Quelltext der Seite Dirichlet-Kern

[[Datei:dirichlet.png|mini|300px|Die ersten vier Dirichlet-Kerne. (Die Funktionen sind 2π-periodisch.)]] Der '''Dirichlet-Kern''' ist eine von [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] untersuchte Funktionenfolge. Diese wird in der [[Analysis]] im Teilgebiet der [[Fourier-Analysis]] verwendet. Dirichlet fand im Jahr 1829 den ersten strengen Beweis für die Konvergenz der [[Fourier-Reihe]] von einer periodischen, stückweise stetigen und stückweise monotonen Funktion. Die Konvergenz von Fourier-Reihen wurde schon seit [[Leonhard Euler]] diskutiert. Diese von Dirichlet gefundene Funktionenfolge ist wichtiger Bestandteil dieses Beweises und wird dort als [[Integralkern]] verwendet. Deshalb nennt man sie Dirichlet-Kern.

== Definition ==
Als Dirichlet-Kern bezeichnet man die Funktionenfolge
:<math>D_n(x)=\sum_{k=-n}^n
e^{ikx}=1+2\sum_{k=1}^n\cos(kx)=\frac{\sin\left(\left(n +\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}.</math>

Die Bedeutung des Dirichlet-Kerns hängt mit dem Verhältnis zur [[Fourierreihe]] zusammen. Die [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] von <math>D_n(x)</math> mit einer Funktion <math>f</math> der Periode <math>2\pi</math> ist die Fourier-Approximation <math>n</math>-ten Grades für <math>f</math>. Beispielsweise ist

:<math>(D_n*f)(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(y)D_n(x-y)\,dy=\sum_{k=-n}^n \hat{f}(k)e^{ikx},</math>

wobei

:<math>\hat{f}(k)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-ikx}\,dx</math>

der <math>k</math>-te Fourierkoeffizient von <math>f</math> ist. Daraus lässt sich schließen, dass es zum Studium der [[Grenzwert (Folge)|Konvergenz]] von Fourierreihen ausreicht, die Eigenschaften des Dirichlet-Kerns zu studieren. Aus der Tatsache, dass die [[Lp-Raum|L<sup>1</sup>-Norm]] von <math>D_n</math> für <math>n\to\infty</math> logarithmisch gegen <math>\infty</math> geht, kann man herleiten, dass es [[stetige Funktion]]en gibt, die nicht durch ihre Fourierreihe dargestellt werden.<ref>W. Rudin, ''Real and Complex Analysis''. McGraw-Hill, London 1970. Abschnitt&nbsp;5.11, S.&nbsp;101</ref> Explizit gilt nämlich:

:<math>\int |D_n(t)|\,dt = \frac{4}{\pi^2}\log n + \mathcal{O}(1)</math>

Für die <math>\mathcal{O}</math>-Notation siehe [[Landau-Symbole]].

== Beziehung zur Delta-Distribution ==
Die periodische [[Delta-Distribution]] ist das [[Neutrales Element|neutrale Element]] für die Faltung mit <math>2\pi</math>-[[Periodizität (Mathematik)|periodischen]] Funktionen:

:<math>f*(2\pi \delta)=f \,</math>

für jede Funktion <math>f</math> mit Periode <math>2\pi</math>. Die Fourierreihe wird durch folgende "Funktion" repräsentiert:

:<math>2\pi \delta(x)\sim\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}=\left(1 +2\sum_{k=1}^\infty\cos(kx)\right).</math>

== Beweis der trigonometrischen Identität ==

Die [[Formelsammlung Trigonometrie|trigonometrische Identität]]

:<math>\sum_{k=-n}^n e^{ikx}
=\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}</math>

kann wie folgt bewiesen werden. Dazu vergegenwärtige man sich die endliche Summe der [[Geometrische Reihe|geometrischen Reihe]]:

:<math>\sum_{k=0}^n a r^k=a\frac{1-r^{n+1}}{1-r}.</math>

Insbesondere gilt

:<math>\sum_{k=-n}^n r^k=r^{-n}\cdot\frac{1-r^{2n+1}}{1-r}.</math>

Multipliziert man Zähler und Nenner mit <math>r^{-{1 \over 2}}</math>, erhält man

:<math>\frac{r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}\cdot\frac{1-r^{2n+1}}{1-r} =\frac{r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}.</math>

Im Fall von <math>r = e^{ix}</math> erhält man

:<math>\sum_{k=-n}^n e^{ikx}=\frac{e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}} =\frac{-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}</math>

und kürzt schließlich mit <math>-2i</math>.

== Literatur ==
* Kurt Endl, Wolfgang Luh: ''Analysis II. Eine integrierte Darstellung''. 7. Auflage, Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, S. 117.
* Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: ''Real Analysis''. ClassicalRealAnalysis.com 1996, ISBN 013458886X, S. 620 ([https://books.google.de/books?id=1WY6u0C_jEsC&hl=de vollständige Online-Version (Google Books)])

== Weblinks ==
* [https://planetmath.org/dirichletkernel Dirichlet Kernel] bei [[PlanetMath]] (engl.)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]