[[Mathematische Zeitschrift]]
   |Band=190
   |Datum=1985
   |Seiten=55–61
   |DOI=10.1007/BF01159163}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Wacker&s5=Verallgemeinerung&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=793348 MR0793348]

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Kato]]

= Regel der Mittelzahlen =
Die '''Regel der Mittelzahlen''', {{frS|''regle des nombres moyens''}}, ist ein [[Mathematik|mathematischer]] [[Lehrsatz]] aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|Gebiet]] der [[Analysis]], welcher dem französischen  Mathematiker [[Nicolas Chuquet]] zugerechnet wird. Der Satz beinhaltet zwei [[Elementarmathematik|elementare]] [[Ungleichung]]en der [[Bruchrechnung]] über die Beziehung der so genannten ''Mediante'' zu ihren Ausgangsbrüchen.<ref name="SG-HJI-KHS-1">Siegfried Gottwald et al. (Hrsg.): ''Lexikon bedeutender Mathematiker.'' 1990, S. 104</ref><ref name="HE-1">Howard Eves: ''An Introduction to the History of Mathematics.'' 1983, S. 214</ref><ref name="SGW-1">Guido Walz [Red.]: ''Lexikon der Mathematik. Dritter Band.'' 2001, S. 397</ref>

== Formulierung der Regel  ==
: ''Hat man auf der [[Zahlengerade]]n zwei Brüche mit [[Positive Zahl|positiven]] Nennern und bildet man dazu eine dritten Bruch, dessen Zähler gleich der [[Summe]] der Zähler und dessen Nenner gleich der Summe der Nenner der beiden gegebenen Brüche ist, so liegt dieser dritte Bruch stets zwischen den beiden gegebenen Brüchen. Formelhaft ausgedrückt:''
:: ''Für vier [[reelle Zahl]]en <math>a,b,x,y</math> mit  <math>b,y > 0</math> folgen aus der Ungleichung <math>\frac {a}{b} < \frac {x}{y}  </math> stets die Ungleichungen  <math>\frac {a}{b} < \frac {a+x}{b+y} < \frac {x}{y}</math>''.<ref>In Eves<math>\text{'}</math> ''Introduction to the History of Mathematics'' wird die Positivität der vier Zahlen vorausgesetzt, während im ''Lexikon bedeutender Mathematiker'' hierzu keine Voraussetzungen genannt sind. Jedenfalls muss der mögliche Fall <math>b+y = 0</math> ausgeschlossen werden. Unproblematisch ist der Sachverhalt dann, wenn als Konvention angenommen wird, dass das [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] eines Bruchs grundsätzlich Bestandteil des Zählers ist, also stets ein positiver Nenner vorliegt.</ref>
:: ''Entsprechendes gilt auch, wenn anstelle des [[Kleinerzeichen]]s das  Kleiner-gleich-Zeichen vorliegt.''

== Beispiel  ==
Für <math>a=-2,b=3,x=-1,y=2</math>  gilt <math>\frac {-2}{3} = -0{,}{\bar{6}}< -0{,}5 = \frac {-1}{2}  </math> und daher
: <math>\frac {-2}{3} < \frac {(-2)+(-1)}{3+2} = -0{,}6< \frac {-1}{2}  </math>.

== Erläuterungen und Anmerkungen  ==
* Man nennt den oben auftretenden mittleren Bruch <math>\frac {a+x}{b+y}</math> die ''Mediante'' der beiden Ausgangsbrüche <math>\frac {a}{b}</math> und <math>\frac {x}{y}</math>.<ref name="SGW-1" />
* Beginnend mit den beiden Brüchen <math>\frac {0}{1}</math> und <math>\frac {1}{1}</math> gelangt man durch sukzessive Bildung von Medianten zu einer typischen [[Farey-Folge]].<ref name="SGW-1" />
* Wie im ''Lexikon bedeutender Mathematiker'' ausdrücklich hervorgehoben wird, hat Nicolas Chuquet die Regel der Mittelzahlen als eigene Entdeckung beansprucht.<ref name="SG-HJI-KHS-1" />

== Quellen ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Howard Eves]]
   |Titel=An Introduction to the History of Mathematics
   |Reihe=The Saunders Series
   |Auflage=5. 
   |Verlag=[[Saunders College Publishing]]
   |Ort=Philadelphia et al.
   |Datum=1983
   |ISBN=0-03-062064-3
   |Seiten=214
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Eves&s5=History&s6=Introduction&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=684360 MR0684360]}}
* {{Literatur
   |Herausgeber=[[Siegfried Gottwald]], [[Hans-Joachim Ilgauds]] und [[Karl-Heinz Schlote]]
   |Titel=Lexikon bedeutender Mathematiker
   |Verlag=[[Verlag Harri Deutsch]]
   |Ort=Thun
   |Datum=1990
   |ISBN=3-8171-1164-9
   |Seiten=103-104
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=&s5=Lexikon%20bedeutender%20Mathematiker&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR1089881 ]}}
* {{Literatur
   |Autor=Guido Walz [Red.]
   |Titel=Lexikon der Mathematik in sechs Bänden
   |TitelErg=Dritter Band. Inp bis Mon
   |Band=
   |Verlag=[[Spektrum Akademischer Verlag]]
   |Ort=Heidelberg, Berlin
   |Datum=2001
   |ISBN=3-8274-0436-3}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />


KKKategorie:Analysis]]
KKKategorie:Zahlentheorie]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Regel der Mittelzahlen]]
KKKategorie:Ungleichung|Regel der Mittelzahlen]]

= Lemma von McShane =
Das '''Lemma von McShane''', {{enS|''McShane lemma''}},  ist ein [[Lehrsatz]], welcher zwischen den [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebieten]] der [[Topologie (Mathematik)#Mengentheoretische oder Allgemeine Topologie|Allgemeinen Topologie]] und der [[Funktionalanalysis]] angesiedelt ist. Das Lemma geht auf den US-amerikanischen [[Mathematiker]] [[Edward James McShane]] zurück und behandelt die Frage der [[Fortsetzung (Mathematik)|Fortsetzung]] [[Lipschitz-Stetigkeit|lipschitzstetiger]] [[Reellwertige Funktion|reellwertiger Funktionen]] auf [[Unterraum#Metrischer Raum|Teilräumen]] [[Metrischer Raum|metrischer Räume]].<ref name="McS">E. J. McShane: ''Extension of range of functions.'' in: Bulletin of the American Mathematical Society 40 (1934), S. 837 ff</ref><ref name="PGC">Philippe G. Ciarlet: ''Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications.''  2013, S. 154-155</ref>

== Formulierung des Lemmas ==
Das Lemma besagt folgendes:<ref name="McS" /><ref name="PGC" />
: ''Sei <math>X</math>  ein metrischer Raum, sei <math>A \subseteq X</math> ein darin gelegener Teilraum und sei ''
: <math>f \colon A \rightarrow \R </math>
: ''eine lipschitzstetige reellwertige  Funktion auf <math>A</math> mit der [[Lipschitz-Stetigkeit#Definition|Lipschitzkonstanten]] <math>L > 0</math> .
: ''Dann gilt:''
: ''<math>f</math> hat eine eine lipschitzstetige Fortsetzung''
: <math>F \colon X \rightarrow \R  </math>
: ''mit derselben Lipschitzkonstanten <math>L</math> .''

== Verwandter Satz ==
Ein verwandter Satz ist der [[Satz von Kirszbraun]], der die gleiche Fragestellung im Rahmen der [[Euklidischer Raum|euklidischen]] bzw. [[Hilbertraum|Hilberträume]] behandelt und dabei zu dem gleichen Ergebnis kommt, wenn auch unter anderen Voraussetzungen. Keines der beiden Resultate schließt das jeweils andere direkt in sich ein und beide stehen nebeneinander. Allerdings überschneiden sie sich, wenn <math>X = \R^n \; (n \in \N) </math> sowie eine Teilmenge  <math>A \subseteq \R^n </math> und eine lipschitzstetige Abbildung <math>f \colon A \rightarrow \R^m </math> mit <math>m=1</math> zugrundegelegt werden.

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Philippe G. Ciarlet]]
   |Titel=Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications
   |Verlag=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]]
   |Ort=Philadelphia, PA
   |Datum=2013
   |ISBN=978-1-61197-258-0
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Linear%20and%20Nonlinear%20Functional%20Analysis&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=3136903 MR3136903]}}
* {{Literatur
   |Autor=E. J. McShane
   |Titel=Extension of range of functions
   |Sammelwerk=[[American Mathematical Society|Bulletin of the American Mathematical Society]]
   |Band=40
   |Datum=1934
   |Seiten=837-842
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=McShane&s5=Extension%20&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=1562984 MR1562984]
   |DOI=10.1090/S0002-9904-1934-05978-0}}

== Einzelnachweise und Fußnoten ==
Kreferences />

KKKategorie:Topologie]]
KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|McShane, Lemma von]]

= Fundamentalsatz der Variationsrechnung =
Der '''Fundamentalsatz der Variationsrechnung''' ({{enS|Fundamental Theorem of the Calculus
of Variations}}) ist ein grundlegender [[Lehrsatz|Satz]] des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiets]] der [[Variationsrechnung]] und eng verwandt mit dem [[weierstraß]]schen [[Satz vom Minimum]]. Er behandelt die in der Variationsrechnung zentrale Frage, unter welchen Bedingungen [[reellwertige Funktion|reellwertige]] [[Funktional]]e ein [[Minimum]] annehmen.<ref name="FNS">Svatopluk Fučík, Jindřich Nečas, Vladimír Souček: ''Einführung in die Variationsrechnung.'' 1977, S. 16–19.</ref><ref name="PB-EB-I01">Philippe Blanchard, Erwin Brüning: ''Direkte Methoden der Variationsrechnung: Ein Lehrbuch.''  1982 , S. 1 ff.</ref><ref name="PB-EB-II01">Philippe Blanchard, Erwin Brüning: ''Variational Methods in Mathematical Physics.'' 1992, S. 1 ff.</ref>

== Formulierung des Fundamentalsatzes ==
Der Fundamentalsatz der Variationsrechnung lässt sich formulieren wie folgt:<ref name="FNS" />
: ''Sei <math>X</math> ein [[Reflexiver Raum|reflexiver ]] [[Banachraum]] über <math>\R</math>  und sei darin <math>M \subset X</math> eine [[Leere Menge|nichtleere]], [[Schwache Topologie|schwach abgeschlossene]] und  zugleich [[Beschränkte Menge#Beschränkte Mengen in topologischen Vektorräumen|beschränkte]] [[Teilmenge]].''
: ''Sei weiter <math>\phi \colon M \to \R</math>  ein [[Halbstetigkeit#Schwach halbstetige Funktionen|schwach unterhalbstetiges]] Funktional.''
:
: ''Dann nimmt das Funktional <math>\phi</math> auf <math>M</math> ein Minimum an.''
: ''Mit anderen Worten:''
: ''Es existiert ein [[Element (Mathematik)|Element]] <math>x_0 \in M</math>  mit''
:: <math> \phi(x_0) = \inf_{x \in M}{\phi(x)} = \min_{x \in M}{\phi(x)}</math>.

=== Beweis ===
Der Darstellung von [[:cs:Svatopluk Fučík|Fučík]], [[:cs:Jindřich_Nečas|Nečas]] und [[:cs:Vladimír Souček|Souček]] folgend lässt sich der Beweis wie folgt führen:<ref name="FNS" />

Nach dem [[Satz von Eberlein–Šmulian]] impliziert die Reflexivität des Banachraums <math>X</math>, dass darin jede [[beschränkte Folge]] eine [[Schwache Konvergenz|schwach-konvergente]] [[Teilfolge]] besitzt. 

Also gibt es unter den genannten Bedingungen in <math>M</math> eine [[Folge (Mathematik)|Folge]] von Elementen <math>x_n \in M \; (n \in \N)</math>, die einerseits in <math>\R</math>  den [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]]
: <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \phi (x_n) = \inf_{x \in M}{\phi (x)} </math> 

bildet und die andererseits in  <math>M</math> schwach gegen ein Element <math>x_0 \in M</math> konvergiert.

Dieses Element <math>x_0</math> ist die gesuchte [[Extremwert|Minimumstelle]] für <math>\phi</math>.

Denn in Verbindung mit der Halbstetigkeit von <math>\phi</math> ergibt sich die folgende [[Ungleichung]]skette:
: <math>\inf_{x \in M}{\phi (x)} \leq \phi (x_0) \leq \liminf_{n \to \infty}{\phi (x_n)} = \lim_{n \rightarrow \infty} \phi (x_n) = \inf_{x \in M}{\phi (x)} </math>

Das bedeutet jedoch
: <math> \phi(x_0) = \inf_{x \in M}{\phi(x)} = \min_{x \in M}{\phi(x)}</math>

und der Satz ist bewiesen.

== Folgerungen aus dem Fundamentalsatz ==
An den Fundamentalsatz lassen sich zwei direkte Folgerungen anschließen:<ref name="FNS" />

: '' '''(I)''' ''
: '' '''(a)''' Die Bedingungen des Fundamentalsatzes sind erfüllt, wenn dort <math>M</math> eine nichtleere, [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene]], beschränkte und [[konvexe Teilmenge]] des reflexiven <math>\R</math>-Banachraums <math>X</math> und das Funktional <math>\phi</math>  [[Stetige Funktion|stetig]] und [[Konvexe Funktion|konvex]] ist.''
: ''Das heißt: In diesem Falle hat <math>\phi</math> eine Minimumstelle <math>x_0 \in M</math>.''
: '' '''(b)''' Ist dann  <math>\phi</math> darüber hinaus noch [[Konvexe und konkave Funktionen#Definition|strikt konvex]], so ist die Minimumstelle <math>x_0 \in M</math> sogar eindeutig bestimmt.''

: '' '''(II)''' ''
: '' '''(a)''' Ist <math>\phi \colon X \to \R</math>  ein schwach unterhalbstetiges und zugleich [[Koerzitive Funktion|koerzitives]]  Funktional des reflexiven <math>\R</math>-Banachraums <math>X</math>, so gilt die Behauptung des Fundamentalsatzes ebenfalls.''
: ''Das bedeutet:''
: ''Es ist dann''
:: <math> \inf_{x \in M}{\phi(x)} > {- \infty} </math>
: ''sowie''
:: <math> \phi(x_0) = \inf_{x \in M}{\phi(x)} = \min_{x \in M}{\phi(x)}</math>
: ''für mindestens ein  <math>x_0 \in X</math> ''
: '' '''(b)''' Im Falle, dass <math>\phi \colon X \to \R</math> koerzitiv, stetig und konvex bzw. strikt konvex ist, ist die Folgerung '''(I)''' in entsprechender Weise gültig.''

=== Anmerkung zum Beweis der Folgerungen ===
# Wegen der schwachen Abgeschlossenheit von <math>M</math> ist das Funktional <math>\phi</math> genau dann schwach unterhalbstetig, wenn für jede [[reelle Zahl]] <math>a</math> die [[Urbild (Mathematik)|Urbildmenge]] <math>{\phi}^{-1}(]\infty,a])</math> des zugehörigen [[Intervall (Mathematik)#Unbeschränkte Intervalle|Intervalls]] <math>(-\infty, a]</math> schwach abgeschlossen ist.<ref name="FNS" />
# Ein stetiges und konvexes Funktional auf einer konvexen Teilmenge eines Banachraums ist stets schwach unterhalbstetig.<ref name="FNS" />

== Andere Version des Fundamentalsatzes ==
Eine etwas andere, jedoch verwandte Version des Fundamentalsatzes ist die folgende:<ref name="PB-EB-I02">Philippe Blanchard, Erwin Brüning: ''Direkte Methoden der Variationsrechnung: Ein Lehrbuch.''  1982 , S. 16 ff.</ref>
: ''Sei <math>M</math> ein [[Leere Menge|nichtleerer]] [[Hausdorff-Raum]] und sei weiter''
: ''<math>\phi \colon M \to \R \cup \{ + \infty \}</math>  ein [[Halbstetigkeit|unterhalbstetiges]] Funktional.'' 
: ''Weiterhin gebe es eine [[reelle Zahl]] <math>r</math> mit:''
:: ''(i) <math>M_{\phi \; , \; r} \colon = \{x \in M \mid  \phi (x) \leq r \} \neq \emptyset</math>''
:: '' (ii) <math>M_{\phi \; , \; r}</math> ist [[folgenkompakt]].''
:
: ''Dann gilt:''
: ''Es existiert ein Element <math>x_0 \in M</math>  mit''
:: <math> \phi(x_0) = \inf_{x \in M}{\phi(x)} = \min_{x \in M}{\phi(x)}</math>.

== Abgrenzung: Das Fundamentallemma der Variationsrechnung ==
In der Variationsrechnung spielt auch das sogenannte  ''Fundamentallemma der Variationsrechnung'' oder ''Hauptlemma der Variationsrechnung'' ({{enS|''Fundamental lemma of calculus of variations'' oder ''Dubois-Reymond lemma''}}) eine zentrale Rolle. Es wird manchmal ebenfalls mit dem hier genannten Stichwort verknüpft, fällt jedoch mit dem oben dargestellten '''Fundamentalsatz der Variationsrechnung''' nicht zusammen. Es handelt sich um ein bedeutendes Lemma, welches dem deutschen Mathematiker [[Paul Dubois-Reymond]] zugerechnet wird.<ref name="B-B-2">Philippe Blanchard, Erwin Brüning: ''Direkte Methoden der Variationsrechnung: Ein Lehrbuch.'' 1982, S. 78 ff.</ref><ref name="Leitmann">George Leitmann: ''The Calculus of Variations and Optimal Control : An Introduction.'' Plenum Press, New York (u. a.) 1981, S. 14 ff.</ref>

In seiner einfachsten Version macht das Fundamentallemma die folgende Aussage:<ref name="B-B-2" />
: ''Sei <math>I = [a \;, \; b] \subset \R</math> ein [[Kompakte Menge|kompaktes]] [[reelles Intervall]] und sei <math>g \colon I \to \R</math>  eine [[stetige Funktion]].''
: ''Es gelte für jede [[stetig differenzierbar]]e Funktion <math>h \colon I \to \R</math> mit <math>h(a)= h(b) = 0</math>:''
::<math> \int_a^b {g(t)\; h(t)} \; \mathrm dt = 0</math>
: ''Dann ist <math>g</math> die [[Nullfunktion]].''

Eine andere, aber insgesamt etwas weiter reichende Version des Fundamentallemmas, welche auch [[Integralrechnung#Mehrdimensionale Integration|mehrdimensionale Integration]] einbezieht, lautet wie folgt:<ref name="PGC">Philippe G. Ciarlet: ''Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications .'' 2013, S. 314.</ref><ref>Über weitere Versionen gibt der entsprechende Artikel [[:en:Fundamental lemma of calculus of variations|Fundamental lemma of calculus of variations]] im englischsprachigen Wikipedia Auskunft.</ref>
: ''Sei <math>\Omega</math> eine [[Offene Menge|offene]] [[Teilmenge]] des <math> \R^N \; (N \in \N) </math> und sei <math>g : \Omega \to \R</math> eine [[lokal integrierbare Funktion]].''
: ''Es gelte für jede [[Differenzierbarkeit#Stetige Differenzierbarkeit und höhere Ableitungen|unendlich oft differenzierbare Funktion]] <math>h \colon \Omega \to \R</math> mit kompaktem  [[Träger (Mathematik)|Träger]]:''
::<math> \int_\Omega {g(x)\; h(x)} \;  \mathrm dx = 0</math>
: ''Dann gilt <math>g = 0</math> [[fast überall]].''

== Siehe auch ==
* [[Maximumprinzip von Bauer]]
* [[Minimallösung]]
* [[Satz vom Minimum und Maximum]]

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Philippe Blanchard]], [[Erwin Brüning]]
   |Titel=Direkte Methoden der Variationsrechnung
   |TitelErg=Ein Lehrbuch
   |Auflage=
   |Verlag=[[Springer Science%2BBusiness Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Wien, New York
   |Datum=1982
   |ISBN=3-211-81692-5
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Blanchard&s5=Br%C3%BCning&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=6&mx-pid=687073 MR0687073]}} 
*{{Literatur
   |Autor=Philippe Blanchard, Erwin Brüning
   |Titel=Variational Methods in Mathematical Physics
   |TitelErg=A unified approach. Translated from the German by Gillian M. Hayes.
   |Reihe=Texts and Monographs in Physics
   |BandReihe=
   |Auflage=
   |Verlag=Verlag=[[Springer Science%2BBusiness Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin
   |Datum=1992
   |ISBN=
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Blanchard&s5=Variational&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=1230382 MR1230382]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Philippe G. Ciarlet]]
   |Titel=Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications
   |Auflage=
   |Verlag=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]]
   |Ort=Philadelphia, PA
   |Datum=2013
   |ISBN=978-1-611972-58-0
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Ciarlet&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=16&mx-pid=3136903 MR3136903]}} 
* {{Literatur
   |Autor=Svatopluk Fučík, Jindřich Nečas, Vladimír Souček
   |Titel=Einführung in die Variationsrechnung
   |TitelErg=Erweiterte Ausgabe des Vorlesungsskripts ''Úvod do variačního počtu''
   |Reihe=Teubner-Texte zur Mathematik
   |BandReihe=
   |Auflage=
   |Verlag=[[B. G. Teubner Verlag|Teubner Verlagsgesellschaft]]
   |Ort=Leipzig
   |Datum=1977
   |ISBN=}}

== Einzelnachweise ==
Kreferences />

KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Analysis]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Fundamentalsatz der Variationsrechnung]]




= Satz von Minty-Browder =
Der '''Satz von Minty-Browder''' oder auch '''Satz von Browder und Minty''', {{enS|''Minty-Browder theorem''}}, ist ein [[Mathematik|mathematischer]] [[Lehrsatz]] der [[Nichtlinear]]en [[Funktionalanalysis]], welcher auf Arbeiten der beiden [[Mathematiker]] [[George Minty]] und [[Felix Browder]] aus den Jahren 1962 und 1963 zurückgeht. Der Satz behandelt die Frage der Bedingungen, unter denen ein [[monotoner Operator]] auf einem [[Reflexiver Raum|reflexiven]] [[Separabler Raum|separablen]] [[Banachraum]] über dem [[Körper der reellen Zahlen]] [[surjektiv]] ist.  Er wird auch als ''Hauptsatz der Theorie monotoner Operatoren'' bezeichnet und gilt als nichtlineares [[Analogon]] zum [[Satz von Lax-Milgram]]. Der Satz findet vielfache Anwendung bei der [[Lösungsmenge|Lösung]] nichtlinearer [[Randwertaufgabe]]n  der [[Variationsrechnung]]. Der Beweis des Satzes lässt sich mit Hilfe der [[Galerkin-Methode]] führen.<ref name="MR">Michael Růžička: ''Nichtlineare Funktionalanalysis: Eine Einführung.''  2004, S. 63 ff</ref><ref name="PGC">Philippe G. Ciarlet: ''Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications .''  2013, S. 742 ff</ref><ref name="B-B">Philippe Blanchard, Erwin Bruning: ''Direkte Methoden der Variationsrechnung: Ein Lehrbuch.''  1982 , S. 154 ff</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Darstellung von [[Michael Růžička|Růžička]] bzw. [[Philippe G. Ciarlet|Ciarlet]] folgend lässt sich der Satz von Minty-Browder angeben wie folgt:<ref name="MR" /><ref name="PGC" />
: ''Sei <math>X</math> ein separabler reflexiver Banachraum über <math>\R</math> . ''
: ''Sei dazu <math>A \colon X \to X^{'}=L(X,\R)</math>  ein [[Operator (Mathematik)#Operatoren in der Funktionalanalysis|Operator]] von dem Banachraum in seinen [[Dualraum#Topologischer Dualraum eines normierten Raums|Dualraum]].''
: ''Der Operator <math>A</math>  besitze folgende Eigenschaften:''
:: '' (a) <math>A</math> ist monoton.''
:: '' (b) <math>A</math> ist koerziv.''
:: '' (c) <math>A</math> ist hemistetig.''
:
: ''Dann gilt:''
: '' (1)  <math>A</math> ist surjektiv.''
: '' (2)  Ist <math>A</math> zudem noch strikt monoton, so ist <math>A</math> sogar eine [[Bijektion]].''

== Erläuterungen zur Terminologie ==
Hinsichtlich der oben genannten Eigenschaften des Operators <math>A \colon X \to X^{'}</math> sind folgende Termini wesentlich:

*  <math>A</math> ist '''monoton''' genau dann, wenn für <math>u, v \in X</math> stets  gilt:
: <math>\langle A(u) - A(v) \; , \;  u - v \rangle \geq 0</math><ref>Die hier üblicherweise benutzte [[Skalarprodukt]]schreibung dient dazu, Mehrfach[[klammerung]]en zu vermeiden. Es gilt hierbei für  <math>x \in X \; , \; f \in X^{'}</math> die Festsetzung, <math>\langle f \; , \;  x \rangle = f(x) \in \R </math> .</ref>

* Der Operator <math>A</math> ist '''strikt monoton''' genau dann, wenn für <math>u, v \in X</math> mit <math>u \neq v </math> stets  gilt:
: <math>\langle A(u) - A(v) \; , \;  u - v \rangle > 0</math>

* Der Operator <math>A</math> ist '''koerziv''' genau dann, wenn gilt:
: <math>\lim_{\| x \| \to {\infty} } {\frac { \langle A(x) \; , \;  x \rangle }{ \| x \| } } = {\infty} </math>.<ref>Hierbei ist  <math>x \mapsto \| x \|  \in \R \; (x \in X )</math> die [[Norm (Mathematik)|Normabbildung]] des Banachraums <math>X</math>.</ref>

* Der Operator <math>A</math> ist '''hemistetig''' genau dann, wenn für <math>u, v, w \in X</math> stets  gilt:
: Die auf dem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[0 \; , \; 1] </math> definierte  [[reellwertige Funktion]] <math>t \mapsto \langle A(u + tv) \; , \; w \rangle</math> ist [[stetig]].

== Siehe auch ==
* [[Satz von Lax-Milgram]]

== Quellen und Hintergrundliteratur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Philippe Blanchard]], [[Erwin Brüning]]
   |Titel=Direkte Methoden der Variationsrechnung
   |TitelErg=Ein Lehrbuch
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
   |Ort=Wien, New York
   |Datum=1982
   |ISBN=3-211-81692-5}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Blanchard&s5=Br%C3%BCning&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=6&mx-pid=687073 MR0687073]
* {{Literatur
   |Autor=Felix E. Browder
   |Titel=Nonlinear elliptic boundary value problems
   |Sammelwerk=[[American Mathematical Society|Bulletin of the American Mathematical Society]]
   |Band=69
   |Datum=1963
   |Seiten=862–874
   |Online=[http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183525712]}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Browder&s5=elliptic&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=21&mx-pid=156116 MR0156116]
* {{Literatur
   |Autor=Philippe G. Ciarlet
   |Titel=Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications
   |Verlag=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]]
   |Ort=Philadelphia, PA
   |Datum=2013
   |ISBN=978-1-61197-258-0}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Ciarlet&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=16&mx-pid=3136903 MR3136903]
* {{Literatur
   |Autor=George J. Minty
   |Titel=On a "monotonicity" method for the solution of non-linear equations in Banach spaces
   |Sammelwerk=[[National Academy of Sciences|Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]]
   |Band=50
   |Datum=1963
   |Seiten=1038–1041
   |Online=[http://www.jstor.org/stable/71840?seq=1#page_scan_tab_contents]}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Minty&s5=method&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=162159 MR0162159]
* {{Literatur
   |Autor=George J. Minty
   |Titel=Monotone (nonlinear) operators in Hilbert space
   |Sammelwerk=[[Duke Mathematical Journal]]
   |Band=29
   |Datum=1962
   |Seiten=341–346
   |Online=[http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077470254]}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Minty&s5=Hilbert&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=169064 MR0169064]
* {{Literatur
   |Autor=Michael Růžička
   |Titel=Nichtlineare Funktionalanalysis
   |TitelErg=Eine Einführung
   |Verlag=Springer Verlag]]
   |Ort=Berlin, Heidelberg (u. a.)
   |Datum=2004
   |ISBN=3-540-20066-}}

== Einzelnachweise ==
Kreferences />


KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Variationsrechnung]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Minty-Browder,Satz von]]

= Maximalitätssatz von Wermer =
Der '''Maximalitätssatz von Wermer''' , auch '''Wermers Maximalitätssatz''' genannt, {{enS|''Wermer's maximality theorem''}},ist ein [[Mathematik|mathematischer]] [[Lehrsatz]], welcher zwischen [[Funktionentheorie]] und [[Funktionalanalysis]] angesiedelt ist. Der Satz geht zurück auf den [[Mathematiker]] [[John Wermer]] und behandelt [[Maximales und minimales Element|Maximalitätseigenschaften]] einer speziellen [[Banachalgebra|banachschen]] [[Funktionenraum|Funktionenalgebra]] über dem [[Körper der komplexen Zahlen]].<ref name="Landau-Gaier">Edmund Landau, Dieter Gaier: ''Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie.'' 1986, S. 174–181</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Maximalitätssatz von Wermer lässt sich angeben wie folgt:<ref name="Landau-Gaier" />
: ''Sei  <math>\mathbb{D} = \{z \in \Complex \colon |z| \leq 1 \} \subseteq \Complex</math> die [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene]] Einheits[[kreisscheibe]] im [[Körper der komplexen Zahlen]], deren [[Rand (Topologie)|topologischer Rand]] die [[Einheitssphäre]] <math>S^1 = \{ z \in \Complex \colon |z| = 1 \}</math> ist.<ref><math>z \mapsto |z| </math> ist die [[komplexe Betragsfunktion]].</ref>
: ''Sei weiter <math>\mathcal{C} = \mathcal{C}(S^1 \; , \; \Complex ) </math> die <math>\Complex</math>-Banachalgebra der auf der Einheitssphäre [[Definitionsmenge|definierten]] [[Stetigkeit|stetigen]] [[Komplexwertige Funktion|komplexwertigen Funktionen]], versehen mit den üblichen punktweise definierten [[Zweistellige Verknüpfung|Operationen]] und der [[Maximumsnorm]].
: ''Sei schließlich <math>\mathcal{A}</math> die Teilmenge derjenigen Funktionen <math> f \in \mathcal{C}</math>, welche eine [[stetige Fortsetzung]] auf <math>\mathbb{D}</math> derart besitzen, dass diese Fortsetzungsfunktion im [[Innerer Punkt|Inneren]]   <math>{\mathbb{D}}^{\circ} = \{z \in \Complex \colon |z| < 1 \} </math>  von  <math>\mathbb{D} </math> sogar [[holomorph]] ist.
:
: '' Dann gilt:''
: ''<math>\mathcal{A} \subset \mathcal{C}</math> bildet eine abgeschlossene [[Algebra über einem Körper#Unteralgebren und Ideale|Teilalgebra]] von <math>\mathcal{C}</math> und ist als solche [[Maximales und minimales Element|maximal]], wird also von keiner anderen in <math>\mathcal{C}</math> [[Teilmenge|enthaltenen]] abgeschlossenen Teilalgebra [[Teilmenge#Notationen und Sprechweisen|echt umfasst]] .''

== Quellen ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Paul Cohen (Mathematiker)|Paul J. Cohen]]
   |Titel=A note on constructive methods in Banach algebras
   |Sammelwerk=Proceedings of the [[American Mathematical Society]]
   |Band=12
   |Datum=1961
   |Seiten=159–163
   |DOI=10.2307/2034144}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Cohen%2C%20&s5=A%20note%20on&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=28&mx-pid=124515 MR0124515]
* {{Literatur
   |Autor=[[Edmund Landau]], [[Dieter Gaier]]
   |Titel=Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie
   |Auflage=3., erweiterte
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
   |Ort=Berlin (u. &nbsp; a.)
   |Datum=1986
   |ISBN=3-540-16886-9}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Landau&s5=Gaier&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR0869998]
* {{Literatur
   |Autor=[[Günter Lumer|G. Lumer]]
   |Titel=On Wermer's maximality theorem
   |Sammelwerk=[[Inventiones Mathematicae]]
   |Band=8
   |Datum=1969
   |Seiten=236–237
   |Online=[http://link.springer.com/article/10.1007/BF01406075]}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Lumer&s5=Wermer&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR0251542]
* {{Literatur
   |Autor=[[Walter Rudin]]
   |Titel=Analyticity, and the maximum modulus principle
   |Sammelwerk=[[Duke Mathematical Journal]]
   |Band=20
   |Datum=1953
   |Seiten=449–457
   |DOI=10.1215/S0012-7094-53-02045-6}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Rudin&s5=Analyticity&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR0056076]
* {{Literatur
   |Autor=[[John Wermer]]
   |Titel=On algebras of continuous functions
   |Sammelwerk=Proceedings of the American Mathematical Society
   |Band=4
   |Datum=1953
   |Seiten=866–869
   |DOI=10.2307/2031819}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Wermer%2C%20John&s5=On&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=25&mx-pid=58877 MR0058877]

== Einzelnachweise ==
Kreferences />

KKKategorie:Funktionentheorie]]
KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Algebra (Struktur)]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Wermer,Maximalitätssatz von]]

= Dreikreisesatz von Hadamard =
Der '''Dreikreisesatz von Hadamard''', auch '''hadamardscher Dreikreisesatz''' genannt, {{enS|''Hadamard’s three-circle theorem''}},<ref>Es gibt in deutschsprachigen Quellen auch die Schreibung "Drei-Kreise-Satz" statt "Dreikreisesatz" wie auch in englischsprachigen die Schreibung "three circles theorem" anstelle von "three-circle theorem".</ref> ist ein [[Lehrsatz]] auf dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Funktionentheorie]]. Der Satz geht zurück auf den französischen [[Mathematiker]] [[Jacques Hadamard]] (1865–1963). Er kann als Folgerung aus dem [[Maximumprinzip (Mathematik)#Funktionentheorie|Maximumprinzip der Funktionentheorie]] gezogen werden und zieht insbesondere den [[Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] nach sich.<ref name="Burckel">Robert B. Burckel: ''An introduction to classical complex analysis. Vol.1.'' 1979, S. 147, 187</ref><ref name="Golusin">G. M. Golusin: ''Geometrische Funktionentheorie.'' 1957, S. 299–300</ref><ref name="Hurwitz-Courant">Adolf Hurwitz, Richard Courant: ''Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie.... .'' 1964, S. 429–430</ref><ref name="Nevanlinna">Rolf Nevanlinna: ''Eindeutige analytische Funktionen.'' 1974, S. 43</ref><ref name="Rühs">Fritz Rühs: ''Funktionentheorie.'' 1976, S. 117–119, 145–146</ref><ref name="Rudin">Walter Rudin: ''Reelle und komplexe Analysis.'' 1999, S. 316</ref><ref name="Titchmarsh">E. C. Titchmarsh: ''The Theory of Functions.'' 1978, S. 172–173</ref>

== Formulierung des Satzes ==
Der Dreikreisesatz lässt sich angeben wie folgt:
: ''Gegeben seien ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]]  <math>G \subseteq \Complex</math> sowie eine darauf definierte [[holomorphe Funktion]] <math> f \colon G \to \Complex \; ; \;  z \mapsto f(z) </math> , welche nicht die [[Nullfunktion]] sei.''
: ''Gegeben seien weiter zwei [[reell]]e Zahlen <math>a,b \;  (0 < a < b)</math> und dazu ein in <math>G</math>  enthaltener [[Kreisring]] <math> A = \{ z \in \Complex \colon  a \leq |z|  \leq b\} </math>.''
:
: '' Dann gilt für die zugehörige  [[reellwertige Funktion]]''
:: <math>M \colon [a,b] \to \R^{>0} \; ; \;  r \mapsto M(r) := \max_{|z| = r} \; {|f(z)|} </math>
: ''  stets die [[Ungleichung]]
:: <math>M(r) \leq {M(a)}^{\frac {\ln (b) - \ln (r)}{\ln (b) - \ln (a)}} \cdot {M(b)}^{\frac {\ln (r) - \ln (a)}{\ln (b) - \ln (a)}}  </math> .
: ''Mit anderen Worten:''
: ''Die reellwertige Funktion  <math> r \mapsto \ln \bigl( M(r) \bigr)</math> ist eine in <math>\ln (r) </math> [[konvexe Funktion]] und erfüllt daher stets die Ungleichung
:: <math>\ln \bigl( (M(r) \bigr) \leq  { {\frac {\ln (b) - \ln (r)}{\ln (b) - \ln (a)}} \cdot  \ln \bigl( (M(a) \bigr)  +   {\frac {\ln (r) - \ln (a)}{\ln (b) - \ln (a)} \cdot \ln \bigl( (M(b) \bigr) }  \; (a \leq r \leq b ) } </math>.

== Anwendung: Der Satz von Jentzsch ==
Wie [[Edmund Landau]] zeigte, lässt sich durch Anwendung des Dreikreisesatzes ein anderes bekanntes Resultat der Funktionentheorie herleiten, nämlich der ''Satz von Jentzsch''. Dieser geht zurück auf  Inauguraldissertation von [[Robert Jentzsch]] aus dem Jahre 1914. Der Satz wurde von Jentzsch dann auch in den [[Acta Mathematica]] des Jahres 1916 veröffentlicht und gab Anlass zu vielen weiterführenden funktionentheoretischen Untersuchuchungen. Er lässt sich formulieren wie folgt:<ref name="Landau-Gaier">Edmund Landau, Dieter Gaier: ''Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie.'' 1986, S. 88–95, S. 145-148</ref>

: ''Gegeben sei eine in <math>\Complex</math> um den Entwicklungspunkt <math>z_0 = 0 </math> entwickelte [[Potenzreihe]]   <math>f(z) = \sum_{n=0}^\infty {a_n z^n} = a_0 + a_1 z^1 + a_2 z^2 +\ldots + a_n z^n + a_{n+1} z^{n+1} \ldots  </math>
: ''mit endlichem [[Konvergenzradius]]  <math>r< \infty </math> und [[Konvergenzkreis]]  <math>D = \{z \in \Complex \colon |z| < r \} </math> . ''
: ''Die zughörige [[komplexwertige Funktion]]  <math>f \colon \, D \to \Complex, \; z \mapsto f(z)</math>
: ''sei nicht [[Konstante Funktion|konstant]] und es gelte <math>a_0 \neq 0 </math> .''
: ''Weiter seien
: <math>s_k(z) = \sum_{n=0}^k {a_n z^n}  = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 +\ldots + a_k z^k \; (k \in \N_0) </math>
: ''die zugehörigen [[Partialsumme|Abschnittsfunktionen]] .''
:
: ''Dann gilt:''
: ''In jeder beliebig kleinen [[Offene Umgebung|offenen Umgebung]] eines jeden Randpunktes des Konvergenzkreises haben stets [[unendlich viele]] Abschnittsfunktionen je mindestens eine [[Nullstelle]].''

== Quellen ==
=== Monographien ===
* {{Literatur
   |Autor=[[Robert B. Burckel]]
   |Titel=An introduction to classical complex analysis
   |TitelErg=Vol. 1
   |Verlag=[[Birkhäuser Verlag]]
   |Ort=Basel, Stuttgart
   |Datum=1979
   |ISBN=3-7643-0989-X}}[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Burckel&s5=An%20introduction%20to%20classical%20complex%20analysis.%20Vol.%201&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR0555733]
* {{Literatur
   |Autor=[[Gennadi Michailowitsch Golusin|G. M. Golusin]]
   |Titel=Geometrische Funktionentheorie
   |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik
   |BandReihe=31
   |Verlag=[[VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften]]
   |Ort=Berlin
   |Datum=1957
   |ISBN=}}[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Geometrische%20Funktionentheorie&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=89896 MR0089896]
* {{Literatur
   |Autor=[[Adolf Hurwitz]] , [[Richard Courant]]
   |Titel=Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
   |BandReihe=3
   |Auflage=4., vermehrte und verbesserte
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
   |Ort=Berlin (u. &nbsp; a.)
   |Datum=1964
   |ISBN=}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=ICN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Hurwitz&s5=Courant&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=173749 MR0173749]
* {{Literatur
   |Autor=Edmund Landau , [[Dieter Gaier]]
   |Titel=Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie
   |Auflage=3., erweiterte
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
   |Ort=Berlin (u. &nbsp; a.)
   |Datum=1986
   |ISBN=3-540-16886-9}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=AUCN&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Landau&s5=Gaier&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR0869998]
* {{Literatur
   |Autor=[[Rolf Nevanlinna]]
   |Titel=Eindeutige analytische Funktionen
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
   |BandReihe=46
   |Verlag=Springer-Verlag
   |Ort=Berlin (u. a.)
   |Datum=
   |ISBN=3-540-06233-5}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Walter Rudin]]
   |Titel=Reelle und komplexe Analysis
   |Auflage=2. verbesserte
   |Verlag=[[Oldenbourg Wissenschaftsverlag]]
   |Ort=München, Wien
   |Datum=1999
   |ISBN=3-486-24789-1}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&r=1&review_format=html&s4=Rudin&s5=Reelle%20und%20komplexe%20Analysis&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq MR1736644]
* {{Literatur
   |Autor=[[Fritz Rühs]]
   |Titel=Funktionentheorie
   |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik
   |BandReihe=56
   |Auflage=3., berichtigte
   |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften
   |Ort=Berlin
   |Datum=1976
   |ISBN=}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=R%C3%BChs&s5=Funktionentheorie&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=486433 MR0486433]
* {{Literatur
   |Autor=[[Edward Charles Titchmarsh|E. C. Titchmarsh]]
   |Titel=The Theory of Functions
   |Verlag=[[Oxford University Press]]
   |Ort=Oxford, London (u. a.)
   |Datum=1978
   |ISBN=}}

=== Originalarbeiten ===
* {{Literatur
   |Autor=[[Aryeh Dvoretzky]]
   |Titel=On the theorem of Jentzsch
   |Sammelwerk=[[Proceedings of the National Academy of Sciences|Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A.]]
   |Band=35
   |Datum=1949
   |Seiten=246–252}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=On%20the%20theorem%20of%20Jentzsch&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=29995 MR0029995]
* {{Literatur
   |Autor=Robert Jentzsch
   |Titel=Untersuchungen zur Theorie der Folgen analytischer Funktionen
   |Sammelwerk=[[Acta Mathematica]]
   |Band=41
   |Datum=1916
   |Seiten=219–251
   |Online=[http://link.springer.com/article/10.1007/BF02422945]}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Jentzsch%2C%20Robert&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=1555151 MR1555151]
* {{Literatur
   |Autor=[[Raphael Robinson|Raphael M. Robinson]]
   |Titel=Hadamard's three circles theorem
   |Sammelwerk=[[American Mathematical Society|Bulletin of the American Mathematical Society]]
   |Band=50
   |Datum=1944
   |Seiten=795–802
   |Online=[http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183506291]}} [http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Robinson%2C%20Raphael%20M.&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=83&mx-pid=11120 MR0011120]

== Einzelnachweise und Fußnoten ==
Kreferences />

KKKategorie:Funktionentheorie]]
KKKategorie:Analytische_Funktion]]
KKKategorie:Satz (Mathematik)|Hadamardscher Dreikreisesatz]]






= Cantorsches Produkt =
Als '''cantorsches Produkt''' bezeichnet man in der [[Analysis]] ein [[unendliches Produkt]], dessen Glieder aus [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] der Form <math>1 + \tfrac{1}{q}</math> bestehen, wobei die darin auftretenden [[Bruchrechnung|Nenner]] stets [[Natürliche Zahl|natürliche Zahlen]] sind und zudem immer so beschaffen, dass der Nenner <math>q_{n+1}</math> des <math>n+1</math>-ten Gliedes <math>(n \in \N)</math> stets mindestens so groß ist wie das [[Quadratische Funktion|Quadrat]] des zum vorangehenden  <math>n</math>-ten Glied gehörigen Nenners <math>q_n</math> <ref name="Perron">{{Literatur |Autor=[[Oskar Perron]] |Titel=Irrationalzahlen |Reihe=Göschens Lehrbücherei: Gruppe 1, Reine und angewandte Mathematik |BandReihe=1 |Auflage=4. durchgesehene und ergänzte |Verlag=Walter de Gruyter Verlag |Ort=Berlin |Datum=1960 |Seiten=128 ff. |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Perron%2C%20Oskar&s5=Irrationalzahlen&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=115985 MR0115985]}}</ref><ref>{{Literatur |Titel=Lexikon der Mathematik in sechs Bänden |Band=1 |Datum= |Seiten=278}}</ref>

Die cantorschen Produkte wurden von [[Georg Cantor]] in einer Arbeit aus dem Jahre 1869 eingeführt. Wie Cantor darin zeigte, lässt sich jede beliebige [[reelle Zahl]] <math>{\alpha}_0 > 1</math> in Form eines cantorschen Produkts darstellen. Grundlegend für Cantors Darlegungen ist dabei die auf [[Leonhard Euler]] zurückgehende ''eulersche Produktgleichung''
: <math>\frac{1}{1-x} = \prod_{n=0}^{\infty} {(1 + x^{2^n})}</math>,

welche für alle reellen (und darüber hinaus sogar für alle [[Komplexe Zahl|komplexen]]) Zahlen <math>x</math> des [[Betragsfunktion|Betrags]] <math>|x| < 1</math> Gültigkeit hat.<ref name="Cantor">{{Literatur |Autor=Cantor |Titel=Gesammelte Abhandlungen... |Datum= |Seiten=43 ff}}</ref>

== Cantors Satz ==
Cantors [[Lehrsatz|Satz]] über die cantorschen Produkte lässt sich zusammengefasst wie folgt darstellen:
: Sei <math>{\alpha}_0 > 1</math> eine reelle Zahl. Dann gilt:<ref name="Cantor" /><ref name="Perron" />
:: (I) Zu <math>{\alpha}_0</math> lässt sich eine und nur eine [[Zahlenfolge]] <math>(q_n)_{n \in \N_0}</math> natürlicher Zahlen so bestimmen, dass <math>{\alpha}_0</math> eine Produktdarstellung der Form
::: <math>{\alpha}_0 = \prod_{n=0}^{\infty} \left(1 + \tfrac{1}{q_n}\right)</math>
::  hat, wobei in dieser Zahlenfolge für jeden [[Indexmenge (Mathematik)|Index]] <math>n</math> die [[Ungleichung]] <math>q_{n+1} \geq {q_n}^2</math> erfüllt ist und zudem nur [[endlich viele]] Folgenelemente <math>q_n = 1</math> sind.

:: (II) Jedes cantorsche Produkt, also jedes unendliche Produkt der in (I) beschriebenen Form, ist [[Grenzwert (Folge)#Konvergenzkriterien|konvergent]].

:: (III) <math>{\alpha}_0</math> ist genau dann eine [[rationale Zahl]], wenn in der cantorschen Produktdarstellung gemäß (I) ab einem Index <math>N</math> für alle nachfolgenden Indizes <math>n \geq N </math> stets die [[Identitätsgleichung|Identität]] <math>q_{n+1} = {q_n}^2</math> besteht.

== Algorithmus zur Bestimmung der cantorschen Produktdarstellung ==
Die Zahlenfolge <math>(q_n)_{n \in \N_0}</math> lässt sich ausgehend von <math>{\alpha}_0 > 1</math> wie folgt [[Definition#Rekursive Definition|induktiv festlegen]]:<ref name="Perron" />

:: <math>q_0 = \left\lfloor  \frac{{\alpha}_0}{{\alpha}_0 - 1} \right\rfloor </math> <ref><math>x\mapsto \lfloor x \rfloor </math> ist die [[Gaußklammer]]funktion.</ref> und <math>{\alpha}_n =  \frac{{\alpha}_{n-1}}{1 + \frac{1}{q_{n-1}}} \;\;  \; q_n = \left\lfloor  \frac{{\alpha}_n}{{\alpha}_n - 1} \right\rfloor </math> für <math>n \in \N</math>

== Beispiele ==
* Formel von [[Friedrich Engel (Mathematiker)|Engel]]:<ref name="Perron" />
: Für <math>q \in \N</math> gilt stets
: <math>\sqrt {\frac{q+1}{q-1}} = \prod_{n=0}^{\infty} {(1 + \frac{1}{q_n})}</math>
: mit <math>q_0 = q \in \N</math> und <math>q_{n+1} = 2 \cdot {{q_n}^2} -1 </math> <math>(n =0,1,2,3 \ldots) </math>.
:
: Insbesondere gilt für <math>q = 3 </math>:
: <math>\sqrt {2} = {(1 + \frac{1}{3})} \cdot {(1 + \frac{1}{17})} \cdot {(1 + \frac{1}{577})} \cdot {(1 + \frac{1}{665857})} \cdot \cdots</math> <ref>Diese Produktdarstellung von <math>\sqrt {2} </math> taucht auch in der Arbeit von Cantor auf. Dabei unterlief Cantor ein Rechenfehler und anstelle des korrekten Wertes <math>q_3 = 665857 = 2* 577^2 - 1 </math> fälschlich <math>q_3 = 667967</math> angegeben. Perron nennt in den ''Irrationalzahlen'' hierfür den korrekten Wert.</ref>

* Weitere Beispiele von Cantor:<ref name="Cantor" />
: <math>\sqrt {3} = {(1 + \frac{1}{2})} \cdot {(1 + \frac{1}{7})} \cdot {(1 + \frac{1}{97})} \cdot {(1 + \frac{1}{18817})} \cdot \cdots</math><ref>Auch bei <math>\sqrt {3} </math> war Cantor ein Rechenfehler unterlaufen, denn er nannte anstelle des korrekten Wertes <math>q_3 = 18817</math> fälschlich <math>q_3 = 17617</math> .</ref>
: <math>\sqrt {5} = {(1 + \frac{1}{1})} \cdot {(1 + \frac{1}{9})} \cdot {(1 + \frac{1}{161})} \cdot {(1 + \frac{1}{51841})} \cdot \cdots</math>
: <math>\sqrt {15} = {(1 + \frac{1}{1})} \cdot {(1 + \frac{1}{2})} \cdot {(1 + \frac{1}{4})} \cdot {(1 + \frac{1}{31})} \cdot {(1 + \frac{1}{1921})} \cdot \cdots</math>

== Anmerkung ==
* Im ersten Band des ''Lexikons der Mathematik'' werden auch endliche Produkte, welche ansonsten die beiden oben genannten Nebenbedingungen erfüllen, als cantorsche Produkte behandelt. Zudem wird für alle <math>n</math> <math>q_n \geq 2</math> gefordert.
* Perron erwähnt zu den cantorschen Produkten in den ''Irrationalzahlen'', dass diese sehr rasch konvergieren.<ref name="Perron" /> Aus ihnen kann man daher mit nur wenigen Rechenschritten sehr gute ''Näherungsbrüche'' für alle reellen Zahlen  > 1 gewinnen.
* Auf Euler gehen zwei weitere bemerkenswerte ''eulersche Produktdarstellungen'' zurück, nämlich die folgenden beiden, die in der modernen [[Funktionentheorie]] auf dem Wege über [[Thetafunktion]]en hergeleitet werden:<ref>{{Literatur |Autor=Hurwitz-Courant |Titel=Funktionentheorie ( § 11) |Datum= |Seiten=207}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Borwein-Borwein |Titel=Pi ...( Ch. 3.1) |Datum= |Seiten=64–65}}</ref>
: Für jede [[komplexe Zahl]] <math> z </math> des [[Komplexe Zahl#Betrag|Betrages]] <math> |z| < 1</math> gilt:
: <math> \prod_{n=1}^{\infty} {(1 - z^n)}  = \sum_{n={ - \infty}}^{ + \infty} {(-1)^n \cdot z^{\frac{3 n^2 + n}{2} } }  </math><ref>Laut Borwein-Borwein ist dies der eulersche [[Pentagonalzahl]]satz.</ref>
: sowie
: <math> \prod_{n=1}^{\infty} {(1 - z^n)^3}  = \sum_{n={1}}^{  \infty} {(-1)^{n-1} \cdot (2n-1) \cdot  z^{\frac{n^2 - n}{2} } }  </math> .

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Jonathan M. Borwein]], [[Peter Borwein|Peter B. Borwein]]
   |Titel=Pi and the AGM
   |TitelErg=A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity
   |Reihe=Canadian Mathematical Society series of monographs and advanced texts
   |BandReihe=4
   |Verlag=John Wiley & Sons
   |Ort=New York
   |Datum=1987
   |ISBN=0-471-83138-7}}
* {{Literatur
   |Autor=Georg Cantor
   |Titel=Zwei Sätze über eine gewisse Zerlegung der Zahlen in unendliche Producte
   |Sammelwerk=[[Zeitschrift für Mathematik und Physik]]
   |Band=14
   |Datum=1869
   |Seiten=152–158
   |Online=[http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN599415665_0014&DMDID=DMDLOG_0010&LOGID=LOG_0013&PHYSID=PHYS_0156 gdz.sub.uni-goettingen.de]}}
* {{Literatur
   |Autor=Georg Cantor
   |Titel=Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts
   |TitelErg=Nachdruck der Ausgabe Berlin 1932
   |Verlag=Springer Verlag
   |Ort=Berlin / New York
   |Datum=1980
   |ISBN=3-540-09849-6
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Cantor%2C%20Georg&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=616083 MR0616083]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Oskar Perron]]
   |Titel=Irrationalzahlen
   |Reihe=Göschens Lehrbücherei: Gruppe 1, Reine und angewandte Mathematik
   |BandReihe=1
   |Auflage=4. durchgesehene und ergänzte
   |Verlag=Walter de Gruyter Verlag
   |Ort=Berlin
   |Datum=1960
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Perron%2C%20Oskar&s5=Irrationalzahlen&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=115985 MR0115985]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Adolf Hurwitz]]
   |Titel=Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktion
   |TitelErg=Herausgegeben und ergänzt durch einen Abschnitt über Geometrische Funktionentheorie von [[Richard Courant|R. Courant]]. Mit einem Anhang von [[Helmut Röhrl|H. Röhrl]]
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen
   |BandReihe=3
   |Auflage=4., vermehrte und verbesserte
   |Verlag=Springer Verlag
   |Ort=Berlin (u.&nbsp;a.)
   |Datum=1964}}
* {{Literatur
   |Autor=Guido Walz [Red.]
   |Titel=Lexikon der Mathematik in sechs Bänden
   |Band=1
   |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag
   |Ort=Heidelberg / Berlin
   |Datum=2002
   |ISBN=3-8274-0303-0}}

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
rreferences />

KKKategorie:Analysis]]



= Satz von Olivier =
Der '''Satz von Olivier'''  ist ein [[Mathematik|mathematischer]] [[Lehrsatz]] der [[Analysis]], welcher auf eine Arbeit des Mathematikers [[Louis Olivier]] im zweiten Band  des [[Journal für die reine und angewandte Mathematik|crelleschen Journals]] aus dem Jahre 1827  zurückgeht. Der Satz gibt eine [[notwendige Bedingung]] für die [[Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] von [[Reihe (Mathematik)|Reihen]], deren Glieder eine [[Monoton fallende Folge|monoton fallende]]  [[Folge (Mathematik)|Folge]] [[Positive Zahl|positiver]] [[Reelle Zahl|reeller Zahlen]] bilden, und liefert dabei eine Verschärfung des bekannten [[Nullfolgenkriterium]]s. Als direkte Anwendung des Satzes ergibt sich unter anderem die [[Grenzwert (Folge)#Bestimmte Divergenz|Divergenz]] der [[Harmonische Reihe|harmonischen Reihe]].<ref>{{Literatur |Autor=Knopp |Titel= |Datum= |Seiten=125–126}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Meschkowski |Titel= |Datum= |Seiten=28–29}}</ref>

== Formulierung ==
Der Satz von Olivier lässt sich wie folgt formulieren:
: ''Sei <math>(a_n)_{n\in \N}</math>  eine [[monoton fallende Folge]] nichtnegativer [[Reelle Zahl|reeller Zahlen]] und die zugehörige [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] <math>a_1 + a_2 + \ldots</math> sei [[Reihe (Mathematik)#Absolute und unbedingte Konvergenz|konvergent]], also''
:: <math> \sum_{n=1}^\infty { a_n } <  \infty  </math>.
: ''Dann gilt''
:: <math>\lim_{n \to \infty} {n \cdot a_n} = 0</math>,
: ''das heißt, die Zahlenfolge <math>(n \cdot a_n)_{n\in \N}</math> ist eine [[Nullfolge]].''<ref>Collected Mathematical Papers, Vol. 5 XIII Complex Function Theory von A. Ostrowski, Birkhäuser-Verlag 1984, ISBN 3-7643-1510-5, Auf Seite 163 wird diese Aussage als Satz von Olivier bezeichnet</ref>

== Beweis nach Konrad Knopp ==
Der Ansatz zum Beweis des Satzes von Olivier ergibt sich aus dem  [[Cauchy-Kriterium#Cauchy-Kriterium für Reihen|Cauchy-Kriterium für Reihen]].

Ist nämlich ein beliebiges <math> \varepsilon > 0 </math> vorgegeben, so setzt man zunächst <math>{\varepsilon}_0 = \frac{\varepsilon}{2} </math> und findet dazu  eine [[Beschränktheit#Analysis|untere Schranke]]   <math>N=N({\varepsilon}_0) </math>  , so dass für beliebige <math>n \; , \; p \in \N</math> mit  <math>n \; , \; p \geq N  </math> stets die [[Ungleichung]]
:<math>a_{p+1} + a_{p+2} + \ldots + a_{p+n} < {\varepsilon}_0</math>

gilt.

Damit ist wegen der vorausgesetzten  Monotonieeigenschaft der Zahlenfolge zunächst
:<math>n \cdot a_{p+n} < {\varepsilon}_0</math>

und folglich
:<math>2n \cdot a_{p+n} < \varepsilon</math>

gegeben.

Das aber bedeutet insbesondere, dass man für <math>n \in \N</math> mit  <math>n \geq N  </math> stets
:<math>2n \cdot a_{N+n} < \varepsilon</math>

und damit
:<math>(N+n)\cdot a_{N+n} < \varepsilon</math>

hat.

Als untere Schranke zu <math> \varepsilon  </math> wählt man nun  <math> N(\varepsilon) = 2N</math> &nbsp; .

Damit ergibt sich nämlich für alle <math>n  \in \N</math> mit  <math>n  \geq 2N  </math>  wegen <math>n-N \geq N  </math> und  <math>n = N + (n-N)  </math> die Ungleichung
:<math>n\cdot a_n =  (N+(n-N)) \cdot a_{N+(n-N)} < \varepsilon</math> &nbsp; .

Folglich ist <math>(n \cdot a_n)_{n\in \N}</math> eine Nullfolge.

== Anmerkung ==
* Für
::  <math>a_n = \frac{1}{n} \; \; (n \in \N)</math>
: hat man
:: <math>\lim_{n \to \infty} {n \cdot a_n} = 1</math> &nbsp; ,
: was mit dem Satz von Olivier die ''Divergenz der harmonischen Reihe'' impliziert.
* Anhand der ''abelschen Reihe'', welche
:: <math>a_n = \frac{1}{n \cdot \ln (n)} \; \; (n \in \N \; , \; n \geq 2)</math>
: als allgemeines Glied hat<ref>bei formaler Setzung von <math>a_1 = 0</math></ref> , sieht man, dass der Satz von Olivier lediglich eine notwendige, jedoch keine [[hinreichende Bedingung]] formuliert.  Denn der ''abelschen Reihe'' liegt zwar eine monoton fallende Gliederfolge zugrunde und dabei ist
::  <math>\lim_{n \to \infty} {n \cdot a_n} = \lim_{n \to \infty} { \frac{1}{ \ln (n)} } = 0</math> &nbsp; ,
: aber dennoch folgt mit dem [[Cauchysches Verdichtungskriterium|Verdichtungskriterium von Cauchy]]
:: <math>\sum_{n=2}^\infty { \frac {1} {n \cdot \ln (n)}}   = \infty</math> &nbsp; .<ref>{{Literatur |Autor=Knopp |Titel= |Datum= |Seiten=121, 124}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Meschkowski |Titel= |Datum= |Seiten=26–27}}</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Konrad Knopp]]
   |Titel=Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen
   |Reihe=Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften
   |BandReihe=2
   |Auflage=5., berichtigte
   |Verlag=Springer Verlag
   |Ort=Berlin / Göttingen / Heidelberg / New York
   |Datum=1964
   |ISBN=3-540-03138-3
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=TI&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Knopp&s5=Reihen&s6=Theorie&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=183997 MR0183997]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Herbert Meschkowski]]
   |Titel=Unendliche Reihen
   |Auflage=2., verbesserte und erweiterte
   |Verlag=BI Wissenschaftsverlag
   |Ort=Mannheim u.&nbsp;a.
   |Datum=1982
   |ISBN=3-411-01613-2
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Meschkowski%2C%20Herbert%20&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=671586 MR0671586]}}
* {{Literatur
   |Autor=Louis Olivier
   |Titel=Remarques sur les séries infinies et leur convergence
   |Sammelwerk=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]
   |Band=2
   |Datum=1827
   |Seiten=31–44
   |Online=[http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0002&DMDID=DMDLOG_0008 uni-goettingen.de]}}

== Einzelnachweise und Fußnoten ==
Kreferences />

KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Folgen und Reihen]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Olivier, Satz von]]




= Ungleichung von Beppo Levi = 
Die '''Ungleichung von Beppo Levi''' ist ein Resultat der [[Funktionalanalysis]], einem [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet der Mathematik]]. Die Ungleichung geht auf den italienischen Mathematiker [[Beppo Levi]] (1875–1961) zurück und ist eng mit dem berühmten [[Projektionssatz]] verknüpft.<ref name="MN-001">Mark Neumark: ''Normierte Algebren.'' Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main 1990, S. 107 ff.</ref>

== Formulierung ==
Gegeben sei ein [[Prä-Hilbertraum]] <math>\mathcal{H}</math>, versehen mit der aus dem zugrundeliegenden [[Skalarprodukt]] herrührenden [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\| \cdot \|</math>. Weiter seien ein [[Untervektorraum]] <math>\mathcal{M} \subseteq \mathcal{H}</math> und drei [[Vektor]]en <math>x \in \mathcal{H}</math> sowie <math>y_1, y_2 \in \mathcal{M}</math> gegeben. Ist nun

:<math>d = \inf_{y \in \mathcal{M}} \| x-y \|</math>

der [[Distanzfunktion#Distanzfunktion zu einer Menge|Abstand]] von <math>x</math> zu <math>\mathcal{M}</math>, so gilt:

:<math> \| y_1-y_2 \| \leq \sqrt { {\| x-y_1 \|}^2 - d^2 } + \sqrt { {\| x-y_2 \|}^2 - d^2 }</math>.

== Anmerkungen ==
* Der Beweis der Ungleichung beruht auf ähnlichen Schlüssen wie die des Beweises der [[Cauchy-Bunjakowski-Schwarz-Ungleichung]].
* Die Ungleichung  gilt insbesondere für jeden [[Hilbertraum]] <math>\mathcal{H}</math>. Sie liefert im Beweis des Projektionssatzes das entscheidende Argument, wonach für einen [[Unterhilbertraum]] der zugehörige [[Projektionsoperator]] stets existiert.<ref name="MN-002">Neumark, op. cit., S. 108–109.</ref>
* Im Falle <math>\mathcal{M} = \mathcal{H}</math> ist <math>d = 0</math> und man erhält die [[Dreiecksungleichung]].

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor= [[Mark Neumark]]
   |Titel=Normierte Algebren
   |Auflage=
   |Verlag=[[Verlag Harri Deutsch]]
   |Ort=Thun und Frankfurt / Main
   |Datum=1990
   |ISBN=3-8171-1001-4
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=&s5=Normierte%20Algebren&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=1038909 MR1038909]}}

== Einzelnachweise ==
rreferences />

KKKategorie:Funktionalanalysis]]
KKKategorie:Ungleichung|Levi, Ungleichung von]]

= Zum Vollständigkeitsaxiom bzw. zum Supremumsaxiom bzw. zum Intervallschachtelungsaxiom gleichwertige Axiome (wurde mal unter [[Reelle Zahl]] gelöscht)  =
Anstelle der drei genannten Axiome kann man auch verschiedene andere Axiome setzen <ref>Nach: {{Literatur |Titel=Der kleine Duden "Mathematik" |Datum= |Seiten=449}}</ref> und {{Literatur |Autor=Olmsted |Titel= |Datum= |Seiten=194-195}}</ref>:

* das ''Intervallschachtelungsaxiom (zweite Version)'':
*: Jede Intervallschachtelung in <math>\R</math> besitzt einen Kern.

* das ''Infimumsaxiom'':
*: Jede nichtleere, nach unten beschränkte Teilmenge von <math>\R</math> besitzt ein Infimum.

* das ''Heine-Borel-Axiom'':
*: Wird ein abgeschlossenes und beschränktes  Intervall von <math>\R</math> durch beliebige viele offene Mengen von <math>\R</math> überdeckt, so gibt es unter diesen offenen Mengen stets endlich viele, welche das Intervall überdecken.

* das ''Bolzano-Weierstraß-Axiom'':
*: Jede unendliche, beschränkte Teilmenge von <math>\R</math> besitzt mindestens einen Häufungspunkt.

* das ''Monotonieaxiom'':
*: Jede monotone, beschränkte Folge  in <math>\R</math> konvergiert.

* das ''Zusammenhangsaxiom'':
*: Die reellen Zahlen bilden in der üblichen Topologie einen zusammenhängenden topologischen Raum.

* das ''Zwischenwertaxiom'':
*: Eine auf einem Intervall von <math>\R</math> definierte stetige reelle Funktion  nimmt in ihrem Wertebereich stets jeden Zwischenwert an.

* das ''Beschränktheitsaxiom'':
*: Eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten  Intervall von <math>\R</math> definierte stetige reelle Funktion hat stets einen nach oben beschränkten Wertebereich.

* das ''Maximumsaxiom'':
*: Eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten  Intervall von <math>\R</math> definierte  stetige reelle Funktion  besitzt stets eine Maximumsstelle.

Durch die so gewonnenen äquivalenten Axiomensysteme ist der Körper der reellen Zahlen jeweils (bis auf Isomorphie) eindeutig bestimmt, denn je zwei vollständige angeordnete Körper sind isomorph <ref>{{Literatur |Autor=Olmstedt |Titel= |Datum= |Seiten=129}}</ref>.

= Quellen =
* {{Literatur
   |Autor=John M. H. Olmsted
   |Titel=The Real Number System
   |Verlag=Appleton-Century-Crofts
   |Ort=New York
   |Datum=1962
   |ISBN=}}
* {{Literatur
   |Autor=
   |Titel=Der kleine Duden "Mathematik"
   |Auflage=2.
   |Verlag=Dudenverlag
   |Ort=Mannheim [u.&nbsp;a.]
   |Datum=1996
   |ISBN=3-411-05352-6}}


== Einzelnachweise und Fußnoten ==
K references />

KK Kategorie:Geometrie]]
KK Kategorie:Satz (Mathematik)|Außenwinkelsatz]]





= Einzelnachweise und Fußnoten =
<references />

== Anmerkungen ==
<references group="A" />