Quelltext der Seite Blum-Blum-Shub-Generator

Der '''Blum-Blum-Shub-Generator''' (BBS-Generator) ist ein [[Pseudozufallszahlengenerator]], entwickelt 1986 von [[Lenore Blum]], [[Manuel Blum]] und [[Michael Shub]]. Anwendung findet das System u. a. in der [[Kryptologie]] im Entwurf komplexitätstheoretisch sicherer [[Kryptosystem]]e.

== Definition ==
Der BBS-Generator ist definiert als [[Folge (Mathematik)|Folge]] <math>(s_i)</math> durch die Iterationsvorschrift

<math>\begin{align}
& s_0     &= s^2 \; \bmod \; n  \\
& s_{i+1} &= s_i^2 \; \bmod \; n
\end{align}</math>

Dabei bezeichnet den Divisionsrest (siehe [[Modulo]]).

Der Modul <math>n = p \cdot q</math> ist das Produkt zweier verschiedener [[Primzahl]]en <math>p</math> und <math>q</math>, die von der Form <math>4 k + 3</math> sind, d. h. <math>p \equiv q \equiv 3 \; ( \bmod \; 4 )</math>. Eine Zahl <math>n</math> mit diesen Eigenschaften wird auch ''Blum-Zahl'' genannt. Der Startwert <math>s</math> ist zu <math>n</math> [[Teilerfremdheit|teilerfremd]]: <math>\operatorname{ggT}(s,n) = 1 </math>.

Der Parameter <math>n</math> sollte außerdem folgenden Bedingungen genügen, damit <math>n</math> möglichst schwer zu [[Faktorisierungsverfahren|faktorisieren]] ist und der Generator garantiert hochwertige Zufallszahlen erzeugt:
* <math>n</math> sollte hinreichend groß sein, für kryptografische Anwendung mindestens 200 Dezimalstellen.
* <math>p</math> und <math>q</math> sollten etwa gleichdimensioniert sein, aber nicht zu nah beieinander liegen, etwa <math>2 < p/q < 1000</math>.
* <math>p-1</math> und <math>p+1</math> sowie <math>q-1</math> und <math>q+1</math> sollten jeweils einen großen [[Primfaktor]] haben, größer als ca. <math> \sqrt[4]{n} </math>.

Manchmal ist es praktisch, <math>k</math> Iterationsschritte des Generators auf einmal zu berechnen. Dies geht mit der Formel
: <math> s_{i+k} = s_i^{2^k \, \bmod \, \lambda(n)} \; \bmod \; n </math><span style="margin-left: 2em;">wobei hier <math> \lambda(n) = \operatorname{kgV}(p-1,q-1) </math>, siehe [[Kleinstes gemeinsames Vielfaches|kgV]].</span>

== Periodenlänge ==
Sei <math>Z</math> die Menge der zu <math>n</math> teilerfremden Zahlen in <math>\{1,\dots,n-1\}</math>.

Der BBS-Generator arbeitet auf der Menge <math>Q \subset Z</math> der [[Quadratischer Rest|Quadratreste]] modulo <math>n</math>. Die <math>s_i</math> sind trivialerweise in <math>Q</math>, da sie als Rest des Quadrats einer zu <math>n</math> teilerfremden Zahl berechnet werden. <math>Q</math> enthält genau ein Viertel der Zahlen in <math>Z</math>. Jedes <math>x \in Q</math> hat genau eine Wurzel in <math>Q</math>: <math>W_x = \{w \in Z \; | \; w^2 \; \bmod \; n = x \} \; ; \; |W_x \cap Q| = 1</math>. Die Iterationsvorschrift des Generators bildet also <math>Q</math> [[bijektiv]] auf <math>Q</math> ab. Somit zerfällt <math>Q</math> in mehrere Teilmengen <math>Q_j</math>, die jeweils eine Periode des Generators bilden. Die Periodenlänge <math>\left| Q_j \right|</math> ist immer ein Teiler von <math>\lambda(\lambda(n))</math>, wobei <math> \lambda </math> die [[Carmichael-Funktion]] ist.

===Beispiel===
Sei <math>n = 3 \cdot 7 = 21</math>. Dann ist <math>Z \!\, = \{1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20\}</math> und die Quadratreste sind <math>Q \!\, = \{1,4,16\}</math>. Die Wurzeln der Quadratreste sind
: <math>W_1 = \{ 1,8,13,20 \}</math> mit <math>1 \in Q</math>,
: <math>W_4 = \{ 2,5,16,19 \}</math> wobei <math>16 \in Q</math> und
: <math>W_{16} = \{ 4,10,11,17 \}</math> wobei <math>4 \in Q</math>.
Weil <math>1 \in W_1</math>, aber <math>16 \in W_4</math> und <math>4 \in W_{16}</math>, zerfällt <math>Q</math> in die beiden Perioden <math>Q_1 \!\, = \{ 1 \}</math> und <math>Q_2 \!\, = \{ 4, 16 \}</math>.

===Nachweis der Periodenlänge===

Es ist schwierig, die Parameter <math>s</math> und <math>n</math> so zu bestimmen, dass eine ausreichende Periodenlänge garantiert ist. Bei der Verwendung des BBS-Generators in der Kryptographie wird dieses Problem oft vernachlässigt, denn die Wahrscheinlichkeit einer zu kurzen Periode ist sehr klein. Absolute Sicherheit kann ohnehin nicht erreicht werden, da ein Angreifer den Modul <math>n</math> mit Glück faktorisieren könnte, etwa indem er einige Millionen zufällig erzeugte Probeteiler ausprobiert.

Wenn <math>n</math> und <math>s</math> so gewählt werden, dass gilt:
: <math> \operatorname{ord}_{\lambda(n)/2}(2) = \lambda(\lambda(n)) </math>, und
: <math> \operatorname{ord}_n(s_0) = \lambda(n)/2 </math>,
dann beträgt die Periodenlänge <math>\lambda(\lambda(n))</math>.

<math> \operatorname{ord}_b(a) </math> bezeichnet dabei die [[Ordnung eines Gruppenelementes|Ordnung des Elements]] <math>a</math> der [[Prime Restklassengruppe|primen Restklassengruppe]] <math>(\Z / b \Z)^\times</math>:
: <math> \operatorname{ord}_b(a) = \min \{ m \in \N^+ \; | \; a^m \equiv 1 \; (\bmod \; b) \} </math>.
Zur effizienten Berechnung kann ausgenutzt werden, dass die Elementordnung laut dem [[Satz von Lagrange]] ein Teiler der [[Gruppenordnung]] sein muss:
: <math> \operatorname{ord}_b(a) \; | \; \phi(b) </math>.
Dafür muss die Faktorisierung der Gruppenordnung <math> \phi(b) </math> bekannt sein (siehe [[Eulersche φ-Funktion]]).

Man muss <math>n</math> also so konstruieren, dass die Faktorisierungen von <math>p-1</math> und <math>q-1</math> bekannt sind oder mit vertretbarem Aufwand berechnet werden können, und ebenso die Faktorisierungen der um <math>1</math> verminderten Primfaktoren von <math>p-1</math> und <math>q-1</math>. Damit können die benötigten Größen und die Faktoren der Gruppenordnungen effizient bestimmt werden. Mit der [[Binäre Exponentiation|binären Exponentiation]] kann man anschließend jeweils <math> a^m \; (\bmod \; b) </math> für alle Teiler <math> m </math> von <math> \phi(b) </math> effizient berechnen.
== Anwendung ==
=== Erzeugung von Zufallsbits ===
Aus jedem <math>s_i</math> werden ein oder mehrere Zufallsbits gewonnen. Im einfachsten Fall nimmt man das niederwertigste Bit, also
: <math>b_i = s_i \; \bmod \; 2</math>,
oder man berechnet das [[Paritätsbit]] zu <math>s_i</math>:
: <math>b_i = \operatorname{bitnum}(s_i) \; \bmod \; 2</math>.
Die Funktion <math>\operatorname{bitnum}(x)</math> liefert die Zahl der Bits mit dem Wert 1 in der Binärdarstellung von <math>x</math>.

Eine weitere Möglichkeit ist die Bestimmung des Positionsbits, das von der Position von <math>s_i</math> im Intervall <math>[1, n-1]</math> abhängt:
: <math> b_i = \begin{cases}
 1, & \text{wenn } s_i > \lfloor n/2 \rfloor\\
 0, & \text{wenn } s_i \leq \lfloor n/2 \rfloor
\end{cases} </math>.

Am besten ist es jedoch, wenn das Paritätsbit von einigen fest gewählten Bits aus <math>s_i</math> bestimmt wird. Dazu wählt man vorab eine Konstante ''<math>z</math>'' als Maske, die etwa so groß wie ''<math>n</math>'' ist und eine unregelmäßige, „zufällige“ Binärdarstellung aufweist, und berechnet
: <math>b_i = \operatorname{bitnum}(s_i \wedge z) \; \bmod \; 2</math>.
Dabei bezeichnet <math> \wedge </math> die [[Bitweiser Operator|bitweise UND-Verknüpfung]].

Aus einem <math>s_i</math> kann man mehrere Zufallsbits erhalten. Die Erfinder Blum, Blum und Shub haben schon früh vorgeschlagen, das niederwertigste Bit und das Positionsbit zugleich zu nutzen:

: <math> b_{2 \cdot i} = s_i \; \bmod \; 2, \quad b_{2i+1} = \begin{cases}
 1, & \text{wenn } s_i > \lfloor n/2 \rfloor\\
 0, & \text{wenn } s_i \leq \lfloor n/2 \rfloor
\end{cases} </math>.

Man kann zeigen, dass der BBS-Generator kryptografisch auch dann noch sicher ist, wenn bis zu <math> a = \lfloor \log_2 \log_2 n \rfloor </math> Bits aus jedem <math>s_i</math> extrahiert werden. Meist werden einfach die <math>a</math> niederwertigsten Bits genommen:
: <math> b_{a \cdot i+j} = \lfloor s_i \, / \, 2^j \rfloor \; \bmod \; 2 \quad \text{mit} \; j = 0, 1, \ldots , a-1 </math>,
oder etwas elaborierter, mit „disjunkten“ Masken <math>z_j</math>:
: <math> b_{a \cdot i+j} = \operatorname{bitnum}(s_i \wedge z_j) \; \bmod \; 2 \quad \text{mit} \; j = 0, 1, \ldots , a-1 \; ; \quad j \neq k \Rightarrow z_j \wedge z_k = 0 </math>.

=== Symmetrisches Kryptosystem ===
Zunächst wird der BBS-Generator zur Umsetzung einer [[Stromchiffre]] verwendet. Als geheimer Schlüssel zwischen Sender und Empfänger dienen ''<math>n</math>'' und der Startwert ''<math>s</math>'' des Generators.

Z. B. generiert der Sender aus <math>n = 7 \cdot 11 = 77</math> und <math>s = 64</math> nach der oben angegebenen Vorschrift die Folge der ''<math>s_i</math>''. Die zugehörige Pseudozufallszahl <math>b_i</math> ergibt sich beispielsweise aus dem letzten Bit des jeweiligen Wertes von ''<math>s_i</math>'', d. h. ''<math>b_i = s_i \; \bmod \; 2</math>''. Um den Schlüsseltext zu bestimmen, wird der Klartext (im Beispiel: 0011) [[XOR]] mit der Pseudozufallszahlenfolge verknüpft.
  Generierte Folge         15 71 36 64 …
  Pseudozufallszahlenfolge  1  1  0  0 …
  Klartext                  0  0  1  1
  Schlüsseltext             1  1  1  1

Der Empfänger bestimmt seinerseits aus den geheimen Werten ''<math>n</math>'' und ''<math>s</math>'' die Folgen ''<math>s_i</math>'' und ''<math>b_i</math>''. Mit Hilfe des übersendeten Schlüsseltextes wird wiederum mittels XOR der Klartext berechnet.
  Generierte Folge         15 71 36 64 …
  Pseudozufallszahlenfolge  1  1  0  0 …
  Schlüsseltext             1  1  1  1
  Klartext                  0  0  1  1

=== Asymmetrisches Kryptosystem ===
Zur Umsetzung eines [[Asymmetrisches Kryptosystem|asymmetrischen Kryptosystems]] eignet sich der BBS-Generator ebenfalls. Dieses Verfahren wurde 1984 von [[Manuel Blum]] und [[Shafrira Goldwasser|Shafi Goldwasser]] vorgeschlagen und wird auch als '''''Blum-Goldwasser''-Kryptosystem''' bezeichnet. Der geheime Schlüssel auf Seiten des Empfängers sind die Primfaktoren ''<math>p</math>'' und ''<math>q</math>''.

Senderseitig laufen die Berechnungen analog zum obigen symmetrischen Fall ab. Zusätzlich zum Schlüsseltext <math>x_0 \oplus b_0, \ldots, x_i \oplus b_i</math> wird aber noch ''<math>s_{i+1}</math>'' gesendet. Da der Empfänger den Startwert nicht kennt, bildet er mit Hilfe der geheimen Primzahlen ''<math>p</math>'' und ''<math>q</math>'' die Folge der Pseudozufallszahlen ausgehend vom versendeten ''<math>s_{i+1}</math>'' bis zum Startwert ''<math>s</math>'' zurück. Für das Beispiel bedeutet das, der Empfänger erhält ''<math>p = 11</math>'', ''<math>q = 7</math>'', sowie ''<math>s_4 = 15</math>''.

:<math>s_{i-1} = \left(u \cdot p \cdot s_i^{\left(q+1 \right)/4} \bmod q + v \cdot q \cdot s_i^{\left(p+1 \right)/4} \bmod p \right) \bmod n</math> mit <math>n = p \cdot q</math>

Der Ansatz bedient sich des Chinesischen Restealgorithmus, einem Spezialfall des [[Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatzes]]. Die beiden Unbekannten ''<math>u</math>'' und ''<math>v</math>'' sind von den Primfaktoren ''<math>p</math>'' und ''<math>q</math>'' abhängig und werden zu Beginn mittels des [[Erweiterter Euklidischer Algorithmus|erweiterten euklidischen Algorithmus]] bestimmt. Dabei gilt ''<math>u \cdot p + v \cdot q = 1</math>'', also ''<math>2 \cdot 11 - 3 \cdot 7 = 1</math>'' im Beispiel. Damit ergibt sich die folgende Abarbeitung.

:''s''<sub>3</sub> = (22·15<sup>2</sup> mod 7 - 21·15<sup>3</sup> mod 11) mod 77
:''s''<sub>3</sub> = (22·1 - 21·9) mod 77 = 64

:''s''<sub>2</sub> = (22·64<sup>2</sup> mod 7 - 21·64<sup>3</sup> mod 11) mod 77
:''s''<sub>2</sub> = (22·1 - 21·3) mod 77 = 36

:''s''<sub>1</sub> = (22·36<sup>2</sup> mod 7 - 21·36<sup>3</sup> mod 11) mod 77
:''s''<sub>1</sub> = (22·1 - 21·5) mod 77 = 71

:''s''<sub>0</sub> = (22·71<sup>2</sup> mod 7 - 21·71<sup>3</sup> mod 11) mod 77
:''s''<sub>0</sub> = (22·1 - 21·4) mod 77 = 15

:''s'' = (22·15<sup>2</sup> mod 7 - 21·15<sup>3</sup> mod 11) mod 77
:''s'' = (22·1 - 21·5) mod 77 = 64

Empfängerseitig wird nun analog zum symmetrischen Fall aus der eben rückwärts berechneten BBS-Generatorfolge die Folge der Pseudozufallszahlen bestimmt und letztlich durch XOR-Verknüpfung mit dem Schlüsseltext der Klartext generiert.

Ein so konstruiertes asymmetrisches Kryptosystem ist jedoch nicht sicher gegen aktive Angreifer, z. B. durch einen [[Ciphertext_Indistinguishability#IND-CCA|Angriff mit frei wählbarem Geheimtext]] (englisch: ''chosen-ciphertext attack'').

== Sicherheit ==
Die Sicherheit des BBS-Generators basiert auf der Faktorisierungsannahme (FA).<ref>{{Literatur | Autor=Andrey Sidorenko und Berry Schoenmakers | Titel=Concrete Security of the Blum-Blum-Shub Pseudorandom Generator | Sammelwerk=Cryptography and Coding 2005 | Jahr=2005 | Seiten=355–375 | Online=https://www.win.tue.nl/~berry/papers/ima05bbs.pdf}}</ref> Jeder, der BBS brechen kann, kann auch faktorisieren, was aber als praktisch unmöglich gilt. Folglich ist BBS sicher.

'''Faktorisierungsannahme (FA)''': Die Wahrscheinlichkeit, dass ein schnelles [[Faktorisierungsverfahren]] eine ganze Zahl ''<math>n = p \cdot q</math>'' mit Erfolg faktorisiert, sinkt rapide mit zunehmender Länge der Faktoren ''<math>p</math>'' und ''<math>q</math>''.

Zurzeit kann keine sichere Aussage getroffen werden, wie schwer [[Faktorisierung]] ist. Mit anderen Worten, die Frage nach einem Algorithmus, der in ''annehmbarer'' Zeit bei Eingabe beliebiger ''<math>n</math>'' die [[Primfaktorzerlegung]] in ''<math>p</math>'' und ''<math>q</math>'' durchführt, bleibt unbeantwortet. Somit kann die Problematik lediglich mit Hilfe einer Annahme abgeschätzt werden.

Für konkrete praktische Anwendungen fordert man dann, dass bei gegebener Länge der Primfaktoren nur ein bestimmter Teil in einer bestimmten Zeit mit maximal verfügbarer Rechnerkapazität und den besten bekannten Faktorisierungsverfahren faktorisiert werden kann, also z. B. bei einer Länge von 1024 Bit werden 2<sup>−50</sup> Prozent aller ''<math>n</math>'' in einem Jahr faktorisiert.

Wer faktorisieren kann, kann auch BBS brechen. Faktorisieren ermöglicht das Brechen der Quadratischen-Reste-Annahme, was es erlaubt, die Pseudozufallsfolge vorherzusagen. 

'''Quadratische-Reste-Annahme (QRA)''' (englisch: ''quadratic residuosity assumption''): Es ist schwierig (im Sinne von aufwändig), von einer gegebenen Zahl <math>a</math> zu entscheiden, ob sie ein [[Quadratischer Rest]] in einem [[Restklassenring]] <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> ist, d. h. ob es eine Zahl <math>b</math> gibt, so dass <math>a \equiv b^2 \pmod n</math> ist. Die QRA ist wie die FA nicht bewiesen.

Zwei Punkte erschweren diesen Test. Erstens gibt es in einem Restklassenring mehrere ''Wurzeln'' zu einer gegebenen Zahl. So haben z. B. im <math>\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}</math> die Zahlen 1 und 3 die gleichen Quadrate: <math> 1^2 \equiv 3^2 \equiv 1 \pmod 4</math>. Zweitens interessiert man sich nur für solche Quadrate, die selbst Quadrate sind. Diesen Umstand kann man sich mittels der Definition der BBS-Generatorfolge verdeutlichen.

Zusammenfassend gilt daher: Die Sicherheit des BBS-Generators ist äquivalent zur Faktorisierungsannahme.

== Programmierung ==
Der folgende [[Quelltext]] in der [[Programmiersprache]] [[C++]] zeigt die Implementierung eines BBS-Generators. Das Programm berechnet zwei [[Zufallszahl|Zufallszahlen]] und gibt sie auf der Konsole aus.<ref>Stack Exchange Inc.: [https://stackoverflow.com/questions/56408677/pseudo-random-number-generator-using-the-blum-blum-shub-algorithm Pseudo random number generator using the Blum Blum Shub algorithm]</ref>

<syntaxhighlight lang="c++">
#include <iostream>
#include <stdint.h>
using std::cout;
using std::endl;

// Diese Funktionen berechnen je Aufruf ein Zufallsbit mit dem Blum-Blum-Shub-Generator
unsigned blumBlumShub(uint64_t &s, uint64_t n)
{
    s = s*s % n; // Iterationsschritt
    return s & 1;
}
unsigned blumBlumShubMB(uint64_t &s, uint64_t n, uint64_t z)
{
    s = s*s % n; // Iterationsschritt
    uint64_t h = s & z; // extrahiere durch z bezeichnete Bits
    for (int b=32 ; b ; b >>= 1) // bestimme die Parität von h
        h ^= h >> b;
    return h & 1;
}

void main()
{
    uint64_t p =  39983;  // Primzahlen kongruent 3 (mod 4)
    uint64_t q = 101963;
    uint64_t n = p * q;      // Berechnet die Blum-Zahl (Modul)
    uint64_t z = 1665823915; // Zustandsbits, die ausgewertet werden sollen
    uint64_t s = 2367859;    // Startwert

    uint64_t e = 0;
    for (int i = 0; i < 64; i++) // Diese for-Schleifen berechnen je 64 Zufallsbits und geben sie auf der Konsole aus
    {
        e <<= 1;
        e |= blumBlumShub(s, n);
    }
    cout << e << endl;
 
    e = 0;
    for (int i = 0; i < 64; i++)
    {
        e <<= 1;
        e |= blumBlumShubMB(s, n, z);
    }
    cout << e << endl;
}
</syntaxhighlight>

== Siehe auch ==

* [[Erweiterter euklidischer Algorithmus]]
*[[Asymmetrisches Kryptosystem|Asymmetrisches Kryptosystems]]

== Literatur ==
* Lenore Blum, Manuel Blum, und Michael Shub: ''A Simple Unpredictable Pseudo-Random Number Generator'', SIAM Journal on Computing, Band 15, Nr. 2, Seiten 364–383, Mai 1986.
* Lenore Blum, Manuel Blum, und Michael Shub: ''Comparison of two pseudo-random number generators'', Advances in Cryptology: Proceedings of Crypto ’82.
* Martin Geisler, Mikkel Krøigård, und Andreas Danielsen: ''About Random Bits'', Dezember 2004. Als [http://daimi.au.dk/~mg/mamian/random-bits.pdf PDF] und [http://daimi.au.dk/~mg/mamian/random-bits.ps.gz Gzipped Postscript].

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Pseudozufallszahlengenerator]]
[[Kategorie:Kryptologisches Verfahren]]