Quelltext der Seite Benutzer:Zumthie/Mathematisches

{{Wikimedia-Benutzer}}
{{Babel|:ZOiDberg/Vorlage:user_ma-0}}
<div style="border:1px solid #000000; padding:0.4em; background-color:#ccccff; margin-bottom:1em;">
<center>
[[Datei:Gott schafft in Zahlen.jpg|center|500px]]
<math>Deus >\infty^\infty > Mathematica</math>
</center>
</div>

== Mersenne-Primzahlen ==
 	{| class="prettytable"  	 
 	|colspan="9" align="center" style="background:#E9E9E9;"| ''Die [[Mersenne-Primzahl]] ist eine [[Primzahl]], die ausschließlich mit der [[Dualsystem|Binärziffer]] "1" geschrieben wird.'' 	 
 	|- align="center" 	 
 	!binär 	 
 	|11 	 
 	|111 	 
 	|11111 	 
 	|1111111 	 
 	|1111111111111 	 
 	|11111111111111111 	 
 	|1111111111111111111 	 
 	|1111111111111111111111111111111 	 
 	|&hellip; 	 
 	|- align="center" 	 
 	!potenz 	 
 	|2<sup>2</sup>-1 	 
 	|2<sup>3</sup>-1 	 
 	|2<sup>5</sup>-1 	 
 	|2<sup>7</sup>-1 	 
 	|2<sup>13</sup>-1 	 
 	|2<sup>17</sup>-1 	 
 	|2<sup>19</sup>-1 	 
 	|2<sup>31</sup>-1 	 
 	|&hellip;
 	|- align="center" 	 
 	!dezimal 	 
 	|3 	 
 	|7 	 
 	|31 	 
 	|127 	 
 	|8191	 
 	|131071 	 
 	|524287 	 
 	|2147483647 	 
 	|&hellip; 	 
 	|- 	 
        |colspan="9" align="center" style="background:#E9E9E9;"| ''Die wichtigste Eigenschaft einer Mersenne-Primzahl: „Die Anzahl der Binärziffern muss eine Primzahl sein.“
 |}
''Die Mersennezahl <math>M_n</math> ist eine Binärzahl, die gerade aus <math>n</math> Einsen besteht ([[Zahlenpalindrom]]). Bei Mersenne-Primzahlen ([[Primzahlpalindrom]]) ist also die Anzahl der Einsen selbst eine Primzahl. Dies ist eine notwendige aber nicht hinreichende Voraussetzung!''

=== Teilbarkeit von Repunits ===
[[Repunit]]s sind Zahlen, die nur mit der Ziffer Eins geschrieben werden. Jede Repunit deren Ziffernanzahl keine Primzahl ist, ist durch jede Repunit teilbar die soviel Ziffern enthält wie ein Teiler der Ziffernanzahl des Dividenden.
Beispiel:
Die Zahl 111111111111 ist eine Repunit und enthält 12 Ziffern. 12 ist teilbar durch 2, 3, 4 und durch 6, deswegen ist die Zahl teilbar durch die Repunits 11, 111, 1111 und auch durch 111111. Das Ergebnis einer solchen Division ist immer eine Palindromzahl, die nur aus den Ziffern Eins und Null besteht. Das Ergebnis sieht in jedem polyadischen Zahlensystem gleich aus, obwohl diese Zahlen ganz unterschiedliche Werte darstellen.


Repunit <sub>Basis</sub> durch Teilerrepunit <sub>Basis</sub>:
{| class="prettytable" style="text-align:center;"
|- style="text-align:center;"
|- style="text-align:center;"
|- style="text-align:center;"
! width="25%" | Repunit<sub><small>Basis</small></sub>
! width="25%" | Teilerrepunit<sub><small>Basis</small></sub>
! width="25%" | Quotient<sub><small>Basis</small></sub>
! width="25%" | Quotient<sub><small>dezimal</small></sub>
|-
|  '''111111111111'''<sub>2</sub>||  '''11'''<sub>2</sub>||'''10101010101'''<sub>2</sub>||  '''1365'''<sub>dezimal</sub>
|-
|  '''111111111111'''<sub>2</sub>||  '''111'''<sub>2</sub>||'''1001001001'''<sub>2</sub>||  '''585'''<sub>dezimal</sub>
|-
|  '''111111111111'''<sub>2</sub>||  '''1111'''<sub>2</sub>||'''100010001'''<sub>2</sub>||  '''273'''<sub>dezimal</sub>
|-
|  '''111111111111'''<sub>2</sub>||  '''111111'''<sub>2</sub>||'''1000001'''<sub>2</sub>||  '''65'''<sub>dezimal</sub>
|-
|}

Verallgemeinerung:<br>
Repunit <sub>b</sub> durch Teilerrepunit <sub>b</sub><br>
Wobei b Element der Ganzen Zahlen >1:
{| class="prettytable" style="text-align:center;"
|- style="text-align:center;"
|- style="text-align:center;"
|- style="text-align:center;"
! width="25%" | Repunit<sub><small>b</small></sub>
! width="25%" | Teilerrepunit<sub><small>b</small></sub>
! width="25%" | Quotient<sub><small>b</small></sub>
|-
|  '''11 11 11 11 11 11'''<sub>b</sub>||  '''11'''<sub>b</sub>||'''1 01 01 01 01 01'''<sub>b</sub>
|-
|  '''111 111 111 111'''<sub>b</sub>||  '''111'''<sub>b</sub>||'''1 001 001 001'''<sub>b</sub>
|-
|  '''1111 1111 1111'''<sub>b</sub>||  '''1111'''<sub>b</sub>||'''1 0001 0001'''<sub>b</sub>
|-
|  '''111111 111111'''<sub>b</sub>||  '''111111'''<sub>b</sub>||'''1 000001'''<sub>b</sub>
|-
|}
Fazit:<br>
Jede als Repunit darstellbare Zahl ist teilbar (keine Primzahl), wenn die Anzahl ihrer Ziffern teilbar ist!

== Repunits ==
''Repunits sind eine Teilmenge der [[Repdigit]]s. Unter den Repdigits können nur bei den Repunits Primzahlen sein.''

''Die ersten Zahlen dieser Art, die aus diesem Grund <u>keine</u> Primzahlen sein können sind:''
#15 (1111 Basis 2)
#40 (1111 Basis 3)
#63 (111111 Basis 2)
#85 (1111 Basis 4)
#156 (1111 Basis 5)
#255 (11111111 Basis 2)
#259 (1111 Basis 6)
#364 (111111 Basis 3)
#400 (1111 Basis 7)
#511 (111111111 Basis 2)
...

''Umgekehrt ist jede Primzahl p>2 in dem Stellenwertsystem mit der Basis p-1 eine 2-stellige Repunit. Besonders interessant sind aber die Repunits mit mehr als 2 Stellen die Primzahlen sind. In der Folge [[OEIS:A085104|A085104]] in [[OEIS]] sind diese Art Primzahlen aufgeführt.''

=== Pythonprogramm ''Lucas-Lehmer-Test'' ===

Mit dem [[Lucas-Lehmer-Test]] läßt sich sehr schnell prüfen ob eine Mersennezahl auch eine Mersenne-Primzahl ist. Mit dem hier gezeigten [[Python (Programmiersprache)|Pythonprogramm]] können Mersennezahlen überprüft werden, wobei die Berechnungen bis zur 20ten Mersenne-Primzahl jeweils nur wenige Sekunden dauern. (Download: [[Benutzer:Zumthie/Mathematisches#Downloads|''Portable Python 2.6.1'']]) 

<syntaxhighlight lang="python">
#!/Lucas-Lehmer-Test für Python 2.6.1
print 'Lucas-Lehmer-Test (Mersenne-Zahlen)'
p = int(raw_input ('Exponent p  von 2^p-1'))
m=2**p-1
print 'm = 2 ^',p,'- 1 =',m
s=4
for i in range (2,p):
    s=(s*s-2)%m
print 'ist',
if s==0:
    print 'eine',
else:
    print 'keine',
print 'Mersenne-Primzahl'
</syntaxhighlight>

=== Exponenten p ''(2<sup>p</sup>-1)'' der ersten 20 Mersenne-Primzahlen ===
#2
#3
#5
#7
#13
#17
#19
#31
#61
#89
#107
#127
#521
#607
#1279
#2203
#2281
#3217
#4253
#4423


=== Repunits<sup>2</sup>, besondere Palindromzahlen ===
Quadrate der Repunits mit b-1 Ziffern in der Basis b ergeben unvollständige Palindromzahlen der Form 123..(b-1)..321 in der entsprechenden Basis b.

Beispiel:
11111<sup>2</sup><sub>(6)</sub>=123454321<sub>(6)</sub>=1555<sup>2</sup><sub>(10)</sub>=2418025<sub>(10)</sub>

Die dezimalen Werte dieser Repunits sind in der Folge [[OEIS:A060072|A060072]] in [[OEIS]] aufgeführt.

=== Basis 2 Repunits<sup>2</sup> (Mersennezahlen<sup>2</sup>) ===
(2<sup>n</sup>-1)<sup>2</sup> = 2<sup>(n+1)</sup>(2<sup>(n-1)</sup>-1)+1

=== Repunits und Palindrome in Dreieckszahlen ===
Unter den [[Dreieckszahl]]en sind besondere [[Dreieckszahl#Zahlenpalindrome unter den Dreieckszahlen|Palindromzahlen]] aufgeführt. Die n-ten Dreieckszahlen bei denen n Repunits mit einer geraden Anzahl von Stellen (vollständige Palindromzahlen) sind, scheinen vollständige palindromische Dreieckszahlen zu [[Index (Mathematik)|indizieren]] die eine auffällige Ziffernfolge aufweisen. Tatsächlich lassen sich n-te palindromische Dreieckszahlen in [[Stellenwertsystem]]en mit gerader Basis > 2 konstruieren.  

({{OEIS|A000217}}) und [http://www.research.att.com/~njas/sequences/b000217.txt Liste der Dreieckszahlen]

Repunit 11<sub>Basis</sub> n-te palindromische Dreieckszahl<sub>Basis</sub>:
{| class="prettytable" style="text-align:center;"
|- style="text-align:center;"
|- style="text-align:center;"
|- style="text-align:center;"
! width="25%" | n<sub><small>Basis</small></sub>
! width="25%" | Dreieckszahl<sub><small>Basis</small></sub>
! width="25%" | n<sub><small>dezimal</small></sub>
! width="25%" | Dreieckszahl<sub><small>dezimal</small></sub>
|-
|  '''11'''<sub>4</sub>||  '''33'''<sub>4</sub>||'''5'''<sub>dezimal</sub>||  '''15'''<sub>dezimal</sub>
|-
|  '''11'''<sub>6</sub>||  '''44'''<sub>6</sub>||'''7'''<sub>dezimal</sub>||  '''28'''<sub>dezimal</sub>
|-
|  '''11'''<sub>8</sub>||  '''55'''<sub>8</sub>||'''9'''<sub>dezimal</sub>||  '''45'''<sub>dezimal</sub>
|-
|  '''11'''<sub>10</sub>||  '''66'''<sub>10</sub>||'''11'''<sub>dezimal</sub>||  '''66'''<sub>dezimal</sub>
|-
|  '''11'''<sub>12</sub>||  '''77'''<sub>12</sub>||'''13'''<sub>dezimal</sub>||  '''91'''<sub>dezimal</sub>
|-
|  '''11'''<sub>14</sub>||  '''88'''<sub>14</sub>||'''15'''<sub>dezimal</sub>||  '''120'''<sub>dezimal</sub>
|-
| '''...''' || '''...'''||'''...''' || '''...'''
|}
*<small>(Siehe hierzu auch: [[OEIS:A000384|A000384]])</small>

Repunit 1111<sub>Basis</sub> n-te palindromische Dreieckszahl<sub>Basis</sub>:
{| class="prettytable" style="text-align:center;"
|- style="text-align:center;"
|- style="text-align:center;"
|- style="text-align:center;"
! width="25%" | n<sub><small>Basis</small></sub>
! width="25%" | Dreieckszahl<sub><small>Basis</small></sub>
! width="25%" | n<sub><small>dezimal</small></sub>
! width="25%" | Dreieckszahl<sub><small>dezimal</small></sub>
|-
|  '''1111'''<sub>4</sub>||  '''-'''||'''85'''<sub>dezimal</sub>||  '''-'''
|-
|  '''1111'''<sub>6</sub>||  '''415514'''<sub>6</sub>||'''259'''<sub>dezimal</sub>||  '''33670'''<sub>dezimal</sub>
|-
|  '''1111'''<sub>8</sub>||  '''516615'''<sub>8</sub>||'''585'''<sub>dezimal</sub>||  '''171405'''<sub>dezimal</sub>
|-
|  '''1111'''<sub>10</sub>||  '''617716'''<sub>10</sub>||'''1111'''<sub>dezimal</sub>||  '''617716'''<sub>dezimal</sub>
|-
|  '''1111'''<sub>12</sub>||  '''718817'''<sub>12</sub>||'''1885'''<sub>dezimal</sub>||  '''1777555'''<sub>dezimal</sub>
|-
|  '''1111'''<sub>14</sub>||  '''819918'''<sub>14</sub>||'''2955'''<sub>dezimal</sub>||  '''4367490'''<sub>dezimal</sub>
|-
| '''...''' || '''...'''||'''...''' || '''...'''
|}

Repunit 111111<sub>Basis</sub> n-te palindromische Dreieckszahl<sub>Basis</sub>:
{| class="prettytable" style="text-align:center;"
|- style="text-align:center;"
|- style="text-align:center;"
|- style="text-align:center;"
! width="25%" | n<sub><small>Basis</small></sub>
! width="25%" | Dreieckszahl<sub><small>Basis</small></sub>
! width="25%" | n<sub><small>dezimal</small></sub>
! width="25%" | Dreieckszahl<sub><small>dezimal</small></sub>
|-
|  '''111111'''<sub>4</sub>||  '''-'''||'''1365'''<sub>dezimal</sub>||  '''-'''
|-
|  '''111111'''<sub>6</sub>||  '''-'''||'''9331'''<sub>dezimal</sub>||  '''-'''
|-
|  '''111111'''<sub>8</sub>||  '''5162772615'''<sub>8</sub>||'''37449'''<sub>dezimal</sub>||  '''701232525'''<sub>dezimal</sub>
|-
|  '''111111'''<sub>10</sub>||  '''6172882716'''<sub>10</sub>||'''111111'''<sub>dezimal</sub>||  '''6172882716'''<sub>dezimal</sub>
|-
|  '''111111'''<sub>12</sub>||  '''7182992817'''<sub>12</sub>||'''271453'''<sub>dezimal</sub>||  '''36843501331'''<sub>dezimal</sub>
|-
|  '''111111'''<sub>14</sub>||  '''8192AA2918'''<sub>14</sub>||'''579195'''<sub>dezimal</sub>||  '''167733713610'''<sub>dezimal</sub>
|-
| '''...''' || '''...'''||'''...''' || '''...'''
|}

Je größer die Basis eines Stellenwertsystems gewählt wird, desto mehr palindromische Dreieckszahlen lassen sich konstruieren!


Die größten [[Hexadezimalsystem|hexadezimalen]] palindromischen Dreieckszahlen dieser Art sind:

Repunit<sub>Basis</sub> n-te palindromische Dreieckszahl<sub>Basis</sub>:
{| class="prettytable" style="text-align:center;"
|- style="text-align:center;"
|- style="text-align:center;"
|- style="text-align:center;"
! width="25%" | n<sub><small>Basis</small></sub>
! width="25%" | Dreieckszahl<sub><small>Basis</small></sub>
! width="25%" | n<sub><small>dezimal</small></sub>
! width="25%" | Dreieckszahl<sub><small>dezimal</small></sub>
|-
|  '''111111111111'''<sub>hex</sub>||  '''91A2B3C4D5EE5D4C3B2A19<sub>hex</sub>'''||'''18764998447377'''<sub>dezimal</sub>||  '''176062583365039992818313753'''<sub>dezimal</sub>
|-
|  '''11111111111111'''<sub>hex</sub>||  '''91A2B3C4D5E6FF6E5D4C3B2A19<sub>hex</sub>'''||'''4803839602528529'''<sub>dezimal</sub>||  '''11538437463410730145064930716185'''<sub>dezimal</sub>
|}

====Algorithmus====
[[Algorithmus|Bildungsalgorithmus]] für die größte palindromische Dreieckszahl in einem Stellenwertsystem mit einer [[Parität (Mathematik)|geradezahligen]] Basis > 2.

#Die n-te Dreieckszahl wird bestimmt durch eine Repunit zur ausgewählten Basis b mit b-2 Ziffern (Stellen).
#Die Anzahl der Ziffern der palindromischen Dreieckszahl ist (b-3)*2, die erste Hälfte der Palindromzahl hat somit b-3 Ziffern.
#Die erste Stelle der palindromischen Dreieckszahl erhält die Ziffer b/2+1.
#Die zweite Stelle der ersten Hälfte der Palindromzahl (sofern vorhanden) erhält die Ziffer 1.
#Die weiteren Stellen der ersten Hälfte der Palindromzahl (sofern vorhanden) erhalten die um 1 erhöhten Ziffern der vorvorherigen Stelle.
#Die zweite Hälfte der palindromischen Dreieckszahl wird dann durch Anhängen der gespiegelten Ziffernfolge gebildet.

==Mehr zu Dreieckszahlen==
Zu: [[Dreieckszahl#Eigenschaften|Alle Dreieckszahlen > 3 sich zusammengesetzte Zahlen]]
*Bei allen ([[Dreieckszahl]]en > 6) - 1  handelt es sich ebenfalls um [[zusammengesetzte Zahl]]en.

===Von Quadraten zu den Dreieckszahlen===
Wird eine ungerade Zahl <math>u</math> quadriert, dann 1 subtrahiert und der Differenzwert durch 8 dividiert, dann ergibt es immer eine Dreieckszahl <math>\Delta</math>.  
*<math>\Delta = (u^2-1)/8 = (u+1)*(u-1)/8</math>

== Pascalsches Dreieck und Palindromzahlen ==
Im [[Pascalsches Dreieck|Pascalschen Dreieck]] können die Zeilen als Palindromzahlen angesehen werden, wobei die einzelnen Zahlen dann als Symbole für die Ziffern in einem [[Stellenwertsystem|b-adischen Zahlensystem]] stehen. Die Quersumme dieser Ziffern in einer Zeile ergeben bekanntlich [[Potenz (Mathematik)|Zweierpotenzen]]. (Siehe auch: [[Binomialkoeffizient#Rechenregeln|Binomialkoeffizient]])

[[Python (Programmiersprache)|Pythonprogramm]] zur Berechnung von Zeilen des Pascalschen Dreiecks. 
(Download: [[Benutzer:Zumthie/Mathematisches#Downloads|''Portable Python 2.6.1'']])

Hier von Zeile 0 bis 50
<syntaxhighlight lang="python">
#!Pascalsches Dreieck (Zeilen 0 bis 50 als Palindromzahlen)
b=126410606437752+1 #! Basis b muss hinreichend gross sein
                    #! mindestens gr?sste "Ziffer" + 1
for p in range (0,51):
    c=(b+1)**p      #! entspricht: c=(b+1)^p
    print""
    while c>0:
        print c%b,  #! entspricht: print c-c//b*b oder (print c mod b)
        c=c//b      #! entspricht: c=int(c/b) oder c=c\b
</syntaxhighlight>

== Repunits, Euler-Dreieck, Fakultäten ==


                                                 0
                                              1     0    
                                           2     1     0
                                        3     4     2     0
                                     4    11    14     6     0
                                  5    26    64    66    24     0
                               6    57    244   456   384   120    0
                            7    120   846  2556  3744  2640   720    0
                         8    247  2778  12762 28944 34560 20880 5040    0
Folge [[OEIS:A107893|A107893]] in [[OEIS]]

* Zweitletzte Spalte von links oben nach rechts unten '''n!''' ([[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]])
* Zweite Spalte von rechts oben nach links unten '''2<sup>n</sup>-n-1''' ([[Euler-Dreieck#Euler-Dreieck|Euler-Dreieck]]) [[oeis:A000295]] und [[oeis:A125128]]
* Drittletzte Spalte von links oben nach rechts unten '''(n(n+1)/2+1)(n-1)!'''
* Viertletzte Spalte von links oben nach rechts unten '''[[oeis:A144335]](n-2)!'''

Für die Zeilen gilt z.B.:
  4 | 4+11=15 |15+25=40 |40+45=85 |...
 11 |11+14=25 |25+20=45 |45+26=71 |...
 14 |14+ 6=20 |20+ 6=26 |26+ 6=32 |...
  6 | 6+ 0= 6 | 6+ 0= 6 | 6+ 0= 6 |...
  0 

Repunits zur <sub>Basis</sub>
 4=1111<sub>1</sub> |15=1111<sub>2</sub> |40=1111<sub>3</sub> |85=1111<sub>4</sub> |...

=== Zweites Dreieck, Mersenne-Zahlen, Stirling-Zahlen, Fakultäten ===

                                                 0
                                              1     0    
                                           3     1     0
                                        7     6     2     0
                                    15    25    20     6     0
                                 31    90    130   90    24     0
                              63    301   700   840   504   120    0
                           127   966  3402  6300  6384  3360   720    0
                        255  3025  15540 41706 63504 55440 25920 5040    0

* Zweitletzte Spalte von links oben nach rechts unten '''n!'''
* Erste Spalte von rechts oben nach links unten '''2<sup>n</sup>-1''' ([[Mersenne-Zahl]]en)
* Zweite Spalte von rechts oben nach links unten '''2<sup>n</sup>-n-1''' ([[Stirling-Zahl#Stirling-Zahlen_zweiter_Art|Stirling-Zahlen der zweiten Art]]) [[oeis:A000392]]

== Vollkommene Zahlen ==
 	{| class="prettytable"  	 
 	|colspan="9" align="center" style="background:#E9E9E9;"| ''Eine Zahl ist eine [[Vollkommene Zahl]], wenn sie genauso groß ist wie die Summe ihrer positiven echten Teiler. Aus den Mersenne-Primzahlen lassen sich alle bekannten Vollkommenen Zahlen konstruieren. Die Verwandschaft läßt sich besonders leicht in der Binärdarstellung erkennen.'' 	 
 	|- align="center" 	 
 	!binär 	 
 	|110 	 
 	|11100 	 
 	|111110000 	 
 	|1111111000000 	 
 	|1111111111111000000000000 	 
 	|111111111111111110000000000000000 	 
 	|1111111111111111111000000000000000000 	 
 	|&hellip; 	 
 	|- align="center" 	 
 	!potenz 	 
 	|(2<sup>2</sup>-1)2<sup>1</sup> 	 
 	|(2<sup>3</sup>-1)2<sup>2</sup> 	 
 	|(2<sup>5</sup>-1)2<sup>4</sup> 	 
 	|(2<sup>7</sup>-1)2<sup>6</sup> 	 
 	|(2<sup>13</sup>-1)2<sup>12</sup> 	 
 	|(2<sup>17</sup>-1)2<sup>16</sup> 	 
 	|(2<sup>19</sup>-1)2<sup>18</sup> 	 
 	|&hellip;
 	|- align="center" 	 
 	!dezimal 	 
 	|6
 	|28
 	|496
 	|8128
 	|33550336
 	|8589869056
 	|137438691328
 	|&hellip; 	 
 	|- 	 
        |colspan="9" align="center" style="background:#E9E9E9;"| ''Der binäre Darstellung einer Vollkomenen Zahl besteht aus der Mersenne-Primzahl, gefolgt von Ziffern „0“ mit einer um eine Stelle verringerten Anzahl.'' 	 
 |}
''Die Vollkommenen Zahlen gehören zu den „Freiwilligen Palindromzahlen“, denn in der Binärschreibweise kann die erforderliche Anzahl der Ziffern „0“ vor der Zahl ergänzt werden, ohne dass sich der Wert der Zahl verändert.

Beispiel: 11100 = 0011100 = Freiwillige Palindromzahl''

Formel:
*<math>(2^n-1)2^{n-1}</math> alternativ <math>2(2^{n-1})^2-2^{n-1}</math>

=== Vollkommene Zahlen (1. - 20.)===
Die ersten 20 Vollkommenen Zahlen, die nach der oben angegebenen Formel mit den Mersenne-Primzahlen gebildet wurden, lauten:
#6
#28
#496
#8128
#33550336
#8589869056
#137438691328
#2305843008139952128
#2658455991569831744654692615953842176
#191561942608236107294793378084303638130997321548169216
#13164036458569648337239753460458722910223472318386943117783728128
#14474011154664524427946373126085988481573677491474835889066354349131199152128
#23562723457267347065789548996709904988477547858392600710143027597506337283178622239730365539602600561360255566462503270175052892578043215543382498428777152427010394496918664028644534128033831439790236838624033171435922356643219703101720713163527487298747400647801939587165936401087419375649057918549492160555646976
#141053783706712069063207958086063189881486743514715667838838675999954867742652380114104193329037690251561950568709829327164087724366370087116731268159313652487450652439805877296207297446723295166658228846926807786652870188920867879451478364569313922060370695064736073572378695176473055266826253284886383715072974324463835300053138429460296575143368065570759537328128
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#40767271711094423266286789500920409509472451956754173657558947684464681715260993357605734441071512726995067528227747339481802307406017975918463751821848507118336173625166416441051751909733833921511752076653991689253045435925355114303300112240094312492366309429025181937703076074631694330891971804062290637324463063370007444165676699382865548574698013900725344417715580901794517787294713626725247616431165717354475083506329812661542345174259067891050196093969424325393268526237129649381671501429508518532700654319135658688537822432173525578067619513381189044904675194018182193349875318307576479629202619084300084497552929130566459016664436323063518973396208264181441158994259766077215199598273505770807393645474832736784296681037040447804670653738245607704296033370069548245058222346937754342008266115596746009270472531585662215058309416971412450120373149200391305139626391147758497714062124945414219545021663761325651848979096956363445054874071200187004098334242171313866643279783121709224161095222080608666106221075196556669546036212033916214620015754946773858930331944632744676736422424630471770419404321630175578272380575860947613876452571102541656491464344575071152521057073596731123384560986412117728286743021819378916115542964437048959026512685144124956065485652281953670546881779736097894174076453897164963235414848542178185638376039787558515854327876892100291586150169593481653250617283841617035992495539326209286081463451168016943400175227907739209129141984002670216279803245614932227988255785347373220924269748847852670574748163344676257876208108900678912830541369572996543783984620215364954353893838464888672671453393130927672103268849597298792373028395452767031129100333696063046099180328138782391367566104347713165495897021159454503241952055937183814515589264894586591501363147676413662843302502175075791426238440513015405476007476498747783201892106205584698383524005031036187539925202274453467202350823213372999023061199920256689198899908817944610695281886646630824678765305845231339408011870948795735488385897157930791657525540518959449984465130248721166519809265271872913736358591494923276213116461018047328995621925367809697847697726183327599265650527446129800629718921404375627930737500435684546352140119118622625161732119556975036023320412126344181833754571377867747583783758174317957011000027824913530257131124993626863404596480086028834672069335493603141485087204213357254720762673897857837928958409382883536405344396217119883289266162616394049286804626796372654015917535645430198053751867174961912991147525380624081763689015391680510756697550659469557112900507657356152843089480485079285160832736274980123243426924630558985552020642912534528

== Länge der Sehne (Kreis) mit dem Pythagoras ==
[[Bild:Sehne-P.png|right|250px]]
Die Länge der [[Sehne (Mathematik)|Sehne]] in einem [[Kreis (Geometrie)|Kreis]] läßt sich berechnen, wenn der [[Radius]] des Kreises und der Abstand der Sehne vom Mittelpunkt des Kreises bekannt ist. Der Abstand a und die halbe Sehne x bilden immer die [[Kathete]]n eines rechtwinkligen [[Dreieck]]s. Der Radius r entspricht immer der [[Hypotenuse]]. Mit dem [[Satz des Pythagoras]] läßt sich leicht die Länge der Sehne s ermitteln.

Pythagoras:
:<math>r^2 = a^2 + x^2</math>
Formel nach x umgestellt:
:<math>x = \sqrt{r^2 - a^2}</math>
Sehne gleich 2x:
:<math>s = 2*x</math>

=== Annäherung an π mit dem Pythagoras ===
Es gibt viele Brechnungsmethoden für die [[Kreiszahl|Kreiszahl π]]. Eine läßt sich über die Berechnung von Kreissehnen verwirklichen. Wie oben gezeigt, läßt sich die halbe Länge einer Sehne mit dem Pythagoras direkt berechnen. Werden viele halbe Sehnen zwischen Mittelpunkt und Radius berechnet, dann nähert sich der Mittelwert π/4 an, wenn der Radius 1 gewählt wird.

== Besondere primitive pythagoreische Tripel ==
Siehe auch: [[Pythagoreisches Tripel]]

* Für jede ungerade Zahl >1 gilt, wenn sie als „a“ ([[Gegenkathete]]) eines rechtwinkligen Dreiecks genommen wird, dass sich immer ein pythagoreisches Zahlentripel bilden läßt.
* Die [[Ankathete]]   „b“ ist zu bilden mit (a^2-1)/2
* Die [[Hypotenuse]] „c“ ist zu bilden mit (a^2+1)/2
* Es gilt also: (natürlich) a^2+b^2=c^2 und b+c=a^2 und b=c-1 und c ist ungerade und b gerade


Nach diesen Regeln erhält man folgende primitive pythagoreische Tripel.
{| class="prettytable" style="text-align:right;"
|- style="text-align:center;"
! width="20%" | a
! width="20%" | b
! width="20%" | c
|-
|  '''3''' ||  '''4''' ||   '''5'''
|-
|  '''5''' || '''12''' ||  '''13'''
|-
|  '''7''' || '''24''' ||  '''25'''
|-
|  '''9''' || '''40''' ||  '''41'''
|-
| '''11''' || '''60''' ||  '''61'''
|-
| '''13''' || '''84''' ||  '''85'''
|-
| '''...''' || '''...''' ||  '''...'''
|}

=== Tripel mit zwei Primzahlen ===
Pythagoreische Tripel mit zwei [[Primzahl]]en haben immer die oben beschriebene Form. Wobei die Seiten a und c die Primzahlen sind.

Die Tabelle dieser Tripel beginnt dann wie folgt:
{| class="prettytable" style="text-align:right;"
|- style="text-align:center;"
! width="20%" | a<sub>prime</sub>
! width="20%" | b
! width="20%" | c<sub>prime</sub>
|-
|  '''3''' ||  '''4''' ||   '''5'''
|-
|  '''5''' || '''12''' ||  '''13'''
|-
| '''11''' || '''60''' ||  '''61'''
|-
| '''19''' ||'''180''' || '''181'''
|-
| '''29''' ||'''420''' || '''421'''
|-
| '''59''' ||'''1740''' ||'''1741'''
|-
| '''...''' || '''...''' ||  '''...'''
|}
Für a, {{OEIS|A048161}}

==== Primzahl = a+b ====
Wenn zusätzlich die Bedingung gestellt wird, dass a+b ebenfalls eine Primzahl sein soll, dann sieht die Tabelle so aus:
{| class="prettytable" style="text-align:right;"
|- style="text-align:center;"
! width="20%" | a<sub>prime</sub>
! width="20%" | b
! width="20%" | c<sub>prime</sub>
! width="20%" | a+b<sub>(prime)</sub>
|-
|  '''3''' ||  '''4''' ||   '''5'''  ||   '''7'''
|-
|  '''5''' || '''12''' ||  '''13'''  ||  '''17'''
|-
| '''11''' || '''60''' ||  '''61'''  ||  '''71'''
|-
| '''19''' ||'''180''' || '''181'''  || '''199'''
|-
| '''29''' ||'''420''' || '''421'''  || '''449'''
|-
| '''71''' ||'''2520''' ||'''2521'''  ||'''2591'''
|-
| '''...''' || '''...''' ||  '''...''' ||'''...'''
|}

==== Primzahl = a+b+ größter Primfaktor (b) ====
Wenn die Summe der größten [[Primfaktor]]en der Seiten (a+c+b)<sub>>prime</sub> eine Primzahl ist, dann ergibt sich folgende Tabelle:
{| class="prettytable" style="text-align:right;"
|- style="text-align:center;"
! width="20%" | a<sub>prime</sub>
! width="20%" | b
! width="20%" | c<sub>prime</sub>
! width="20%" | b<sub>>prime factor</sub>
! width="20%" | a+c+b<sub>>prime factor<sub>(prime)</sub></sub>
|-
|  '''29''' ||  '''420''' ||   '''421'''  ||   '''7'''  ||'''457'''
|-
|  '''199''' || '''19800''' ||  '''19801'''  ||  '''11''' || '''20011'''
|-
| '''1091''' || '''595140''' ||  '''595141'''  ||  '''109'''  ||'''596341'''
|-
| '''2711''' ||'''3674760''' || '''3674761'''  || '''271'''   ||'''3677743'''
|-
| '''3491''' ||'''6093540''' || '''6093541'''  || '''349'''   ||'''6097381'''
|-
| '''4691''' ||'''11002740''' ||'''11002741'''  ||'''67'''   ||'''11007499'''
|-
| '''...''' || '''...''' ||  '''...''' ||'''...'''  ||'''...'''
|}

Auffällig ist hier, dass viele größte Primfaktoren von b in einem besonderen Verhältnis zu a stehen. Es gibt häufig die Konstellation (a-1)/10 = b<sub>>prime factor</sub>

== Perfekte und Fast Perfekte Primzahlen (rechtsstutzbare Primzahlen)==

Seite hierzu: [[Truncatable prime]]

Weitere Seiten:[[Benutzer:Madbros/Perfekte Primzahl|Madbros/Perfekte Primzahl]] und [[Benutzer:Thogo/Fast perfekte Primzahl|Thogo/Fast Perfekte Primzahl]]
*Primzahlen sollen dann Perfekte Primzahlen heißen, wenn sie durch das wiederholte Anhängen einer Ziffer an eine Primzahl entstanden sind und das Anhängen jeder weiteren beliebigen Ziffer keine Primzahl mehr ergibt.
*Primzahlen sollen dann Fast Perfekte Primzahlen heißen, wenn sie eine einstellige Primzahl sind oder durch das wiederholte Anhängen einer Ziffer an eine Primzahl entstanden sind. Die Perfekten Primzahlen sind somit eine Teilmenge der Fast Perfekten Primzahlen.

Die Fast Perfekten Primzahlen und die Perfekten Primzahlen sind abhängug vom verwendeten Stellenwertsystem. So gibt es im Binärsystem  keine Fast Perfekten Primzahlen (und damit auch keine Perfekten Primzahlen) weil weder 0 noch 1 Primzahlen sind.

=== Basis<sub> 3 </sub> mit 4 Fast Perfekten Primzahlen ===
*<small>(Siehe hierzu auch: [[OEIS:A129669|A129669]])</small>
(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)
{| class="prettytable" style="text-align:right;"
|- " style="text-align:center;"
! width "20%" | n
! width "40%" | Basis<sub> 3 </sub>
! width "40%" | Dezimal
|-
| 1.||2|| 2 
|-
| 2.||21|| 7 
|-
| 3.||212|| 23 
|-
| 4.||'''2122'''|| 71 
|}

==== Es gibt eine Perfekte Primzahl zur Basis<sub> 3 </sub> ====
{| class="prettytable" style="text-align:right;"
|- " style="text-align:center;"
! width "20%" | n
! width "40%" | Basis<sub> 3 </sub>
! width "40%" | Dezimal
|-
| 1.||'''2122'''|| 71 
|}

=== Basis<sub> 4 </sub> mit 7 Fast Perfekten Primzahlen ===
*<small>(Siehe hierzu auch: [[OEIS:A129670|A129670]])</small>
(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)
{| class="prettytable" style="text-align:right;"
|- " style="text-align:center;"
! width "20%" | n
! width "40%" | Basis<sub> 4 </sub>
! width "40%" | Dezimal
|-
| 1.||2|| 2 
|-
| 2.||3|| 3 
|-
| 3.||23|| 11 
|-
| 4.||31|| 13 
|-
| 5.||233|| 47 
|-
| 6.||'''311'''|| 53 
|-
| 7.||'''2333'''|| 191 
|}

==== Es gibt 2 Perfekte Primzahlen zur Basis<sub> 4 </sub> ====
{| class="prettytable" style="text-align:right;"
|- " style="text-align:center;"
! width "20%" | n
! width "40%" | Basis<sub> 4 </sub>
! width "40%" | Dezimal
|-
| 1.||'''311'''|| 53 
|-
| 2.||'''2333'''|| 191 
|}

=== Basis<sub> 5 </sub> mit 14 Fast Perfekten Primzahlen ===
(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)
{| class="prettytable" style="text-align:right;"
|- " style="text-align:center;"
! width "20%" | n
! width "40%" | Basis<sub> 5 </sub>
! width "40%" | Dezimal
|-
| 1.||2|| 2 
|-
| 2.||3|| 3 
|-
| 3.||21|| 11 
|-
| 4.||23|| 13 
|-
| 5.||32|| 17 
|-
| 6.||34|| 19 
|-
| 7.||'''214'''|| 59 
|-
| 8.||232|| 67 
|-
| 9.||324|| 89 
|-
| 10.||342|| 97 
|-
| 11.||'''2322'''|| 337 
|-
| 12.||'''3244'''|| 449 
|-
| 13.||3422|| 487 
|-
| 14.||'''34222'''|| 2437 
|}

==== Es gibt 4 Perfekte Primzahlen zur Basis<sub> 5 </sub> ====
{| class="prettytable" style="text-align:right;"
|- " style="text-align:center;"
! width "20%" | n
! width "40%" | Basis<sub> 5 </sub>
! width "40%" | Dezimal
|-
| 1.||'''214'''|| 59 
|-
| 2.||'''2322'''|| 337 
|-
| 3.||'''3244'''|| 449 
|-
| 4.||'''34222'''|| 2437 
|}

=== Basis<sub> 6 </sub> mit 36 Fast Perfekten Primzahlen ===
*<small>(Siehe hierzu auch: [[OEIS:A129672|A129672]])</small>
(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)
{| class="prettytable" style="text-align:right;"
|- " style="text-align:center;"
! width "20%" | n
! width "40%" | Basis<sub> 6 </sub>
! width "40%" | Dezimal
|-
| 1.||2|| 2 
|-
| 2.||3|| 3 
|-
| 3.||5|| 5 
|-
| 4.||21|| 13 
|-
| 5.||25|| 17 
|-
| 6.||'''31'''|| 19 
|-
| 7.||35|| 23 
|-
| 8.||51|| 31 
|-
| 9.||211|| 79 
|-
| 10.||215|| 83 
|-
| 11.||251|| 103 
|-
| 12.||255|| 107 
|-
| 13.||351|| 139 
|-
| 14.||515|| 191 
|-
| 15.||2115|| 479 
|-
| 16.||2151|| 499 
|-
| 17.||2155|| 503 
|-
| 18.||2511|| 619 
|-
| 19.||2551|| 643 
|-
| 20.||'''2555'''|| 647 
|-
| 21.||3515|| 839 
|-
| 22.||5155|| 1151 
|-
| 23.||'''21155'''|| 2879 
|-
| 24.||'''21515'''|| 2999 
|-
| 25.||21551|| 3019 
|-
| 26.||21555|| 3023 
|-
| 27.||'''25115'''|| 3719 
|-
| 28.||'''25515'''|| 3863 
|-
| 29.||'''35155'''|| 5039 
|-
| 30.||51551|| 6907 
|-
| 31.||51555|| 6911 
|-
| 32.||'''215515'''|| 18119 
|-
| 33.||215555|| 18143 
|-
| 34.||'''515511'''|| 41443 
|-
| 35.||'''515551'''|| 41467 
|-
| 36.||'''2155555'''|| 108863 
|}

==== Es gibt 11 Perfekte Primzahlen zur Basis<sub> 6 </sub> ====
{| class="prettytable" style="text-align:right;"
|- " style="text-align:center;"
! width "20%" | n
! width "40%" | Basis<sub> 6 </sub>
! width "40%" | Dezimal
|-
| 1.||'''31'''|| 19 
|-
| 2.||'''2555'''|| 647 
|-
| 3.||'''21155'''|| 2879 
|-
| 4.||'''21515'''|| 2999 
|-
| 5.||'''25115'''|| 3719 
|-
| 6.||'''25515'''|| 3863 
|-
| 7.||'''35155'''|| 5039 
|-
| 8.||'''215515'''|| 18119 
|-
| 9.||'''515511'''|| 41443 
|-
| 10.||'''515551'''|| 41467 
|-
| 11.||'''2155555'''|| 108863 
|}

=== Basis<sub> 7 </sub> mit 19 Fast Perfekten Primzahlen ===
*<small>(Siehe hierzu auch: [[OEIS:A129673|A129673]])</small>
(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)
{| class="prettytable" style="text-align:right;"
|- " style="text-align:center;"
! width "20%" | n
! width "40%" | Basis<sub> 7 </sub>
! width "40%" | Dezimal
|-
| 1.||2|| 2 
|-
| 2.||3|| 3 
|-
| 3.||5|| 5 
|-
| 4.||'''23'''|| 17 
|-
| 5.||25|| 19 
|-
| 6.||32|| 23 
|-
| 7.||52|| 37 
|-
| 8.||56|| 41 
|-
| 9.||'''254'''|| 137 
|-
| 10.||256|| 139 
|-
| 11.||'''322'''|| 163 
|-
| 12.||326|| 167 
|-
| 13.||524|| 263 
|-
| 14.||566|| 293 
|-
| 15.||2564|| 977 
|-
| 16.||'''3262'''|| 1171 
|-
| 17.||'''5246'''|| 1847 
|-
| 18.||'''5662'''|| 2053 
|-
| 19.||'''25642'''|| 6841 
|}

==== Es gibt 7 Perfekte Primzahlen zur Basis<sub> 7 </sub> ====
{| class="prettytable" style="text-align:right;"
|- " style="text-align:center;"
! width "20%" | n
! width "40%" | Basis<sub> 7 </sub>
! width "40%" | Dezimal
|-
| 1.||'''23'''|| 17 
|-
| 2.||'''254'''|| 137 
|-
| 3.||'''322'''|| 163 
|-
| 4.||'''3262'''|| 1171 
|-
| 5.||'''5246'''|| 1847 
|-
| 6.||'''5662'''|| 2053 
|-
| 7.||'''25642'''|| 6841 
|}

=== Basis<sub> 8 </sub> mit 68 Fast Perfekten Primzahlen ===
*<small>(Siehe hierzu auch: [[OEIS:A129692|A129692]])</small>
(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)
{| class="prettytable" style="text-align:right;"
|- " style="text-align:center;"
! width "20%" | n
! width "40%" | Basis<sub> 8 </sub>
! width "40%" | Dezimal
|-
| 1.||2|| 2 
|-
| 2.||3|| 3 
|-
| 3.||5|| 5 
|-
| 4.||7|| 7 
|-
| 5.||21|| 17 
|-
| 6.||23|| 19 
|-
| 7.||27|| 23 
|-
| 8.||35|| 29 
|-
| 9.||37|| 31 
|-
| 10.||51|| 41 
|-
| 11.||53|| 43 
|-
| 12.||57|| 47 
|-
| 13.||73|| 59 
|-
| 14.||75|| 61 
|-
| 15.||211|| 137 
|-
| 16.||213|| 139 
|-
| 17.||235|| 157 
|-
| 18.||277|| 191 
|-
| 19.||351|| 233 
|-
| 20.||357|| 239 
|-
| 21.||373|| 251 
|-
| 22.||'''513'''|| 331 
|-
| 23.||533|| 347 
|-
| 24.||535|| 349 
|-
| 25.||573|| 379 
|-
| 26.||577|| 383 
|-
| 27.||737|| 479 
|-
| 28.||753|| 491 
|-
| 29.||2111|| 1097 
|-
| 30.||2117|| 1103 
|-
| 31.||2135|| 1117 
|-
| 32.||2353|| 1259 
|-
| 33.||2773|| 1531 
|-
| 34.||3513|| 1867 
|-
| 35.||3517|| 1871 
|-
| 36.||3571|| 1913 
|-
| 37.||3733|| 2011 
|-
| 38.||'''5331'''|| 2777 
|-
| 39.||5355|| 2797 
|-
| 40.||'''5735'''|| 3037 
|-
| 41.||'''5773'''|| 3067 
|-
| 42.||7371|| 3833 
|-
| 43.||'''7531'''|| 3929 
|-
| 44.||'''7533'''|| 3931 
|-
| 45.||21113|| 8779 
|-
| 46.||21117|| 8783 
|-
| 47.||'''21177'''|| 8831 
|-
| 48.||'''21355'''|| 8941 
|-
| 49.||'''23537'''|| 10079 
|-
| 50.||27733|| 12251 
|-
| 51.||'''27735'''|| 12253 
|-
| 52.||35133|| 14939 
|-
| 53.||35171|| 14969 
|-
| 54.||'''35713'''|| 15307 
|-
| 55.||'''37333'''|| 16091 
|-
| 56.||53555|| 22381 
|-
| 57.||'''73717'''|| 30671 
|-
| 58.||'''211135'''|| 70237 
|-
| 59.||211177|| 70271 
|-
| 60.||'''277331'''|| 98009 
|-
| 61.||'''277333'''|| 98011 
|-
| 62.||351331|| 119513 
|-
| 63.||'''351717'''|| 119759 
|-
| 64.||535553|| 179051 
|-
| 65.||2111771|| 562169 
|-
| 66.||'''3513313'''|| 956107 
|-
| 67.||'''5355533'''|| 1432411 
|-
| 68.||'''21117717'''|| 4497359 
|}

==== Es gibt 20 Perfekte Primzahlen zur Basis<sub> 8 </sub> ====
{| class="prettytable" style="text-align:right;"
|- " style="text-align:center;"
! width "20%" | n
! width "40%" | Basis<sub> 8 </sub>
! width "40%" | Dezimal
|-
| 1.||'''513'''|| 331 
|-
| 2.||'''5331'''|| 2777 
|-
| 3.||'''5735'''|| 3037 
|-
| 4.||'''5773'''|| 3067 
|-
| 5.||'''7531'''|| 3929 
|-
| 6.||'''7533'''|| 3931 
|-
| 7.||'''21177'''|| 8831 
|-
| 8.||'''21355'''|| 8941 
|-
| 9.||'''23537'''|| 10079 
|-
| 10.||'''27735'''|| 12253 
|-
| 11.||'''35713'''|| 15307 
|-
| 12.||'''37333'''|| 16091 
|-
| 13.||'''73717'''|| 30671 
|-
| 14.||'''211135'''|| 70237 
|-
| 15.||'''277331'''|| 98009 
|-
| 16.||'''277333'''|| 98011 
|-
| 17.||'''351717'''|| 119759 
|-
| 18.||'''3513313'''|| 956107 
|-
| 19.||'''5355533'''|| 1432411 
|-
| 20.||'''21117717'''|| 4497359 
|}

=== Basis<sub> 9 </sub> mit 68 Fast Perfekten Primzahlen ===
*<small>(Siehe hierzu auch: [[OEIS:A129693|A129693]])</small>
(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)
{| class="prettytable" style="text-align:right;"
|- " style="text-align:center;"
! width "20%" | n
! width "40%" | Basis<sub> 9 </sub>
! width "40%" | Dezimal
|-
| 1.||2|| 2 
|-
| 2.||3|| 3 
|-
| 3.||5|| 5 
|-
| 4.||7|| 7 
|-
| 5.||21|| 19 
|-
| 6.||25|| 23 
|-
| 7.||32|| 29 
|-
| 8.||34|| 31 
|-
| 9.||52|| 47 
|-
| 10.||58|| 53 
|-
| 11.||74|| 67 
|-
| 12.||78|| 71 
|-
| 13.||212|| 173 
|-
| 14.||218|| 179 
|-
| 15.||254|| 211 
|-
| 16.||322|| 263 
|-
| 17.||328|| 269 
|-
| 18.||342|| 281 
|-
| 19.||344|| 283 
|-
| 20.||528|| 431 
|-
| 21.||'''582'''|| 479 
|-
| 22.||744|| 607 
|-
| 23.||'''782'''|| 641 
|-
| 24.||784|| 643 
|-
| 25.||788|| 647 
|-
| 26.||2122|| 1559 
|-
| 27.||2182|| 1613 
|-
| 28.||'''2188'''|| 1619 
|-
| 29.||2542|| 1901 
|-
| 30.||2548|| 1907 
|-
| 31.||3224|| 2371 
|-
| 32.||'''3282'''|| 2423 
|-
| 33.||3422|| 2531 
|-
| 34.||3442|| 2549 
|-
| 35.||3444|| 2551 
|-
| 36.||'''5282'''|| 3881 
|-
| 37.||'''7448'''|| 5471 
|-
| 38.||7844|| 5791 
|-
| 39.||'''7884'''|| 5827 
|-
| 40.||'''21222'''|| 14033 
|-
| 41.||'''21822'''|| 14519 
|-
| 42.||25428|| 17117 
|-
| 43.||'''25484'''|| 17167 
|-
| 44.||'''32242'''|| 21341 
|-
| 45.||'''32248'''|| 21347 
|-
| 46.||'''34224'''|| 22783 
|-
| 47.||'''34228'''|| 22787 
|-
| 48.||34422|| 22943 
|-
| 49.||34442|| 22961 
|-
| 50.||'''34444'''|| 22963 
|-
| 51.||'''78442'''|| 52121 
|-
| 52.||'''78448'''|| 52127 
|-
| 53.||'''254284'''|| 154057 
|-
| 54.||254288|| 154061 
|-
| 55.||344222|| 206489 
|-
| 56.||344422|| 206651 
|-
| 57.||'''2542882'''|| 1386551 
|-
| 58.||2542888|| 1386557 
|-
| 59.||3442222|| 1858403 
|-
| 60.||3444224|| 1859863 
|-
| 61.||25428888|| 12479021 
|-
| 62.||'''34422222'''|| 16725629 
|-
| 63.||34442242|| 16738769 
|-
| 64.||254288882|| 112311191 
|-
| 65.||344422422|| 150648923 
|-
| 66.||'''2542888824'''|| 1010800723 
|-
| 67.||'''2542888828'''|| 1010800727 
|-
| 68.||'''3444224222'''|| 1355840309 
|}

==== Es gibt 23 Perfekte Primzahlen zur Basis<sub> 9 </sub> ====
{| class="prettytable" style="text-align:right;"
|- " style="text-align:center;"
! width "20%" | n
! width "40%" | Basis<sub> 9 </sub>
! width "40%" | Dezimal
|-
| 1.||'''582'''|| 479 
|-
| 2.||'''782'''|| 641 
|-
| 3.||'''2188'''|| 1619 
|-
| 4.||'''3282'''|| 2423 
|-
| 5.||'''5282'''|| 3881 
|-
| 6.||'''7448'''|| 5471 
|-
| 7.||'''7884'''|| 5827 
|-
| 8.||'''21222'''|| 14033 
|-
| 9.||'''21822'''|| 14519 
|-
| 10.||'''25484'''|| 17167 
|-
| 11.||'''32242'''|| 21341 
|-
| 12.||'''32248'''|| 21347 
|-
| 13.||'''34224'''|| 22783 
|-
| 14.||'''34228'''|| 22787 
|-
| 15.||'''34444'''|| 22963 
|-
| 16.||'''78442'''|| 52121 
|-
| 17.||'''78448'''|| 52127 
|-
| 18.||'''254284'''|| 154057 
|-
| 19.||'''2542882'''|| 1386551 
|-
| 20.||'''34422222'''|| 16725629 
|-
| 21.||'''2542888824'''|| 1010800723 
|-
| 22.||'''2542888828'''|| 1010800727 
|-
| 23.||'''3444224222'''|| 1355840309 
|}

=== Basis<sub> 10 </sub> mit 83 Fast Perfekten Primzahlen ===
*<small>(Siehe hierzu auch: [[OEIS:A024770|A024770]])</small>
(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)
{| class="prettytable" style="text-align:right;"
|- " style="text-align:center;"
! width "20%" | n
! width "40%" | Basis<sub> 10 </sub>
! width "40%" | Dezimal
|-
| 1.||2|| 2 
|-
| 2.||3|| 3 
|-
| 3.||5|| 5 
|-
| 4.||7|| 7 
|-
| 5.||23|| 23 
|-
| 6.||29|| 29 
|-
| 7.||31|| 31 
|-
| 8.||37|| 37 
|-
| 9.||'''53'''|| 53 
|-
| 10.||59|| 59 
|-
| 11.||71|| 71 
|-
| 12.||73|| 73 
|-
| 13.||79|| 79 
|-
| 14.||233|| 233 
|-
| 15.||239|| 239 
|-
| 16.||293|| 293 
|-
| 17.||311|| 311 
|-
| 18.||313|| 313 
|-
| 19.||'''317'''|| 317 
|-
| 20.||373|| 373 
|-
| 21.||379|| 379 
|-
| 22.||593|| 593 
|-
| 23.||'''599'''|| 599 
|-
| 24.||719|| 719 
|-
| 25.||733|| 733 
|-
| 26.||739|| 739 
|-
| 27.||'''797'''|| 797 
|-
| 28.||2333|| 2333 
|-
| 29.||2339|| 2339 
|-
| 30.||'''2393'''|| 2393 
|-
| 31.||2399|| 2399 
|-
| 32.||2939|| 2939 
|-
| 33.||3119|| 3119 
|-
| 34.||3137|| 3137 
|-
| 35.||3733|| 3733 
|-
| 36.||3739|| 3739 
|-
| 37.||'''3793'''|| 3793 
|-
| 38.||'''3797'''|| 3797 
|-
| 39.||5939|| 5939 
|-
| 40.||7193|| 7193 
|-
| 41.||'''7331'''|| 7331 
|-
| 42.||7333|| 7333 
|-
| 43.||7393|| 7393 
|-
| 44.||'''23333'''|| 23333 
|-
| 45.||'''23339'''|| 23339 
|-
| 46.||23399|| 23399 
|-
| 47.||23993|| 23993 
|-
| 48.||29399|| 29399 
|-
| 49.||'''31193'''|| 31193 
|-
| 50.||'''31379'''|| 31379 
|-
| 51.||37337|| 37337 
|-
| 52.||37339|| 37339 
|-
| 53.||'''37397'''|| 37397 
|-
| 54.||59393|| 59393 
|-
| 55.||59399|| 59399 
|-
| 56.||71933|| 71933 
|-
| 57.||'''73331'''|| 73331 
|-
| 58.||73939|| 73939 
|-
| 59.||233993|| 233993 
|-
| 60.||239933|| 239933 
|-
| 61.||293999|| 293999 
|-
| 62.||373379|| 373379 
|-
| 63.||'''373393'''|| 373393 
|-
| 64.||593933|| 593933 
|-
| 65.||'''593993'''|| 593993 
|-
| 66.||'''719333'''|| 719333 
|-
| 67.||739391|| 739391 
|-
| 68.||739393|| 739393 
|-
| 69.||'''739397'''|| 739397 
|-
| 70.||'''739399'''|| 739399 
|-
| 71.||2339933|| 2339933 
|-
| 72.||'''2399333'''|| 2399333 
|-
| 73.||2939999|| 2939999 
|-
| 74.||3733799|| 3733799 
|-
| 75.||5939333|| 5939333 
|-
| 76.||7393913|| 7393913 
|-
| 77.||'''7393931'''|| 7393931 
|-
| 78.||'''7393933'''|| 7393933 
|-
| 79.||'''23399339'''|| 23399339 
|-
| 80.||'''29399999'''|| 29399999 
|-
| 81.||'''37337999'''|| 37337999 
|-
| 82.||'''59393339'''|| 59393339 
|-
| 83.||'''73939133'''|| 73939133 
|}

==== Es gibt 27 Perfekte Primzahlen zur Basis<sub> 10 </sub> ====
{| class="prettytable" style="text-align:right;"
|- " style="text-align:center;"
! width "20%" | n
! width "40%" | Basis<sub> 10 </sub>
! width "40%" | Dezimal
|-
| 1.||'''53'''|| 53 
|-
| 2.||'''317'''|| 317 
|-
| 3.||'''599'''|| 599 
|-
| 4.||'''797'''|| 797 
|-
| 5.||'''2393'''|| 2393 
|-
| 6.||'''3793'''|| 3793 
|-
| 7.||'''3797'''|| 3797 
|-
| 8.||'''7331'''|| 7331 
|-
| 9.||'''23333'''|| 23333 
|-
| 10.||'''23339'''|| 23339 
|-
| 11.||'''31193'''|| 31193 
|-
| 12.||'''31379'''|| 31379 
|-
| 13.||'''37397'''|| 37397 
|-
| 14.||'''73331'''|| 73331 
|-
| 15.||'''373393'''|| 373393 
|-
| 16.||'''593993'''|| 593993 
|-
| 17.||'''719333'''|| 719333 
|-
| 18.||'''739397'''|| 739397 
|-
| 19.||'''739399'''|| 739399 
|-
| 20.||'''2399333'''|| 2399333 
|-
| 21.||'''7393931'''|| 7393931 
|-
| 22.||'''7393933'''|| 7393933 
|-
| 23.||'''23399339'''|| 23399339 
|-
| 24.||'''29399999'''|| 29399999 
|-
| 25.||'''37337999'''|| 37337999 
|-
| 26.||'''59393339'''|| 59393339 
|-
| 27.||'''73939133'''|| 73939133 
|}

=== Basis<sub> 11 </sub> mit 89 Fast Perfekten Primzahlen ===
(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)
{| class="prettytable" style="text-align:right;"
|- " style="text-align:center;"
! width "20%" | n
! width "40%" | Basis<sub> 11 </sub>
! width "40%" | Dezimal
|-
| 1.||2|| 2 
|-
| 2.||3|| 3 
|-
| 3.||5|| 5 
|-
| 4.||7|| 7 
|-
| 5.||21|| 23 
|-
| 6.||'''27'''|| 29 
|-
| 7.||29|| 31 
|-
| 8.||34|| 37 
|-
| 9.||38|| 41 
|-
| 10.||3A|| 43 
|-
| 11.||54|| 59 
|-
| 12.||56|| 61 
|-
| 13.||72|| 79 
|-
| 14.||76|| 83 
|-
| 15.||214|| 257 
|-
| 16.||21A|| 263 
|-
| 17.||296|| 347 
|-
| 18.||298|| 349 
|-
| 19.||342|| 409 
|-
| 20.||'''386'''|| 457 
|-
| 21.||38A|| 461 
|-
| 22.||3A6|| 479 
|-
| 23.||544|| 653 
|-
| 24.||54A|| 659 
|-
| 25.||562|| 673 
|-
| 26.||566|| 677 
|-
| 27.||728|| 877 
|-
| 28.||766|| 919 
|-
| 29.||'''2146'''|| 2833 
|-
| 30.||'''214A'''|| 2837 
|-
| 31.||21A4|| 2897 
|-
| 32.||'''21AA'''|| 2903 
|-
| 33.||'''2964'''|| 3821 
|-
| 34.||2966|| 3823 
|-
| 35.||2988|| 3847 
|-
| 36.||'''3428'''|| 4507 
|-
| 37.||38A6|| 5077 
|-
| 38.||38AA|| 5081 
|-
| 39.||3A64|| 5273 
|-
| 40.||3A6A|| 5279 
|-
| 41.||5444|| 7187 
|-
| 42.||544A|| 7193 
|-
| 43.||'''54A4'''|| 7253 
|-
| 44.||5628|| 7411 
|-
| 45.||5664|| 7451 
|-
| 46.||566A|| 7457 
|-
| 47.||'''7282'''|| 9649 
|-
| 48.||7662|| 10111 
|-
| 49.||'''21A46'''|| 31873 
|-
| 50.||29668|| 42061 
|-
| 51.||'''29886'''|| 42323 
|-
| 52.||'''38A62'''|| 55849 
|-
| 53.||'''38AA6'''|| 55897 
|-
| 54.||38AAA|| 55901 
|-
| 55.||3A64A|| 58013 
|-
| 56.||'''3A6A4'''|| 58073 
|-
| 57.||'''54446'''|| 79063 
|-
| 58.||'''544AA'''|| 79133 
|-
| 59.||56286|| 81527 
|-
| 60.||56646|| 81967 
|-
| 61.||5664A|| 81971 
|-
| 62.||566A4|| 82031 
|-
| 63.||566AA|| 82037 
|-
| 64.||'''76626'''|| 111227 
|-
| 65.||76628|| 111229 
|-
| 66.||296682|| 462673 
|-
| 67.||296686|| 462677 
|-
| 68.||'''38AAA6'''|| 614917 
|-
| 69.||'''3A64A4'''|| 638147 
|-
| 70.||562866|| 896803 
|-
| 71.||'''566466'''|| 901643 
|-
| 72.||5664A6|| 901687 
|-
| 73.||566A46|| 902347 
|-
| 74.||'''566A4A'''|| 902351 
|-
| 75.||'''566AA6'''|| 902413 
|-
| 76.||766288|| 1223527 
|-
| 77.||2966828|| 5089411 
|-
| 78.||2966864|| 5089451 
|-
| 79.||5628666|| 9864839 
|-
| 80.||'''5664A66'''|| 9918563 
|-
| 81.||566A466|| 9925823 
|-
| 82.||7662882|| 13458799 
|-
| 83.||29668286|| 55983527 
|-
| 84.||'''2966864A'''|| 55983971 
|-
| 85.||'''56286664'''|| 108513233 
|-
| 86.||'''566A4664'''|| 109184057 
|-
| 87.||'''76628828'''|| 148046797 
|-
| 88.||29668286A|| 615818807 
|-
| 89.||'''29668286AA'''|| 6774006887 
|}

==== Es gibt 28 Perfekte Primzahlen zur Basis<sub> 11 </sub> ====
{| class="prettytable" style="text-align:right;"
|- " style="text-align:center;"
! width "20%" | n
! width "40%" | Basis<sub> 11 </sub>
! width "40%" | Dezimal
|-
| 1.||'''27'''|| 29 
|-
| 2.||'''386'''|| 457 
|-
| 3.||'''2146'''|| 2833 
|-
| 4.||'''214A'''|| 2837 
|-
| 5.||'''21AA'''|| 2903 
|-
| 6.||'''2964'''|| 3821 
|-
| 7.||'''3428'''|| 4507 
|-
| 8.||'''54A4'''|| 7253 
|-
| 9.||'''7282'''|| 9649 
|-
| 10.||'''21A46'''|| 31873 
|-
| 11.||'''29886'''|| 42323 
|-
| 12.||'''38A62'''|| 55849 
|-
| 13.||'''38AA6'''|| 55897 
|-
| 14.||'''3A6A4'''|| 58073 
|-
| 15.||'''54446'''|| 79063 
|-
| 16.||'''544AA'''|| 79133 
|-
| 17.||'''76626'''|| 111227 
|-
| 18.||'''38AAA6'''|| 614917 
|-
| 19.||'''3A64A4'''|| 638147 
|-
| 20.||'''566466'''|| 901643 
|-
| 21.||'''566A4A'''|| 902351 
|-
| 22.||'''566AA6'''|| 902413 
|-
| 23.||'''5664A66'''|| 9918563 
|-
| 24.||'''2966864A'''|| 55983971 
|-
| 25.||'''56286664'''|| 108513233 
|-
| 26.||'''566A4664'''|| 109184057 
|-
| 27.||'''76628828'''|| 148046797 
|-
| 28.||'''29668286AA'''|| 6774006887 
|}

=== Basis<sub> 12 </sub> mit 179 Fast Perfekten Primzahlen ===
(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)
{| class="prettytable" style="text-align:right;"
|- " style="text-align:center;"
! width "20%" | n
! width "40%" | Basis<sub> 12 </sub>
! width "40%" | Dezimal
|-
| 1.||2|| 2 
|-
| 2.||3|| 3 
|-
| 3.||5|| 5 
|-
| 4.||7|| 7 
|-
| 5.||B|| 11 
|-
| 6.||25|| 29 
|-
| 7.||27|| 31 
|-
| 8.||31|| 37 
|-
| 9.||35|| 41 
|-
| 10.||37|| 43 
|-
| 11.||3B|| 47 
|-
| 12.||51|| 61 
|-
| 13.||57|| 67 
|-
| 14.||5B|| 71 
|-
| 15.||75|| 89 
|-
| 16.||'''B5'''|| 137 
|-
| 17.||B7|| 139 
|-
| 18.||'''251'''|| 349 
|-
| 19.||255|| 353 
|-
| 20.||'''25B'''|| 359 
|-
| 21.||271|| 373 
|-
| 22.||277|| 379 
|-
| 23.||27B|| 383 
|-
| 24.||315|| 449 
|-
| 25.||'''357'''|| 499 
|-
| 26.||35B|| 503 
|-
| 27.||375|| 521 
|-
| 28.||377|| 523 
|-
| 29.||3B5|| 569 
|-
| 30.||3B7|| 571 
|-
| 31.||511|| 733 
|-
| 32.||'''517'''|| 739 
|-
| 33.||51B|| 743 
|-
| 34.||575|| 809 
|-
| 35.||577|| 811 
|-
| 36.||5B1|| 853 
|-
| 37.||5B5|| 857 
|-
| 38.||5B7|| 859 
|-
| 39.||5BB|| 863 
|-
| 40.||751|| 1069 
|-
| 41.||B71|| 1669 
|-
| 42.||2555|| 4241 
|-
| 43.||2557|| 4243 
|-
| 44.||2715|| 4481 
|-
| 45.||'''2717'''|| 4483 
|-
| 46.||'''2771'''|| 4549 
|-
| 47.||27B1|| 4597 
|-
| 48.||27B7|| 4603 
|-
| 49.||3155|| 5393 
|-
| 50.||315B|| 5399 
|-
| 51.||'''35B1'''|| 6037 
|-
| 52.||'''35B7'''|| 6043 
|-
| 53.||'''35BB'''|| 6047 
|-
| 54.||'''3755'''|| 6257 
|-
| 55.||375B|| 6263 
|-
| 56.||3771|| 6277 
|-
| 57.||'''377B'''|| 6287 
|-
| 58.||3B51|| 6829 
|-
| 59.||3B55|| 6833 
|-
| 60.||'''3B75'''|| 6857 
|-
| 61.||3B7B|| 6863 
|-
| 62.||'''5117'''|| 8803 
|-
| 63.||511B|| 8807 
|-
| 64.||51B7|| 8923 
|-
| 65.||575B|| 9719 
|-
| 66.||5771|| 9733 
|-
| 67.||'''5777'''|| 9739 
|-
| 68.||577B|| 9743 
|-
| 69.||5B17|| 10243 
|-
| 70.||5B1B|| 10247 
|-
| 71.||5B55|| 10289 
|-
| 72.||5B75|| 10313 
|-
| 73.||5BB1|| 10357 
|-
| 74.||7511|| 12829 
|-
| 75.||B711|| 20029 
|-
| 76.||25551|| 50893 
|-
| 77.||25577|| 50923 
|-
| 78.||'''27151'''|| 53773 
|-
| 79.||27155|| 53777 
|-
| 80.||2715B|| 53783 
|-
| 81.||27B17|| 55171 
|-
| 82.||27B77|| 55243 
|-
| 83.||'''31551'''|| 64717 
|-
| 84.||'''315B5'''|| 64793 
|-
| 85.||375B5|| 75161 
|-
| 86.||375BB|| 75167 
|-
| 87.||37715|| 75329 
|-
| 88.||3B515|| 81953 
|-
| 89.||3B557|| 82003 
|-
| 90.||3B55B|| 82007 
|-
| 91.||3B7B5|| 82361 
|-
| 92.||511B7|| 105691 
|-
| 93.||51B71|| 107077 
|-
| 94.||575BB|| 116639 
|-
| 95.||57711|| 116797 
|-
| 96.||57717|| 116803 
|-
| 97.||577B7|| 116923 
|-
| 98.||'''577BB'''|| 116927 
|-
| 99.||'''5B175'''|| 122921 
|-
| 100.||'''5B1B7'''|| 122971 
|-
| 101.||5B55B|| 123479 
|-
| 102.||'''5B751'''|| 123757 
|-
| 103.||5BB17|| 124291 
|-
| 104.||75111|| 153949 
|-
| 105.||'''75115'''|| 153953 
|-
| 106.||'''B7111'''|| 240349 
|-
| 107.||B7115|| 240353 
|-
| 108.||'''255515'''|| 610721 
|-
| 109.||'''255775'''|| 611081 
|-
| 110.||271555|| 645329 
|-
| 111.||'''2715B1'''|| 645397 
|-
| 112.||'''27B177'''|| 662059 
|-
| 113.||'''27B17B'''|| 662063 
|-
| 114.||27B771|| 662917 
|-
| 115.||375B55|| 901937 
|-
| 116.||375BB5|| 902009 
|-
| 117.||377151|| 903949 
|-
| 118.||3B5155|| 983441 
|-
| 119.||3B5157|| 983443 
|-
| 120.||'''3B515B'''|| 983447 
|-
| 121.||3B5571|| 984037 
|-
| 122.||3B557B|| 984047 
|-
| 123.||3B55B7|| 984091 
|-
| 124.||'''3B7B5B'''|| 988343 
|-
| 125.||511B77|| 1268299 
|-
| 126.||'''51B717'''|| 1284931 
|-
| 127.||'''575BBB'''|| 1399679 
|-
| 128.||577117|| 1401571 
|-
| 129.||577175|| 1401641 
|-
| 130.||'''577B75'''|| 1403081 
|-
| 131.||5B55B1|| 1481749 
|-
| 132.||5B55BB|| 1481759 
|-
| 133.||5BB171|| 1491493 
|-
| 134.||751115|| 1847393 
|-
| 135.||'''B71157'''|| 2884243 
|-
| 136.||'''2715551'''|| 7743949 
|-
| 137.||27B7715|| 7955009 
|-
| 138.||27B7717|| 7955011 
|-
| 139.||'''375B555'''|| 10823249 
|-
| 140.||'''375B557'''|| 10823251 
|-
| 141.||375BB5B|| 10824119 
|-
| 142.||'''3771515'''|| 10847393 
|-
| 143.||3B5155B|| 11801303 
|-
| 144.||3B5157B|| 11801327 
|-
| 145.||3B55715|| 11808449 
|-
| 146.||'''3B557B5'''|| 11808569 
|-
| 147.||3B557B7|| 11808571 
|-
| 148.||'''3B55B71'''|| 11809093 
|-
| 149.||3B55B77|| 11809099 
|-
| 150.||3B55B7B|| 11809103 
|-
| 151.||511B775|| 15219593 
|-
| 152.||'''5771171'''|| 16818853 
|-
| 153.||'''5771755'''|| 16819697 
|-
| 154.||5B55B1B|| 17780999 
|-
| 155.||'''5B55BB1'''|| 17781109 
|-
| 156.||'''5BB1711'''|| 17897917 
|-
| 157.||'''7511151'''|| 22168717 
|-
| 158.||'''7511157'''|| 22168723 
|-
| 159.||27B77151|| 95460109 
|-
| 160.||'''27B7715B'''|| 95460119 
|-
| 161.||27B77175|| 95460137 
|-
| 162.||375BB5B5|| 129889433 
|-
| 163.||'''3B5155BB'''|| 141615647 
|-
| 164.||'''3B5157B7'''|| 141615931 
|-
| 165.||3B557151|| 141701389 
|-
| 166.||'''3B557B75'''|| 141702857 
|-
| 167.||3B55B775|| 141709193 
|-
| 168.||3B55B7B5|| 141709241 
|-
| 169.||'''3B55B7BB'''|| 141709247 
|-
| 170.||'''511B7755'''|| 182635121 
|-
| 171.||'''5B55B1B5'''|| 213371993 
|-
| 172.||'''27B771511'''|| 1145521309 
|-
| 173.||'''27B771755'''|| 1145521649 
|-
| 174.||375BB5B51|| 1558673197 
|-
| 175.||'''375BB5B55'''|| 1558673201 
|-
| 176.||'''3B5571515'''|| 1700416673 
|-
| 177.||'''3B55B7755'''|| 1700510321 
|-
| 178.||'''3B55B7B57'''|| 1700510899 
|-
| 179.||'''375BB5B515'''|| 18704078369 
|}

==== Es gibt 61 Perfekte Primzahlen zur Basis<sub> 12 </sub> ====
{| class="prettytable" style="text-align:right;"
|- " style="text-align:center;"
! width "20%" | n
! width "40%" | Basis<sub> 12 </sub>
! width "40%" | Dezimal
|-
| 1.||'''B5'''|| 137 
|-
| 2.||'''251'''|| 349 
|-
| 3.||'''25B'''|| 359 
|-
| 4.||'''357'''|| 499 
|-
| 5.||'''517'''|| 739 
|-
| 6.||'''2717'''|| 4483 
|-
| 7.||'''2771'''|| 4549 
|-
| 8.||'''35B1'''|| 6037 
|-
| 9.||'''35B7'''|| 6043 
|-
| 10.||'''35BB'''|| 6047 
|-
| 11.||'''3755'''|| 6257 
|-
| 12.||'''377B'''|| 6287 
|-
| 13.||'''3B75'''|| 6857 
|-
| 14.||'''5117'''|| 8803 
|-
| 15.||'''5777'''|| 9739 
|-
| 16.||'''27151'''|| 53773 
|-
| 17.||'''31551'''|| 64717 
|-
| 18.||'''315B5'''|| 64793 
|-
| 19.||'''577BB'''|| 116927 
|-
| 20.||'''5B175'''|| 122921 
|-
| 21.||'''5B1B7'''|| 122971 
|-
| 22.||'''5B751'''|| 123757 
|-
| 23.||'''75115'''|| 153953 
|-
| 24.||'''B7111'''|| 240349 
|-
| 25.||'''255515'''|| 610721 
|-
| 26.||'''255775'''|| 611081 
|-
| 27.||'''2715B1'''|| 645397 
|-
| 28.||'''27B177'''|| 662059 
|-
| 29.||'''27B17B'''|| 662063 
|-
| 30.||'''3B515B'''|| 983447 
|-
| 31.||'''3B7B5B'''|| 988343 
|-
| 32.||'''51B717'''|| 1284931 
|-
| 33.||'''575BBB'''|| 1399679 
|-
| 34.||'''577B75'''|| 1403081 
|-
| 35.||'''B71157'''|| 2884243 
|-
| 36.||'''2715551'''|| 7743949 
|-
| 37.||'''375B555'''|| 10823249 
|-
| 38.||'''375B557'''|| 10823251 
|-
| 39.||'''3771515'''|| 10847393 
|-
| 40.||'''3B557B5'''|| 11808569 
|-
| 41.||'''3B55B71'''|| 11809093 
|-
| 42.||'''5771171'''|| 16818853 
|-
| 43.||'''5771755'''|| 16819697 
|-
| 44.||'''5B55BB1'''|| 17781109 
|-
| 45.||'''5BB1711'''|| 17897917 
|-
| 46.||'''7511151'''|| 22168717 
|-
| 47.||'''7511157'''|| 22168723 
|-
| 48.||'''27B7715B'''|| 95460119 
|-
| 49.||'''3B5155BB'''|| 141615647 
|-
| 50.||'''3B5157B7'''|| 141615931 
|-
| 51.||'''3B557B75'''|| 141702857 
|-
| 52.||'''3B55B7BB'''|| 141709247 
|-
| 53.||'''511B7755'''|| 182635121 
|-
| 54.||'''5B55B1B5'''|| 213371993 
|-
| 55.||'''27B771511'''|| 1145521309 
|-
| 56.||'''27B771755'''|| 1145521649 
|-
| 57.||'''375BB5B55'''|| 1558673201 
|-
| 58.||'''3B5571515'''|| 1700416673 
|-
| 59.||'''3B55B7755'''|| 1700510321 
|-
| 60.||'''3B55B7B57'''|| 1700510899 
|-
| 61.||'''375BB5B515'''|| 18704078369 
|}

=== Basis<sub> 13 </sub> mit 176 Fast Perfekten Primzahlen ===
(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)
{| class="prettytable" style="text-align:right;"
|- " style="text-align:center;"
! width "20%" | n
! width "40%" | Basis<sub> 13 </sub>
! width "40%" | Dezimal
|-
| 1.||2|| 2 
|-
| 2.||3|| 3 
|-
| 3.||5|| 5 
|-
| 4.||7|| 7 
|-
| 5.||B|| 11 
|-
| 6.||23|| 29 
|-
| 7.||25|| 31 
|-
| 8.||2B|| 37 
|-
| 9.||32|| 41 
|-
| 10.||34|| 43 
|-
| 11.||38|| 47 
|-
| 12.||52|| 67 
|-
| 13.||56|| 71 
|-
| 14.||58|| 73 
|-
| 15.||'''76'''|| 97 
|-
| 16.||7A|| 101 
|-
| 17.||'''7C'''|| 103 
|-
| 18.||B6|| 149 
|-
| 19.||B8|| 151 
|-
| 20.||232|| 379 
|-
| 21.||236|| 383 
|-
| 22.||23C|| 389 
|-
| 23.||256|| 409 
|-
| 24.||2B6|| 487 
|-
| 25.||2BA|| 491 
|-
| 26.||328|| 541 
|-
| 27.||344|| 563 
|-
| 28.||'''34A'''|| 569 
|-
| 29.||34C|| 571 
|-
| 30.||'''382'''|| 613 
|-
| 31.||'''386'''|| 617 
|-
| 32.||388|| 619 
|-
| 33.||526|| 877 
|-
| 34.||'''52A'''|| 881 
|-
| 35.||52C|| 883 
|-
| 36.||'''566'''|| 929 
|-
| 37.||584|| 953 
|-
| 38.||7A6|| 1319 
|-
| 39.||7A8|| 1321 
|-
| 40.||B6C|| 1949 
|-
| 41.||B8A|| 1973 
|-
| 42.||2324|| 4931 
|-
| 43.||'''2326'''|| 4933 
|-
| 44.||232A|| 4937 
|-
| 45.||'''2368'''|| 4987 
|-
| 46.||23C2|| 5059 
|-
| 47.||2566|| 5323 
|-
| 48.||2B66|| 6337 
|-
| 49.||2B6C|| 6343 
|-
| 50.||2BA6|| 6389 
|-
| 51.||3286|| 7039 
|-
| 52.||328A|| 7043 
|-
| 53.||3442|| 7321 
|-
| 54.||344C|| 7331 
|-
| 55.||'''34CA'''|| 7433 
|-
| 56.||3886|| 8053 
|-
| 57.||388C|| 8059 
|-
| 58.||'''526A'''|| 11411 
|-
| 59.||52C4|| 11483 
|-
| 60.||'''52CA'''|| 11489 
|-
| 61.||52CC|| 11491 
|-
| 62.||5842|| 12391 
|-
| 63.||584C|| 12401 
|-
| 64.||'''7A6C'''|| 17159 
|-
| 65.||7A8A|| 17183 
|-
| 66.||B6C2|| 25339 
|-
| 67.||B6C6|| 25343 
|-
| 68.||'''B6CC'''|| 25349 
|-
| 69.||'''B8A8'''|| 25657 
|-
| 70.||23246|| 64109 
|-
| 71.||232A6|| 64187 
|-
| 72.||232A8|| 64189 
|-
| 73.||'''23C2A'''|| 65777 
|-
| 74.||'''25664'''|| 69203 
|-
| 75.||'''2B666'''|| 82387 
|-
| 76.||2B66C|| 82393 
|-
| 77.||'''2B6C4'''|| 82463 
|-
| 78.||2B6CA|| 82469 
|-
| 79.||2B6CC|| 82471 
|-
| 80.||2BA62|| 83059 
|-
| 81.||2BA66|| 83063 
|-
| 82.||32866|| 91513 
|-
| 83.||328AC|| 91571 
|-
| 84.||34424|| 95177 
|-
| 85.||'''344C8'''|| 95311 
|-
| 86.||38864|| 104693 
|-
| 87.||3886C|| 104701 
|-
| 88.||388C6|| 104773 
|-
| 89.||388CC|| 104779 
|-
| 90.||'''52C48'''|| 149287 
|-
| 91.||52CCA|| 149393 
|-
| 92.||58424|| 161087 
|-
| 93.||5842A|| 161093 
|-
| 94.||'''584C8'''|| 161221 
|-
| 95.||7A8A2|| 223381 
|-
| 96.||B6C2C|| 329419 
|-
| 97.||B6C6C|| 329471 
|-
| 98.||23246C|| 833429 
|-
| 99.||232A62|| 834433 
|-
| 100.||232A68|| 834439 
|-
| 101.||'''232A8C'''|| 834469 
|-
| 102.||2B66CC|| 1071121 
|-
| 103.||2B6CA6|| 1072103 
|-
| 104.||2B6CC6|| 1072129 
|-
| 105.||2B6CCA|| 1072133 
|-
| 106.||2BA62A|| 1079777 
|-
| 107.||2BA62C|| 1079779 
|-
| 108.||2BA662|| 1079821 
|-
| 109.||2BA66C|| 1079831 
|-
| 110.||328664|| 1189673 
|-
| 111.||'''328AC6'''|| 1190429 
|-
| 112.||'''344248'''|| 1237309 
|-
| 113.||388642|| 1361011 
|-
| 114.||'''38864C'''|| 1361021 
|-
| 115.||'''3886CA'''|| 1361123 
|-
| 116.||388C6A|| 1362059 
|-
| 117.||'''388CC4'''|| 1362131 
|-
| 118.||52CCA2|| 1942111 
|-
| 119.||52CCAC|| 1942121 
|-
| 120.||584248|| 2094139 
|-
| 121.||'''5842AC'''|| 2094221 
|-
| 122.||7A8A26|| 2903959 
|-
| 123.||B6C2CA|| 4282457 
|-
| 124.||'''B6C6C8'''|| 4283131 
|-
| 125.||23246CC|| 10834589 
|-
| 126.||'''232A624'''|| 10847633 
|-
| 127.||'''232A68C'''|| 10847719 
|-
| 128.||'''2B66CC4'''|| 13924577 
|-
| 129.||2B66CC6|| 13924579 
|-
| 130.||'''2B66CCA'''|| 13924583 
|-
| 131.||'''2B6CA6C'''|| 13937351 
|-
| 132.||2B6CC66|| 13937683 
|-
| 133.||2B6CC6A|| 13937687 
|-
| 134.||'''2B6CCAC'''|| 13937741 
|-
| 135.||2BA62AC|| 14037113 
|-
| 136.||'''2BA62CC'''|| 14037139 
|-
| 137.||2BA6626|| 14037679 
|-
| 138.||'''2BA66C6'''|| 14037809 
|-
| 139.||'''328664C'''|| 15465761 
|-
| 140.||'''3886424'''|| 17693147 
|-
| 141.||388C6A2|| 17706769 
|-
| 142.||'''52CCA26'''|| 25247449 
|-
| 143.||'''52CCAC8'''|| 25247581 
|-
| 144.||'''5842484'''|| 27223811 
|-
| 145.||'''7A8A266'''|| 37751473 
|-
| 146.||7A8A26C|| 37751479 
|-
| 147.||B6C2CA6|| 55671947 
|-
| 148.||B6C2CA8|| 55671949 
|-
| 149.||'''23246CC2'''|| 140849659 
|-
| 150.||2B66CC66|| 181019533 
|-
| 151.||'''2B6CC66C'''|| 181189891 
|-
| 152.||2B6CC6A2|| 181189933 
|-
| 153.||'''2BA62ACC'''|| 182482481 
|-
| 154.||2BA66266|| 182489833 
|-
| 155.||'''388C6A24'''|| 230188001 
|-
| 156.||388C6A26|| 230188003 
|-
| 157.||7A8A26C4|| 490769231 
|-
| 158.||B6C2CA66|| 723735317 
|-
| 159.||B6C2CA6C|| 723735323 
|-
| 160.||B6C2CA8A|| 723735347 
|-
| 161.||'''2B66CC664'''|| 2353253933 
|-
| 162.||'''2B66CC66C'''|| 2353253941 
|-
| 163.||'''2B6CC6A2C'''|| 2355469141 
|-
| 164.||'''2BA66266A'''|| 2372367839 
|-
| 165.||'''2BA66266C'''|| 2372367841 
|-
| 166.||388C6A26C|| 2992444051 
|-
| 167.||'''7A8A26C46'''|| 6380000009 
|-
| 168.||'''B6C2CA668'''|| 9408559129 
|-
| 169.||B6C2CA66C|| 9408559133 
|-
| 170.||'''B6C2CA6C2'''|| 9408559201 
|-
| 171.||'''B6C2CA6C8'''|| 9408559207 
|-
| 172.||B6C2CA8A8|| 9408559519 
|-
| 173.||'''388C6A26C6'''|| 38901772669 
|-
| 174.||'''B6C2CA66C2'''|| 122311268731 
|-
| 175.||'''B6C2CA66CC'''|| 122311268741 
|-
| 176.||'''B6C2CA8A8A'''|| 122311273757 
|}

==== Es gibt 61 Perfekte Primzahlen zur Basis<sub> 13 </sub> ====
{| class="prettytable" style="text-align:right;"
|- " style="text-align:center;"
! width "20%" | n
! width "40%" | Basis<sub> 13 </sub>
! width "40%" | Dezimal
|-
| 1.||'''76'''|| 97 
|-
| 2.||'''7C'''|| 103 
|-
| 3.||'''34A'''|| 569 
|-
| 4.||'''382'''|| 613 
|-
| 5.||'''386'''|| 617 
|-
| 6.||'''52A'''|| 881 
|-
| 7.||'''566'''|| 929 
|-
| 8.||'''2326'''|| 4933 
|-
| 9.||'''2368'''|| 4987 
|-
| 10.||'''34CA'''|| 7433 
|-
| 11.||'''526A'''|| 11411 
|-
| 12.||'''52CA'''|| 11489 
|-
| 13.||'''7A6C'''|| 17159 
|-
| 14.||'''B6CC'''|| 25349 
|-
| 15.||'''B8A8'''|| 25657 
|-
| 16.||'''23C2A'''|| 65777 
|-
| 17.||'''25664'''|| 69203 
|-
| 18.||'''2B666'''|| 82387 
|-
| 19.||'''2B6C4'''|| 82463 
|-
| 20.||'''344C8'''|| 95311 
|-
| 21.||'''52C48'''|| 149287 
|-
| 22.||'''584C8'''|| 161221 
|-
| 23.||'''232A8C'''|| 834469 
|-
| 24.||'''328AC6'''|| 1190429 
|-
| 25.||'''344248'''|| 1237309 
|-
| 26.||'''38864C'''|| 1361021 
|-
| 27.||'''3886CA'''|| 1361123 
|-
| 28.||'''388CC4'''|| 1362131 
|-
| 29.||'''5842AC'''|| 2094221 
|-
| 30.||'''B6C6C8'''|| 4283131 
|-
| 31.||'''232A624'''|| 10847633 
|-
| 32.||'''232A68C'''|| 10847719 
|-
| 33.||'''2B66CC4'''|| 13924577 
|-
| 34.||'''2B66CCA'''|| 13924583 
|-
| 35.||'''2B6CA6C'''|| 13937351 
|-
| 36.||'''2B6CCAC'''|| 13937741 
|-
| 37.||'''2BA62CC'''|| 14037139 
|-
| 38.||'''2BA66C6'''|| 14037809 
|-
| 39.||'''328664C'''|| 15465761 
|-
| 40.||'''3886424'''|| 17693147 
|-
| 41.||'''52CCA26'''|| 25247449 
|-
| 42.||'''52CCAC8'''|| 25247581 
|-
| 43.||'''5842484'''|| 27223811 
|-
| 44.||'''7A8A266'''|| 37751473 
|-
| 45.||'''23246CC2'''|| 140849659 
|-
| 46.||'''2B6CC66C'''|| 181189891 
|-
| 47.||'''2BA62ACC'''|| 182482481 
|-
| 48.||'''388C6A24'''|| 230188001 
|-
| 49.||'''2B66CC664'''|| 2353253933 
|-
| 50.||'''2B66CC66C'''|| 2353253941 
|-
| 51.||'''2B6CC6A2C'''|| 2355469141 
|-
| 52.||'''2BA66266A'''|| 2372367839 
|-
| 53.||'''2BA66266C'''|| 2372367841 
|-
| 54.||'''7A8A26C46'''|| 6380000009 
|-
| 55.||'''B6C2CA668'''|| 9408559129 
|-
| 56.||'''B6C2CA6C2'''|| 9408559201 
|-
| 57.||'''B6C2CA6C8'''|| 9408559207 
|-
| 58.||'''388C6A26C6'''|| 38901772669 
|-
| 59.||'''B6C2CA66C2'''|| 122311268731 
|-
| 60.||'''B6C2CA66CC'''|| 122311268741 
|-
| 61.||'''B6C2CA8A8A'''|| 122311273757 
|}

== Dreiecksberechnung ==

Siehe auch: [[Dreieck]]
{| border=1 class="prettytable hintergrundfarbe2 rahmenfarbe1"
|Umfang: ||<math>u = 8r\cdot \cos\frac{\alpha}{2}\cdot \cos\frac{\beta}{2}\cdot \cos \frac{\gamma}{2}</math>
|-
|Inkreisradius: ||<math>\rho =4r\cdot \sin\frac{\alpha}{2}\cdot \sin\frac{\beta}{2} \cdot \sin\frac{\gamma}{2} = \frac{2A}{u}</math>
|-
|Umkreisradius: ||<math>r= \frac{a}{2 \sin\alpha}= \frac{b}{2 \sin\beta}= \frac{c}{2 \sin\gamma}</math>
|-
|rowspan=3 |Höhenformeln: ||<math>h_a = c\cdot\sin\beta = b\cdot \sin\gamma</math>
|-
|<math>h_b = a\cdot \sin\gamma = c\cdot \sin\alpha</math>
|-
|<math>h_c = b\cdot \sin\alpha = a\cdot \sin\beta</math>
|-
|rowspan=5 |{{Anker|Fläche des Dreiecks}}Flächeninhalt: ||
<math>A = \frac{1}{2}a h_a = \frac{1}{2}b h_b = \frac{1}{2}c h_c</math>
|-
|<math>16A^2 = \left(a^2+b^2+c^2\right)^2 - 2\left(a^4+b^4+c^4\right)</math>
|-
|<math>A = \sqrt{\frac{4 b^2 c^2 - \left(b^2+c^2-a^2\right)^2}{16}}</math> nach a umgestellt <math>a = \sqrt{b^2+c^2-\sqrt{4b^2c^2-16A^2}}</math>
|-
|Heronsche Flächenformel: <math>A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math>  wobei  <math>s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{U}{2}</math>  ist
|-
|Vollständige Flächenformel: <math>A = \frac{\sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-a^4-b^4-c^4}}{4}</math>
|-
|rowspan=2 |Flächenschwerpunkt: ||
<math>x_s = \frac{1}{3} ( x_A + x_B + x_C )</math>
|-
|<math>y_s = \frac{1}{3} ( y_A + y_B + y_C )</math>
|}

== Fakultät ==
Die [[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]] ist in der Mathematik eine Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen kleiner oder gleich dieser Zahl zuordnet. Sie wird durch ein dem Argument nachgestelltes Ausrufezeichen („!“) abgekürzt.

Es gibt eine auffällige Beziehung zwischen einigen [[Quadratzahl]]en und Fakultäten.
* 5^2-1 = 24 = 4!
* 11^2-1 = 120 = 5!
* 71^2-1 = 5040 = 7!

=== Fakultäten und Primzahlen ===
Bis auf die Zahl 2 = 2! müssen alle größeren Fakultäten zusammengesetzte Zahlen sein, denn sie sind Produkte der natürlichen Zahlen. Wie sieht es aber mit den Fakultäten +1 aus?
* 1!+1 = 2 = prim
* 2!+1 = 3 = prim
* 3!+1 = 7 = prim
* 4! und 5! (siehe oben)
* 6!+1 = 721 = 7*103
* 7! (siehe oben)
* 8!+1 = 40321 = 61*661
* 9!+1 = 362881 = 19*71*269
* 10!+1 = 3628801 = 11*329891
* 11!+1 = 39916801 = prim
* 12!+1 = 479001601 = 13^2*2834329
* 13!+1 = 6227020801 = 83*75024347

== Weblinks ==
=== Downloads ===
[http://portablepython.com/wiki/PortablePython1.1Py2.6.1 ''Portable Python 2.6.1'']


<!--
=== Allgemeiner Fall ===

Auch im Fall, dass die Moduln nicht teilerfremd sind, existiert manchmal eine Lösung. Die genaue Bedingung lautet:
Eine Lösung der simultanen Kongruenz existiert genau dann, wenn für alle <math>i \neq j</math> gilt:
: <math>a_i \equiv a_j \mod</math> [[ggT]]<math>(m_i, m_j)</math>.
Alle Lösungen sind dann kongruent modulo dem kgV der <math>m_i</math>.

Eine simultane Kongruenz lässt sich im Falle der Existenz einer Lösung z.B. durch [[sukzessive Substitution]] lösen, auch wenn die Moduln nicht teilerfremd sind.

'''Beispiel'''<br />

Ein klassisches Rätsel besteht darin, die kleinste natürliche Zahl zu finden, die bei Division durch 2, 3, 4, 5 und 6 jeweils den [[Division mit Rest|Rest]] 1 lässt, und durch 7 [[Teilbarkeit|teilbar]] ist. Gesucht ist also die kleinste positive Lösung <math>x</math> der simultanen Kongruenz
: <math>
\begin{matrix}
x & \equiv & 1 & \mod 2 \\
x & \equiv & 1 & \mod 3 \\
x & \equiv & 1 & \mod 4 \\
x & \equiv & 1 & \mod 5 \\
x & \equiv & 1 & \mod 6 \\
x & \equiv & 0 & \mod 7 \\
\end{matrix}
</math>

Da die Moduln nicht teilerfremd sind, kann man nicht direkt den Chinesischen Restsatz (mit Lösungsverfahren) anwenden.
Man kann aber die ersten fünf Bedingungen zusammenfassen zu <math>x \equiv 1 \mod \operatorname{kgV}(2, 3, 4, 5, 6)</math>, d.h. zu finden ist eine Lösung von
: <math>
\begin{matrix}
x & \equiv & 1 & \mod 60 \\
x & \equiv & 0 & \mod 7 \\
\end{matrix}
</math>

Dieses Kongruenzsystem ist nun mit dem Chinesischen Restsatz lösbar.
: <math>M = 60 \cdot 7 = 420, \ M_1 = M/60 = 7, \ M_2 = M/7 = 60</math>

: <math>60 \cdot 2 + (-17) \cdot 7 = 1</math>, also <math>e_1 = -119</math>
: <math>7 \cdot (-17) + 2 \cdot 60 = 1</math>, also <math>e_2 = 120</math>

Eine Lösung ist dann <math>x = 1 \cdot (-119) + 0 \cdot 120 = -119</math>. Wegen <math>-119 \equiv 301\mod 420</math> sind alle anderen Lösungen also kongruent zu 301 modulo 420.
-->

== Kosmische Geschwindigkeiten ==
Auszug aus der Disk zu [[Neutronenstern]]:<br>
<br>
„Hier einmal die relevanten Werte und Formeln:<br>
Radius [[Sonne]]<br>
:<math>R = 6{,}957\cdot 10^{8}\,\mathrm{m}</math><br>
Masse Sonne<br> 
:<math>M = 1{,}989\cdot 10^{30}\,\mathrm{kg}</math><br>
[[Gravitationskonstante]]<br>
:<math>G = 6{,}673\;84\cdot 10^{-11}\,\mathrm{\frac{m^3}{kg \cdot s^2}}</math><br>
[[Fluchtgeschwindigkeit (Raumfahrt)|Fluchtgeschwindigkeit]]<br>
: <math>v_2 = \sqrt{\frac {2 G M}{R}} </math><br>
: <math>v_2 = 6{,}177\;45\cdot 10^{5}\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math><br>
<br>
Radius Sonne als Neutronenstern:<br>
:<math>R_\mathrm{N} = 1\cdot 10^{4}\,\mathrm{m}</math><br>
Fluchtgeschwindigkeit an der Oberfläche des Neutronensterns<br>
: <math>v_\mathrm{2N} = \sqrt{\frac {2 G M}{R_\mathrm{N}}} </math><br>
: <math>v_\mathrm{2N} = 1{,}629\;372\cdot 10^{8}\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math><br>
<br>
Sonnenmasse als [[Schwarzes Loch]]:<br>
[[Lichtgeschwindigkeit]]<br>
:<math> c = 2{,}997\;924\;58 \cdot 10^{8}\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math><br>
[[Schwarzschildradius]]<br>
:<math>r_\mathrm{S}=\frac{2 G M}{c^2}</math><br>
:<math>r_\mathrm{S}=2{,}953\cdot 10^{3}\,\mathrm{m}</math><br>
-- [[Benutzer:Zumthie|Zumthie]] 17:43, 1. Feb. 2012 (CET)
“
<br>
<br>
[[Kreisbahngeschwindigkeit]]<br>
: <math>v_1 = \sqrt{\frac {G M}{R}} </math><br>
<br>
Masse [[Erde]]:<br> 
:<math>M_\mathrm{E} = 5{,}974\cdot 10^{24}\,\mathrm{kg}</math><br>
Äquatordurchmesser:<br>
:<math>D_\mathrm{E} = 1{,}275632\cdot 10^{7}\,\mathrm{m}</math><br>

== Ellipsenkonstruktion ==
*[[Datei:Feynmans-ellipsenkonstruktion-g.gif]]<br>
Ellipsenkonstruktion nach [[Richard Feynman]]<br>
Siehe auch: [[Feynmans verschollene Vorlesung: Die Bewegung der Planeten um die Sonne]]

== Hypotenusenvierecke ==
*[[Datei:Hypotenusenvierecke.png]]<br>
Spezielle [[Sehnenviereck]]e

*[[Datei:Hypotenusenviereck.gif]]<br>


[[Goldener Schnitt]] im Hypotenusenquadrat
*[[Datei:Goldener-schnitt-im-hypotenusenquadrat.png]]<br>

Goldener Schnitt [[fraktal]]
*[[Datei:Goldener-schnitt-im-hypotenusenquadrat-fraktal.png]]<br>