Quelltext der Seite Diskussion:Funktion (Mathematik)/Archiv/2

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== G_f ==

Wozu dieser Term, da ja G<sub>f</sub> = f ? --[[Spezial:Beiträge/91.54.27.109|91.54.27.109]] 17:26, 8. Feb. 2013 (CET)

: Wo steht G_f =f? Weil das eine ist der Funktionsgraph und das andere die Funktion, das ist nicht das Gleiche. Und warum hast du das im Artikel rot gemacht? --[[Benutzer:Xario|<big>''χ''</big>ario]] 17:47, 8. Feb. 2013 (CET)

Ich habe eingefärbt um jemanden zu veranlassen zu reagieren. Sind G<sub>f</sub> und f wirklich verschiedene mathematische Objekte? Nach den im Artikel gegebenen Definitionen ist es nicht zu entnehmen.  --[[Spezial:Beiträge/91.54.55.116|91.54.55.116]] 19:39, 8. Feb. 2013 (CET)

:Im Abschnitt "Mengentheoretische Definition" wir doch gesagt, dass drei ''verschiedene'' Definitionen üblich sind: Nur bei der ersten wird ein Funktion als ihr Graph definiert, bei den anderen ist eine Funktion ein Paar oder ein Tripel von Mengen, dann muss eine so definierte Funktion von ihrem Graph unterschieden werden. Und in Zukunft bitte keinen Artikel mehr ändern, um Aufmerksamkeit zu bekommen, sondern nur noch um den Artikel zu verbessern! -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 19:54, 8. Feb. 2013 (CET)

:([[WP:BK|BK]]) Lies mal den verlinkten Artikel [[Funktionsgraph]], da wird das genauer erläutert. Die Einfärbung im Artikel war trotzdem nicht gerechtfertigt und ist auch schon wieder draussen. --[[Benutzer:Xario|<big>''χ''</big>ario]] 19:58, 8. Feb. 2013 (CET)

Ich habe die Diskussion angeregt, weil mir der im Artikel vorgelegte Funktionsbegriff nicht präzise definiert scheint. Zum Beispiel ist die dort durch die Aussage f =(G<sub>f</sub>,D,Z) implizierte Definition zirkular, also gar keine Definition. Eine präzise Definition des Funktionsbegriffs mit Varianten ist recht aufwendig, wie eine mir vorliegende zeigt.

Dass sich in vielen Publikationen dieser Funktionsbegriff nicht findet, liegt wohl daran, dass man anstelle des Objekts (f,A,B) die flexiblere Aussage f:A<math>\to</math>B verwenden kann. --[[Spezial:Beiträge/91.54.41.53|91.54.41.53]] 17:15, 10. Feb. 2013 (CET)

:Wieso impliziert f=(G<sub>f</sub>,D,Z) keine Definition? Kannst Du angeben, wo die Dir vorliegende Definition des Funktionsbegriffs einzusehen ist? --[[Spezial:Beiträge/80.134.177.146|80.134.177.146]] 13:00, 11. Feb. 2013 (CET)

::In Beantwortung deiner ersten Frage schreibe ich der Übersichtlichkeit halber G[f] anstelle G<sub>f</sub>. Nach besagter Definition ist f=(G[f],D,Z)=(G[(G[f],D,Z)],D,Z)=(G[(G[(G[f],D,Z)],D,Z)],D,Z)=(G[(G[(G[(G[f],D,Z)],D,Z)],D,Z)],D,Z)=...ad infinitum.

::Zur zweiten Frage: Die Definition befindet sich in alten Datenbeständen von mir als PDF-Datei. Ich gebe hier einen kurzen Auszug, der sich auf das angeschnittene Problem bezieht.

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Eine Menge geordneter Paare heißt '''Funktion''', wenn sie keine verschiedenen Elemente mit gleicher erster Komponente enthält. Die Menge der ersten und die der zweiten Komponenten ihrer Elemente nennt man ihren '''Argumente-''' respektive '''Wertebereich'''.<br />

Seien f eine Funktion, A und B Mengen. Man schreibt

:'''Ab'''(f) für "Argumentebereich von f"

:'''Wb'''(f) für "Wertebereich von f"

:f:x<math>\mapsto</math>y für "(x,y) ist Element von f"

:f(x) für "die zweite Komponente desjenigen Elementes von f, dessen erste Komponente x ist"

Man nennt f eine ''''Funktion von''' A '''nach''' B', wenn '''Ab'''(f) Teilmenge von A und '''Wb'''(f) Teilmenge von B ist, insbesondere '''total''', wenn '''Ab'''(f)=A, '''partiell''', wenn '''Ab'''(f)≠A, '''surjektiv''', wenn '''Wb'''(f)=B.

Man schreibt f:A→B für "f ist eine totale Funktion von A nach B"

Ist f:A→B, dann werden das geordnete Paar (f,B) und das Tripel (f,A,B) '''Funktionen mit Bereichsangabe''' genannt. Die erste Komponente einer solchen Funktion nennt man ihren '''Graph'''.

Sei F eine Funktion mit Bereichsangabe. Man schreibt

:'''Gr'''(F) für "Graph von F"

:'''Ab'''(F) für "'''Ab'''('''Gr'''(F))"

:'''Wb'''(F) für "'''Wb'''('''Gr'''(F))"

:F:x<math>\mapsto</math>y für "'''Gr'''(F):x<math>\mapsto</math>y"

:F(x) für "'''Gr'''(F)(x)"

Man nennt den Argumente- und Wertebereich von '''Gr'''(F) auch '''Argumente-''' respektive '''Wertebereich von''' F.
--[[Spezial:Beiträge/84.189.234.90|84.189.234.90]] 17:03, 12. Feb. 2013 (CET)

:: Das scheint mathematisch korrekt zu sein, aber warum hast du vom Üblichen abweichende Notationen gewählt? --[[Spezial:Beiträge/80.134.189.118|80.134.189.118]] 07:32, 13. Feb. 2013 (CET)

=== Eine kritische Bemerkung ===

Die ersten drei Punkte im Abschnitt ''Mengentheoretische Definition'' des Artikels sagen auf recht umständliche Weise aus, dass Funktionen nichts anderes als rechteindeutige Mengen geordneter Paare sind. Nach einer ganz andere Definition, und die scheint mir im Artikel intendiert zu sein, sind Funktionen Tripel (A,B,C) wobei A eine rechteindeutige Teilmenge von B x C ist.<br />

Dann kann man weiter so definieren: die Komponenten einer Funktion, f, heißen der Reihe nach ''Graph'', ''Argumentebereich'', ''Zielbereich von'' f, so notiert: G<sub>f</sub>, A<sub>f</sub>, Z<sub>f</sub>. Die kleinste Teilmenge a von A<sub>f</sub> und z von Z<sub>f</sub>, für die (f,a,z) eine Funktion ist, heißt ''Definitionsbereich'' respektive ''Wertebereich'' von f, so notiert: D<sub>f</sub>, W<sub>f</sub>. f heißt ''total'' wenn D<sub>f</sub>=A<sub>f</sub>, andernfalls ''partiell'', f heißt ''surjektiv'', wenn W<sub>f</sub>=Z<sub>f</sub>. Für “(x,y) <math>\in</math> G<sub>f</sub>” schreibt man “f:x <math>\mapsto</math> y”. Die rechte Komponente desjenigen Elementes von G<sub>f</sub>, dessen linke Komponente x ist, notiert man so: f(x).<br />
<small>NB. Diese Definition des Funktionsbegriffs ist mir außer in der Wikipedia nirgends begegnet</small>. --[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 11:51, 14. Feb. 2013 (CET)
=== Artikelanfang präzisiert ===

Von der Bedeutung in der Mathematik her liegt der Funktionsbegriff gleich mit dem Mengenbegriff. Jener ist leicht fassbar und bedarf zur Definition außer dem Paarbegriff keiner weiteren Begriffe. Rückführung auf kartesisches Produkt und/oder Relation belasten nur. Die ganze Definition steht ja schon in der Einleitung des Artikels. Ich habe versucht, ohne überflüssige Tabellen und ohne Jargon auszukommen und das Notwendige mit ausreichender Präzision darzulegen. Einige weitere Kapitel müssten noch angeglichen werden.  --[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 15:44, 4. Mär. 2013 (CET)
== Mengentheoretische Definition, Klassifikation entfernt ==

In den von mir eingebrachten beiden Subkapiteln gibt es weder totale noch partielle noch surjektive Funktionen, was ja wohl nach Eulenspiegel1' Vorstellung unrichtig ist.  --[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 15:08, 16. Mär. 2013 (CET)
:Dasselbe gilt für die verbliebenen Teile meiner eingebrachten Subartikel. Bitte um Rückstellung auf die Vorhederichbeiträge, ich weiß leider nicht, wie das zu bewerkstelligen ist; danke. --[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 20:48, 16. Mär. 2013 (CET)
::Richtig. In den beiden von dir eingebrachten Subkapiteln gab es keine partiellen Funktionen. Das ist ja das, was ich deinem Subkapitel ankreide. Wie du auf surjektive Funktionen kommst, ist mir jedoch schleierhaft.
::Deinen zweiten Absatz verstehe ich überhaupt nicht. Was willst du uns damit sagen? --[[Benutzer:Eulenspiegel1|Eulenspiegel1]] ([[Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1|Diskussion]]) 23:05, 16. Mär. 2013 (CET)
:::Auf dein  Herausnehmen meiner beiden Subkapitel „Eindeutige und mehrdeutige Funktionen“ und „Verallgemeinerter Funktionsbegriff“ ohne sachliche Begründung werde ich zu einem späteren Zeitpunkt eingehen. 
:::Vielleicht verstehen wir unterschiedlich die Begriffe  totale, partielle, surjektive Funktion. Könntest du mir anhand kleiner Beispielen eine totale, eine partielle, eine surjektive Funktion, am besten in mengentheoretischer Schreibung, angeben? oder einfacher gefragt: von welcher Art ist die Funktion {(1,2)}? Grüße --[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 20:11, 18. Mär. 2013 (CET)
::::Es gab bereits ein Kapitel über den verallgemeinerten Funktionsbegriff. Du hattest dieses alte Kapitel ohne sachliche Begründung herausgenommen und durch ein schlechteres neues Kapitel ersetzt.
::::Ich verstehe unter partielle und surjektive Funktion genau das, was im Artikel darunter definiert ist. 
::::Bei {(1,2)} musst du noch angeben, in welchen Wertebereich du die Funktion einbettest, bevor man sagen kann, ob die Funktion surjektiv ist oder nicht: Im Raum {2} ist die Funktion surjektiv. Im Raum <math>\R</math> ist die Funktion nicht surjektiv. Wenn keine explizite Quellmenge angegeben wird, ist es eine Vereinbarung, dass die Quellmenge=Definitionsbereich ist. Daher handelt es sich bei {(1,2)} um eine totale und keine partielle Funktion. --[[Benutzer:Eulenspiegel1|Eulenspiegel1]] ([[Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1|Diskussion]]) 22:41, 18. Mär. 2013 (CET)
:::::Der von dir angesprochene ''gute Subartikel'' „Funktionen mit Werten in einer echten Klasse“ des Artikels „Verallgemeinerungen“ verallgemeinert nicht den klassischen Funktionsbegriff: nach wie vor sind hier Funktionen Mengen geordneter Paare. Eine Verallgemeinerung besteht darin, dass Funktionen auch echte Klassen geordneter Paare sein können, wie ich mit Beispielen im, wie du meinst, ''schlechteren Artikel'', dargelegt habe und wie er auch in oft zitierter Literatur (z.B. [[Arnold Oberschelp|Oberschelp]]) zu finden ist.<br />Nebenbei: von  ''Funktionen mit Werten in einer echten Klasse''  zu reden ist lächerlich und bezeugt den Verfasser als nicht vertraut mit den Grundlagen der Mathematik: Jedes mathem. Objekt ist Element einer echten Klasse, so z.B. auch die reellen Zahlen.  Grüße, --[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 16:30, 19. Mär. 2013 (CET)
:::::Ich nehme jetzt deinen Satz “Bei {(1,2)} musst du noch angeben, in welchen Wertebereich du die Funktion einbettest,...“ ins Auge. Im Titel des Subartikels “Partielle Funktionen“ des Artikels “Verallgemeinerungen“ wird impliziert, dass man einer Funktion eine Partiellität  ansehen kann, was jedoch, wie du selbst bemerkst, nicht der Fall ist. Aussagen über Totalität, Partiellität, Surjektivität kann nur von Funktionen in Bezug auf Mengen erfolgen und das muss im Titel des Artikels ersichtlich sein. Siehe hierzu den Subartikel “Klassifikation”. --[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 18:44, 19. Mär. 2013 (CET)
::::::Der von mir angesprochene gute Artikel ist [[Funktion_(Mathematik)#Verallgemeinerungen|Verallgemeinerungen]]. Und ja, echte Klassen geordneter Paare ist ebenfalls '''eine''' Verallgemeinerung. Und du musst das nicht mit Beispielen darlegen. Diese Aussage ist auch vollkommen ohne Beispiele trivial. Nur um das nochmal klarzustellen: Ich halte dein Kapitel nicht für schlechter, weil dort steht, dass echte Klassen geordneter Paare eine Verallgemeinerung des Funktionsbegriffs ist. Das stört mich überhaupt nicht. Wie ich in der Zusammenfassungszeile geschrieben habe, stört mich, dass dort nicht auf partielle Funktionen und Multifunktionen eingegangen wird. Außerdem halte ich das Schaubild für recht interessant, wo die Funktionen als Spezialfall der Relationen eingeordnet sind. Allgemein verweise ich mal auf [[Wikipedia:Fototipps#Wikipedia_braucht_Bilder|Wikipedia braucht Bilder]].
::::::Und klar, jedes Objekt ist Element in einer echten Klasse. Darum geht es aber nicht! Es gibt Definitionen für Funktionen, bei denen der Wertebereich Teil der Funktion ist. Und hier muss der Wertebereich eine Menge sein. Ebenso gibt es Modelle außerhalb von [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|ZFC]], bei denen f(X) keine Menge ist, obwohl X eine Menge ist.
::::::Es gibt nicht nur eine Definition von "Funktion" sondern mehrere. Diese sind nicht 100% äquivalent. Bei der mengentheoretischen Definition von Funktion ist Surjektivität keine intrinsische Eigenschaft der Funktion sondern hängt davon ab, in welche Menge die Funktion eingebettet wird. Wenn man Funktion jedoch als Tripel oder Paar definiert, dann ist surjektiv eine intrinsische Eigenschaft der Funktion. --[[Benutzer:Eulenspiegel1|Eulenspiegel1]] ([[Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1|Diskussion]]) 20:50, 19. Mär. 2013 (CET)
:::::::Eulenspiegel, ich kenne den Funktionsbegriff nur aus wissenschaftlicher Literatur, kann mich mit der Philosophie der Wikipedia nicht anfreunden und möchte dich ganz herzlich bitten, die alte Artikelversion wiederherzustellen, d.h. die vor dem 22. Feb. 2013 gültig war. Leider weiß ich nicht, wie das zu bewerkstelligen ist, auch wäre ich wohl nicht dazu berechtigt. Grüße mit Dank voraus --[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 12:16, 20. Mär. 2013 (CET) ‎
:::::: Funktionen <math>f\colon A \to B</math> sind nicht das selbe wie Relationen, sondern rechtseindeutige und linkstotale Relationen: Das ist Standard!
:::::: Man kann zwar die Linkstotalität fallen lassen und eine partielle Funktion <math>f\colon A \rightsquigarrow B</math> „Funktion“ nennen, aber dann müsste man jedesmal umständlich von einer „linkstotalen Funktion“ sprechen, wenn man eine Funktion im üblichen Sinn meint. Dass fast jeder Autor seine eigene, teils anderen widersprechende Nomenklatur haben soll, sehe ich nicht. Wenn Oberschelp eine unübliche Nomenklatur verwenden sollte, dann kann das kein Maßstab für Wikipedia sein: Ein Nachschlagewerk wie Wikipedia macht keinen Sinn, wenn es von den allgemein verwendeten Notationen und Definitionen abweicht, und es müssten auch sämtliche Artikel, die den bisherigen Funktionsbegriff irgendwie benutzen, entsprechend überarbeitet werden! --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 17:57, 9. Aug. 2013 (CEST)

=== Antwort RPI ===

RPI, wärest du Mathematiker, dann wüsstest du, dass es weder '''''totale Funktionen''''' noch '''''partielle Funktionen''''' gibt. Dein obiger Diskussionsbeitrag ist haarsträubend,  Ich denke nicht daran, ihn zu kommentieren, du könntest das selbst tun, wenn du meinen Entwurf aufmerksam lesen und dabei nicht die Unzulänglichkeiten und die vielen mathematisch nicht haltbaren Aussagen im derzeitigen diffusen Artikel gegenwärtig haben würdest. Grüße --[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 17:00, 13. Aug. 2013 (CEST)

:Um welche Formulierungen geht's hier eigentlich? Und wieso soll es keine [[partielle Funktion|partiellen Funktionen]] geben? Was einen Wikipedia-Artikel hat, existiert auch ;-) <small>naja meistens</small> ... -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 09:24, 14. Aug. 2013 (CEST)

::Wenn man mir zustimmt, dass {(1,2),(2,3)} eine Funktion ist, dann frage ich: welche der Attribute „total“, „partiell“, „surjektiv“, „injektiv“ treffen auf sie zu?  --[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 10:35, 14. Aug. 2013 (CEST)

:::Der Artikel nennt drei verschiedene mengentheoretische Definitionen und je nach verwendeter Definition können andere Eigenschaften betrachtet werden: „injektiv“ klappt immer, aber schon für „surjektiv“ muss die zweite oder dritte verwendet werden, für „partiell“ und „total“ braucht man die dritte. Dein Beispiel ist eine Funktion nach der ersten Definition. Wichtig ist auch, dass partielle Funktionen im Sinne des Artikel keine Funktionen sind, aber darum stehen sie ja auch unter „Verallgemeinerungen“. In der Informatik ist allerdings die Sprechweise üblich, dass eine partielle Funktion nur „Funktion“ genannt werden. -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 11:05, 14. Aug. 2013 (CEST)

::::Der Funktionsbegriff ist hier auf zwei verschiedene  Weisen definiert, einmal sind Funktionen rechtseindeutige Klassen (Mengen) geordneter Paare, das andere Mal Tripel. Wie man aus diesem fatalen Dilemma herauskommt, habe ich  in meinem vom Sichter RPI am 9.Aug. entfernten Entwurf, weil er diesen wohl nicht verstanden hat, in aller Deutlichkeit dargelegt. Ich selbst habe in keiner wissenschaftlichen Literatur Funktionen als Tripel angetroffen (außer einmal bei Bourbaki, wo dort schon, in der ersten Hälfte des vergangenen Jahrhunderts, diese Problematik angesprochen wurde.) --[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 14:22, 14. Aug. 2013 (CEST)

:::::Wenn du neuere Quellen für die Tripeldefinition haben möchtest: Mac Lane, ''Categories for the Working Mathematician'', Adámek, Herrlich, Strecker, ''The Joy of Cats'', Pumplün, ''Elemente der Kategorientheorie''. Ist in Werken zur Kategorientheorie Standard, diese Definition in der Einleitung aufzuführen. Das „in älterer Literatur“ ist somit falsch. Die Erwähnung echter Klassen halte ich in beiden Versionen für nicht sehr gelungen. Das klingt gerade so, als wäre die Unterscheidung unwichtig („Heute sehen manche Autoren den Funktionsbegriff nicht unbedingt auf Mengen beschränkt an“ – das ist doch keine empirische Angelegenheit, sondern eine definitorische!), tatsächlich jedoch wird dort wohlunterschieden, was auch in der Nomenklatur Ausdruck findet. --[[Benutzer:Chricho|Chricho]] [[BD:Chricho|¹]] [//de.wikipedia.org/w/?title=BD:Chricho&amp;action=edit&amp;section=new ²] [[Benutzer:Chricho/Keine_Verbesserung|³]] 14:51, 14. Aug. 2013 (CEST)
:::::Und ich würde so weit gehen, zu sagen, dass der in der heutigen Mathematik verbreitetste Funktonsbegriff die Zielmenge mit einschließt. Die Definition durch Paare oder Tripel bildet einen modernen und notwendigen Ansatz, die von dir eingeführten Sprechweisen, dass Funktionen immer nur surjektiv bzgl. einer Menge genannt werden, ist eine Ad-hoc-Lösung, die mit vielen Strukturen der modernen Mathematik nicht zusammen passt. --[[Benutzer:Chricho|Chricho]] [[BD:Chricho|¹]] [//de.wikipedia.org/w/?title=BD:Chricho&amp;action=edit&amp;section=new ²] [[Benutzer:Chricho/Keine_Verbesserung|³]] 18:31, 14. Aug. 2013 (CEST)

:::::: Hederich, wärest ''du'' Mathematiker, dann würdest du erkennen, dass es kein Dilemma gibt! Wenn man konsequent entweder die eine Definition oder die andere Definiton für Relationen benutzt, dann gelten die genau so auch für Funktionen, da diese spezielle Relationen sind. Auch bei der einfachen Definiton einer zweistelligen Relation als Teilmenge eines kartesischen Produkts zweier Mengen werden Vorbereich und Nachbereich trotzdem direkt oder indirekt dazu angegeben, nämlich durch das kartesische Produkt von Vorbereich und Nachbereich. Diese Definition ist formal „unsauber“, hat aber den Vorteil, dass vieles dann einfacher zu formulieren ist, weil es dabei keinen Unterschied zwischen einer Relation und ihrem Grafen gibt. Bei der ausführlichen Definition entspricht der Graf der Relation der Relation im Sinne der einfachen Definition. Die ausführliche Definition ist formal „sauber“, hat aber den Nachteil, dass man immer Vorbereich und Nachbereich „mitschleppen“ muss und vieles dann genauer zu formulieren ist, weil es den Unterschied zwischen der Relation und ihrem Grafen gibt. Ein wirkliches Problem ist das aber nicht, wenn man sich strikt an die Definition hält. --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 18:38, 14. Aug. 2013 (CEST)

::::::: Hier noch eine Tripel-Definition aus einem aktuellen Lehrbuch bei Google Books: [http://books.google.de/books?id=e8XFpNpkBosC&pg=PA24#v=onepage&q&f=false]. Was ist eigentlich mit der Definition im Artikel als ''Paar'' aus Graph und Zielmenge? Die wird ja sehr herausgestellt, aber erscheint mir dennoch etwas unüblich, oder kennt jemand dafür auch Literaturstellen? -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 19:08, 14. Aug. 2013 (CEST)

:::::::: Die Definition als geordnetes Paar habe ich weder in einem Buch noch in einem Artikel jemals gesehen: Vielleicht meinte ein Wikipedia-Autor, diese Möglichkeit aufzeigen zu müssen. Die geringfügige Verkleinerung des Schreibaufwandes wird aber mit dem Nachteil erkauft, dass dann eine Funktion keine echte Relation mehr ist, auch wenn sie äquivalent zu einer linkstotalen, rechtseindeutigen Relation wäre. Man wäre dann jedoch gezwungen, immer zwischen den verschiedenen Schreibweisen hin und her zu wechseln, was die Handhabung unnötig erschwert. Diese Definition gehört meiner Meinung nach nicht in den Wikipedia-Artikel. --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 09:26, 15. Aug. 2013 (CEST)
:::::::: Die Tripel-Definition kann man auch so wie in dem Lehrbuch machen: Es ist nämlich zunächst einmal Geschmacksache, ob man erst den Graf und danach Vor- und Nachbereich angibt oder umgekehrt. Im Prinzip wäre jede Permutation dieser drei Teile möglich, sinnvoll ist es aber, den Vorbereich links vom Nachbereich zu schreiben – wenn man von links nach rechts schreibt (ich weiss nicht, ob das z.B. auf arabisch dann anders herum üblich ist). Mit dieser Einschränkung gäbe es nur noch eine dritte Variante, bei der der Graf zwischen Vor- und Nachbereich geschrieben würde. Und welche dieser Varianten sollte man nehmen? Bei [[Mathematische Struktur|mathematischen Strukturen]] ist es allgemein üblich, zuerst die Grundmenge zu schreiben und dann die strukturgebenden Mengenkonstrukte wie Relationen oder Mengensysteme. Im Sinne einer stringenten Schreibweise könnte man das bei Relationen auch so machen und zuerst Vor- sowie Nachbereich und erst danach den „strukturgebenden“ Grafen angeben. Damit aber tatsächlich das gleiche Konstrukt herauskommt, müsste man allerdings an Stelle von Vor- und Nachbereich deren kartesisches Produkt angeben, sodass man die gleiche Situation hat wie bei topologischen Räumen. Damit ergibt sich also eine weitere Möglichkeit, eine Relation genau anzugeben: als eine strukturierte Menge bzw. als ein geordnetes Paar bestehend aus dem kartesischen Produkt von Vor- und Nachbereich sowie dem Grafen. --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 10:44, 15. Aug. 2013 (CEST)

::::::::: Die Paardefinition habe ich noch nie gesehen, aber man sollte da wohl nochmal recherchieren und der Hinweis, dass in der Tripeldefinition der Vorbereich keine zusätzliche Information liefert, ist schon gerechtfertigt und sinnvoll. Zur Reihenfolge: Das scheint recht uneinheitlich gemacht zu werden: Mac Lane sagt, eine Funktion ist  {{"|lang=en|a set <math>X</math>, a set <math>Y</math>, and a rule <math>x\mapsto fx</math> which assigns to each element <math>x\in X</math> an element <math>fx\in Y</math>}}. ''Joy of Cats'' macht <math>(X,f,Y)</math> für <math>f\colon X\to Y</math>. Pumplün macht <math>f=(Y,F,X)</math> (wobei er <math>F</math> eine Funktion und das Tripel <math>f</math> eine Abbildung nennt). Wer hat mehr Literaturvorschläge? Auf welcher Seite steht es bei Bourbaki? --[[Benutzer:Chricho|Chricho]] [[BD:Chricho|¹]] [//de.wikipedia.org/w/?title=BD:Chricho&amp;action=edit&amp;section=new ²] [[Benutzer:Chricho/Keine_Verbesserung|³]] 13:18, 15. Aug. 2013 (CEST)

:::::::: Wie schon gesagt: Eine Tripel-Definition ist notwendig für Relationen und wenn Funktionen spezielle Relationen sein sollen, muss man die auch als Tripel definieren und für die Reihenfolge im Tripel gibt's drei sinnvolle.
:::::::: Dass man, wie es Pumplün (er ist mir völlig unbekannt) tut, den Grafen der Abbildung <math>f</math> „Funktion“ zu nennen, ist eine unschöne Variante, die ich noch nicht kannte. In jüngerer Zeit scheinen offenbar immer mehr Autoren zu meinen, eine andere mögliche Variante nehmen zu müssen, als die m.E. bisher am weitesten verbreitete: <math>f = (G_f,A,B)</math> ist gleichbedeutend mit <math>f\colon\, A \to B</math> und <math>(a,fa) \in G_f</math> mit <math>a \mapsto fa,</math> statt <math>fa</math> (sogenannte Operatorschreibweise) kann man aber auch – wie meist üblich – <math>f(a)</math> schreiben, falls <math>(a) = a.</math>
:::::::: Konsequenter wäre es, <math>a \mapsto fa</math> oder <math>(a) \mapsto f(a)</math> zu schreiben, denn bei mehreren Argumenten schreibt man ja auch <math>(a_1, \ldots, a_n) \mapsto f(a_1, \ldots, a_n),</math> d.h. <math>f</math> bildet eigentlich immer nur ''ein'' Element aus dem Definitionsbereich <math>A = \{a \mid a \in A\} = \{(a) \mid a \in A\}</math> bzw. <math>A_1 \times \ldots \times A_n = \{(a_1, \ldots, a_n) \mid a_1 \in A_1, \ldots, a_n \in A_n\}</math> ab (das gilt natürlich auch für unendliche kartesische Produkte). --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 15:39, 15. Aug. 2013 (CEST)

=== RPI, du schreibst oben: ===

*<math>f = (G_f,A,B)</math> ist gleichbedeutend mit <math>f\colon\, A \to B</math> und <math>(a,fa) \in G_f</math>
Liege ich richtig, wenn ich hieraus schließe, dass auch folgendes korrekt ist?
*<math>f = (G_f,A,B)</math> ist gleichbedeutend mit <math>(G_{(G_f,A,B)},A,B)\colon\, A \to B</math> und <math>(a,(G_{(G_f,A,B)},A,B)a) \in G_{(G_{(G_f,A,B)},A,B)}</math>
*<math>f = (G_f,A,B)</math> ist gleichbedeutend mit <math>(G_{(G_{(G_f,A,B)},A,B)},A,B)\colon\, A \to B</math> und <math>(a,(G_{(G_{(G_f,A,B)},A,B)},A,B)a) \in G_{(G_{(G_{(G_f,A,B)},A,B)},A,B)}</math>
:<math>\vdots</math>
:ad infinitum. Grüße --[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 11:22, 21. Aug. 2013 (CEST)

:Hatten wir diese Diskussion nicht schon in [[Diskussion:Relation (Mathematik)]]? Grüße, --[[Benutzer:Quartl|Quartl]] ([[Benutzer Diskussion:Quartl|Diskussion]]) 11:26, 21. Aug. 2013 (CEST)

::Ja Quart, sie hat aber, wie du siehst, nichts bewirkt. Grüße --[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 12:47, 21. Aug. 2013 (CEST)
:Lothario, nehmen wir mal die Funktion f(x) = x+1. Diese ist gleichbedeutend mit x = -1 + f(x).
:Soweit stimmst du mir zu, oder? Dann folgt nach deiner Argumentation:
:*x = -1+f(-1+f(x))
:*x = -1+f(-1+f(-1+f(x)))
:*x = -1+f(-1+f(-1+f(-1+f(x))))
::<math>\vdots</math>
:ad infinitum
:Das ist sogar alles richtig. In wie weit ist aber die Tatsache, dass man bei einer Gleichung ad infinitum etwas einsetzen kann, jetzt ein Argument für irgendetwas?
:Falls du nur wissen wolltest, ob deine ad infinitum Gleichungskette richtig ist: Ja, sie ist richtig.
:Falls du mit deiner ad infinitum Gleichungskette irgendetwas ausdrücken wolltest: Was willst du damit ausdrücken? Dass es eine besondere Eigenschaft von Graphen ist? Nein, ist es nicht. Das findet man fast überall, wo es Gleichungen gibt. --[[Benutzer:Eulenspiegel1|Eulenspiegel1]] ([[Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1|Diskussion]]) 18:21, 21. Aug. 2013 (CEST)

::Eulenspiegel, wenn du im ersten Satz oben nicht die '''Aussage''' <math>f(x)\!=\!x\!+\!1</math> geschrieben hättest sondern die '''Definition''' <math>f\colon x\mapsto x\!+\!1</math> oder, gleichbedeutend, <math>f(x)\!:=\!x\!+\!1</math>, dann wäre ich mit dir zufrieden. <br />

::<math>f = (G_f,A,B)</math> ist, mathematisch gesehen, nichts anderes als eine Aussage über zwei mathematische Objekte, hier durch die beiden Terme <math>f</math> und <math>(G_f,A,B)</math> angegeben. Sinn haben Aussagen natürlich nur dann, wenn klar ist, für welche Objekte die beteiligten Termen stehen. Das kann ich hier nicht erkennen. Hätte RPI anstelle 

:::*<math>f = (G_f,A,B)</math> ist gleichbedeutend mit <math>f\colon\, A \to B</math> und <math>(a,fa) \in G_f</math>

::zum Beispiel geschrieben:

:::*<math>f:=(g,A,B)</math>, wobei <math>g\colon A\to B</math>, nennt man ''Tripelfunktion'', <math>g</math> ihren ''Graph'' und bezeichnet diesen mit <math>\mathrm{G}_f</math>.

::dann wäre ich auch mit RPI zufrieden. Grüße --[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 12:37, 22. Aug. 2013 (CEST)

::: Hederich, mach's doch nicht so kompliziert! Hier geht's um eine mathematische Definition und nicht um Programmierung: <math>f = (G_f,A,B)</math> ist eine vereinfachende Schreibweise und keine sich selbst aufrufende Endlosschleife in einem Programm. <math>(G_f,A,B)</math> ist zunächst nur als eine aus 8 Zeichen bestehende symbolische Schreibweise für ein entsprechendes Tripel. Um sich das Schreiben und Lesen zu vereinfachen benennt man das ganze Ding einfach nach dem Index des Graphen <math>f</math> und schreibt kurz <math>f = (G_f,A,B)</math> oder macht umgekehrt die Festsetzung <math>f = (G,A,B)</math> und nennt <math>G</math> den Graphen von <math>f</math> und kennzeichnet ihn, um ihn von Graphen anderer Funktionen zu unterscheiden, mit dem Index <math>f.</math> Dass dabei in <math>(G_f,A,B)</math> für <math>f</math> wiederum <math>(G_f,A,B)</math> [[Substitution (Mathematik)|substituiert]] werden darf, hat niemand behauptet.
::: Auf der anderen Seite hast du aber auch nicht ganz unrecht, denn diese Verfahrensweise ist keine wirklich gute formale Definition, weil sie zu dem von dir aufgezeigten Mißverständnis führen kann. Dein Vorschlag mit <math>f := (g,A,B)</math> sollte aber <math>f\colon A \to B</math> bedeuten, weil man sonst mit <math>g\colon A \to B</math> dann vollkommen unüblich <math>\mathrm G_f\colon A \to B</math> schreiben könnte. <math>f\colon A \to B</math> besagt ja gerade, dass <math>f</math> eine Funktion und nicht der Graph einer Funktion ist.
::: Eine andere, vielleicht die einfachste formal korrekte Variante wäre meiner Meinung nach die folgende: Man nimmt die einfache Variante der Definition einer (zweistelligen) Relation <math>R \subseteq A\times B</math> und definiert dann eine Funktion <math>f := (R,A,B),</math> wobei <math>R</math> linkstotal und rechtseindeutig sein soll. <math>R</math> bezeichnet man dann als den Graphen von <math>f</math> und schreibt dafür <math>\mathrm G_f.</math> Das hätte die Konsequenz, dass dann formal korrekt <math>A^I = \{\mathrm G_f \mid f\colon I \to A\}</math> gelten muss und eine Familie <math>(a_i)_{i\in I}</math> mit <math>a_i \in A</math> für alle <math>i \in I</math> dementsprechend keine Funktion, sondern der Graph <math>\mathrm G_f</math> der Funktion <math>f\colon I \to A, i \mapsto a_i,</math> ist. --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 12:54, 23. Aug. 2013 (CEST)

Lieber RPI, <math>f = (G_f,A,B)</math> ist keine Definition, es ist eine '''mathematische Gleichung''' also eine '''mathematische Aussage''', die wahr oder falsch sein kann, das, wünschte ich, solltest du als Mathematiker wissen, der mit den Grundregeln der mathematischen Logik vertraut ist. Als Definition hättest du schreiben können <math>f := (G_f,A,B)</math>, aber auch dies wäre nicht zulässig, denn es ist eine rekursive Definition ohne Anfangsbestimmung und verstößt mithin gegen das Fundierungsaxiom der Mengenlehre. Ich hatte in meinem letzten Diskussionsbeitrag gezeigt, wie man den Begriff der Tripelfunktion mathematisch korrekt definieren kann, im Grunde geht es nicht anders. Beste Grüße --[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 15:54, 23. Aug. 2013 (CEST)

:Als „mathematische Aussage“ ist das jedoch vollkommen Korrekt. Man hat vier Variablen <math>f,G,A,B</math>, hat den Ausdruck <math>G_f</math> definiert, dann ist <math>f>(G_f,A,B)</math> vollkommen legitim und kann so auch in (wie in der Mathematik üblich informellen) Definitionen verwendet werden. --[[Benutzer:Chricho|Chricho]] [[BD:Chricho|¹]] [//de.wikipedia.org/w/?title=BD:Chricho&amp;action=edit&amp;section=new ²] [[Benutzer:Chricho/Keine_Verbesserung|³]] 17:15, 23. Aug. 2013 (CEST)

:: Lieber Lothario Hederich, den Begriff „Tripelfunktion“ lese ich hier zum ersten Mal, den Begriff „Graph der Funktion“ kannte ich schon als Schüler vor über 30 Jahren. Im Internet findet sich zwar tatsächlich der Begriff der „Tripelfunktion“, allerdings in der Bedeutung einer dreifachen Funktionsausübung, also ein Tripel <math>(f,g,h)</math> von Funktionen <math>f, g, h.</math> Dein Begriff ist also nicht nur [[Wikipedia:Keine_Theoriefindung#Begriffsfindung|unangebracht]], sondern auch unpassend! Was stört dich eigentlich an meinem Verbesserungsvorschlag, hast du ihn überhaupt gelesen? --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 18:39, 23. Aug. 2013 (CEST)
::: Eine vielleicht auch dich befriedigende Definition wäre wohl die folgende: <math>\alpha_f := (f,A,B)</math> mit einer Relation <math>f \subseteq A\times B,</math> die linkstotal und rechtseindeutig ist. Damit bekommt man dann den Begriff der Bijektion und es lassen sich <math>\alpha_f</math> und <math>f</math> bijektiv aufeinander abbilden, sodass man an Stelle <math>\alpha_f</math> auch einfach <math>f</math> sagen kann.
::: Aber nachdem ich mir das Ganze noch einmal in Ruhe durch den Kopf habe gehen lassen, finde ich, dass ''jede Tripeldefinition'' einer Funktion oder gar Relation ''überflüssiger Ballast'' ist, der einem das Mathematikerleben nur unnötig erschweren würde! Viele Formulierungen würden dadurch nämlich nur verkompliziert und viel umständlicher, der praktische Nutzen deutlich verringert. Die scheinbar ungenaue Definition einer Relation als Teilmenge eines kartesischen Produkts von Mengen ist tatsächlich vollkommen ausreichend: <math>R \subseteq A\times B</math> ist eine Relation in <math>A\times B,</math> aber auch in jedem anderen Produkt <math>C\times D</math> mit <math>A\times B \subseteq C\times D,</math> es genügt allgemein schon <math>R \subseteq C\times D.</math> Daher ist für die allgemeine Definition von <math>R</math> als Relation die zusätzliche Angabe von <math>A, B</math> eine nicht sinnvolle Spezialisierung. Erst in einem betrachteten Spezialfall (z.B. dass <math>A\times B</math> durch eine bestimmte Relation <math>R \subseteq A\times B</math> eine Struktur bekommt) macht eine solche Spezialisierung Sinn, sie kann dann aber auch angegeben werden. Das gleiche gilt auch für Funktionen, nur dass dort für eine Funktion <math>f \subseteq A\times B</math> stets <math>A = \mathrm{D}_f</math> gelten muss. Die einfache Definiton einer Funktion als spezielle Relation, die wiederum nur eine bloße Teilmenge eines kartesischen Produkts von Mengen ist, ist also vollkommen ausreichend. Auf alles andere sollte man in der Definition verzichten. Diese Definition dürfte auch die in der Literatur am meisten anzutreffende sein. Beste Grüße --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 23:49, 23. Aug. 2013 (CEST)

:::: Es ist eben kein überflüssiger Ballast, das hat schon einen Grund, dass die Tripeldefinition so verbreitet ist. Wie willst du denn zum Beispiel sonst die Kategorie [http://ncatlab.org/nlab/show/Rel Rel] definieren? --[[Benutzer:Chricho|Chricho]] [[BD:Chricho|¹]] [//de.wikipedia.org/w/?title=BD:Chricho&amp;action=edit&amp;section=new ²] [[Benutzer:Chricho/Keine_Verbesserung|³]] 02:44, 24. Aug. 2013 (CEST)

Ad Chricho, mir ist nicht klar, was du mit der Formel “<math>f > (G_f,A,B)</math>” meinst.<br />

Ad RPI, ich beantworte deine Ausführungen eingehend, so gut ich es kann:
*Auch mir ist die Vokabel “Tripelfunktion” in diesem Zusammenhang nicht begegnet, ich habe sie der Einfachheit halber in unserer Diskussion verwendet.<br />
*Deinen Verbesserungsvorschlag habe ich mir angesehen und gestehe, ihn nicht ganz verstanden zu haben.<br />
*Deine Betrachtungen über <math>\alpha_f</math> lassen, so scheint es mir, außer Betracht, dass für jede Funktion <math>f</math> die Aussage <math>f\colon A\to X </math> für jedes <math>X</math>, mit <math>\operatorname{W}_f\subseteq X</math> zutrifft, mithin <math>f</math> dasselbe mathematische Objekt ist, jedoch <math>(f,A,X)</math> für verschiedene <math>X</math> verschiedene Objekte sind.<br />
*Deiner Bemerkung bezüglich der Überflüssigkeit des Tripelfunktionsbegriffs im Rahmen des Funktionsbegriffs, wie er im Wiki-Artikel abgehandelt wird, kann ich nur zustimmen. Sieht man das ''Objekt'' <math>(f,A,B)</math> als objektivierte Form der ''Aussage'' <math>f\colon A \to B</math> an, dann mildert sich die Tripelfunktionsproblematik, wenn man die Wörter '''''Funktion''''' und '''''Funktionsgraph''''' als Synonyme ansieht.<br />
Beste Grüße, --[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 12:51, 25. Aug. 2013 (CEST)

:Da hatte ich mich vertippt: Das „>“ sollte ein „=“ sein. --[[Benutzer:Chricho|Chricho]] [[BD:Chricho|¹]] [//de.wikipedia.org/w/?title=BD:Chricho&amp;action=edit&amp;section=new ²] [[Benutzer:Chricho/Keine_Verbesserung|³]] 23:11, 27. Aug. 2013 (CEST)

::::: Dass es Ballast ist, zeigt schon folgendes Beispiel:
::::: Üblicher Weise definiert man allgemein das Kartesische Produkt <math>A^I := \{(a_i)_{i\in I} \mid \forall i \in I\colon\, a_i \in A\} = \{f \mid f\colon\, I \to A\}.</math> Bei einer Tripel-Definition wäre dann aber <math>A^0 = A^\emptyset = \{f \mid f\colon\, \emptyset \to A\} = \{(\emptyset, \emptyset, A)\} \neq \{(\emptyset, \emptyset, B)\} = B^0</math> für alle <math>B \neq A.</math> Um das zu vermeiden und wie üblich <math>A^0 = \{\emptyset\} = \{()\} = B^0</math> zu erhalten, müsste man – wie schon einmal oben angemerkt – jede Familie <math>(a_i)_{i\in I}</math> nicht als Funktion <math>f\colon\, I \to A,</math> sondern als deren Graph <math>\mathrm G_f</math> definieren, sodass dann <math>A^I = \{\mathrm G_f \mid f\colon\, I \to A\}</math> erfüllt ist.
::::: Man müsste daher mit einer Tripel-Definition andere grundlegende Definitionen, wie sie nahezu überall in der Literatur zu finden sind, entsprechend anpassen, denn dort ist die Tripel-Definition aus den von mir genannten Gründen auch nicht üblich! Mir als Mathematiker ist sie hier im Wikipedia-Artikel überhaupt zum ersten Mal aufgefallen, so verbreitet kann sie also nicht sein. Und sobald man anfängt, damit zu arbeiten, bemerkt man, welch große Probleme sie bereitet. Ich sehe in dieser Spezialisierung als Tripel keinen Nutzen, man handelt sich ganz im Gegenteil viele unnötige Probleme ein: eine Tripel-Definition ist unzweckmäßig und deshalb auch ''nicht sinnvoll''!
::::: Übrigens: Die Kategorie <math>\mathrm{Rel}</math> wird auch [http://ncatlab.org/nlab/show/Rel dort] auf der Grundlage der ''üblichen'' Definitionen erklärt, d.h. [http://ncatlab.org/nlab/show/relation Relationen] und [http://ncatlab.org/nlab/show/function Funktionen] sind als Teilmengen von [http://ncatlab.org/nlab/show/cartesian+product Kartesischen Produkten] und eben ''nicht'' als Tripel definiert. Die dort gemachte ''Anmerkung'', für eine vollständig genaue Definition ''wäre'' eine Defintion als Tripel besser, ist aus den von mir genannten Gründen falsch! Der Autor dort unterliegt offensichtlich dem gleichen Irrtum, den ebenso ich – und offenbar auch einige andere hier – beging, als ich die scheinbare Präzisierung als Tripel, die tatsächlich eine Spezialisierung ist, für sinnvoll hielt. Es fällt auf, dass diese scheinbare Präzisierung in der Regel nur für eine gute Idee gehalten, aber nicht als ''eigentliche Definition'' genommen wird, die auch ''durchgehend formal angewendet'' wird. Nicht ich muss daher irgendetwas etwas anders definieren, sondern jeder, der eine Tripel-Definition für Relationen bzw. Funktionen benutzen will! --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 13:51, 27. Aug. 2013 (CEST)

:::::: Ist es wirklich üblich, dass <math>A^0 = B^0</math> gilt? Lässt sich das belegen? Was ist dann mit der in [[:en:empty function]] angesprochenen Problematik: "The existence of a unique empty function from ∅ into each set A means that ..."? -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 14:35, 27. Aug. 2013 (CEST)

::::::: Es ist ja gerade so, dass für ''jede'' Menge <math>A</math> gilt: <math>A^0 = A^\emptyset = \{f \mid f\colon\, \emptyset \to A\} = \{\emptyset\} = \{0\} = 1.</math> Die leere Funktion als [[konstante Funktion]] zu betrachten, ist aber unsinnig:
::::::: Eine Konstante ist ein ausgezeichnetes Element in einer Menge, d.h. diese Menge ist ''nicht'' leer und sie besitzt eine [[Mathematische Struktur|Struktur]], zu der mindestens eine einelementige einstellige Relation (d.h. eine einelementige Teilmenge oder äquivalent dazu: eine [[Verknüpfung_(Mathematik)#Nullstellige Verknüpfungen|nullstellige Funktion]], die mit ihrer einelementigen Bildmenge identifiziert werden kann) in dieser Menge gehört, die nämlich genau dieses Element enthält und es dadurch ausgezeichnet. Eine konstante Funktion definiert man nun sinnvoll als eine Funktion, deren Bildmenge, wie bei jeder nullstelligen Funktion, einelementig ist bzw. das Element darin als Konstante im Wertebereich auszeichnet. Die leere Funktion <math>f_B\colon\, \emptyset \to B</math> hat aber wegen <math>f_B \subseteq \emptyset\times B = \emptyset</math> die Bildmenge <math>\{y \mid (x,y) \in f_B\} \subseteq \{y \mid (x,y) \in \emptyset\} = \emptyset,</math> d.h. sie ist ''nicht konstant''.
::::::: Folglich genügt es nicht, für die Definition einer konstanten Funktion <math>c_B\colon\, A \to B</math> zu fordern, dass <math>c_B(x_1) = c_B(x_2)</math> gilt für alle <math>x_1, x_2 \in A.</math> Zusätzlich muss noch gelten: <math>A, B \neq \emptyset</math> bzw. <math>c_B \neq \emptyset.</math> --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 17:07, 27. Aug. 2013 (CEST)

::::::::Oh, das "Fass" mit den konstanten Funktionen wollte ich jetzt wirklich nicht aufmachen. Mir ging's insbesondere um das, was im englischen Artikel davor kommt. Vor allem dass man zu jeder Menge A eine eindeutig bestimmte leere Funktion <math>\varnothing \to A</math> hat, sodass man sagen kann, dass <math>\varnothing</math> das [[Anfangsobjekt]] in der Kategorie der Mengen ist. Also zumindest für mich als Nicht-Kategorientheorieexperte klingt das so, als sollte das unbedingt so sein. -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 18:39, 27. Aug. 2013 (CEST)
::::::::Ich fände diese Diskussion hier übrigens wesentlich zielführender, wenn nicht so sehr mit "Mir als Mathematiker ...",  "sehe keinen Nutzen", "Es ist ja gerade so, dass ..." argumentiert würde, sondern mit vollständigen Quellen, Literaturangaben und Einzelnachweisen. Am besten gleich im Artikel, damit hier etwas vorangeht ... -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 19:53, 27. Aug. 2013 (CEST)

::::::::: Ich bin auch kein Experte für Kategorientheorie, aber für jede leere Funktion <math>f_B\colon\, \emptyset \to B</math> gilt ja: <math>f_B = \emptyset,</math> damit ist sie eindeutig bestimmt. Die leere Funktion erfüllt also die Definiton für ein Anfangsobjekt in der Kategorie der Mengen, sonst steckt da nichts weiter dahinter.
::::::::: In [[Natürliche Zahl#Von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen|von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen]] sind <math>0 := \emptyset, 1 := \{0\}</math> und in Anlehnung an das [[Potenz (Mathematik)|Potenzieren]] von Zahlen definiert man allgemein <math>B^A := \{f \mid f\colon\, A \to B\},</math> aber letzteres steht schon [[Funktion (Mathematik)#Wichtige Begriffe|hier im Artikel]] und findet sich sicherlich auch in der dazu angegebenen Literatur. --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 16:25, 28. Aug. 2013 (CEST)

:::::::::: Wenn du die Kategorie der Mengen definierst, kommst du um eine Definition von Funktionen als Tripel oder Paar oder dergleichen nicht herum. --[[Benutzer:Chricho|Chricho]] [[BD:Chricho|¹]] [//de.wikipedia.org/w/?title=BD:Chricho&amp;action=edit&amp;section=new ²] [[Benutzer:Chricho/Keine_Verbesserung|³]] 17:19, 28. Aug. 2013 (CEST)
::::::::: Wieso? Meinst du bei der Defintion der [[Morphismus|(abstrakten) Morphismen]]? Die Morphismen der Kategorie der Mengen sind zwar Abstraktionen der Funktionen, aber man definiert nicht ''die eine'' Klasse aller Morphismen (abstrakten Funktionen), sondern lediglich ''für je zwei'' Objekte (abstrakte Mengen) die Menge aller Morphismen (abstrakten Funktionen) zwischen diesen zwei Objekten. Eine solche Menge könnte demnach als ein Tripel definiert werden, bestehend aus der Menge aller entsprechenden Morphismen (abstrakte Funktionen) und den zwei zugehörigen Objekten (abstrakte Mengen). Abstrakte Funktionen sind daher alle Morphismen, die in (mindestens) einer dieser Mengen enthalten sind, und nicht nur die Morphismen einer dieser Mengen. Außerdem würden dabei nicht die Morphismen bzw. abstrakten Funktionen als Tripel definiert, sondern die jeweiligen Mengen von Morphismen! Wenn ich das richtig sehe, dann definiert man aber auch ''nicht'' eine Menge von Morphismen als Tripel, sondern diese nur als die Menge aller zu zwei Objekten gehörenden Morphismen. Im Fall der Kategorie der Mengen <math>\mathbf{Set}</math> hat man also eine Zuordnung <math>(X,Y) \mapsto \operatorname{Mor}_{\mathbf{Set}}(X,Y)</math> bzw. eine mengentheoretische Klasse von Tripeln <math>\left(X,Y,\operatorname{Mor}_{\mathbf{Set}}(X,Y)\right),</math> nämlich den „Graphen“ dieser Zuordnung. --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 10:26, 29. Aug. 2013 (CEST)

:::::::::: @RPI: Du hast uns jetzt hier Setzungen wie <math>0 := \emptyset, 1 := \{0\}</math> oder <math>B^A := \{f \mid f\colon\, A \to B\}</math> erklärt, die aber sowieso niemand anzweifelt. Zur einzig interessanten Stelle deiner Gleichungkette, nämlich <math>\{f \mid f\colon\, \emptyset \to A\} = \{\emptyset\}</math>, sagst du nichts. Das Problem ist: Wenn man für alle Mengen <math>A</math> definiert, dass <math>f_A \colon \emptyset \to A</math> bedeutet, dass <math>f_A = \emptyset</math> ist, dann wären <math>\operatorname{Mor}_{\mathbf{Set}}(\emptyset, A)</math> und <math>\operatorname{Mor}_{\mathbf{Set}}(\emptyset, B)</math> für <math>A \neq B</math> nicht disjunkt; genau das wird aber in der Definition hier [[Kategorientheorie#Kategorie]] gefordert. -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 09:32, 29. Aug. 2013 (CEST)
::::::::: Es ist allgemein bekannt, dass das [[Kartesisches Produkt|Kartesische Produkt]] einer beliebigen Menge mit der leeren Menge leer ist, folglich gilt für jedes <math>f\colon\, \emptyset \to A</math> offensichtlich: <math>f \subseteq \emptyset \times A = \emptyset,</math> also <math>f = \emptyset.</math> Wenn in der Kategorientheorie Definitionen nicht [[Wohldefiniertheit|wohldefiniert]] sind, dann ist es Sache der Kategorientheoretiker, das besser zu machen! --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 11:08, 29. Aug. 2013 (CEST)
:::::::::: <small><quengel>... och menno, ich seh' doch, dass die Sonne um die Erde kreist, und wenn die Physiker das für widersprüchlich halten, ist das ja wohl deren Problem ... </quengel> ;-) -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 13:37, 29. Aug. 2013 (CEST)</small>
::::::::: „[[Allgemeiner Unsinn|General nonsense]]“ bekommt plötzlich eine ganz [[Pejorativum|andere Bedeutung]] ;-) --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 14:31, 29. Aug. 2013 (CEST)
:::::::::: Vgl. dazu auch dieses [http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/8/1245_funktork.jpg Schild] ;-) -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 18:15, 29. Aug. 2013 (CEST)

:::::::::: Du kannst dir jetzt natürlich eine eigene Definition einer Kategorie ausdenken, damit das mit deiner Ablehnung der Tripeldefinition von Funktionen zusammenpasst. Aber nenn mir doch mal bitte ein Werk, das Kategorien so definiert. Ich kenne keines. Deine Definition führt auch dazu, dass man mit Morphismen ganz anders umgehen muss und Objekte eine viel größere Bedeutung erhalten als notwendig. --[[Benutzer:Chricho|Chricho]] [[BD:Chricho|¹]] [//de.wikipedia.org/w/?title=BD:Chricho&amp;action=edit&amp;section=new ²] [[Benutzer:Chricho/Keine_Verbesserung|³]] 18:32, 29. Aug. 2013 (CEST)

::::::::: Meinst du mich? Ich habe wichtigeres zu tun, als die unzulänglichen Definitionen anderer Leute zu verbessern. Die Morphismen und damit auch Funktionen werden nicht allgemein definiert, sondern jeweils nur für zwei Objekte und die Kategorien-Klasse der Morphismen umfasst alle Morphismen, die mindestens in einer dieser Morphismenmengen der Kategorie enthalten sind. Das steht so in den Definitionen – die sind nicht von mir – und dagegen ist ja auch nichts zu sagen, denn nicht die Morphismen werden als Tripel definiert, sondern jeweils die Menge aller Morphismen zwischen zwei Objekten. Ein solcher Morphismus enthält nicht die zugehörigen zwei Objekte, sondern er wird eindeutig zwei Objekten zugeordnet.
::::::::: Morphismen sind nämlich nichts weiter als eine Abstraktion von [[Verträglichkeit (Mathematik)|strukturverträglichen Abbildungen]] bzw. allgemeinen Homomorphismen zwischen [[Mathematische Struktur|Strukturen]] der gleichen Art. Es ist sicherlich auch nützlich, die allgemeinen Prinzipien dahinter zu erforschen und sie bei Gelegenheit auf andere Strukturen anzuwenden und zu übertragen. Aber wenn man das tut, dann sollte man die Definitionen so machen, dass sie auch allgemein gültig sind und nicht zu Widersprüchen führen. --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 22:53, 29. Aug. 2013 (CEST)
::::::::: Die Definition der Kategorie im Artikel [[Kategorientheorie]] war übrigens mangelhaft, ich habe sie korrigiert. Wenn man weiss, was [[paarweise disjunkt]] heißt, macht die Tatsache, dass <math>\operatorname{Mor}_{\mathbf{Set}}(\emptyset, A) = \operatorname{Mor}_{\mathbf{Set}}(A, \emptyset) = \operatorname{Mor}_{\mathbf{Set}}(\emptyset, \emptyset) = \{\emptyset\}</math> für alle <math>A</math> gilt, gar keine Probleme: die Definition der Kategorie ist in der Hinsicht also gar nicht widersprüchlich! --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 23:42, 29. Aug. 2013 (CEST)
::::::::::Ach du liebe Zeit, als Mathematiker sollte man wenigstens den Unterschied zwischen <math>\emptyset</math> und <math>\{\emptyset\}</math> kennen, [[O tempora, o mores]] ... also ich wein' mich jetzt erst mal in den Schlaf. -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 00:20, 30. Aug. 2013 (CEST)
::::::::::Erwartest du jetzt eine Erklärung, warum man Kategorien mit disjunkten Hom-Mengen definiert? Ich spar mir die jetzt erst einmal, kann dir aber verraten, dass es praktisch und gängige Praxis ist. Welche Definition bitte ist „unzulänglich“? Unvereinbar mit der Disjunktheit der Mengen ist jedenfalls das von dir soeben gesagte. --[[Benutzer:Chricho|Chricho]] [[BD:Chricho|¹]] [//de.wikipedia.org/w/?title=BD:Chricho&amp;action=edit&amp;section=new ²] [[Benutzer:Chricho/Keine_Verbesserung|³]] 01:28, 30. Aug. 2013 (CEST)
::::::::: Chricho, in den Definitionen in der Literatur, z.B. in [http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf The Joy of Cats] (3.1 (c)), wird [[paarweise disjunkt]] gefordert und nicht der Unsinn, der in der Definition des Artikels [[Kategorientheorie]] stand: das bedeutet nämlich etwas vollkommen anderes! Dieser falsche Zusatz führte doch erst zum Widerspruch in der Definition, der in der seriösen Literatur sicherlich auch sonst nicht zu finden ist. Außerdem war die Formulierung dieses Teils der Definition insgesamt unklar und missverständlich. --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 10:25, 30. Aug. 2013 (CEST)
:::::::::: Dass zu jedem Morphismus Quelle und Ziel eindeutig bestimmt sind, heißt nichts anderes als die paarweise Disjunktheit der Morphismenmengen. Das ist kein Unsinn, sondern wird so in jeder mir bekannten Literatur so gemacht. ''The Joy of Cats'' ist seriöse Literatur, aber du kannst gerne bei Mac Lane nachschauen, dort ist es auch nicht anders. --[[Benutzer:Chricho|Chricho]] [[BD:Chricho|¹]] [//de.wikipedia.org/w/?title=BD:Chricho&amp;action=edit&amp;section=new ²] [[Benutzer:Chricho/Keine_Verbesserung|³]] 12:07, 30. Aug. 2013 (CEST)
::::::::: Wenn du nicht weisst, was [[paarweise disjunkt]] heißt, dann kann ich dir auch nicht helfen! --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 14:40, 30. Aug. 2013 (CEST)
:::::::::: Überleg dir mal kurz, wann eine Familie aus ''paarweise verschiedenen'' Objekten besteht. Und dann übertrag das mal auf ''paarweise disjunkt''. --[[Benutzer:Chricho|Chricho]] [[BD:Chricho|¹]] [//de.wikipedia.org/w/?title=BD:Chricho&amp;action=edit&amp;section=new ²] [[Benutzer:Chricho/Keine_Verbesserung|³]] 16:55, 30. Aug. 2013 (CEST)
::::::::: Tut mir Leid, dass ich erst jetzt antworte, aber ich habe auch noch anderes zu tun.
::::::::: Wenn man konkrete Mengen oder Klassen hat, dann können selbstverständlich zwei davon verschieden sein, aber trotzdem nicht disjunkt: Seien z.B. <math>A_1 := \{1\}</math> und <math>A_2 := \{1, 2\},</math> dann sind <math>A_1 \neq A_2,</math> also (paarweise) verschieden, und <math>A_1 \cap A_2 = A_1 \neq \emptyset,</math> also ''nicht'' (paarweise) disjunkt.
::::::::: In der Definition der Kategorie wurde jedem Objektpaar eine Morphismenmenge zugeordnet. Dann wurde behauptet (nicht definiert), diese Mengen seien paarweise disjunkt. Dass damit ''eine Familie von Mengen'' gemeint sein soll und dass das jeweilige Objektpaar als der ''Index'' der zugehörigen Morphismenmenge verstanden werden soll, geht daraus aber nicht unbedingt hervor. Deshalb hatte ich das so interpretiert, dass die Morphismenmengen verschiedener Objektpaare auch gleich sein konnten (siehe oben: <math>\operatorname{Mor}_{\mathbf{Set}}(\emptyset, A) = \operatorname{Mor}_{\mathbf{Set}}(A, \emptyset) = \operatorname{Mor}_{\mathbf{Set}}(\emptyset, \emptyset)</math>), aber dann sind Quelle und Ziel eines Morphismus nicht eindeutig bestimmt.
::::::::: Unser grundlegendes Verständnisproblem scheint mir darin zu liegen, dass zwischen abstrakten und konkreten Kategorien nicht klar genug unterschieden wird: Du denkst in abstrakten Kategorien mit klar unterschiedenen Objekten, während ich als Nichtkategorientheoretiker beispielhaft konkrete Kategorien betrachtet habe, wo die Objekte nicht so klar getrennt sein müssen. Der im Artikel formulierte Anspruch der Kategorientheorie, als eine ''allgemeine Theorie mathematischer Strukturen'' aufgefasst werden zu können, verlangt, dass eine abstrakte Kategorie, die Abstraktion einer konkreten Kategorie sein soll, sich auch ''im Wesentlichen'' so verhalten muss wie diese konkrete Kategorie. Dieser Anspruch verführt aber dazu, eine abstrakte Kategorie in der Regel als eine entsprechende konkrete Kategorie zu interpretieren, was offenbar nicht immer eine gute Idee ist. --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 02:01, 16. Sep. 2013 (CEST)
::::::::::Nur als kurze Korrektur (weil's anscheinend nicht hilft, dass ich mich deswegen seit dem 30. August in den Schlaf weine, siehe oben ;-): Wenn <math>A \neq \emptyset</math> ist, dann gibt es keine Funktion <math>A \to \emptyset</math>. Also gilt dann <math>\emptyset = \operatorname{Mor}_{\mathbf{Set}}(\emptyset, A) \neq \operatorname{Mor}_{\mathbf{Set}}(A, \emptyset)</math>.  -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 07:43, 16. Sep. 2013 (CEST)
::::::::::: Falsch: Es ist bekanntlich stets <math>\emptyset \subseteq A \times B</math> für alle Mengen <math>A, B,</math> also auch für <math>A = \emptyset</math> oder <math>B = \emptyset,</math> also gibt es (genau) eine Funktion <math>A \to \emptyset</math> und (genau) eine Funktion <math>\emptyset \to A,</math> nämlich in beiden Fällen die gleiche: <math>\emptyset.</math> Diese wären nur dann verschieden, wenn man nicht nur eine Funktion bzw. den Graphen betrachtet, sondern z.B. ein Tripel von der Funktion und Quell- sowie Zielbereich. Damit sind wir wieder bei der Frage, wie man eine Funktion definiert: einfach oder als Tripel. --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 08:48, 16. Sep. 2013 (CEST)
::::::::::::Egal ob man Funktionen als Tripel definiert oder nicht: Es gibt keine linkstotale Relation von <math>A</math> nach <math>\emptyset</math>. -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 10:05, 16. Sep. 2013 (CEST)
::::::::::: Ups! Für <math>A \neq \emptyset</math> hast du recht. Es gibt aber trotzdem mehrere linkstotale Relationen: <math>\emptyset \to \emptyset</math> und <math>\emptyset \to A</math> für alle <math>A \neq \emptyset.</math> --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 12:02, 16. Sep. 2013 (CEST)
::::::::::::Da letzte klingt ja fast so als hätten wir dich überzeugt, dass eine Funktion <math>\emptyset \to \emptyset</math> und eine Funktion <math>\emptyset \to A</math> mit <math>A \neq \emptyset</math> voneinander unterschieden werden sollten? -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 13:43, 16. Sep. 2013 (CEST)
::::::::::: Langsam wird's peinlich, ich kann ja kaum noch einen klaren Gedanken fassen! Vielleicht sollte ich doch mal wieder richtig ausschlafen :-(
::::::::::: Als linkstotale rechtseindeutige Relation (einfach geschriebene Funktion bzw. Graph) sind sie selbstverständlich gleich, aber als Tripel unterscheiden sie sich, was offenbar in der Kategorientheorie nötig ist. Das Tripel ist aber kein allgemeiner Standard, also bleibt's bei der Definitionsfrage:
::::::::::: Eine Funktion bzw. Abbildung wird in der Literatur (um nur zwei zu nennen: W. Klingenberg: ''Lineare Algebra und Geometrie'', H. Heuser: ''Lehrbuch der Analysis I/II'') oft als eine ''Vorschrift'' <math>f</math> definiert, die jedem Element <math>x</math> aus einer Menge <math>X</math> genau ein Element <math>y</math> aus einer Menge <math>Y</math> zuordnet. Heuser schreibt sogar ausdrücklich: „Funktionen <math>f\colon X \to Y</math> sind also im Grunde nichts anderes als Teilmengen von <math>X \times Y</math> mit den Eigenschaften a) und b) [...]“, dabei sind a) Linkstotalität und b) Rechtseindeutigkeit. Demnach ist eine Funktion nur eine linkstotale rechtseindeutige Relation und nicht mehr. Wenn dafür in der Kategorientheorie mehr (ein Tripel) nötig ist, damit sie auf konkrete Kategorien angewendet werden kann, dann soll man das dort tun, deshalb muss man aber nicht die übliche Definition durch eine neue ersetzen. --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 08:08, 17. Sep. 2013 (CEST)
::::::::::::*Um zu entscheiden, ob eine Relation linkstotal ist oder nicht, benötigst du aber eine Quellmenge. Ohne Quellmenge kannst du nicht beurteilen, ob eine Relation linkstotal ist oder nicht.
::::::::::::*Und was denkst du über [[Surjektivität]]? Normalerweise ist es ja eine Eigenschaft einer Funktion, ob sie surjektiv ist oder nicht. Um die Surjektivität einer Funktion beurteilen zu können, benötigt man jedoch einen Wertebereich. <math>f:\emptyset\to\emptyset</math> ist eine surjektive Funktion. Aber <math>f:\emptyset\to A</math> (mit <math>A\ne\emptyset</math>) ist eine nicht-surjektive Funktion.
::::::::::::--[[Benutzer:Eulenspiegel1|Eulenspiegel1]] ([[Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1|Diskussion]]) 19:28, 17. Sep. 2013 (CEST)
::::::::::: Eine Relation ist, auch in der Kategorientheorie wird diese Definition benutzt, eine Menge von geordneten Paaren. Wenn nun eine Relation <math>R \subseteq A \times B</math> hinsichtlich <math>A</math> linkstotal ist, dann ist sie es im Bezug auf <math>C</math> mit <math>A \subset C</math> dagegen nicht. <math>R</math> besteht aber in beiden Fällen aus den gleichen geordneten Paaren, ist also auch die gleiche Menge. Das verhält sich bei der Surjektivität auch nicht anders, daher machen die Begriffe Linkstotalität und Surjektivität nur Sinn hinsichtlich vorgegebener Quell- und Zielmenge. Der Begriff der Relation macht aber auch Sinn, wenn Quell- und Zielmenge nicht vorgeben sind, und ist <math>R \subseteq A \times B,</math> dann ist <math>R</math> nicht nur Relation in <math>A \times B,</math> sondern auch in jeder Obermenge von <math>A \times B,</math> z.B. in <math>(A \cup B) \times (A \cup B).</math> Deshalb definieren manche Autoren eine Relation auch gleich als Teilmenge eines Kartesischen Produkts <math>A \times A.</math> Eine Relation ist nur festgelegt hinsichtlich ihrer inneren Struktur, nämlich dass sie eine Menge von geordneten Paaren ist, alles was darüber hinaus geht, hängt vom betrachteten Kontext ab. Das gilt entsprechend auch für den Spezialfall einer Funktion, wobei allerdings die Quellmenge festgelegt ist auf die Definitionsmenge der Funktion. --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 00:32, 18. Sep. 2013 (CEST)

== Neuanfang ==

Ich habe nun den Artikel neu strukturiert, noch ohne den Inhalt zu verändern. Jetzt sieht man auch besser, wo es im Artikel hakt.
* Den Abschnitt "Strukturen erzeugende Abbildungen" würde ich komplett streichen, der hat in diesem Artikel überhaupt nichts zu suchen.
* Die Symbole habe ich ans Ende verschoben, denn sie müssen an der Stelle erklärt werden, wo sie auch auftauchen, ansonsten greift man im Artikel vor. Meiner Meinung nach bietet die Liste in diesem Artikel kaum einen Mehrwert, da viele der Symbole relativ ungebräuchlich sind. Eventuell würde sich in eine Auslagerung in die [[Liste mathematischer Symbole]] anbieten, bisher habe ich aufgrund der Ungebräuchlichkeit davon abgesehen.
* Alles ab "Grundlegende Eigenschaften" muss grundlegend überarbeitet werden. Insbesondere müssen die Aufzählungen vernünftig in Text umgesetzt werden.
* Der Abschnitt "Operationen" muss ausgebaut und mit Inhalt gefüllt werden. Hier reicht es aus, die bestehenden Artikel zusammenzufassen.
* Straffen würde ich die Abschnitte "Sprechweisen" (zu viel Geschwafel) und "Bild und Urbild" (insbesondere die Tabelle).
* Über die mengentheoretische Definition wurde hier drüber schon viel diskutiert, da würde ich mich erstmal raushalten.
Viele Grüße, --[[Benutzer:Quartl|Quartl]] ([[Benutzer Diskussion:Quartl|Diskussion]]) 17:44, 11. Sep. 2013 (CEST)

== Es war wohl nur als Scherz gedacht: ==

Im Subkapitel "Funktionen mit Werten in einer echten Klasse" des Kapitels "Verallgemeinerungen" ist doch gar keine Verallgemeinerung des im Artikel vorgelegten Funktionsbegriffs angegeben''':''' Wie jeder Mathematiker weiß, sind die Werte jeder Funktion Elemente auch echter Klassen, insbesondere der Allklasse. Eine Verallgemeinerung ist die Zulassung echter Klassen als '''''Definitionsbereiche''''', wie z.B. die letzte der vier  [[Benutzer:Argetula/Funktion#Funktionsbeschreibungen|'''hier''']] beschriebenen Funktionen. --[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 11:33, 18. Sep. 2013 (CEST)
:Der Abschnitt ist in der Tat etwas komisch, da dort nur Mengen als Funktionen betrachtet werden, weitergehende Verallgemeinerungen aber nicht stattfinden. (Wenn das Ersetzungsaxiom nicht zur Verfügung steht, macht es aber durchaus Sinn, eine Menge als Definitionsbereich und eine echte Klasse als Wertebereich zu haben) --[[Benutzer:Chricho|Chricho]] [[BD:Chricho|¹]] [//de.wikipedia.org/w/?title=BD:Chricho&amp;action=edit&amp;section=new ²] [[Benutzer:Chricho/Keine_Verbesserung|³]] 12:07, 18. Sep. 2013 (CEST)
:: So komisch ist das gar nicht, denn Funktionen werden üblicherweise [[Funktion (Mathematik)#Definition|als Mengen definiert]]. Eine Ausweitung der Definition auf echte Klassen ist also tatsächlich eine Verallgemeinerung. [[Benutzer:Argetula/Funktion|Argetula]] hat bei ihrem Entwurf die Definition schon von vorn herein auf Klassen ausgedehnt, daher wäre es nur nach ihrem Definitionsvorschlag keine Verallgemeinerung. Also aufpassen, von welchen Voraussetzungen man ausgeht! --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 13:06, 18. Sep. 2013 (CEST)

'''PS:''' Auch im Subkapitel "Partielle Funktionen" des Kapitels "Verallgemeinerungen" ist gescherzt worden: es ist widersinnig, von '''totalen, partiellen, surjektiven''' Funktionen zu sprechen, diese Wörter können doch <big>'''nur'''</big> als Bestandteile von Aussagen der Art "Funktion aus einer  (gegebenen) Menge in eine (gegebene) Menge" verwendet werden. So ist z.B. <math>\emptyset</math> eine '''totale, surjektive''' Funktion aus <math>\emptyset</math> in <math>\emptyset</math> aber eine '''partielle, nicht surjektive''' Funktion aus <math>X</math> in <math>Y</math>, für alle nichtleeren Mengen <math>X,Y</math>. Eine eingehende Darlegung dieses Sachverhalts findet sich [[Benutzer:Argetula/Funktion#Klassifikation|'''hier''']]  --[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 13:24, 18. Sep. 2013 (CEST)

:In Beantwortung der obigen Bemerkungen von  Chricho und RPI möchte ich die Lektüre ''Allgemeine Mengenlehre'' von Arnold Oberschelp empfehlen, darüber hinaus noch einmal einen kurzen Blick auf die Einleitung [[Benutzer:Argetula/Funktion|'''zu diesem Entwurf''']]. Grüße --[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 13:54, 18. Sep. 2013 (CEST)

:Wie oft denn noch? Nein, das ist nicht widersinnig, wenn man die Tripeldefinition verwendet, und die ist nicht unüblich. --[[Benutzer:Chricho|Chricho]] [[BD:Chricho|¹]] [//de.wikipedia.org/w/?title=BD:Chricho&amp;action=edit&amp;section=new ²] [[Benutzer:Chricho/Keine_Verbesserung|³]] 14:43, 18. Sep. 2013 (CEST)

::Außer bei Bourbaki ist mir Tripelfunktion in wissenschaftlicher Literatur nicht begegnet, ich halte diesen Begriff für ein Kuriosum. <math>f\colon A\longrightarrow B</math> ist aussagekräftiger als Tripelfunktionen es sein können, insbesondere die Aussage <math>f\colon A\to B</math> anstelle  <math>f:=(g,A,B)</math>. --[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 17:03, 18. Sep. 2013 (CEST)

: Nach [[Mengenlehre#19. Jahrhundert|Cantors berühmter Definition]] einer Menge besteht ohnehin kein Unterschied zwischen einer [[Klasse (Mengenlehre)]] und einer Menge. Man muss dann aber dann damit rechnen, dass Widerspüche auftreten. --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 17:19, 18. Sep. 2013 (CEST)

::@Hederich Kein Kuriosum, sondern modernes, weit verbreitetes Verständnis.[https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Diskussion%3AFunktion_%28Mathematik%29&diff=121978886&oldid=121978227&diff=121532109&oldid=121523318] Oder such doch mal im Internet nach "partial function is a triple"…
::@RPI Was hat das nun mit dem Thema zu tun? Diese Definition, die nicht einmal formal ist, sollte hier so ziemlich bedeutungslos sein, wir sind nicht mehr im 19. Jahrhundert. --[[Benutzer:Chricho|Chricho]] [[BD:Chricho|¹]] [//de.wikipedia.org/w/?title=BD:Chricho&amp;action=edit&amp;section=new ²] [[Benutzer:Chricho/Keine_Verbesserung|³]] 17:23, 18. Sep. 2013 (CEST)

:::Ich vermute nicht, dass es sich um einen Scherz handelt. Zumindest kann ich nirgendwo einen Smiley erkennen.
:::Und inwiefern ist <math>f\colon A\to B</math> aussagekräftiger als <math>f:=(g,A,B)</math>? Beides ist doch exakt das gleiche. Der einzige Unterschied ist, das <math>f\colon A\to B</math> eine metasprachliche Notation ist, während <math>f:=(g,A,B)</math> eine mengentheoretische Notation ist. Aber abgesehen davon, dass das eine mengentheoretisch und das andere metasprachlich ist, enthalten beide Sachen exakt den gleichen Informationsgehalt und die gleiche Aussagekraft. --[[Benutzer:Eulenspiegel1|Eulenspiegel1]] ([[Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1|Diskussion]]) 19:44, 18. Sep. 2013 (CEST)

:::: Unter „weit verbreitet“ verstehe ich etwas anderes als eine Hand voll Bücher zur Kategorientheorie! Mir war die Tripel-Definition auch nicht geläufig, als ich sie hier im Artikel vor einiger Zeit zum ersten Mal gelesen hatte und ging deshalb in eine Uni-Bibliothek mit nicht wenig Fachliteratur zur Mathematik: ich musste ziemlich lang suchen, um überhaupt nur ein oder zwei Bücher zu finden, in denen eine solche Definition überhaupt zu finden ist! Eine Definition ist nicht „weit verbreitet“, nur weil sie in der Literatur zu einem kleinen, sehr speziellen Teilgebiet der Mathematik, wie es die Kategorientheorie ist, oft angetroffen werden kann, sondern weil sie in der ''überwiegenden Mehrheit'' aller Teilgebiete der Mathematik, in denen der zu definierende Gegenstand zur Anwendung kommt, ''nicht selten zu finden'' ist. Und „nicht selten“ sollte nahezu 20% oder mehr aller Bücher sein, in denen eine Definition gegeben wird (in weiterführenden Büchern werden oft grundlegende Begriffe als bekannt vorausgesetzt und deshalb nicht noch einmal definiert). Da der Begriff der Funktion bzw. Abbildung praktisch überall Verwendung findet, sollte eine Tripel-Definition, soll sie weit verbreitet sein, in so gut wie allen Teilgebieten der Mathematik entsprechend häufig gegeben werden, insbesondere auch in der Literatur, mit der Studenten in ihrem Grundstudium zu tun bekommen. Aber in welchen Büchern der Analysis, der Linearen Algebra, der Differentialgleichungen, der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, der Topologie und der Algebra, aber auch der Ordnungstheorie, der Mengenlehre, der Zahlentheorie, der Theorie Dynamischer Systeme usw. wird denn eine solche Tripel-Definition gegeben?
:::: Zu Cantors Definition: Ich sehe das ein wenig anders, denn es geht mir um die Begriffe „Funktion“ und „Abbildung“, von denen man in vielen Büchern lesen kann, dass sie oft gleichbedeutend benutzt würden. „Funktion“ wird aber auch für speziellere Abbildungen gebraucht, nämlich für reell- oder komplexwertige Abbildungen (nicht ohne Grund nennt sich die komplexe Analysis „''Funktionen''theorie“). Offenbar (H. Heuser: ''Lehrbuch der Analysis.'' Teil 2. S. 685–695) führte zuerst Leibniz Ende des 17. Jahrhunderts den Begriff der „Funktion“ („''functio''“) für geometrische Größen von Kurven ein, etwa ein halbes Jahrhundert später war für Euler eine „Funktion einer veränderlichen Größe [...] ein analytischer Ausdruck“ bzw. ein Gesetz, das (einschließlich Grenzprozessen) „aus dieser veränderlichen Größe und aus Zahlen oder konstanten Größen zusammengesetzt ist.“ 1755 verstand Euler allgemeiner unter einer „Funktion [...] alle Arten, wie eine Größe durch eine andere bestimmt werden kann“. Eulers frühere Definition blieb in der folgenden Zeit maßgebend, bis 1822 Fourier die Forderung nach einem Gesetz zur Bildung der Funktionswerte fallen ließ. Schließlich schreibt Hankel 1870 im Sinn der „ganz willkürlichen Functionen“ von Dirichlet aus dem Jahr 1837: „Eine Funktion heißt <math>y</math> von <math>x,</math> wenn jedem Wert der veränderlichen Größe <math>x</math> innerhalb eines gewissen Intervalls ein bestimmter Wert von <math>y</math> entspricht;“ unabhängig davon, „ob <math>y</math> [...] nach demselben Gesetze von <math>x</math> abhängt oder [...] durch mathematische Operationen ausgedrückt werden kann oder nicht.“ Erst mit dem Aufkommen der Mengenlehre wurde wohl der Begriff der Funktion allgemeiner als Abbildung auf Mengen definiert. Dagegen wurde der Begriff der „Abbildung“ von Dedekind geprägt und von ihm ''von vorn herein'' [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN23569441X&DMDID=DMDLOG_0055&LOGID=LOG_0055&PHYSID=PHYS_0353 äußerst allgemein] gefasst, und zwar für [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN237853094&DMDID=DMDLOG_0069&LOGID=LOG_0069&PHYSID=PHYS_0295 Cantors („naive“) „Mengen“] (Dedekind spricht 1887/88 – noch vor Cantors Mengendefinition von 1895 – von [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN23569441X&DMDID=DMDLOG_0055&LOGID=LOG_0055&PHYSID=PHYS_0349 „Systemen“]). Man könnte also allgemein „Abbildungen“ auf Klassen definieren und „Funktionen“ als (u.U. spezielle) Abbildungen zwischen Mengen auffassen. --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 23:26, 19. Sep. 2013 (CEST)

::::: Selbstverständlich ist <math>f\colon A \to B</math> aussagekräftiger als <math>f := (g, A, B)\colon</math>
::::: <math>f := (g, A, B)</math> bedeutet doch nur, dass <math>f</math> ein (geordnetes) Tripel <math>(g, A, B)</math> ist, über die Eigenschaften von <math>g, A, B</math> und ihre Beziehungen untereinander ist damit ''gar nichts'' gesagt! Diese werden dann nämlich noch dazu geschrieben.
::::: Bei <math>f\colon A \to B</math> ist das anders, denn dies bedeutet, dass <math>f \subseteq A \times B</math> ist, zudem rechtseindeutig, <math>\operatorname{dom}(f) = A</math> und <math>\operatorname{ran}(f) \subseteq B.</math>
::::: Übrigens wird auch in den Kategorientheorie-Büchern eine ''Funktion <math>f</math> von <math>A</math> nach (oder in) <math>B</math>'' als Tripel nicht <math>f := (g, A, B)</math> geschrieben, sondern <math>(f, A, B)</math> (oder in anderer Reihenfolge)! --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 18:01, 21. Sep. 2013 (CEST)

:::::: Ist das so schwer zu akzeptieren, dass in der Mathematik Eigenschaften wie Surjektivität, Zielmenge, Totalität… als Eigenschaften einer (partiellen) Funktion, die dann selbstverständlich die entsprechenden Informationen enthalten muss, aufgefasst werden, und es eben nicht nur die Sprechweise „ist eine surjektive Funktion von A nach B“ sondern auch einfach „ist surjektiv“ gibt, mit einer präzisen, formalen Bedeutung, geliefert etwa durch eine Tripeldefinition? --[[Benutzer:Chricho|Chricho]] [[BD:Chricho|¹]] [//de.wikipedia.org/w/?title=BD:Chricho&amp;action=edit&amp;section=new ²] [[Benutzer:Chricho/Keine_Verbesserung|³]] 19:31, 21. Sep. 2013 (CEST)

:::::::RPI, es ging zumindest mir um die Aussagen:
:::::::*Sei <math>(f,A,B)</math> eine Funktion.
:::::::*Sei <math>f\colon A\to B</math> eine Funktion.
:::::::Denn <math>f\colon A\to B</math> ist ja letztendlich so definiert:
::::::::<math>f\colon A\to B\quad :\Leftrightarrow\quad f\subseteq A\times B\land\left(\forall x,y,z\, (x,y)\in f\land (x,z)\in f \Rightarrow y=z\right)\land\left(\forall x\exists y\, x\in A\Rightarrow (x,y)\in f\right)</math>
:::::::Wenn man natürlich nur das Tripel verwendet, ohne die Erläuterung dahinter, ist es klar, dass es ungenauer ist. Daher entschuldige ich mich, falls es unklar sein sollte. Was ich sagen wollte war: Es ist egal, ob man sagt, dass f,A,B) eine Funktion ist oder dass <math>f\colon A\to B</math> eine Funktion ist. --[[Benutzer:Eulenspiegel1|Eulenspiegel1]] ([[Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1|Diskussion]]) 23:30, 21. Sep. 2013 (CEST)

:::::: Hallo Eulenspiegel1, vielleicht meinen wir ja das gleiche:
::::::* „<math>f\colon A \to B</math>“ bedeutet im Grunde bereits, wie du schon formal dargelegt hast, „<math>f</math> ist eine Funktion von <math>A</math> nach <math>B</math>“ oder „<math>f</math> ist eine Funktion, die von <math>A</math> nach <math>B</math> abbildet“. „Sei <math>f\colon A \to B</math> eine Funktion“ ist daher eigentlich schon „eine Funktion“ zu viel gesagt, das kann aber sinnvoll sein, um die Bedeutung des Pfeils klarzustellen (ein Pfeil kann ja u.U. auch etwas anderes bedeuten). Dies dürfte jedoch auch oft von Autoren als vereinfachte Schreibweise der zweiten von mir angegebenen Formulierung gedacht sein.
::::::* Mit „<math>(f, A, B)</math> sei eine Funktion“ ist es so eine Sache: Man kann dieses als eine Sprachregelung interpretieren, um eine vereinfachte Sprechweise zu haben, denn genau genommen ist ja nicht <math>(f, A, B)</math> eine Funktion, sondern vielmehr eine Funktion von <math>A</math> nach <math>B</math> und <math>f</math> eine Funktion. Da aber eine „Funktion <math>(f, A, B)</math>“ offenbar nur Sinn macht, als <math>f\colon A \to B</math> zu interpretieren, könnte man diese Sprechweise wohl nehmen. „Funktion“ bekommt dann aber eine Doppelbedeutung, nämlich einerseits als eine funktionale Relation <math>f</math> und andererseits als ein Funktionentripel <math>(f, A, B).</math> Manche Autoren nennen deshalb zur Unterscheidung <math>f</math> eine Funktion und <math>(f, A, B)</math> eine Abbildung. --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 03:22, 22. Sep. 2013 (CEST)
:::::: Tatsächlich verwendet H. Heuser, dessen Bücher empfehlenswert sind, in Teil 1 von seinem ''Lehrbuch der Analysis'' (7. Aufl., Teubner, Stuttgart 1990. S. 104) den Begriff der „Funktion“ bzw. „Abbildung“ genau so, wie in der von mir beschriebenen Sprachregelung: „'''Definition''' [...] ''Unter einer'' Funktion ''oder'' Abbildung <math>f</math> ''von <math>X</math> nach (oder in) <math>Y</math> versteht man eine Vorschrift, die jedem <math>x \in X</math> in vollkommen eindeutiger Weise genau ein <math>y \in Y</math> zuordnet.'' [...]“ Und weiter: „Zur präzisen Festlegung einer Funktion <math>f</math> muss man ausdrücklich ihre Definitionsmenge <math>X</math> und ihre Zielmenge <math>Y</math> angeben; man verwendet zu diesem Zweck gerne die Schreibweise <math>f\colon X \to Y.</math> [...]“ Dass Heuser damit tatsächlich ein Tripel meint, wird in seinem Buch ''Funktionalanalysis'' (2. Aufl., Teubner, Stuttgart 1986. S. 16) deutlich, wo er das gleiche noch einmal kurz und knapp auf den Punkt bringt: „Um die drei Bestandteile einer Abbildung (''Zuordnungsvorschrift'' <math>f,</math> ''Definitionsmenge'' <math>E,</math> ''Zielmenge'' <math>F</math>) deutlich vor Augen zu stellen, benutzen wir die Schreibweise
::::::: <math>f\colon E \to F</math> oder <math>f\colon \left\{\begin{array}{l}E \to F\\ x \mapsto f(x).\end{array}\right.</math>
:::::: [...] Zwei Abbildungen <math>f_1\colon E_1 \to F_1,\; f_2\colon E_2 \to F_2</math> heißen gleich, wenn <math>E_1 = E_2,\; F_1 = F_2</math> und <math>f_1(x) = f_2(x)</math> für alle <math>x \in E_1</math> ist.“ 
:::::: Heuser nennt also sowohl <math>f</math> als auch <math>(f, X, Y)</math> bzw. <math>(f, E, F)</math> „Funktion“ bzw. „Abbildung“. Ich bezweifele, dass ihm das bewusst war, als er das geschrieben hat. Er wäre nämlich sonst nicht stillschweigend über diese Sprachregelung hinweggegangen, so schreibt er in seinem oben genannten Analysis-Buch in der Einleitung: „'''Psychologische Vorbemerkungen''' [...] was die Mathematik erst zur Mathematik macht: die Helle und Schärfe der Begriffsbildung, die pedantische Sorgfalt im Umgang mit Definitionen (kein Wort darf man dazutun und keines wegnehmen – auch nicht und gerade nicht unbewußt) [...]“ --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 16:29, 22. Sep. 2013 (CEST)

:::::In zahlreichen Teilgebieten der Mathematik sagt man „<math>f</math> ist surjektiv“, „<math>f</math> ist ein Epimorphismus“, spricht von Zielmengen von <math>f</math> in Abgrenzung von Bildmengen, ohne Verrenkungen mit „<math>f\colon A\to B</math>“. Nenn mir mal bitte ein Buch, in dem für ein und dieselbe Variable <math>f</math> einmal „<math>f\colon A\to B</math>“ und einmal „<math>f\colon A\to C</math>“ gesagt wird. Die Zielmenge wird als Eigenschaft der Funktion aufgefasst, das ist keine Privatangelegenheit der Kategorientheorie, sondern verbreitete Denke. Bloß sind die meisten Werke eben nicht präzise mit irgendwelchen Tripeldefinitionen. Letztlich muss man das ja auch gar nicht an dieser Stelle tun, nein, man kann schon Relationen als Tripel definieren oder schon beim Teilmengenbegriff ansetzen, dass man mit einer Teilmenge egtl. ein Paar meint. Ich bezweifle ja nicht, dass viele Autoren das einfach ignorieren, wie es formal aussehen müsste, und es dem kontextuellen Verständnis des Lesers überlassen. Aber hier wird behauptet, Eigenschaften wie die Surjektivität würden einer Funktion <math>f</math> nicht zukommen, sondern müssten stets in einem Kontext <math>f\colon A\to B</math> betrachtet werden. Entweder man erlaubt die formale Ungenauigkeit, wie sie oft praktiziert wird, oder aber man akzeptiert, dass dort, wo diese nicht erwünscht ist, eben die Tripeldefinition verwendet wird, anstatt diese als Kuriosum abzutun. Es ist in der mathematischen Praxis wichtig, Funktionen mit unterschiedlicher Zielmenge als ''verschiedene Objekte'' aufzufassen, und nicht nur irgendwelche metasprachlichen Konstrukte zur Verfügung zu haben. Damit wir uns nicht immer nur in Mengenlehre und Kategorientheorie bewegen, nehmen wir mal etwas aus der Topologie: Je nach Zielbereich können etwa Funktionen mit demselben Graphen [[nullhomotop]] sein oder nicht, ein Homologiefunktor kann auf ganz unterschiedliche Homomorphismen abbilden. Niemand kommt da auf die Idee, das zwanghaft immer in eine derartige metasprachliche Gestalt zu pressen – das ist maßgeblich eine informelle Angelegenheit. --[[Benutzer:Chricho|Chricho]] [[BD:Chricho|¹]] [//de.wikipedia.org/w/?title=BD:Chricho&amp;action=edit&amp;section=new ²] [[Benutzer:Chricho/Keine_Verbesserung|³]] 23:56, 19. Sep. 2013 (CEST)

:::::: Ist das so schwer zu akzeptieren, dass in der Mathematik übertriebener Formalismus vermieden wird, gerade weil man „ohne Verrenkungen“ sprechen will? Die präzise, formale Bedeutung liefert eine Tripeldefinition nur für eine ''schon definierte Funktion'' <math>f,</math> zu der man ''zusätzlich'' Definitons- und Zielbereich angeben will, oder man definiert ''nicht'' den allgemeinen Begriff der ''Funktion'', sondern ''von vorn herein'' den Begriff der ''Funktion von einer Menge <math>A</math> nach einer Menge <math>B.</math>'' Ich muss zugeben, dass ich auch etwas gebraucht habe, bis mir das klar war, aber wenn man sich die Definitionen in Büchern genau durchliest und auf die feinen Unterschiede von Autoren achtet, die Wert auf eine präzise, formal korrekte Einführung des Funktionsbegriffs legen, dann wird deutlich, dass es einen Unterschied macht, ob man eine ''Funktion'' oder eine ''Funktion von einer Menge <math>A</math> nach einer Menge <math>B</math>'' definiert!
:::::: Dass man in der Literatur letzteres findet, ist richtig und in der Regel nicht als Tripel sondern in Prosa formuliert, weil das für die Zwecke des jeweiligen Buches ausreicht. Die Präzision, die du so nachdrücklich mit der Tripeldefinition glaubst einfordern zu müssen, gibt es daher tatsächlich häufig nicht, zumindest nicht in symbolischer Form. Das ist deswegen aber nicht formlos und unpräzise ist das auch nicht immer. Unpräzise ist jedoch die einfache Sprechweise „ist eine surjektive Funktion“ an Stelle von „ist eine surjektive Funktion von <math>A</math> nach <math>B</math>“, wobei das wohl so oft gar nicht der Fall sein dürfte, denn meistens ist eine Funktion von <math>A</math> nach <math>B</math> gegeben und für ''die'' werden dann Eigenschaften wie „Surjektivität“ usw. erklärt.
:::::: Obwohl ich in absehbarer Zeit keine Gelegenheit haben werde, in eine mit mathematischer Fachliteratur gut bestückte Uni-Bibliothek zu gehen und nur auf einige wenige Bücher zurückgreifen kann, die ich gerade zur Hand habe, will ich dir Bücher nennen, in denen die selbe Funktion bzw. Abbildung in verschiedene Zielmengen abbildet, obwohl das ein sehr spezieller Sachverhalt ist, der nicht häufig in Büchern in aller Klarheit behandelt wird:
:::::: B. v. Querenburg (''Mengentheoretische Topologie.'' 2. Aufl., Springer, Berlin 1979) schreibt: „'''3.8 Definition.''' Eine Abbildung f: X → Y zwischen topologischen Räumen heißt '''Einbettung''' von X in Y, wenn f ein Homöomorphismus von X auf den Unterraum f(X) ist.“ – <math>f</math> ist also eine i.A. nur injektive Abbildung von <math>X</math> in (oder nach) <math>Y\; (X \to Y)</math> ''und'' ebenso eine bijektive Abbildung von <math>X</math> auf <math>f(X)\; (X \to f(X)).</math>
:::::: U. Hebisch, H.J. Weinert (''Halbringe.'' Teubner, Stuttgart 1993) schreiben: „'''Definition 3.8.''' a) Sei <math>\varphi</math> ein Homomorphismus eines Halbringes <math>(S, +, \cdot)</math> in einen Halbring <math>(T, +, \cdot)</math> und <math>U</math> ein Unterhalbring von <math>(S, +, \cdot).</math> [...] <math>\varphi</math> induziert einen Homomorphismus <math>\varphi|_U = \psi</math> von <math>(U, +, \cdot)</math> auf <math>(\varphi(U), +, \cdot)</math> bzw. in <math>(T, +, \cdot).</math> [...]“ – Hier ist <math>\varphi|_U</math> ''sowohl'' ein Epimorphismus <math>U \to \varphi(U)</math> ''als auch'' ein nicht notwendig surjektiver Homomorphismus <math>U \to T.</math>
:::::: Es ist somit in der mathematischen Praxis ebenso wichtig, Funktionen mit unterschiedlicher Zielmenge auch als gleiche Objekte aufzufassen, es geht hier also nicht um „irgendwelche metasprachlichen Konstrukte“, sondern um die klare Abgrenzung von unterschiedlichen Begriffen, also um's korrekte Definieren! Der Kontext wird für eine Funktion <math>f</math> durch ein Tripel <math>(f, A, B)</math> gegeben, nicht anders wird eine Menge <math>G</math> erst durch Angabe einer Gruppenoperation <math>*</math> zu einer Gruppe <math>(G, *).</math> Ein mathematisches Objekt erhält durch zusätzlich hinzugefügte Objekte zusätzliche Eigenschaften bzw. zusätzliche Struktur und wird damit ein spezielleres Objekt als es ohne diese zusätzlichen Objekte war. Folglich ist eine Funktion <math>f</math> ein allgemeineres Objekt mit weniger Eigenschaften als eine Funktion von <math>A</math> nach <math>B</math> bzw. ein Tripel <math>(f, A, B).</math> Die Tripeldefinition ist also nicht präziser als eine Singledefinition, sondern nur spezieller, weil sie ein Objekt schafft, das mehr Eigenschaften hat und damit weniger allgemeingültig ist.
:::::: In nahezu allen Teilgebieten der Mathematik werden Relationen als Mengen von geordneten Paaren (oder <math>n</math>-stellige Relationen als Mengen von geordneten <math>n</math>-Tupeln) definiert, da kommt niemand auf die Idee, diese zwanghaft in Tripel zu pressen. Autoren ignorieren da nichts, das ist auch keine formale Ungenauigkeit, sondern ''Absicht''! In der mathematischen Praxis braucht niemand außerhalb der Kategorientheorie eine Tripel-Definition für Relationen (es macht ohnehin wenig Sinn, Relationen als Morphismen zu betrachten).
:::::: Damit wir irgendwie auf einen Nenner kommen, schlage ich vor, dass wir uns im Artikel bei der Definition von Abbildungen und Funktionen an solche Autoren halten, die zwischen einer Abbildung(svorschrift) <math>f</math> und einer Abbildung von <math>A</math> nach <math>B\; (f, A, B)</math> differenzieren. Man kann dann nämlich dem Leser die unterschiedlichen Definitionen und ihre Unterschiede aufzeigen und auch auf mögliche Mißverständnisse hinweisen. Außerdem werden dann alle formalen Ungenauigkeiten beseitigt. --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 21:51, 22. Sep. 2013 (CEST)
:::::::Dass man schreibt, dass es aktuell zwei verschiedene Definitionen gibt, einmal nur f und einmal (f,A,B) wäre ich auch dafür. Evtl. könnte man den Artikel sogar erweitern um einen historischen Abriss, der aufzeigt, was man früher unter Funktion verstanden hat. --[[Benutzer:Eulenspiegel1|Eulenspiegel1]] ([[Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1|Diskussion]]) 20:15, 23. Sep. 2013 (CEST)

::::::::Ich möchte einfach mal ein paar Gedanken dazu äußern. Einiges davon wurde auch anders formuliert schon gesagt.
::::::::Die Frage "Tripel oder nicht" hat mehrere Aspekte:einen inhaltlichen und einen formalen. 
::::::::*Inhaltlich geht es um die Frage: "Wodurch ist eine Funktion eindeutig bestimmt?" bzw. "Wann sind zwei Funktionen gleich?". Hier hat es sich in der obigen Diskussion herauskristallisiert, dass es in der Mathematik zwei unterschiedliche Antworten gibt, u.a. abhängig vom mathematischen Gebiet und vom Kontext.
:::::::::Nach der ersten Antwort ist eine Funktion vollständig durch ihren Graph bestimmt. Formal kann man die Funktion dann einfach mit ihrem Graphen identifizieren. Eine Aussage wie "Die Funktion f ist surjektiv" ergibt dann keinen Sinn. Man müsste in der Aussage die Zielmenge noch hinzufügen. 
:::::::::Nach der zweiten Antwort wird eine Funktion durch ihren Graph, Definitions- und Zielmenge definiert. Da man üblicherweise Funktionen als total voraussetzt, ist die Definitionsmenge in Wirklichkeit durch den Graph schon festgelegt, nicht aber die Zielmenge. Zwei Funktionen, die dieselbe Definitionsmenge und den selben Graph besitzen, aber unterschiedliche Zielmengen, sind nach dieser Version verschieden. 
::::::::*Formal geht es um die Frage, was für eine Art von mathematischem Objekt eine Funktion ist, bzw. enger formuliert, wie sich innerhalb der Mengenlehre definieren lässt, was eine Funktion ist. 
:::::::::Vom axiomatischen Standpunkt aus, ist diese Frage eigentlich belanglos. Es interessiert nicht, was die mathematischen Objekte ''sind'', sondern nur, was für Eigenschaften sie haben. Hierzu passt die oben zitierte Definition von Heuser, wo gesagt wird, dass eine Funktion eine "Vorschrift" mit bestimmten Eigenschaften sei. Es wird aber gar nicht gesagt, was unter einer "Vorschrift" zu verstehen sei. Man könnte genausogut sagen: ein "Ding" mit diesen und jenen Eigenschaften. (Wenn man "Vorschrift" so interpretiert, dass man sie sprachlich oder mit Hilfe mathematischer Formeln ausdrücken kann, so erfasst man nicht den modernen Funktionsbegriff.)
:::::::::Wenn man sich hingegen davon leiten lässt, die gesamte Mathematik auf der Mengenlehre aufzubauen, dann stellt sich die Frage in der Form: Welche Art von Mengen kann man verwenden als "Realisierung" des Funktionsbegriff. Bei der ersten Version des Funktionsbegriffs ist die Antwort klar: Man nimmt den Graphen der Funktion. Bei der zweiten Version ist eine mögliche Antwort: Man nimmt das Tripel aus Funktionsgraph, Definitionsmenge und Zielmenge (wobei es keine zwingende Reihenfolge gibt). Eine andere mögliche Antwort wäre: ein Paar aus Funktionsgraph und Zielmenge. (Das ist möglich, da die Definitionsmenge durch den Graphen schon eindeutig bestimmt ist). Während bei der ersten Version die Festlegung "Funktion = Funktionsgraph" natürlich und auch nützlich ist (und in der Mengenlehre durchgängig verwendet wird), ist bei der zweiten Version eine Definition als Tripe oder Paar aber künstlich und für die Praxis nicht relevant. Es reicht hier, auf der inhaltlichen Ebene zu bleiben, und sinngemäß zu schreiben: Eine Funktion ist gegeben durch Definitionsmenge, Zielmenge und Funktionsgraph. 
::::::::--[[Benutzer:Digamma|Digamma]] ([[Benutzer Diskussion:Digamma|Diskussion]]) 21:29, 27. Sep. 2013 (CEST)

::::::::: Ja! Ich sehe, dass du ähnlich Gedanken schon 2010 hattest, aber jetzt ist es mir völlig klar. --[[Benutzer:Erzbischof|Erzbischof]] 22:10, 27. Sep. 2013 (CEST)

:::::::: Mathematische Objekte werden zwar definiert durch die Festlegung ihrer Eigenschaften, aber die sollten schon klar und eindeutig bestimmt sein. Dass es zu dieser Diskussion gekommen ist, zeigt jedoch, dass es (nicht nur im Artikel) bisher an der nötigen Klarheit und Eindeutigkeit fehlte. Ich hoffe, es ist deutlich geworden, dass die unterschiedlichen Funktionsbegriffe auf unterschiedlichen Eigenschaften beruhen, die ihre Entsprechung in der jeweiligen mengentheoretischen Definition finden. Das Problem ist also nicht die „Realisierung“ des Funktionsbegriffs, sondern dass es mehrere Funktionsbegriffe gibt, die bisher nicht klar genug von einander abgegrenzt worden sind.
:::::::: Heuser (S. 105) erklärt übrigens auch (indirekt), was unter einer „Vorschrift“ zu verstehen ist: „Eine Funktion <math>f\colon X \to Y</math> stellt die Elemente <math>x</math> von <math>X</math> mit gewissen Elementen <math>y := f(x)</math> von <math>Y</math> zu Paaren <math>(x, y)</math> zusammen, und zwar so, daß [...].“ Die Zuordnungsvorschrift ist für Heuser und andere Autoren gegeben durch die geordneten Paare mit den bekannten Eigenschaften (linkstotal und rechtseindeutig), was gleichwertig ist – das zeigt Heuser auch – zu einer Teilmenge <math>f</math> von <math>X \times Y</math> mit den genannten Eigenschaften. --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 10:45, 30. Sep. 2013 (CEST)
=== Vorschlag 1 ===

Ich denke, oben die Unterschiede in den Definitionen hinreichend aufgezeigt zu haben – und das nicht nur für den Abbildungs- und Funktionsbegriff, sondern auch für den Relationsbegriff. Ich schlage folgende allgemeine Definitionen vor:

Um keine Unklarheiten aufkommen zu lassen, zunächst das Nötigste zum grundlegenden Begriff der

'''Relation:'''

Es sei <math>n \in \N = \{1, 2, 3, ...\}.</math> Jede Menge von geordneten <math>n</math>-[[Tupel]]n <math>(a_1, a_2, ..., a_n)</math> heißt <math>n</math>-stellige ''Relation''. Eine einstellige Relation ist also nichts anderes als eine Menge, während eine zweistellige Relation <math>\varrho</math> auch einfach nur als ''Relation'' bezeichnet wird. Die Menge <math>\operatorname{Vor}(\varrho) := \{a \mid \text{es gibt ein } b \text{ mit } (a, b) \in \varrho\}</math> ist der ''Links-'' oder ''Vorbereich von <math>\varrho</math>'' und die Menge <math>\operatorname{Nach}(\varrho) := \{b \mid \text{es gibt ein } a \text{ mit } (a, b) \in \varrho\}</math> der ''Rechts-'' oder ''Nachbereich von <math>\varrho.</math>''

Da – wie schon einmal oben erwähnt – der Begriff der Funktion oft auch für spezielle Abbildungen gebraucht wird, möchte ich den klareren Begriff der Abbildung definieren:

'''Abbildung:'''

Man nennt eine (zweistellige) Relation <math>\varphi</math> eine ''Abbildung'', falls sie rechts- bzw. nacheindeutig ist, also 
: für alle <math>(a, b), (a, c) \in \varphi</math> gilt <math>b = c.</math>
Der Vorbereich einer Abbildung <math>\varphi</math> wird auch als ihr ''Definitionsbereich <math>\operatorname{Def}(\varphi)</math>'' und ihr Nachbereich als ihr ''Wertebereich <math>\operatorname{Wert}(\varphi)</math>'' bezeichnet. Eine Abbildung <math>\varphi</math> ordnet somit jedem <math>a \in \operatorname{Def}(\varphi)</math> genau ein <math>b \in \operatorname{Wert}(\varphi)</math> zu, <math>b</math> heißt dann das ''Bild von <math>a</math> unter <math>\varphi</math>'' oder das ''<math>\varphi</math>-Bild von <math>a</math>'' und wird <math>\varphi(a)</math> geschrieben, <math>a</math> nennt man dann auch ein ''Urbild von <math>b</math> unter <math>\varphi</math>'' bzw. ein ''<math>\varphi</math>-Urbild von <math>b</math>'' (<math>b</math> kann mehrere <math>\varphi</math>-Urbilder haben). Die durch <math>(a, b) \in \varphi</math> gegebene (nach)eindeutige Zuordnungsvorschrift heißt ''Abbildungsvorschrift von <math>a</math> nach <math>b</math>'' und man schreibt dafür auch <math>\varphi(a) = b</math> oder <math>\varphi\colon a \mapsto b.</math> 

Eine Abbildung <math>\varphi</math> ist ''injektiv'', wenn sie links- bzw. voreindeutig ist, d.h.
: aus <math>(a, c), (b, c) \in \varphi</math> folgt stets <math>a = b.</math>
Sind <math>A, B</math> Mengen und <math>\varphi</math> eine Abbildung mit <math>\varphi \subseteq A \times B,</math> so nennt man das geordnete Tripel <math>(\varphi, A, B)</math> eine ''Abbildung aus <math>A</math> in <math>B</math>'' oder eine ''partielle Abbildung von <math>A</math> in <math>B</math>'' und schreibt dafür <math>\varphi\colon A \rightsquigarrow B.</math> Gilt insbesondere <math>\operatorname{Def}(\varphi) = A,</math> dann ist <math>(\varphi, A, B)</math> eine ''(totale) Abbildung von <math>A</math> in <math>B</math>'' und schreibt dies symbolisch <math>\varphi\colon A \to B.</math> Wenn <math>\operatorname{Wert}(\varphi) = B</math> ist, dann heißt <math>\varphi\colon A \to B</math> ''surjektiv'' und man spricht von einer ''Abbildung von <math>A</math> auf <math>B.</math>''

Soweit die grundlegendsten Begriffe, alles weitere kann dann noch folgen. --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 12:20, 30. Sep. 2013 (CEST)
:RPI, zwei Anmerkungen:
#Ich dachte, es wäre klar geworden, dass es zwei verschiedene Definitionen gibt. Wieso stellst du jetzt hier die unüblichere von beiden vor? Entweder der Artikel behandelt nur die übliche Definition oder es wird darauf hingewiesen, dass es zwei verschiedene Definitionen gibt. Aber nur die unüblichere von beiden zu behandeln, halte ich für nicht sinnvoll.
#Die Definition von injektiv bzw. partiell hat nichts in diesem Abschnitt zu suchen. In den oberen Definitionsabschnitt gehört nur die Definition des Lemmanamens bzw. Begriffe, die notwendig sind, um die Definition zu verstehen. Und auch, was eine Relation ist, sollte den meisten bekannt sein. Notfalls einen Link auf [[Relation (Mathematik)]]. Das genügt.
:--[[Benutzer:Eulenspiegel1|Eulenspiegel1]] ([[Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1|Diskussion]]) 20:33, 30. Sep. 2013 (CEST)

:# Ich habe habe nicht die unüblichere Definition (welche meinst du damit?) vorgestellt, sondern ''beide'', und zwar so, dass sie klar voneinander zu unterscheiden sind.
:# a) Was für einige Autoren eine ''Abbildung aus <math>A</math> in <math>B</math>'' ist, ist für andere Autoren eine ''partielle Abbildung von <math>A</math> in <math>B.</math>'' Es ist für Leser notwendig, das zu wissen und die Unterschiede zu den anderen, nur wenig anderslautenden Abbildungsbegriffen (dabei kommt es auf jedes Wort an) verstehen zu können. Die Definition von ''injektiv'' war zwar an der Stelle nicht notwendig, es bot sich aber an, weil das noch ohne den Kontext zweier vorgegebener Mengen geht.
::: b) Was eine Relation ist, ist nicht minder unklar, denn auch dort ergibt sich das gleiche Problem: meist wird [[Relation (Mathematik)|diese]] einfach als Teilmenge eines kartesischen Produkts definiert, also – völlig unnötig – in Abhängigkeit von den gegebenen Mengen, aus denen das kartesische Produkt gebildet wird. Wenn man aber den Begriff der Abbildung auf dem der Relation aufbaut, dann sollte die Definition der Relation vorher klar sein, weil sonst wieder Missverständnisse vorprogrammiert wären. Es kommt erschwerend hinzu, dass das, was viele als „Relation“ bezeichnen, andere Autoren eine „Korrespondenz“ nennen, während für diese eine „Relation“ eine „homogene“ Korrespondenz ist (den Begriff „homogen“ habe ich in dem Zusammenhang bisher nur [[Relation (Mathematik)|bei Wikipedia]] gelesen, gibt es dafür auch einen Literaturnachweis?). Weil ich hier aber nicht auch noch über diese Bezeichnungen diskutieren wollte, habe ich „Relation“ benutzt.
:: --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 11:05, 1. Okt. 2013 (CEST)

:::Naja, du definierst <math>\varphi</math> als Funktion und <math>(\varphi,A,B)</math> als "Funktion von A nach B". Dabei ist in der einen Definition <math>(\varphi,A,B)</math> die Funktion und <math>\varphi</math> der Graph der Funktion.
:::Wenn es unterschiedliche Definitionen von Relation gibt, sollten diese im Relationsartikel erklärt werden. Sollte es dann wirklich relevants ein, welche Relation genau gemeint ist, kann man immer noch per Deeplink auf die entsprechende Relation verweisen.
:::Dazu, dass partielle Funktionen als Funktionen aufgefasst werden, hätte ich gerne einen Beleg.
:::Unten mal mein Vorschlag, wie man beide Definitionen im Artikel unterbringen kann. --[[Benutzer:Eulenspiegel1|Eulenspiegel1]] ([[Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1|Diskussion]]) 20:27, 1. Okt. 2013 (CEST)

:::: Ich hatte bereits begründet, warum der Begriff der „Abbildung“ dem der „Funktion“ vorzuziehen ist und bleibe daher auch dabei, es sei denn, es kann hier jemand hinreichend darlegen, dass der Begriff der „Funktion“ gegenüber dem der „Abbildung“ allgemein besser ist.
:::: Nein, auch in der zweiten Definition ist <math>\varphi</math> eine „Abbildung“, das Tripel ist eine „Abbildung aus <math>A</math> in <math>B</math>“, heißt also anders als <math>\varphi.</math> Eine „Abbildung“ und eine „Abbildung von <math>A</math> in/nach <math>B</math>“ sind verschiedene Dinge mit verschiedenen Eigenschaften und werden darum auch unterschiedlich benannt. Das ist im Prinzip nicht anders als bei einer „Abbildung von <math>A</math> ''in'' <math>B</math>“ und einer „Abbildung von <math>A</math> ''auf'' <math>B</math>“: eine „Abbildung von <math>A</math> auf <math>B</math>“ ist eine „Abbildung von <math>A</math> in <math>B</math>“, die ''zusätzlich'' surjektiv ist. Eine „Abbildung aus <math>A</math> in <math>B</math>“ ist dementsprechend eine „Abbildung“, die ''zusätzlich'' in Beziehung zu einer Quell- und einer Zielmenge steht, dies lässt sich dadurch ausdrücken, dass man diese drei zu einem Tripel zusammenfasst. Bei [[mathematische Struktur|mathematischen Strukturen]] ist das nicht anders, so ist z.B. eine „(halb-)geordnete Menge“ ja ein ''geordnetes Paar'' <math>(A, \leq),</math> bestehend aus einer „Menge“ <math>A</math> und einer „(Halb-)Ordnung“ <math>\leq.</math> Eine „(halb-)geordnete Menge“ ist daher nicht nur eine „Menge“, sondern eine Menge mit zusätzlicher Struktur und damit auch mit zusätzlichen Eigenschaften, und eine „Abbildung aus <math>A</math> in <math>B</math>“ ist nicht nur eine „Abbildung“, sondern eine Abbildung mit zusätzlicher Struktur und zusätzlichen Eigenschaften (es bedeutet nämlich, dass diese Abbildung eine Teilmenge von <math>A \times B</math> ist).
:::: Dass die Definition einer Relation nicht hier im Artikel in die Definition gehört, ist selbstverständlich. Ich hatte diese nur zur Klarheit davor hingeschrieben, denn im Artikel [[Relation (Mathematik)]] ist die Definition anders, weil dort Quell- und Zielmenge vorgegeben werden (die gleiche Problematik wie hier).
:::: Belege dafür, dass „partielle Abbildungen“/„partielle Funktionen“ auch „Abbildungen“/„Funktionen“ genannt werden:
::::* Marcel Erné: ''Einführung in die Ordnungstheorie.'' Bibliographisches Institut, Mannheim 1982. S. 13.
::::* ''Kleine Enzyklopädie Mathematik.'' 2. Aufl., Harry Deutsch, Thun/Frankfurt a.M. 1984. S. 351.
:::: Sinn einer Definition ist es, Dinge (oder Objekte) klar und eindeutig zu benennen und sie gegen andere Dinge abzugrenzen. Lesern für einen Begriff mehrere verschiedene Definitionen einfach nur vorzustellen, verwirrt diese aber nur, denn sie wissen dann nicht, welche Definition denn nun gilt und in anderen Artikeln verwendet wird. --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 11:51, 7. Okt. 2013 (CEST)

=== Vorschlag 2 ===

'''Grundidee'''
:[bleibt unverändert]

'''Mengentheoretische Definition'''
:In der Mathematik gibt es zwei verschiedene Arten, Funktionen zu definieren. hre Eigenschaften außerhalb der Mengenlehre sind dabei größtenteils identisch. Sie unterscheiden sich nur darin, welche Eigenschaften eine Funktion bezüglich der Zielmenge haben kann.

'''Mengentheoretische Definition als Relation'''
:Eine Menge <math>f</math> ist genau dann eine Funktion, wenn gilt:
:*f ist eine [[Relation]]
:*für alle <math>(x,y), (x,z)\in f</math> gilt <math>y=z</math>. Das heißt, f ist funktional bzw. rechtseindeutig.
:Bei dieser Definition liegt der Schwerpunkt bei der Betrachtung der Zuordnungsvorschrift. Der umgebende Raum ist nicht relevant.

'''Mengentheoretische Definition als Tripel'''
:Ein Tripel <math>(f,D,Z)</math> ist genau dann eine Funktion, wenn gilt:
:*f ist eine Relation zwischen D und Z, d.h. <math>f\subseteq D\times Z</math>
:* Für jedes Element <math>x</math> aus <math>D</math> existiert (mindestens) ein Element <math>y</math> in <math>Z</math>, so dass das [[Geordnetes Paar|geordnete Paar]] <math>(x,y)</math> Element der Relation <math>f</math> ist. <math>f</math> ist also ''linkstotal''.
:* Zu jedem Element <math>x</math> von <math>D</math> gibt es höchstens ein Element <math>y</math> von <math>Z</math>, so dass das Paar <math>(x,y)</math> in <math>f</math> liegt. <math>f</math> ist damit ''rechtseindeutig'' oder ''funktional''.
:Bei dieser Definition spielt also auch die Zielmenge eine Rolle und die Funktion erhält zusätzliche Eigenschaften (z.B. Surjektivität).
:Die Relation f selber wird innerhalb dieser Definition als "Graph einer Funktion" definiert.

'''Notation'''
:Anstatt ''"Das Tripel <math>(f,D,Z)</math> ist eine Funktion."'', schreibt man auch: "''Es gelte <math>f:D\to Z</math>.''"
:Anstatt <math>(x,y)\in f</math> schreibt man: <math>f(x)=y</math>
Soweit mein Vorschlag zum Kapitel Definition. --[[Benutzer:Eulenspiegel1|Eulenspiegel1]] ([[Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1|Diskussion]]) 20:27, 1. Okt. 2013 (CEST)

:: Unter „Mengentheoretische Definition“ schreibst du, dass die Eigenschaften der zwei verschiedenen Arten, Funktionen zu definieren, „außerhalb der Mengenlehre“ „größtenteils identisch“ seien, was soll das denn heißen? In der Mathematik sind die Eigenschaften nicht davon abhängig, ob sie außerhalb oder innerhalb der Mengenlehre definiert werden. Und „größtenteils identisch“ ist eine sehr schwammige Formulierung, aus der nicht hervorgeht, was damit gemeint sein soll.
:: Unter „Mengentheoretische Definition als Relation“ und „Mengentheoretische Definition als Tripel“ gibst du zwei verschiedenen Dingen den gleichen Namen „Funktion“, das ist aber nicht der Sinn einer Definition. Auch wenn es verschiedene Definitionen gibt, so sollte man sich aber in einer Enzyklopädie wie Wikipedia aber trotzdem für eine Variante entscheiden, damit klar ist, was gemeint ist, wenn in anderen Artikeln sich darauf berufen wird. Z.B. könnte ein [[Ringtheorie#Ring|Ring]] auch schon mit einem Einselement definiert werden, in der [[Kommutative Algebra|Kommutativen Algebra]] wird das auch nicht selten so gemacht, trotzdem werden bei Wikipedia nicht beide Definitionen nebeneinander benutzt. Das gilt umso mehr, je grundlegender der Begriff ist. Leser mit mehreren verschiedenen Definitionen für einen Begriff zu konfrontieren, ohne zu klären welcher hier bei Wikipedia zugrunde gelegt wird, hilft diesen nicht, wenn sie wissen wollen, auf welche Definition sich andere Wikipedia-Artikel beziehen.
:: Und der Begriff „Graph einer Funktion“ im Sinne deiner Definition ist offenbar auch [[Diskussion:Funktionsgraph#Was ist ein Funktionsgraph?|nicht unumstritten]], sodass es mindestens fragwürdig ist, ihn so zuverwenden. --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 17:48, 8. Okt. 2013 (CEST)

:::Ich habe nie geschrieben, dass die Eigenschaften davon abhängen, ob sie innerhalb oder außerhalb der Mengenlehre definiert werden. Ich habe geschrieben, dass die Eigenschaften außerhalb der Mengenlehre identisch sind.
:::Was das heißen soll: Nehme dir ein x-beliebiges Buch aus Analysis, Funktionalanalysis, Lineare Algebra oder Topologie. In all diesen Fachgebieten spielen Funktionen eine große Rolle. Dennoch gelten alle dort beschriebenen Sätze, unabhängig davon, welche Funktionendefinition du verwendest. Sprich, du hast ganz am Anfang unterschiedliche Definitionen stehen, aber alles andere im Buch ist identisch.
:::Egal, wie du Funktion definierst:
:::*Beschränkte, lineare Funktionen sind immer stetig.
:::*Für lineare <math>f\colon X \to Y</math> gilt immer: dim(X) = dim (im(f)) + dim (ker(f))
:::*Konstante Funktionen sind immer stetig.
:::*Polynome ungerader Ordnung haben in <math>\R</math> immer mindestens eine Nullstelle.
:::*Polynome n. Ordnung (n>0) haben in <math>\Complex</math> immer genau n Nullstellen. (Wobei es auch doppelte Nullstellengeben kann.)
:::*Schlage einen beliebigen Satz aus einem Buch über Analysis, Funktionalanalysis, Lineare Algebra oder Topologie auf: Dieser Satz gilt für beide Definitionen.
:::Das meine ich mit "außerhalb der Mengenlehre größtenteils identisch".
:::Zwischen beliebigen Ringen und unitären Ringen gibt es große Unterschiede. Viele Sätze, die für unitäre Ringe gelten, gelten nicht für beliebige Ringe. Vergleichbar wäre wohl eher, wenn manche (R,+,*) und andere (R,*,+) und wieder andere ((R,+),(R,*)) und wieder andere (R,+,*,0) als Ring definieren. All diese vier Definitionen sind außerhalb der Mengenlehre äquivalent und unterscheiden sich nur in der Mengenlehre. Aber ob die Multiplikation ein neutrales Element hat oder nicht, ist relevant und führt auch außerhalb der Mengenlehre zu Unterschieden. --[[Benutzer:Eulenspiegel1|Eulenspiegel1]] ([[Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1|Diskussion]]) 20:54, 8. Okt. 2013 (CEST)

:::: Funktionen werden in allen Gebieten der Mathematik mengentheoretisch definiert und verwendet (u.U. treten dabei an die Stelle von Mengen auch echte Klassen), weil sich die Mathematik mengentheoretisch formulieren lässt. Da findet im Grunde nichts „ausserhalb der Mengenlehre“ statt und die zweite Definition, die meist benutzt wird, umfasst ja die erste, d.h. die Eigenschaften aus der ersten Definition gelten immer und werden auch immer mehr oder weniger benutzt. In der Mathematik werden Strukturen, die isomorph sind, allgemein nicht unterschieden, daher kommt es auf die konkrete mengentheoretische Formulierung nicht an, sondern nur auf die Übereinstimmung der betrachteten Eigenschaften. Was aber „isomorph“ ist, wird auch in der „Sprache“ der Mengenlehre formuliert und bewiesen, steht also auch nicht „ausserhalb der Mengenlehre“. Dieser Satz von dir dient nicht dem Verständnis, sondern ist vollkommen überflüssig.
:::: Daher ist es auch ziemlich egal, wie man Ringe konkret definiert, entscheidend ist, dass sie die entsprechenden Eigenschaften haben. Dass es zwischen beliebigen Ringen und unitären Ringen große Unterschiede gibt, kann man so nicht sagen, denn unitäre Ringe sind ja spezielle Ringe, also gilt alles, was für Ringe im Allgemeinen gilt, auch für unitäre Ringe, aber für unitäre Ringe gelten darüberhinaus noch Dinge, die für nichtunitäre Ringe nicht gelten.
:::: Das verhält sich bei den Funktionsdefinitionen auch nicht anders: Z.B. sei <math>f\colon x \mapsto x^2 + 1</math> mit <math>\operatorname{Def}(f) = \operatorname{Re}(\Complex).</math> Dann ist <math>f</math> eine (allgemeine) Funktion gemäß der ersten Definition und <math>\operatorname{Wert}(f) = \{y \mid y \in \operatorname{Re}(\Complex) \text{ und } |y| \geq 1\} \subseteq \operatorname{Re}(\Complex).</math> Da <math>\operatorname{Re}(\Complex)</math> mit <math>\R</math> isomorph ist, kann auch als Funktion von <math>\R</math> in <math>\R</math> (speziellere Funktion gemäß der zweiten Definition) aufgefasst werden. <math>f</math> besitzt daher keine Nullstelle in <math>\R</math> bzw. in <math>\operatorname{Re}(\Complex).</math> Nach der ersten Definition ist <math>f</math> eine Funktion, die nach der zweiten Definition als <math>f\colon \operatorname{Re}(\Complex) \to \operatorname{Re}(\Complex)</math> und als <math>f\colon \Complex \rightsquigarrow \Complex</math> keine Nullstellen hat, ihre Fortsetzung <math>\hat f\colon \Complex \to \Complex, x \mapsto x^2 + 1,</math> ist dagegen nach der zweiten Definition eine komplexwertige Funktion mit den Nullstellen <math>i, -i \in \Complex.</math> Es macht also durchaus einen Unterschied, welche Definition man benutzt. --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 13:52, 9. Okt. 2013 (CEST)

:::::'''1)''' Ich weiß, dass Funktionen immer mengentheoretisch definiert werden. Lese dir doch bitte meinen Vorschlag durch. Dort findest du sogar zwei mengentheoretische Definitionen. Das ändert aber nichts daran, dass die beiden Definitionen außerhalb der Mengenlehre die gleichen Eigenschaften haben.
:::::'''2)''' Die Funktion f(x)=x²+1 mit Def(f) = Re(C) = R ist nach beiden Definitionen eine Funktion. Diesbezüglich machen die beiden Definitionen also keinen Unterschied. Diese Funktion hat auch keine Nullstellen in R, egal, welche Definition du verwendest.
:::::Und die Funktion lässt sich nicht eindeutig auf ganz C fortsetzen, egal welche Definition du verwendest.
:::::Sowohl g(x) = x²+1 als auch h(x) = (Re(x))²+1 sind beides gültige Fortsetzungen von f. Egal, welche Definition du verwendest.
:::::Und g (eine Fortsetzung von f) hat in beiden Definitionen zwei Nullstellen. Und h (ebenfalls eine Fortsetzung von f) hat in beiden Definitionen keine Nullstellen.
:::::Du siehst: Es ist vollkommen egal, welche der beiden Definitionen man verwendet. Die Aussagen sind für beide Definitionen identisch.
:::::'''3)''' Zitat: ''"Daher ist es auch ziemlich egal, wie man Ringe konkret definiert, entscheidend ist, dass sie die entsprechenden Eigenschaften haben."'' RICHTIG! Das habe ich doch bereits geschrieben. Und als kleiner Hinweis: Das gilt nicht nur für Ringe, das gilt auch für Funktionen.
:::::'''4)''' Ob der Unterschied zwischen beliebigen Ringen und unitären Ringen nun groß ist, ist wahrscheinlich Ansichtssache. Wichtig ist, dass es auch außerhalb der Mengenlehre Unterschiede gibt.
:::::--[[Benutzer:Eulenspiegel1|Eulenspiegel1]] ([[Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1|Diskussion]]) 21:24, 9. Okt. 2013 (CEST)

:::::# Ich störe mich an der Formulierung „außerhalb der Mengenlehre“: das sagt mir nichts bzw. ich sehe nicht, wann ein Unterschied zwar „innerhalb der Mengenlehre“ bestehen soll, aber nicht „außerhalb der Mengenlehre“.
:::::# <math>f\colon x \mapsto x^2 + 1</math> mit <math>\operatorname{Def}(f) = \operatorname{Re}(\Complex)</math> ist zwar auch nach der zweiten Definition eine Funktion <math>f\colon \operatorname{Re}(\Complex) \to \operatorname{Re}(\Complex),</math> aber nach der ersten Definition ist <math>f</math> auch eine Funktion in <math>\Complex,</math> d.h. <math>f\colon \Complex \rightsquigarrow \Complex</math> ist dann auch eine Funktion, was nach der zweiten Definition nicht der Fall ist (weil nicht linkstotal). Bei <math>f\colon \operatorname{Re}(\Complex) \to \operatorname{Re}(\Complex)</math> bezog ich mich auf das von dir gegebene Beispiel der Polynomfunktionen in <math>\Complex,</math> denn <math>f</math> ist ja eine Polynomfunktion 2. Grades und deren Fortsetzung <math>\hat f</math> bzw. <math>g</math> auch, <math>h</math> dagegen nicht.
:::::# Nach der ersten Definition ist eine Funktion nur eine rechtseindeutige Relation, deren Definitionsbereich nicht mit einer evtl. vorgegebenen Quellmenge übereinstimmen muss, sondern lediglich in dieser enthalten sein sollte; nach der zweiten Definition ist eine rechtseindeutige Relation nur dann eine Funktion, wenn deren Definitionsbereich mit der vorgegebenen Quellmenge übereinstimmt. Die beiden Definitionen haben also verschiedene Eigenschaften für Funktionen zur Folge!
:::::# Jeder Ring lässt sich in einen Ring mit Einselement einbetten, siehe [[Adjunktion (Einselement)]]. Unitäre Ringe sind, wie schon gesagt, spezielle Ringe bzw. Ringe mit zusätzlichen Eigenschaften – sowohl innerhalb als auch außerhalb der Mengenlehre. Auch Funktionen nach der zweiten Definition sind nach der ersten Definition spezielle Funktionen bzw. Funktionen mit zusätzlichen Eigenschaften.
:::::: --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 10:28, 10. Okt. 2013 (CEST)

::::::#Es gibt in der Mathematik mehrere Fachgebiete. Ein Unterschied besteht nur innerhalb eines Fachgebietes, wenn es in allen anderen Fachgebieten keine Rolle spielt. Klassisches Beispiel sind die reellen Zahlen: Einige definieren die reellen Zahlen als Dedekindsche Schnitte von Q. Andere definieren R als Cauchy-Folgen in Q. In der Mengenlehre macht es einen Unterschied, welche Definition man verwendet. In allen anderen Fachgebieten macht das jedoch keinen Unterschied. Etwas macht außerhalb der Mengenlehre keinen Unterschied, wenn alle Sätze in den anderen Fachgebieten die gleichen bleiben.
::::::#Die Definition sagt nur, was "Funktion" ist. Die Definition sagt nicht, was "Funktion in X" oder "Quellmenge" ist. Mögliche Definitionen wären:
::::::##f ist Funktion in Q<math>:\Leftrightarrow</math> f ist Funktion und <math>Q \subseteq def(f) = \{x|\exists y\, (x,y)\in f\}</math>
::::::##Q ist Quellmenge von f<math>:\Leftrightarrow</math> f ist Relation und <math>Q \subseteq def(f) = \{x|\exists y\, (x,y)\in f\}</math>
::::::#*Es ist in beiden Fällen die gleich Quellmenge und "Funktion in X" ist ebenfalls identisch, unabhängig davon, wie Funktion nun definiert wurde.
::::::##g ist eine Fortsetzung der Funktion f, wenn gilt: g ist Funktion und <math>f\subseteq g</math>, bzw. <math>\forall x,y\, (x,y)\in f\Rightarrow (x,y)\in g</math>. Und das trifft auf beide von mir genannten Funktionen zu. Sowohl auf g als auch auf h.
::::::##Ja, f ist eine Polynomfunktion in beiden Definitionen. g ist eine Fortsetzung von f und eine Polynomfunktion. h ist eine Fortsetzung von f und keine Polynomfunktion. Das zeigt, dass Fortsetzungen von Polynomfunktionen selber keine Polynomfunktionen sein müssen. Und das gilt ebenfalls für beide Definitionen.
::::::#Nur weil sich X in Y einbetten lässt, heißt das noch lange nicht, dass die beiden Räume sich irgendwie ähnlich wären: Relativ kompakte Mengen lassen sich auch in kompakte Mengen einbetten. Trotzdem ist der Unterschied gewaltig. --[[Benutzer:Eulenspiegel1|Eulenspiegel1]] ([[Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1|Diskussion]]) 20:41, 10. Okt. 2013 (CEST)

:::::::# Auch in der Mengenlehre macht es keinen Unterschied, welche Definition der reellen Zahlen man verwendet. Die unterschiedlichen Definitionen führen zwar zu unterschiedlichen Mengen, aber diese sind isomorph und werden deshalb in der Mengenlehre genauso wie in jedem anderen Fachgebiet der Mathematik miteinander identifiziert. Welche Möglichkeit man in welchem Fachgebiet zur Definition verwendet ist Geschmackssache bzw. eine Frage der Zweckmäßigkeit. Das ist bei [[geordnetes Paar|geordneten Paaren]] nicht anders: es gibt verschiedene Möglichkeiten, ein solches als Menge zu definieren, aber auch in der Mengenlehre ist es unerheblich, welche Definition man nun nimmt. Man unterscheidet in der Mengenlehre im Allgemeinen nicht geordnete Paare <math>(a, b), (c, d)</math> mit <math>a = c</math> und <math>b = d,</math> selbst dann, wenn sie als Mengen unterschiedlich realisiert wurden. Ebenso unterscheidet man Tripel nicht danach, wie sie konkret definiert wurden, denn z.B. sei <math>(a, b, c) := ((a, b), c)</math> und obwohl für die Mengen <math>(a, (b, c)) \neq ((a, b), c)</math> gilt, sieht man davon ab und lässt <math>(a, b, c) = (a, (b, c))</math> gelten. Gleichheit bedeutet in der Mathematik immer nur, dass Objekte bezüglich der betrachteten Eigenschaften nicht zu unterscheiden sind, dass sie noch andere Eigenschaften haben können, in denen sie sich unterscheiden, spielt da keine Rolle. So gilt ja auch <math>\frac12 = \frac36,</math> obwohl <math>1 \neq 3</math> und <math>2 \neq 6</math> gilt.
:::::::# Für eine Quellmenge <math>Q</math> von <math>f</math> gilt immer <math>\operatorname{Def}(f) \subseteq Q</math> und nicht umgekehrt. Aber auch davon abgesehen gibt es bei der ersten Definition verschiedene Quellmengen, während die Definitionsmenge immer die gleiche ist. Nach der ersten Definition kann insbesondere auch <math>\operatorname{Def}(f) \subset Q</math> sein, bei der zweiten Definition dagegen gilt stets <math>\operatorname{Def}(f) = Q.</math> Dass <math>h</math> eine Fortsetzung von <math>f</math> ist, habe ich nie bezweifelt. Ich habe nur Polynomfunktionen betrachtet, weil du diese als Beispiel nanntest, deshalb blieben andere Fortsetzungen außen vor.
:::::::# Kompakte Mengen sind auch immer relativ kompakt, d.h. kompakte Mengen sind spezielle relativ kompakte Mengen. Ob der Unterschied zwischen relativ kompakten Mengen und kompakten Mengen nun groß ist, ist – ähnlich wie bei Ringen und unitären Ringen – wahrscheinlich Ansichtssache. --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 11:42, 11. Okt. 2013 (CEST)

::::::::#Ich hatte mich verschrieben. Ich wollte <math>Q \supseteq def(f)</math>, also su'''p'''seteq anstatt su'''b'''seteq schreiben. Auf alle Fälle gilt dort auch für die zweite Definition, dass Q als echte Obermenge von def(f) eine Quellmenge ist.
::::::::#Sei (f,D,Z) eine Funktion nach der zweiten Definition und sei <math>Q\supset D</math> dann gilt trivialerweise auch  <math>Q\supset def(f)</math>, womit es laut Definition der Quellmenge eine Quellmenge ist.
::::::::#Zwei Räume sind isomorph, wenn es eine Funktion zwischen den beiden Räumen gibt, die bijektiv und strukturerhaltend ist. Was "strukturerhaltend" ist, ist jedoch von Fachgebiet zu Fachgebiet unterschiedlich. In der Topologie bedeutet strukturerhaltend, dass offene Mengen auf offene Mengen abgebildet werden. In der Analysis bedeutet strukturerhaltend, dass Cauchy-Folgen auf Cauchy-Folgen abgebildet werden. In der Linearen Algebra sind lineare Funktionen strukturerhaltend. In der Geometrie sind winkelerhaltende Funktionen strukturerhaltend. Und in der Mengenlehre ist eine Funktion strukturerhaltend, wenn gilt: <math>x\in y\Leftrightarrow f(x)\in f(y)</math>, wobei <math>f(x)\in f(y)</math> eine Kurzschreibweise für <math>\exists s,t\,(x,s)\in f\land (y,t)\in f\land s\in t</math> ist.
::::::::#1/2 =3/6 ist ebenfalls nur eine Kurzschreibweise für eine Eigenschaft des Quotientenoperators. Sei q der Quotientenoperator, dann gilt:
::::::::::1/2 = 3/6
::::::::::<math>\Leftrightarrow q(1,2) = q(3,6)</math>
::::::::::<math>\Leftrightarrow \exists y\,((1,2),y)\in q\land ((3,6),y)\in q</math>
:::::::::--[[Benutzer:Eulenspiegel1|Eulenspiegel1]] ([[Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1|Diskussion]]) 19:48, 11. Okt. 2013 (CEST)

:::::::: Was „strukturerhaltend“ bzw. „strukturverträglich“ ist nur scheinbar von Fachgebiet zu Fachgebiet unterschiedlich, tatsächlich gibt es dabei ein gemeinsames, fachübergreifendes Grundprinzip und damit auch eine [[Verträglichkeit (Mathematik)|einheitliche Definition]]. Da Mengen keine zusätzliche Struktur haben, sind alle Abbildungen von einer Menge in eine andere Menge strukturerhaltend bzw. (Homo-)Morphismen für Mengen. Deine sehr eigenwillige Definition von strukturerhaltenden Funktionen in der Mengenlehre kenne ich nicht und es würde mich sehr wundern, wenn diese in irgend einem Fachbuch zu finden wäre.
:::::::: <math>\frac12</math> und <math>\frac36</math> sind gleich, weil <math>(1, 2)</math> und <math>(3, 6)</math> Repräsentanten der gleichen Äquivalenzklasse in <math>\Z \times (\Z\setminus\{0\})</math> sind, diese Äquivalenzklasse bezeichnet man üblicherweise mit <math>\frac12</math> bzw. <math>\frac36</math> usw. und die [[Rationale Zahl#Definition|Menge bestehend aus allen diesen Äquivalenzklassen]] bezeichnet man mit <math>\Q.</math> Entscheidend ist, dass die geordneten Paare <math>(1, 2)</math> und <math>(3, 6)</math> verschieden sind, aber <math>\frac12</math> und <math>\frac36</math> nicht. --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 10:03, 14. Okt. 2013 (CEST)
:::::::: In der Topologie sind außerdem, so wie im Spezialfall der Analysis auch, nicht [[offene Abbildung]]en strukturerhaltend, sondern [[Stetig#Weitere Verallgemeinerung: Stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen|stetige]]. --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 11:09, 14. Okt. 2013 (CEST)

:::::::::*Richtig, strukturerhaltend hat tatsächlich ein gemeinsames, fachübergreifendes Grundprinzip. Nämlich, dass die Struktur erhalten bleibt. Und die Struktur in der Mengenlehre ist die <math>\in</math>-Struktur (bzw. die <math>\subset</math>-Struktur).
:::::::::*Aber OK, gehen wir mal davon aus, es gäbe in der Mengenlehre keine Struktur und zwei Mengen wären isomorph, sobald sie die gleiche Mächtigkeit hätten. Das heißt, du würdest auch {0} mit <math>\{\{0\}\}</math> identifizieren? Schließlich haben beide Mengen die Mächtigkeit 1. Oder was ist mit <math>\omega</math> und <math>\omega+1</math>? Beide Ordinalzahlen haben die gleiche Kardinalität. Dennoch habe ich gelernt, dass die Kardinalzahlen eine echte Teilklasse der Ordinalzahlen wären. - Was nicht gehen würde, wenn gleichmächtige Mengen immer identifiziert werden würden.
:::::::::*Strukturverträglichkeit, so wie sie in deinem verlinkten Artikel definiert ist, gilt nur für Relationen als Struktur. Wenn die Struktur jedoch keine Relation ist, greift diese Definition nicht.
:::::::::*Bzgl. der Quotientenfunktion: Sei z.B. f(x)=x². Wenn nun f(2)=f(-2) ist, dann hat das nichts mit Isomorphismen zu tun. Es hat eher etwas mit der Nicht-Injektivität von f zu tun. Und wenn f(x,y)=x/y definiert ist, dann gilt das gleiche.
:::::::::*Ja, rationale Zahlen kann man auch über Äquivalenzklassen definieren. Aber selbst da gilt: <math>1/2\ne 3/6</math> und [1/2]=[3/6]. Oder in Worten: Die Repräsentanten unterscheiden sich, aber ihre Äquivalenzklassen sind identisch. Aber darum geht es nicht. Du hattest behauptet, dass isomorphe Strukturen identifiziert werden. Ob etwas nun eine Äquivalenzklasse ist oder nicht, hat aber nichts mit isomorphen Strukturen zu tun.
:::::::::*Unter [[Stetigkeit]] steht, dass eine Funktion stetig ist, wenn das Urbild offener Mengen stetig ist. Damit etwas strukturerhaltend ist, muss die Eigenschaft sowohl für die Funktion als auch für die Umkehrfunktion gelten. Das heißt, wenn eine Funktion stetig ist und ihre Umkehrfunktion ebenfalls stetig ist, dann ist das äquivalent zur Eigenschaft, dass die Funktion offen ist und ihre Umkehrfunktion ebenfalls offen ist.
:::::::::*Für cauchyfolgen-erhaltende Funktionen gilt das nicht: Zwar ist jede Funktion, die Cauchy-Folgen erhält auch stetig, aber nicht jede stetige Funktion erhält auch Cauchy-Folgen. Nehme z.B. die Mengen (0,1) und <math>\R^+\backslash[0,1]</math> mit der Standardmetrik von R. Diese beiden Mengen sind topologisch isomorph, aber nicht analytisch isomorph, wie man an der Funktion <math>f:(0,1)\to\R^+\backslash[0,1]</math> mit f(x)=1/x sehen kann. Die Funktion ist stetig, ihre Umkehrfunktion ist stetig, aber Cauchy-Folgen werden nicht auf Cauchy-Folgen abgebildet.
:::::::::--[[Benutzer:Eulenspiegel1|Eulenspiegel1]] ([[Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1|Diskussion]]) 20:29, 14. Okt. 2013 (CEST)

::::::::* Welcher Mathematiker behauptet denn, dass die Struktur in der Mengenlehre „die <math>\in</math>-Struktur (bzw. die <math>\subset</math>-Struktur)“ sei? Nenne bitte Fachliteratur!
::::::::: Die Mengenlehre befasst sich mit Mengen und Klassen, d.h. die [[mathematische Struktur]], die der Mengenlehre zugrunde liegt, ist die strukturlose Menge oder u.U. auch strukturlose echte Klasse (das schließt aber nicht aus, dass trotzdem in der Mengenlehre auch bestimmte, mit weiterer Struktur versehene Mengen oder Klassen behandelt werden). Alle anderen Fachgebiete, vielleicht abgesehen von der Logik, untersuchen von vorn herein Mengen oder Klassen, in oder auf denen eine oder mehrere Relationen (die oft auch Funktionen bzw. Abbildungen sind) gegeben sind, durch die sie erst Struktur bekommen. Jede bloße Menge oder Klasse ist nichts anderes als die einfachste mathematische Struktur, auf der alle anderen [[mathematische Struktur|mathematischen Strukturen]] aufbauen. Eine Relation gibt einer Menge oder Klasse, in der diese Relation gegeben ist, erst Struktur und bildet zusammen mit dieser Menge erst eine spezielle mathematische Struktur. Eine Relation an sich ist als Menge nur eine triviale Struktur, die außerhalb der Mengenlehre (z.B. in der Algebra) wegen ihrer geringen Eigenschaften (so als [[algebraische Struktur]]) nicht weiter untersucht zu werden braucht.
::::::::* <math>\{0\}</math> und <math>\{1\} = \{\{0\}\}</math> können selbstverständlich miteinander identifiziert werden, wenn es z.B. nur darauf ankommt, dass sie gleichmächtig sind: Bei einem <math>n</math>-Tupeln kommt es nicht unbedingt darauf an, ob man die Indizes bei <math>0</math> oder bei <math>1</math> beginnen lässt, die Hauptsache ist, man macht es einheitlich. Es spielt dann keine Rolle, ob man dann Eintupel <math>(x_i)_{i \in \{0\}}</math> oder <math>(x_i)_{i \in \{1\}}</math> schreibt.
::::::::: Eine [[Ordinalzahl]] besitzt als [[geordnete Menge]] im Gegensatz zu einer [[Kardinalzahl]] zusätzliche Struktur, folglich bedarf es (mindestens) eines Ordnungsisomophismus, wenn zwei Ordinalzahlen miteinander identifiziert werden sollen.
::::::::* Rationale Zahlen definiert man über Äquivalenzklassen, ich sehe nicht, wie das mit deinem Operator gehen soll. Es ist zudem <math>1/2 := [(1, 2)]</math> und <math>3/6 := [(3, 6)]</math> und man identifiziert <math>1</math> mit <math>1/1</math> und <math>2</math> mit <math>2/1</math> usw., obwohl doch <math>1 \neq 1/1 = [(1, 1)]</math> und <math>2 \neq 2/1 = [(2, 1)]</math> usw. ist! Würde man das nicht machen, dann wären <math>\N \not\subset \Z \not\subset \Q \cdots.</math>
::::::::: Aber was ich oben meinte: Es sind zwar <math>1/2</math> und <math>3/6</math> als mathematische Objekte (Äquivalenzklassen) gleich, aber sie haben ja noch Eigenschaften außerhalb der Mathematik, so werden <math>1/2</math> und <math>3/6</math> unterschiedlich geschrieben und sind dadurch unterscheidbar, d.h. sie können auch als verschiedene Objekte mit den gleichen mathematischen Eigenschaften betrachtet werden.
::::::::* Strukturerhaltend heißt nicht, dass zwei Strukturen isomorph sind, sondern nur, dass sie homomorph sind; sind sie isomorph, dann sind sie sogar strukturidentisch, d.h. nicht zu unterscheiden. So ist z.B. das homomorphe Bild der algebraischen Struktur eines Ringes wieder ein Ring, dieser muss aber natürlich nicht isomorph zum abgebildeten Ring (dem Urbild) sein.
::::::::* In metrischen Räumen wie <math>\R</math> gilt das [[Stetigkeit#Stetigkeit reeller Funktionen|Folgenkriterium]], d.h. <math>f\colon (0,1) \to I, x \mapsto 1/x,</math> mit <math>I := \{x \mid x \in \R, x > 1\}</math> und <math>f^{-1}</math> sind genau dann stetig, wenn für jedes <math>x \in (0,1)</math> bzw. jedes <math>x \in I</math> jede gegen <math>x</math> konvergente (Cauchy-)Folge auf eine gegen <math>f(x)</math> bzw. <math>f^{-1}(x)</math> konvergente (Cauchy-)Folge abgebildet wird. Den Gegensatz, den du sehen willst, gibt es gar nicht.
:::::::: --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 16:56, 15. Okt. 2013 (CEST)

:::::::::*Willst du etwa abstreiten, dass gerade in der Mengenlehre <math>x\in y</math> bzw. <math>x\subseteq y</math> besonders häufig verwendet werden?
:::::::::*Ich spreche davon, dass Cauchy-Folgen auf Cauchy-Folgen abgebildet werden. Und du sprichst davon, dass Cauchy-Folgen auch im Bildraum konvergieren. - Dass das ganze nur für vollständige Räume gilt, erwähne ich lieber nicht. Und klar: Wenn zwei Normen äquivalent sind, dann besitzen die beiden Räume auch die gleiche Topologie. (Was man auch daran erkennt, dass wenn Funktion und Umkehrfunktion einer Bijektion Cauchy-Folgen erhalten, dann sind sie stetig.) Die Sache ist halt die, dass aus der gleichen Topologie nicht die Äquivalenz der Normen folgt. (Was man daran erkennt, dass aus Stetigkeit von Funktion und Umkehrfunktion einer Bijektion nicht unbedingt folgt, dass Cauchy-Folgen erhalten bleiben.) Ja, in einem topologischen Raum gibt es nichtmal eine eindeutige Metrik.
:::::::::Deinen anderen Punkten stimme ich ebenfalls nicht zu. Aber ich bezweifle, dass das noch irgendetwas mit dem hier diskutierten Lemma zu tun hat. Ich bin gerne bereit darüber zu diskutieren, wie das Definitionskapitel im Artikel aufgebaut sein sollte. Ich bin gerne bereit, über meinen Vorschlag dazu zu diskutieren. Aber ich sehe nicht, inwiefern die aktuellen Punkte dazu beitragen. --[[Benutzer:Eulenspiegel1|Eulenspiegel1]] ([[Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1|Diskussion]]) 21:06, 15. Okt. 2013 (CEST)

::::::::* Ich streite das doch gar nicht ab, aber es ging um den Begriff „strukturerhaltend“ bzw. „strukturverträglich“ und der hat in der Mathematik eine klare Bedeutung. Wenn du das nach deinem eigenem Geschmack willkürlich umdefinierst, dann ist das deine Privatsache und hat für Wikipedia keine Bedeutung.
::::::::* Ich spreche davon, dass im Bild stetiger Abbildungen das Konvergenzverhalten des Urbildraumes erhalten bleibt und deshalb stetige Abbildungen für topologische Räume „strukturerhaltend“ bzw. „strukturverträglich“ sind. Ob Cauchy-Folgen auf Cauchy-Folgen abgebildet werden oder nicht, ist dabei unerheblich. Jede konvergente Folge in einem metrischen Raum ist eine Cauchy-Folge, aber nicht unbedingt jede Cauchy-Folge ist konvergent, dass ist bekanntlich nur dann der Fall, wenn der Raum vollständig ist.
::::::::: Nicht jeder topologische Raum ist metrisierbar und hat erst recht keine Norm, aber das ist allgemein bekannt und kann in so ziemlich jedem Topologie- und Funktionalanalysis-Buch nachgelesen werden. Ein normierter Raum <math>(X, +, \cdot, \|.\|),</math> der ja immer auch ein metrischer Raum ist, hat daher im Allgemeinen mehr Struktur als ein metrischer Raum <math>(X, \operatorname d)</math> und dieser wiederum mehr Struktur als ein topologischer Raum <math>(X, \mathcal O).</math> Folglich ist eine strukturerhaltende bzw. -verträgliche Abbildung von normierten Räumen auch strukturerhaltend bzw. -verträglich hinsichtlich der kanonischen Metriken und eine strukturerhaltende bzw. -verträgliche Abbildung von metrischen Räumen auch immer stetig, aber die umgekehrten Aussagen gelten jeweils nicht. Ich sehe hier kein Problem.
:::::::: Ausgangspunkt dieser Diskussion hier war deine Formulierung „außerhalb der Mengenlehre“, die nicht sinnvoll ist und deshalb von mir als überflüssig kritisiert wurde: daran hat sich nichts geändert. --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 12:57, 16. Okt. 2013 (CEST)

:::::::::OK, ganz simpel gefragt: Inwiefern helfen die aktuell zu diskutierenden Punkte dabei, festzustellen, ob die Formulierung "außerhalb der Mengenlehre" sinnvoll ist oder nicht? Und "außerhalb der Mengenlehre" ist ebenfalls recht einfach zu verstehen: "Ein mathematisches Fachgebiet, das nicht die Mengenlehre ist". --[[Benutzer:Eulenspiegel1|Eulenspiegel1]] ([[Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1|Diskussion]]) 20:35, 16. Okt. 2013 (CEST)

:::::::: Was nach deiner Meinung „die aktuell zu diskutierenden Punkte“ sind, weiss ich jetzt nicht, Tatsache ist aber, dass du versucht hast, einen angeblichen Gegensatz zwischen der Mengenlehre und den anderen mathematischen Fachgebieten zu konstruieren, als ob in anderen Fachgebieten eine andere Mathematik betrieben würde als in der Mengenlehre.
:::::::: Ich hatte schon wiederholt dargelegt, dass da kein Gegensatz besteht, sondern dass auch innerhalb der Mengenlehre das gleiche gilt wie in anderen mathematischen Fachgebieten. Die gesamte moderne Mathematik ist mengentheoretisch formuliert und benutzt ständig mengentheoretische Bezeichnungen und Eigenschaften von Mengen bzw. Klassen, d.h. die Mengenlehre ist in allen Fachgebieten der Mathematik stets – direkt oder indirekt – vorhanden und wird dort immer wieder genutzt.
:::::::: Um noch konkreter zu werden: Die verschiedenen Definitionen einer Funktion bzw. Abbildung finden sich in Fachbüchern zu anderen mathematischen Fachgebieten als der Mengenlehre (aber auch in solchen zur Mengenlehre), die also „außerhalb der Mengenlehre“ liegen, in denen jedoch die jeweiligen Definitionen in „der Sprache“ der Mengenlehre formuliert und insbesondere Funktionen bzw. Abbildungen als spezielle Mengen (oder Klassen) definiert werden. Deshalb macht es keinen Sinn, hier von "außerhalb der Mengenlehre" zu sprechen! --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 10:15, 17. Okt. 2013 (CEST)
:::::::::Dafür, dass du nicht weißt, was die aktuell definierten Punkte sind, hast du aber eine ganze Menge geschrieben. Aber es erklärt zumindest deine Antworten. Daher für dich nopchmal eine kurze Liste mit den aktuell diskutierten Punkten:
:::::::::*Was bedeutet Struktur?
:::::::::*Struktur in der Mengenlehre, der Topologie und der Analysis
:::::::::*Sind Ordinalzahlen (die laut deiner Aussage eine Struktur besitzen) ein Teil der Mengenlehre?
:::::::::*Erben Kardinalzahlen als Teilmenge der Ordinalzahlen deren Struktur?
:::::::::*Gilt {0} = {1} ? (Aus dem Extensionalitätsaxiom würde daraus dann 0=1 folgen.)
:::::::::*Was ist ein Quotientenoperator auf den rationalen Zahlen und was hat Nicht-Injektivität von Funktionen mit Isomorphie oder Äquivalenzklassen zu tun?
:::::::::*Was hat Isomorphie mit Äquivalenzklassen zu tun?
:::::::::*Unterschied zwischen "Eine Funktion erhält Cauchy-Folgen" und "Eine Funktion erhält konvergente Folgen" sowie Zusammenhang mit Stetigkeit und Vollständigkeit.
:::::::::Daher die Bitte: Wenn du das nächste Mal nicht weißt, worüber diskutiert wird, dann frage nach. Wenn jemand antwortet, dann gehe ich gewöhnlich davon aus, dass er auch weiß, worüber diskutiert wird.
:::::::::Was verstehst du unter "Gegensatz"? Und ja, formal gilt in allen Fachgebieten natürlich das gleiche Axiomensystem. Das ändert aber nichts daran, dass es Unterschiede daran gibt, was man sich anschaut und was nicht. Es gibt schon ein Grund, dass es unterschiedliche Fachgebiete gibt. Und er liegt daran, dass es unterschiedliche Schwerpunkte gibt, die jeweils betrachtet werden. Und was für den einen Schwerpunkt super interessant ist, ist für den anderen Schwerpunkt vollkommen nebensächlich.
:::::::::Lese dir meinen Vorschlag und meine Texte bitte nochmal durch: Ich habe nirgendwo behauptet, dass es in den anderen Fachgebieten andere Definitionen gibt! Ich habe gesagt, dass es zwischend en beiden Definitionen in den anderen Fachgebieten kaum Unterschiede gibt. Zwischen
:::::::::*"Es werden die gleichen zwei Definitionen verwendet und es macht keinen Unterschied welche von beiden verwendet wird."
:::::::::*"Es wird eine andere Definition verwendet."
:::::::::liegen Welten.
:::::::::Desweiteren hat der Zusammenbruch der naiven Mengenlehre und der Aufbau der axiomatischen Mengenlehre eine große Veränderung in dem Fachgeiet Mengenlehre verursacht. In den anderen Fachgebieten konnte man davon aber nichts spüren. Die Analysten, Algebraiker, Geometriker, Zahlentheoretiker etc. haben so weitergerechnet wie vorher auch. Außerhalb der Mengenlehre gab es daher keine Veränderungen dadurch.
:::::::::Du schriebst:
 Die verschiedenen Definitionen einer Funktion bzw. Abbildung finden sich in Fachbüchern zu anderen mathematischen Fachgebieten als der Mengenlehre (aber auch in solchen zur Mengenlehre), die also „außerhalb der Mengenlehre“ liegen, in denen jedoch die jeweiligen Definitionen in „der Sprache“ der Mengenlehre formuliert und insbesondere Funktionen bzw. Abbildungen als spezielle Mengen (oder Klassen) definiert werden. Deshalb macht es keinen Sinn, hier von "außerhalb der Mengenlehre" zu sprechen!
:::::::::Warum? Dem ersten Satz stimme ich 100% zu. Ich sehe aber nicht, wie du aus deinem ersten Satz den 2. Satz folgerst. Ich würde eher schreiben:
::::::::::''Die verschiedenen Definitionen einer Funktion bzw. Abbildung finden sich in Fachbüchern zu anderen mathematischen Fachgebieten als der Mengenlehre (aber auch in solchen zur Mengenlehre), die also „außerhalb der Mengenlehre“ liegen, in denen jedoch die jeweiligen Definitionen in „der Sprache“ der Mengenlehre formuliert und insbesondere Funktionen bzw. Abbildungen als spezielle Mengen (oder Klassen) definiert werden. Außerdem macht es Sinn, hier von "außerhalb der Mengenlehre" zu sprechen!''
:::::::::--[[Benutzer:Eulenspiegel1|Eulenspiegel1]] ([[Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1|Diskussion]]) 15:52, 19. Okt. 2013 (CEST)

=== Verbale Definition des Funktionsbegriffs, ohne Hinzuziehung von Hilfskonstruktionen, also nur was Sache ist ===

Funktionsbegriff wie üblich''':'''
::{| class="wikitable"
|
*'''''Funktionen''''' sind rechteindeutige Paarmengen &nbsp;&nbsp;
|}

Funktionsbegriff wie in Wikipedia''':'''
::{| class="wikitable"
|
*Eine rechteindeutige Paarmenge nennt man '''''Graph''''', die linken und die rechten Komponenten seiner Elemente bilden seinen ''Definitions-'' respektive ''Wertebereich''.<br />

*Man nennt
:#jeden Graph
:#jedes Tripel, dessen 1. Komponente ein Graph ist, dessen 2. Komponente der Definitionbereich der 1.Komponente ist und dessen 3.Komponente alle Elemente des Wertebereichs der 1.Komponente enthält
:#jedes Paar, dessen linke Komponente ein Graph ist und dessen rechte Komponente alle Elemente des Wertebereichs der linken Komponente enthält
:auch '''''Funktion'''''.

*Unter '''''Graph einer Funktion''''' versteht man im 
:#Fall die Funktion selbst
:#Fall die 1.Komponente der Funktion
:#Fall die linke Komponente der Funktion
|}
--[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 11:59, 2. Okt. 2013 (CEST)
:Hallo Lothario,
:#Durch die Aufzählung vermittelt man den Eindruck, dass alle drei Punkte erfüllt sein müssen, damit es eine Funktion ist. Jede Definition sollte selbstständig stehen und von den anderen klar abgegrenzt sein.
:#Für deine dritte Definition hätte ich gerne eine Quelle.
:#Ich habe mal bei google books nachgeschaut. Der Begriff "Paarmenge" kommt im Zusammenhang mit Funktion zwar vor, ist aber deutlich seltener als "Relation" in Zusammenhang mit Funktion. Daher würde ich vorschlagen, den Begriff "Relation" zu verwenden.
:--[[Benutzer:Eulenspiegel1|Eulenspiegel1]] ([[Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1|Diskussion]]) 23:49, 2. Okt. 2013 (CEST)

:::Hier eine Version meiner obigen Tabellen, in denen klarer ausgedrückt ist, was ich meinte:<br />

::::'''1.''' Gängiger Funktionsbegriff''':'''
:::::{| class="wikitable"
|
*Das Wort "'''Funktion'''" ist ein Synonym für "'''rechtseindeutige Menge geordneter Paare'''" &nbsp;&nbsp;
|}

::::'''2.''' Funktionsbegriff gemäß des Wikipedia-Artikels''':'''
:::::{| class="wikitable"
|
*Eine rechtseindeutige Menge geordneter Paare nennt man '''Graph''', die linken und die rechten Komponenten seiner Elemente bilden seinen ''Definitions-'' respektive ''Wertebereich''.<br />

*Man nennt
:#jeden Graph auch '''Funktion'''.
:#jedes Tripel, dessen 1. Komponente ein Graph ist, dessen 2. Komponente der Definitionbereich der 1.Komponente ist und dessen 3.Komponente alle Elemente des Wertebereichs der 1.Komponente enthält, auch '''Funktion'''.
:#jedes geordnete Paar, dessen linke Komponente ein Graph ist und dessen rechte Komponente alle Elemente des Wertebereichs der linken Komponente enthält, auch '''Funktion'''.

*Unter '''Graph einer Funktion''' versteht man 
::im 1.Fall die Funktion selbst
::im 2.Fall die 1.Komponente der Funktion
::im 3.Fall die linke Komponente der Funktion
|}

::::Ich hoffe, Eulenspiegel, das sich damit deine Punkte beantworten. Wenn man Funktion auf Relation zurückführt, dann wird die Funktionsdefinition unnötig belastet, denn man müsste sich ja erst einmal mit dem Relationsbegriff vertraut machen. --[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 10:59, 3. Okt. 2013 (CEST)
:::::Für die dritte Definition hätte ich nach wie vor gerne eine Quelle. Desweiteren ist mir jetzt erst aufgefallen, dass du zwischen "gängige Definition" und "Definition in Wikipedia" unterscheidest. Das darf nicht sein. In der Wikipedia dürfen nur gängige Definitionen auftauchen. Wenn eine Definition deutlich gängiger ist als andere, muss das auch die Definition sein, die in der Wikipedia benutzt wird. Wenn eine Definition nicht gängig ist, darf sie auch nicht vor unter "Definition" stehen. Für unübliche, also seltene Definitionen müsste man am Ende des Artikels einen Abschnitt "alternative Definitionen" einfügen.
:::::Am Anfang im Kapitel "Definition" steht jedenfalls nur die gängigste Definition. Das Problem bei diesem speziellen Lemma ist halt, dass es scheinbar zwei (gängige) Definitionen gibt, die beide gleich häufig sind.
:::::In allen Mathebüchern, die ich gelesen habe, wird der Funktionsbegriff nunmal auf Relationen zurückgeführt. Das kann man persönlich toll oder blöd finden, ist aber irrelevant, da wir hier nicht die Definition reinschreiben sollen, die wir persönlich toll finden, sondern die Definition, die in der Mathematik am häufigsten verwendet wird. Und diese ist nunmal über Relationen. --[[Benutzer:Eulenspiegel1|Eulenspiegel1]] ([[Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1|Diskussion]]) 12:39, 3. Okt. 2013 (CEST)

::::::Ja, lieber Eulenspiegel, ich habe wohl immer noch nicht deutlich genug zum Ausdruck gebracht, was ich mit dem Diskussionsbeitrag "<u>Verbale Definition des Funktionsbegriffs, ohne Hinzuziehung von Hilfskonstruktionen, also nur was Sache ist</u>" habe sagen wollen. Es war nicht beabsichtigt, einen Vorschlag für den Funktionsartikel zu unterbreiten, sondern lediglich Gegebenes festzustellen; so gesehen ist deine Frage nach einer Quelle zur 3.Definition irrelevant, die könntest du wohl eher an Autoren des aktuellen Funktions-Artikels stellen. Zu den Relationen: In fast allen mathematischen wissenschaftlichen Publikationen, die mir bekannt sind, wird der Funktionsbegriff nicht auf den Relationsbegriff zurückgeführt, so etwas halte ich persönlich für unmotiviert und abwegig und habe die Vermutung, dass es sich hier in erster Linie wohl um Schulmathematik handelt; Wikipedia ist eine Enzyklopädie und kein Schulbuch. Gruß --[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 16:07, 3. Okt. 2013 (CEST)
:::::::In den meisten wissenschaftlichen Publikationen wird die Funktion auf die Relationen zurückgeführt. Siehe zum Beispiel:
:::::::*Horst Hischer, Harald Scheid: ''Grundbegriffe der Analysis: Genese und Beispiele aus didaktischer Sicht'' , S. 65 (1995)
:::::::*Ursula Enderle: [http://books.google.de/books?id=cplyRfb9pa0C&pg=PA105 Autonomie der geschriebenen Sprache?], S. 105 (2005)
:::::::*Peter Uihlein: [http://books.google.de/books?id=OnyYbiddzkIC&pg=PA18 Repräsentationswechsel beim Arbeiten mit Funktionen], S. 18 (2010)
:::::::Ich persönlich halte das für sinnvoll und die Fachliteratur gibt mir in diesem Fall Recht. --[[Benutzer:Eulenspiegel1|Eulenspiegel1]] ([[Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1|Diskussion]]) 23:39, 5. Okt. 2013 (CEST)

::::::::Die drei von dir angeführten Quellen sehe ich nicht als mathematische Fachliteratur an, mathematische Fachliteratur ist etwas ganz anderes. Wenn dir keine gegenwärtig ist, bin ich gerne bereit, einige, auch im Mathe-Portal wiederholt angegebene, zu benennen.<br />Wir haben nun einmal unterschiedliche Vorstellungen von dem, wie man Artikel gestaltet, das ist ja nichts Ungewöhnliches. Ich  meinerseits möchte Artikel so gestaltet sehen, dass nicht auf Begriffe zurückgegriffen wird, die nicht zum Thema gehören und  die keine entscheidende Vereinfachung in der Ausführung bringen. --[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 16:16, 6. Okt. 2013 (CEST)
:::::::::Ja, benenne hier doch bitte einige Bücher, die du als Fachliteratur ansiehst. --[[Benutzer:Eulenspiegel1|Eulenspiegel1]] ([[Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1|Diskussion]]) 22:52, 6. Okt. 2013 (CEST)
Einige, die mir gerade so einfallen und auch den Funktionsbegriff definieren:
:*Halmos: Naive Mengenlehre (direkte Definition, keine Tripelfunktion)
:*Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre (Funktionsbegriff über Relationsbegriff, keine Tripelfunktion)
:*Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre (direkte Definition, keine Tripelfunktion)
:*Meschkowski: Mathematisches Begriffswörterbuch (direkte Definition, keine Tripelfunktion)
:*Gerstein: Introduction to Mathmatical Stuctures and Proofs (direkte Definition, keine Tripelfunktion)
:*Springer: Encyclopaedia of Mathematics. (direkte Definition, keine Tripelfunktion) 
:*Bourbaki: Eléments de mathématique (direkte Definition, Tripelfunktion)

Aber noch einmal zu den Relationen. Möchte sich jemand, der nur Mengen und geordnete Paare kennt, über den Funktionsbegriff informieren, der müsste nach meinem Gusto die direkte Definition:
*Eine Funktion ist eine Menge geordneter Paare, die keine verschiedenen Elemente mit gleicher rechter Komponente enthält.
lesen und nach deinem im Grunde:
*Eine ''Relation'' ist eine Menge geordneter Paare.
*Eine ''Funktion'' ist eine Relation, die keine verschiedenen Elemente mit gleicher rechter Komponente enthält.
was ihn wohl zur Frage anregt, wozu der Hilfsbegriff ''Relation''.
--[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 21:05, 7. Okt. 2013 (CEST)
:Bei deiner Definition stellt sich die Frage, wozu der Hilfsbegriff "geordnetes Paar". Wenn Funktionen als spezielle Relationen definiert werden, hat es den Vorteil, dass sie so die Eigenschaften von Relationen erben.
:Aber da du Oberschelp als Fachliteratur anerkennst, hier die dortige Aussagen zur Funktion:
{{Zitat|Die Funktion ist die Klasse von Paaren, die Abbildung das Tripel. Damit ist es natürlich eine Eigenschaft der Abbildung (als Tripel), surjektiv, bijektiv oder partiell zu sein. Man führt diese Auffassung auch bis zu Relationen weiter und nennt  Tripel (A, Q, B) mit QcAxB eine Korrespondenz zwischen A und B. Funktionen sind dann spezielle Relationen und Abbildungen spezielle Korrespondenzen.|Autor=Arnold Oberschelp|Quelle=Naive Mengenlehre, S. 71}}
:Bei Oberschelp kann eine Funktion eine Klasse sein, was ansonsten eher selten so definiert wird. Ansonsten können wir aber gerne die Definition von Oberschelp in den Artikel einbauen, d.h. "Abbildung = Tripel" und "Funktion = Funktionengraph". --[[Benutzer:Eulenspiegel1|Eulenspiegel1]] ([[Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1|Diskussion]]) 21:15, 7. Okt. 2013 (CEST)

:: Der Begriff der „[[Paarmenge]]“ hat auch eine andere Bedeutung als der einer „Menge geordneter Paare“, die erste Version war daher auch nicht richtig.
:: Der Begriff der „Relation“ ist nicht gerade kompliziert und mit einem Verweis auf die entsprechende Wikipediaseite leicht nachzulesen. Deutlich schwieriger ist der Begriff „geordnetes Paar“ zu verstehen, für Leser, die den Begriff der „Relation“ nicht kennen, ist daher die Formulierung als „Menge geordneter Paare“ keine wesentliche Verbesserung der Definition.
:: Auch die anderen Verbalisierungen von Fachbegriffen helfen nicht, die zweite Definition besser zu machen – ganz im Gegenteil: ich finde sie erheblich schlechter zu verstehen. Ich bin zwar im Allgemeinen auch dafür, sich möglichst allgemeinverständlich auszudrücken, hier kann man aber nicht auf einige grundlegende Fachbegriffe verzichten, denn sonst wird's unnötig kompliziert und die Lesbarkeit sowie die Verständlichkeit der Definition leiden zu sehr.
:: Inhaltlich habe ich Bedenken, der Namensgebung Oberschelps zu folgen, da diese eher selten ist. Meist werden „Funktion“ und „Abbildung“ äquivalent verwendet oder (insbesondere in der Analysis) „Funktion“ für eine spezielle Art der „Abbildung“ reserviert.
:: Es wäre vielleicht besser, wenn sich noch einige andere an dieser Diskussion beteiligen würden, denn im Moment drehen wir uns wohl nur im Kreis. Was haltet ihr davon, diese Diskussion im [[Portal:Mathematik/Qualitätssicherung]] fortzuführen? --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 11:48, 10. Okt. 2013 (CEST)
:: Ich könnte mich jedoch zumindest damit anfreunden, so wie Oberschelp eine Relation <math>\varrho</math> als eine Menge geordneter Paare zu definieren und ein entsprechendes Tripel <math>(\varrho, A, B)</math> mit <math>\varrho \subseteq A \times B</math> eine Korrespondenz zu nennen.
:: Zu klären wären dann noch die Benennungen für eine rechtseindeutige Relation <math>\varphi,</math> für eine zugehörige Korrespondenz <math>(\varphi, A, B)</math> und der ihr zugeordneten linkstotalen Korrespondenz <math>(\varphi, \operatorname{Def}(\varphi), B).</math> --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 13:29, 10. Okt. 2013 (CEST)

:::In unserer Diskussion hier halte ich es für angebracht, anstelle ''geordnetes Paar'' einfach nur ''Paar'' und anstelle ''Menge geordneter Paare'' einfach nur ''Paarmenge''  zu sagen, wie ich es schon oben unter der Annahme, dass man es auch so versteht, getan habe.

:::Der Begriff ''geordnetes Paar'' bildet neben dem der ''Menge'' die Basis großer Teile der mathematischen Begriffswelt, insbesondere dem der ''Relation'', dieser ist wesentlich komplexer als der des geordneten Paars, er setzt zu seinem Verständnis Kenntnis von ''geordnetes Paar'' voraus. Ich kann es beim besten Willen nicht einsehen, warum man in einer Enzyklopädie zur Definition des so einfachen Funktionsbegriffs (Funktion=rechtseindeutige Paarmenge) auf dem Umweg über den Relationsbegriff gehen soll (Funktion= rechteindeutige binäre Relation, wobei binäre Relation=Paarmenge).

:::Warum weigert man sich, so einfach wie möglich vorzugehen:
:::*Definition: Funktion=rechtseindeutige Paarmenge
:::::+ zugehöriger Basisbegriffe wie Definitionsmenge, Wertemenge, Funktionswert, injektiv, Inverse
:::::+ Aussagen über Funktionen (f:A–→B, total, partiell, surjektiv, bijektiv)
:::::+ Funktionsbeschreibung ( f:A→B; x<math>\mapsto</math>Term<sub>x</sub> und A→B; Zeichenkonstrukt<sub>x</sub> :=Term<sub>x</sub> )
:::::+ Begriffe wie mehrstellige Funktion, Einschränkung, Funktionsverkettung,  Identität, Involution, Permutation, idempotente Funktion
:::*Definition: Funktion=Tripel, Graph=Funktion wie oben (als rechtseindeutige Paarmenge)
:::::+ zugehöriger Basisbegriffe wie Definitionsmenge, Wertemenge, Funktionswert, injektiv, Inverse. [geht kurz]
:::::+ Aussagen über Funktionen (f:A→B, surjektiv, bijektiv). [geht nicht ganz kurz]
:::::+ Funktionsbeschreibung ( f:A→B; x<math>\mapsto</math>Term<sub>x</sub> und A→B; Zeichenkonstrukt<sub>x</sub> :=Term<sub>x</sub> ). [geht nicht ganz kurz]
:::::+ Begriffe wie mehrstellige Funktion, Einschränkung, Funktionsverkettung,  Identität, Involution, Permutation, idempotente Funktion. [geht kurz]
:::*Verallgemeinerungen: 
:::::+ Funktion=rechtseindeutige Paarklasse. [geht kurz]
:::::+ Mehrdeutige Funktionen. [geht nicht ganz kurz]
:::*Funktionen in speziellen Disziplinen, z.B. Analysis, Algebra, Topologie. Dies wenn möglich kurz und Verweis auf entsprechende Artikel. --[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 18:28, 13. Okt. 2013 (CEST)

:::: Was du vorschlägst ist nicht so einfach wie möglich:
:::: Für eine „Menge geordneter Paare“ gibt es bereits den allgemein anerkannten Fachbegriff der „Relation“. Diesen durch den Fachbegriff der „Paarmenge“ zu ersetzen, obwohl dieser eine [[Paarmenge|ganz andere Bedeutung]] hat (<math>\{a, b\}</math>), ist gelinde gesagt ''haarsträubend'': Dadurch wird nichts einfacher, aber es wird ein Begriffswirrwarr geschaffen!
:::: Noch einmal in aller Deutlichkeit: Du nennst eine Relation willkürlich „Paarmenge“ und definierst dann eine Funktion als „rechtseindeutige Paarmenge“, d.h. als rechtseindeutige Relation. Aber dann kann man eine Funktion auch mit den richtigen Fachbegriffen als „rechtseindeutige Relation“ definieren. Die beabsichtigte Bedeutung ist die gleiche, aber du verwendest dafür die falschen, missverständlichen Begriffe!
:::: Ebenso ist ein „Paar“ im Allgemeinen nicht geordnet, also etwas anderes als ein „geordnetes Paar“, daher darf man „geordnet“ nicht einfach weglassen, nur weil es vielleicht etwas bequemer zu schreiben ist! Ist der Fachbegriff des „geordneten Paares“ bekannt, dann ist der Fachbegriff der „Relation“ leicht zu verstehen und es gibt keinen Grund, diesen zu vermeiden. Ist der Fachbegriff des „geordneten Paares“ dagegen nicht bekannt, dann muss man ihn sowieso erst noch verstehen lernen. Und ohne den Fachbegriff der „Relation“ kann man auch nicht erklären, was „rechtseindeutig“ ist usw..
:::: Wäre der Funktionsbegriff tatsächlich so einfach, wie du behauptetst, dann frage ich mich, warum du den viel einfacheren Relationsbegriff unbedingt vermeiden willst? --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 17:28, 16. Okt. 2013 (CEST)
=== Auf das Wesentliche reduziert. ===

“unabhängige Variable” und “abhängige Variable” sind hier unsachlich: Variablen sind Bestandteile von Aussagen, jedoch keine mathematischen Objekte. Die Auflistung der Spezialfälle trägt wohl kaum zum ersten Verständnis bei, auch sind Operatoren im Allgemeinen keine Funktionen. --[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 16:41, 22. Feb. 2013 (CET)
::Aber, aber. Variablen sind Bestandteile von Aussageformen und eben nicht von Aussagen. Den kleinen, aber feinen Unterschied müssen wir schon machen. Was sind Variable denn, wenn sie keine Objekte der Mathematik sind ? Gruß --[[Benutzer:KaliNala|KaliNala]] ([[Benutzer Diskussion:KaliNala|Diskussion]]) 17:50, 18. Okt. 2013 (CEST)
:::Aber, aber: Dass deine Behauptung falsch ist zeigt schon das einfache Gegenbeispiel <math>\forall x (x=x)</math>.--[[Spezial:Beiträge/91.119.235.96|91.119.235.96]] 12:02, 30. Okt. 2013 (CET)

::Nicht so stürmisch. Du benutzt eine gebundene Variable. Und wie ist es mit freien Variablen ? Die gibt es schließlich auch noch. Diesen kleinen, aber feinen Unterschied müssen wir schon machen. Und sind Variable mathematische Objekte oder nicht ? --[[Benutzer:KaliNala|KaliNala]] ([[Benutzer Diskussion:KaliNala|Diskussion]]) 17:50, 6. Nov. 2013 (CET)

== "Erweiterte Funktion" statt "Tripelfunktion" ==

Meine Nichte [[Benutzer:Argetula|Argetula]], sie ist Mathematikerin, hat nach Einblick in obige Diskussion gemeint, man könnte doch wie folgt im Funktionsartikel ein Kapitel über einen erweiterten Funktionsbegriff mit  Quell- und Zielbereichsangaben schreiben:
:In der Literatur findet sich manchmal ''Funktion'' auch als Tripel <math>(f,A,B)</math>, definiert, wobei <math>f\colon A\to B</math>. Da per definitionem <math>A=\mathrm{D}_f</math>, verzichtet man oft auf die Angabe der zweiten Komponente und schreibt einfach das geordnete Paar  <math>(f,B)</math>.  Die erste Komponente einer erweiterten Funktion, <math>\varphi</math>, nennt man ihren '''''Graph''''' und  bezeichnet diesen mit <math>\mathrm{G}_\varphi</math>. Es hat sich eingebürgert, nicht <math>\mathrm{G}_\varphi(x),</math>&nbsp; <math>\operatorname{D}_{\mathrm{G}_\varphi},</math>&nbsp; <math>\operatorname{W}_{\mathrm{G}_\varphi}</math> zu schreiben, sondern laxer weise einfach <math>\varphi(x),</math>&nbsp; <math>\operatorname{D}_\varphi,</math>&nbsp; <math>\operatorname{W}_\varphi</math>.

Grüße, --[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 12:18, 26. Aug. 2013 (CEST)

:Wer sagt denn „erweiterte Funktion“? --[[Benutzer:Chricho|Chricho]] [[BD:Chricho|¹]] [//de.wikipedia.org/w/?title=BD:Chricho&amp;action=edit&amp;section=new ²] [[Benutzer:Chricho/Keine_Verbesserung|³]] 20:38, 27. Aug. 2013 (CEST)
::Na, zumindest schon mal Lotharios Nichte :-) -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 22:47, 27. Aug. 2013 (CEST)

=== Eine überarbeite Version von Hederichs Entwurf vom  4.3.13 findet ihr auf  [[Benutzer:Argetula/Funktion| Argetula/Funktion]]. ===

Vielleicht möchtet ihr kommentieren. --[[Benutzer:Argetula|Argetula]] ([[Benutzer Diskussion:Argetula|Diskussion]]) 19:12, 30. Aug. 2013 (CEST)

:Gut dann fange ich mal an: Der Artikel ist jetzt sicherlich stringenter, aber mein Hauptproblem damit ist, dass jetzt Leser mit geringen Vorkenntnissen noch schneller abgehängt werden als zuvor. Ein Artikel über so einen elementaren Begriff sollte eigentlich so geschrieben sein, dass auch Schüler möglichst lange mitlesen können. Eine exakte Definition kann schon am Anfang stehen, aber danach sollte das Niveau wieder etwas zurückgenommen werden. Ich sehe auch keine Notwendigkeit gleich mit Klassen anzufangen, das kann doch nach "Verallgemeinerungen".
:Ein paar Einzelpunkte
:* Der Geschichtsteil ist verschwunden.
:* Es klingt so, als würde jede Funktion eine inverse Funktion besitzen.
:* <math>(\!\,^{r\!}x,\!\,^{l\!}x)</math> und <math>\boldsymbol \iota</math> sind mir unbekannte Schreibweisen, die auch gar nicht erklärt werden.
:* Dass <math>x</math> manchmal ein Paar und manchmal dessen erste Komponente bezeichnet, ist extrem verwirrend.
:* Sind jetzt partielle Funktionen doch wieder Funktionen? Das Problem mit den verschiedenen Sprechweisen in unterschiedlichen Fachgebieten sollte angesprochen werden.
:* So etwas wie "Man nennt f eine totale | partielle | surjektive | injektive | bijektive Funktion aus A in B, je nachdem Df=A  |  Df⊂A  |  Wf=B  |  f injektiv  |  f sowohl surjektiv als auch injektiv ist ..." kann niemand entziffern.
:Ich hoffe, das klang jetzt nicht zu harsch, ich finde es nämlich ganz toll, dass du dich um einen besseren Artikel kümmerst! -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 22:16, 10. Sep. 2013 (CEST)
::*Die Einleitung klingt holprig.
::*Der erste Satz unter "Definition" ist eigentlich keine Definition sondern eine Notation von "<math>f:x\mapsto y</math>". Bevor man beschreibt, was <math>f:x\mapsto y</math> bedeutet, sollte man erstmal schreiben, was eine Funktion IST. Wie man Funktionen dann aufschreiben kann, kann anschließend in einem Unterabschnitt "Notationen" erfolgen. Der zweite Satz mag zwar evtl. formal richtig sein (Einzelnachweis fehlt), wird aber nur von Leuten verstanden, die eh wissen, was eine Funktion ist. Bei allen anderen bilden sich nur Fragezeichen über den Köpfen.
::*Viele Einzelnachweise fehlen in deiner Version.
::Erkläre doch mal kurz, was der Grund für deine Neufassung war. Was hat dich an der alten Fassung gestört, das du hoffst, in deiner neuen Fassung besser machen zu können? --[[Benutzer:Eulenspiegel1|Eulenspiegel1]] ([[Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1|Diskussion]]) 00:35, 11. Sep. 2013 (CEST)
:::Die Überarbeitung ist sicherlich gut gemeint und die ursprüngliche Version ist bestimmt nicht optimal, aber ich denke, man muss solche umfangreichen Änderungen an einem Grundlagenartikel im Detail diskutieren. Ich sehe die neue Version als weniger verständlich als die ursprüngliche Version an und es fehlen nun wichtige Artikelteile, daher habe ich sie vorsorglich wieder zurückgesetzt. Der Überarbeitungsvorschlag findet sich weiterhin unter [[Benutzer:Argetula/Funktion]]. In vielen mathematischen Artikeln hat sich eine Strukturierung
::::Einleitung – Definition – Notation – Beispiele – Spezialfälle – Eigenschaften – Anwendungen – Verallgemeinerungen
:::bewährt (siehe [[Portal:Mathematik/Mitarbeit#Wie schreibe ich gute mathematische Artikel?]]), daher würde ich stark anregen einer solchen oder ähnlichen Strukturierung auch hier zu folgen. Die einzelnen Kapitel kann man dann gerne genauer diskutieren. Ich helfe da auch gerne mit. Viele Grüße, --[[Benutzer:Quartl|Quartl]] ([[Benutzer Diskussion:Quartl|Diskussion]]) 07:26, 11. Sep. 2013 (CEST)

Hallo! Ihr könnt euch gerne meine Antwort auf Erzbischofs Begrüßungswort auf meiner Diskussionsseite ansehen. Grüße --[[Benutzer:Argetula|Argetula]] ([[Benutzer Diskussion:Argetula|Diskussion]]) 10:25, 11. Sep. 2013 (CEST)
: Siehe hier: [[Benutzer_Diskussion:Argetula]]. Wenn du dich auf "Kein Interesse an einer Diskussion" beziehst, dann wird's nicht einfach. --[[Benutzer:Erzbischof|Erzbischof]] 11:53, 11. Sep. 2013 (CEST)

:: Die bisher gebrachten Kritikpunkte teile ich weitestgehend. Hier noch ein paar Ergänzungen:
::* Grundsätzlich ist es ja nicht verkehrt, Funktionen bzw. Abbildung in aller Allgemeinheit von vorn herein für Klassen zu definieren, da man aber nur sehr schwierig solch grundlegenden Begriffen wie ''Geordnetes Paar'', ''Kartesisches Produkt'', ''Relation'' sowie [[Mengenlehre|mengentheoretischen Operationen]] usw. ausweichen kann, müssten diese dann auch vorher in dieser Allgemeinheit für Klassen definiert werden. Will man nicht die entsprechenden Artikel alle auch noch entsprechend überarbeiten, sollte man sich bei der Definition auf Funktionen bzw. Abbildungen für Mengen beschränken. Es ist ja dann noch möglich, wie bisher darauf hinzuweisen, dass allgemeiner Funktionen bzw. Abbildungen ebenso für Klassen definiert werden. Für die große Mehrheit aller Leser dürfte eine Definition auf Mengen ohnehin genügen, zumal das auch in der Literatur so ist.
::* Da der Begriff der Funktion oft auch für spezielle Abbildungen – z.B. in der Funktionentheorie oder der Funktionalanalysis ([[nomen est omen]]!) – gebraucht wird, wäre es von Vorteil, den ganzen Artikel auf dem klareren Begriff der „Abbildung“ aufzubauen und anhand von diesem die unterschiedlichen Bedeutungen des Begriffs der „Funktion“ zu erläutern. Diesem Zweck käme ein kurzer Abriss zur Begriffsgeschichte sicherlich zu gute.
::* Bei den Notationen sollte man sich auf diejenigen beschränken, die in der Literatur weitestgehend üblich sind, und dazu noch auf die am häufigsten vorkommenden, davon abweichenden Notationen hinweisen, aber auf private Notationen einzelner Autoren kann man bei Wikipedia verzichten. Insbesondere ist eine Funktion als geordnetes Paar sicherlich nicht üblich und braucht deshalb auch nicht gebracht werden. --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 11:21, 24. Sep. 2013 (CEST)

=== Weiter ===

Ich habe mir die von mir vor ein paar Tagen angeregte Diskussion, die inzwischen viele interessante Aspekte aufzeigt, heute noch einmal angesehen und komme zu der Ansicht, dass eine unvoreingenommene und eingehende Betrachtung von [[Benutzer:Argetula/Funktion|Argetulas Entwurf]] in mancher Hinsicht mehr Klarheit brächte. Grüße --[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 16:19, 23. Sep. 2013 (CEST)
:Ja, wenn mal irgendjemand auf die oben unter [[#Eine überarbeite Version von Hederichs Entwurf vom 4.3.13 findet ihr auf Argetula/Funktion.]] genannten Review-Punkte eingehen würde bzw. Stellung nehmen würde, wäre das evtl. eine Möglichkeit. -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 20:32, 23. Sep. 2013 (CEST)

Ich versuchs mal:
:Zu deinen ersten Sätzen, das Abhängen betreffend, möchte ich darauf hinweisen, dass Wikipedia eine Enzyklopädie aber kein Lehrbuch für Mathematikschüler in unteren oder mittleren Schulklassen ist. Was deine Bemerkung über Klassen betrifft, möchte ich insofern zustimmen, dass viele Leser, die sich mit dem modernen Funktionsbegriff schwer tun, irritiert sind, doch meine ich, man sollte nicht so tun, als handelte es sich hier um eine Verallgemeinerung. Ich könnte mir vorstellen so zu formulieren, dass es offen bleibt, ob Funktionen immer nur Mengen sind oder auch echte Klassen sein können. Dann würde man im ersten Satz im Kapitel "Allgemeine Definitionen und Notationen" anstelle "sieht also Funktionen als Klassen geordneter Paare an" schreiben "sieht also Funktionen aus geordneten Paaren bestehend an" und im Subkapitel "Basisbegriffe" anstelle "Die Klasse aller Objekte" einfach "Die Gesamtheit der Objekte" schreiben.<br />

:Nun zu deinen Punkten:
:Zum 1. Punkt: Argetula wollte wohl nur den modernen mathematischen Sachverhalt aufzeigen.
:Zum 2. Punkt: Argetula hatte Mitte des Monats ihren Entwurf bezüglich dieses Punktes schon revidiert.
:Zum 3. Punkt: <math>{}^{l\!}x</math> und <math>{}^{r\!}x</math> bezeichnen die linke bzw. rechte Komponente des geordneten Paars <math>x</math>, in der Fachliteratur findet sich dafür auch <math>x_l</math> bzw. <math>x_r</math>. 
:::::<math>\boldsymbol \iota</math> ist der Kennzeichnungsoperator des Prädikatenkalküls: <math>\boldsymbol \iota x\colon\varphi</math> ist zu lesen: "dasjenige <math>x</math>, für welches <math>\varphi</math> gilt".   
:Zum 4. Punkt: Das ist doch nur mathematischer Brauch.
:Zum 5. Punkt: Argetula hat im Kapitel Klassifikation dargelegt, in welchem textuellen Zusammenhang die Wörter "total", "partiell", "surjektiv", "bijektiv" einen Sinn bekommen.
:Zum 6. Punkt: Hier gilt dasselbe wie zum 2. Punkt.<br />
:Mit Grüßen --[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 15:04, 25. Sep. 2013 (CEST)
::Es wurden auch noch andere Punkte von anderen Usern kritisiert. Ansonsten ist es wie du schon sagtest eine Enzyklopädie, die sich auch an Nicht-Mathematiker wendet, und kein Nachschlagewerk für Mathestudenten.
::*Zu Punkt 4: Mathematischer Brauch ist <math>x=(x_1,x_2)</math> bzw. z=(x,y).
::*Zu Punkt 5: Das Kapitel "Klassifikation" gehört da überhaupt nicht hin. Es wird zwar erklärt, was total, partiell, surjektiv, injektiv und bijektiv ist. Aber was eine Funktion ist, wird dort nirgends erklärt.
::*Zu Punkt 6: Wo hat er diesen Punkt revidiert?
::Hinzu kommen noch die Kritikpunkte der anderen User. --[[Benutzer:Eulenspiegel1|Eulenspiegel1]] ([[Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1|Diskussion]]) 00:41, 27. Sep. 2013 (CEST)
:::Zu 4. denke ich, dass man das Paar durchgängig mit <math>(x,y)</math> bezeichnen sollte, einen eigenen Namen braucht man dazu wohl gar nicht. Außerdem wäre es wichtig zu betonen, dass in vielen Fachbereichen (z.B. dem Großteil der Mathematik) die Sprechweise so ist, dass eine partielle Funktion <math>f \colon A \to B</math> gar keine Funktion ist. -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 08:56, 27. Sep. 2013 (CEST)

::::Eine kleine Bemerkung zu den "Klassen": Die bei weitem üblichste Axiomatisierung der Mengenlehre ist die von Zermelo und Fraenkel ([[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|ZFC]]). Bei ZFC gibt es als Objekte nur Mengen, aber keine Klassen. Auch Funktionen (und damit auch ihre Definitionsmengen, Zielmengen und Graphen) sind dann zwangläufig Mengen. --[[Benutzer:Digamma|Digamma]] ([[Benutzer Diskussion:Digamma|Diskussion]]) 21:44, 27. Sep. 2013 (CEST)

Argetula, deine aktuelle Version enthält leider noch die Vielzahl der hier angesprochenen Ktritikpunkte. Ich will nicht sagen, dass das, was du geschrieben hast, falsch ist. Aber auf alle Fälle ist es gerade für Nicht-Mathematiker schwer verständlich. Desweiteren fängst du im Abschnitt "Grundbegriffe" an, über Funktionen zu reden, ohne vorher zu definieren, was überhaupt eine Funktion ist. Die urpsrüngliche Einteilung in "Grundidee" und "mengentheoretische Definition" ist da wesentlich zielführender: Bei "Grundidee" bekam auch der Nicht-Mathematiker eine Vorstellung davon, was eine Funktion ist. Und bei "Mengentheoretische Definition" wurde sie dann für Mathematiker definiert. Außerdem finde ich es unglücklich, dass du den Abschnitt Verallgemeinerungen gelöscht hast. --[[Benutzer:Eulenspiegel1|Eulenspiegel1]] ([[Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1|Diskussion]]) 22:28, 11. Nov. 2013 (CET)

== x und y ==

Kannst du hier sagen, warum du zurückgesetzt hast? --[[Spezial:Beiträge/80.134.189.219|80.134.189.219]] 10:37, 13. Nov. 2013 (CET)
: Die Benennung der gängigen Nomenklatur x und y soll Schülern das Verständnis erleichtern und der Mathematikstudent wird abstrahieren können. --[[Benutzer:Siehe-auch-Löscher|Siehe-auch-Löscher]] ([[Benutzer Diskussion:Siehe-auch-Löscher|Diskussion]]) 08:13, 14. Nov. 2013 (CET)
::Na ja, aber Wikipedia ist doch eine Enzyklopädie, die hier im Portal Mathematik mathematisch korrekt sein muss, sie ist kein Schulbuch, dafür gibt es {{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Abbildung}}. --[[Spezial:Beiträge/80.134.160.58|80.134.160.58]] 12:01, 14. Nov. 2013 (CET)
::: Es ist ja nicht falsch. [[Wiewort]] ist auch nicht Linguistenterminologie und hat dennoch seine Existenzberechtigung. --[[Benutzer:Siehe-auch-Löscher|Siehe-auch-Löscher]] ([[Benutzer Diskussion:Siehe-auch-Löscher|Diskussion]]) 13:01, 14. Nov. 2013 (CET)
Es ist schon recht bedauerlich, wie wenig mathematischer Geist hier vorhanden ist. --[[Spezial:Beiträge/80.134.150.189|80.134.150.189]] 15:17, 14. Nov. 2013 (CET)
:Es ist ein Zeichen des mathematischen Geistes, dass man nicht auf Begriffe wert legt sondern auf die Bedeutung und die Logik hinter den Begriffen. Ich habe den Eindruck, dass du mathematischen Geist mit bürokratischen Geist verwechselst. --[[Benutzer:Eulenspiegel1|Eulenspiegel1]] ([[Benutzer Diskussion:Eulenspiegel1|Diskussion]]) 00:59, 15. Nov. 2013 (CET)

::Du hast natürlich recht, Eulenspiegel, aber ich lege größten Wert auf <u>streng mathematische, gut verständliche</u> Begriffsdefinition (und wiederhole noch einmal von oben: wir sind  hier im Portal Mathematik und nicht und nicht in einem Schulbuchverlag), ich bin eben kein Schullehrer, daher wohl die Diskrepanz zwischen vielen Artikelbearbeitern und mir. --[[Spezial:Beiträge/80.134.145.31|80.134.145.31]] 10:18, 15. Nov. 2013 (CET)
::: Wikipedia ist das größte Schulbuch der Welt. Meines Erachtens zurecht. --[[Benutzer:Siehe-auch-Löscher|Siehe-auch-Löscher]] ([[Benutzer Diskussion:Siehe-auch-Löscher|Diskussion]]) 10:26, 15. Nov. 2013 (CET)

::::Das größte ja, aber es muss in einigen Artikeln besser werden. Und da brauchen wir alle, den Schullehrer wie den Nicht-Schullehrer, und zwar in Kooperation. --[[Benutzer:KaliNala|KaliNala]] ([[Benutzer Diskussion:KaliNala|Diskussion]]) 10:59, 15. Nov. 2013 (CET)

== Diskussion in der Qualitätssicherung Mathematik ==

<small>Übetrag von [[Portal:Mathematik/Qualitätssicherung#Funktion (Mathematik)]]. --[[Benutzer:Quartl|Quartl]] ([[Benutzer Diskussion:Quartl|Diskussion]]) 20:16, 25. Nov. 2013 (CET)</small>

Zur Definition einer Funktion bzw. Abbildung ist eine [[Diskussion:Funktion (Mathematik)]] aufgekommen, da es verschiedene Varianten in der Literatur gibt. Weil es dabei um einen sehr grundlegenden Begriff geht und an dieser Diskussion bisher nur die gleichen drei Leute sich beteiligen, die alle sehr unterschiedliche Standpunkte vertreten, halte ich es für angebracht, dass die Diskussion, in deren Folge eine einheitliche Definition stehen sollte, hier in einem größeren Rahmen fortgeführt wird. --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 11:55, 17. Okt. 2013 (CEST)
: Also beim Überfliegen ist für mich manchmal schwer zu erkennen, worum zwischen einzelnen Leuten nun genau gestritten wird (und ein echter qualitativer Unterschied besteht) und wo eingach nur aneinander vorbei geredet wird (und kein wirklicher Unterschied besteht. Auch bei den Vorschlägen habe ich zum Teil das Gefühl, dass sie eher das Potential einer Verschlimmbesserung als einer Verbesserung haben. Wenn die die Diskussion hier weitergeführt wrden soll, wäre es eventuell sinnvoll, wenn die betroffenen Streitparteien noch einmal unanbhängig voneinander dratellen, was genau sie im Definitionsabschnitt haben wollen (und gegebenfalls warum), dann können es andere hier kommentieren.--[[Benutzer:Kmhkmh|Kmhkmh]] ([[Benutzer Diskussion:Kmhkmh|Diskussion]]) 12:57, 17. Okt. 2013 (CEST)
:: Ich persönlich bin vor einiger Zeit beim Verfolgen der Diskussion ausgestiegen (TLDR). Gerade weil es sich um einen Grundlagenartikel handelt sollte man hier das Prinzip ''so einfach wie möglich, so komplex wie nötig'' verfolgen und diejenige Variante wählen, die zum Verständnis des nachfolgenden Texts notwendig ist. Insbesondere betrifft dies die Varianten, die lediglich in der Kategorientheorie Verwendung finden. Hier hat sich in vielen Artikeln ein eigener Abschnitt zum Thema gegen Ende des Artikels bewährt. Viele Grüße, --[[Benutzer:Quartl|Quartl]] ([[Benutzer Diskussion:Quartl|Diskussion]]) 13:55, 17. Okt. 2013 (CEST)
:::+1--[[Benutzer:Kmhkmh|Kmhkmh]] ([[Benutzer Diskussion:Kmhkmh|Diskussion]]) 14:36, 17. Okt. 2013 (CEST)
:::: Ja, die Diskussion ist etwas aus dem Ruder gelaufen: während Eulenspiegel1 offenbar die Mengenlehre unbedingt von den anderen mathematisschen Gebieten getrennt sehen will, hat Lothario Hederich eine tiefe Abneigung gegen den Begriff der Relation. Beides hat herzlich wenig mit dem eigentlichen Problem zu tun, daher hatte ich zuerst auch nicht gedacht, dass über diese Begriffe so ausufernd diskutiert würde.
:::: Zur eigentlichen Sache:
:::: grundsätzlich gibt es zwei Möglichkeiten (beide sind in der Fachliteratur zu finden), eine Funktion bzw. Abbildung zu definieren:
:::# als rechtseindeutige Relation <math>f</math> oder
:::# als ein Tripel, das eine rechtseindeutige Relation <math>f</math> sowie den Definitionsbereich <math>D</math> von <math>f</math> und einen Zielbereich <math>Z</math> enthält.
:::: Da für jedes Element <math>x</math> aus dem Definitionsbereich (Vorbereich) von <math>f \subseteq D \times Z</math> stets <math>(x,f(x)) \in f</math> ist, ist im zweiten Fall <math>f</math> immer linkstotal, während im ersten Fall ohne Angabe einer Quellmenge <math>Q</math> „linkstotal“ keinen Sinn macht und auch <math>f \subseteq Q \times Z</math> mit <math>D \subset Q</math> eine Funktion wäre.
:::: Die Frage ist, was man nun „Funktion“ bzw. „Abbildung“ nennt: <math>f</math> oder das Tripel oder gar beides? --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 14:52, 17. Okt. 2013 (CEST)
:::::Also ich tue mich schwer damit in den beiden Varianten einen wirklichen Unterschied zu entdecken. Aus meiner Sicht ist 2. lediglich expliziter, während 1. im Grunde dieselben Annahmen implizit enthält. Die "fehlende" Linkstotalität in 1. spielt doch nur eine Rolle, wenn es Autoren gibt die mit dieser Definition arbeiten und nie explizit oder implizit das Konzept des Definitionsbereiches verwenden (was ich mir nur schwer vorstellen kann), sobald sie dieses jedoch verwenden ist dann auch die Linkstotalität gegeben.--[[Benutzer:Kmhkmh|Kmhkmh]] ([[Benutzer Diskussion:Kmhkmh|Diskussion]]) 15:29, 17. Okt. 2013 (CEST)
:::::: Ich habe auch etwas gebraucht, den Unterschied zu erkennen. Der Definitionsbereich ist immer die Menge aller ersten/linken Komponenten von allen geordneten Paaren, aus denen die Relation besteht, also der Vorbereich der Relation. Der Unterschied ist: bei der 1. Definition hat man nur eine Menge (oder Klasse) von geordneten Paaren, während bei der 2. Definition ein Kontext in Form einer Quellmenge und einer Zielmenge (oder -klasse) vorgegeben ist, wobei die Quellmenge (-klasse) gleich dem Definitionsbereich sein muss (Linkstotalität) und die Zielmenge (-klasse) den Wertebereich lediglich zu enthalten hat.
:::::: Zur Veranschauung ein Beispiel: Sei <math>f := \{(x,\sqrt x) \mid x \in \R^+_0\}</math> mit <math>\R^+_0 := \{x \mid x \in \R, x \geq 0\}.</math> Nach der 1. Definition ist <math>f</math> eine Funktion, unabhängig vom Kontext, also auch eine Funktion/Abbildung, die aus der Quellmenge <math>\R</math> in die Zielmenge <math>\R</math> abbildet, da <math>f \subseteq \R \times \R</math> ist. Nach der 2. Definition kann <math>f</math> jedoch keine Funktion sein, die von der Quellmenge <math>\R</math> in die Zielmenge <math>\R</math> abbildet, da zwar <math>f \subseteq \R \times \R</math> ist, aber <math>\operatorname{Def}(f) = \R^+_0 \neq \R</math> bzw. nicht linkstotal ist. D.h. <math>(f, \R, \R)</math> ist dann nur eine partielle Funktion/Abbildung und <math>(f, \R^+_0, \R)</math> eine Funktion/Abbildung. --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 18:09, 17. Okt. 2013 (CEST)
:::::::Der formale Unterschied ist mir schon klar nun halte ich ihn  aus dem oben genannten Grund für praktisch bedeutungslos, da man man eben für Definition nach 1. dann nachträglich (immer) den Begriff Definitionsbereich einführt und damit gleichen sich die Definitionen nachträglich wieder an. D.h. eine Funktion nach 1. mit Definitionbereich ist equivalent zur Definition nach 2. . Ein wirklicher Unterschied besteht eben mMn. nur wenn man mit 1. ohne das Konzept des Definitionsbereiches verwendet, das ist mir persönlich aber noch nie untergekommen.--[[Benutzer:Kmhkmh|Kmhkmh]] ([[Benutzer Diskussion:Kmhkmh|Diskussion]]) 21:06, 27. Okt. 2013 (CET)
:::Ich muss mich auch zu denen einreihen, die am Anfang die Diskussion verfolgt haben und dann ausgestiegen sind. Irgendwann habe ich den Überblick verloren, wer überhaupt was und mit welchen Argumenten im Artikel haben oder nicht haben will (und wenn ich sehe, dass die Diskussion mittlerweile bei Cauchy-Folgen, Metrisierbarkeit und Ringen angekommen ist, bereue ich meinen "Ausstieg" auch nicht ;). Grundsätzlich wäre es sicher wichtig, dass der Artikel klarmacht, dass in der Literatur unterschiedliche Definitionen existieren, aber ich sehe schon auch das Problem, dass man sich im Artikel für eine "Hauptdefinition" entscheiden muss. Dabei ist es aber wohl hauptsächlich "Geschmacksache", was man aus der Literatur dafür nimmt. Vielleicht wäre also eine portalinterne Umfrage/Meinungsbild mit den Hauptstreitpunkten (z.B. Tripel oder nur Graph; Funktion als spezielle Relation oder nicht) eine Lösung. -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 15:46, 17. Okt. 2013 (CEST)
:::: Ja, an so etwas in der Art hatte ich auch gedacht. --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 18:09, 17. Okt. 2013 (CEST)
:::::Ich habe mich auch ausgeklinkt, weil ich den Eindruck habe, dass die Diskussion sich auf Nebenschauplätze verzettelt und mit der Artikelarbeit nur noch wenig zu tun hat. Ich drucke hier einfach nochmal meine Stellungnahme von dort ab:

::::::Ich möchte einfach mal ein paar Gedanken dazu äußern. Einiges davon wurde auch anders formuliert schon gesagt.
::::::Die Frage "Tripel oder nicht" hat mehrere Aspekte:einen inhaltlichen und einen formalen. 
::::::*Inhaltlich geht es um die Frage: "Wodurch ist eine Funktion eindeutig bestimmt?" bzw. "Wann sind zwei Funktionen gleich?". Hier hat es sich in der obigen Diskussion herauskristallisiert, dass es in der Mathematik zwei unterschiedliche Antworten gibt, u.a. abhängig vom mathematischen Gebiet und vom Kontext.
:::::::Nach der ersten Antwort ist eine Funktion vollständig durch ihren Graph bestimmt. Formal kann man die Funktion dann einfach mit ihrem Graphen identifizieren. Eine Aussage wie "Die Funktion f ist surjektiv" ergibt dann keinen Sinn. Man müsste in der Aussage die Zielmenge noch hinzufügen. 
:::::::Nach der zweiten Antwort wird eine Funktion durch ihren Graph, Definitions- und Zielmenge definiert. Da man üblicherweise Funktionen als total voraussetzt, ist die Definitionsmenge in Wirklichkeit durch den Graph schon festgelegt, nicht aber die Zielmenge. Zwei Funktionen, die dieselbe Definitionsmenge und den selben Graph besitzen, aber unterschiedliche Zielmengen, sind nach dieser Version verschieden. 
::::::*Formal geht es um die Frage, was für eine Art von mathematischem Objekt eine Funktion ist, bzw. enger formuliert, wie sich innerhalb der Mengenlehre definieren lässt, was eine Funktion ist. 
:::::::Vom axiomatischen Standpunkt aus, ist diese Frage eigentlich belanglos. Es interessiert nicht, was die mathematischen Objekte ''sind'', sondern nur, was für Eigenschaften sie haben. Hierzu passt die oben zitierte Definition von Heuser, wo gesagt wird, dass eine Funktion eine "Vorschrift" mit bestimmten Eigenschaften sei. Es wird aber gar nicht gesagt, was unter einer "Vorschrift" zu verstehen sei. Man könnte genausogut sagen: ein "Ding" mit diesen und jenen Eigenschaften. (Wenn man "Vorschrift" so interpretiert, dass man sie sprachlich oder mit Hilfe mathematischer Formeln ausdrücken kann, so erfasst man nicht den modernen Funktionsbegriff.)
:::::::Wenn man sich hingegen davon leiten lässt, die gesamte Mathematik auf der Mengenlehre aufzubauen, dann stellt sich die Frage in der Form: Welche Art von Mengen kann man verwenden als "Realisierung" des Funktionsbegriff. Bei der ersten Version des Funktionsbegriffs ist die Antwort klar: Man nimmt den Graphen der Funktion. Bei der zweiten Version ist eine mögliche Antwort: Man nimmt das Tripel aus Funktionsgraph, Definitionsmenge und Zielmenge (wobei es keine zwingende Reihenfolge gibt). Eine andere mögliche Antwort wäre: ein Paar aus Funktionsgraph und Zielmenge. (Das ist möglich, da die Definitionsmenge durch den Graphen schon eindeutig bestimmt ist). Während bei der ersten Version die Festlegung "Funktion = Funktionsgraph" natürlich und auch nützlich ist (und in der Mengenlehre durchgängig verwendet wird), ist bei der zweiten Version eine Definition als Tripe oder Paar aber künstlich und für die Praxis nicht relevant. Es reicht hier, auf der inhaltlichen Ebene zu bleiben, und sinngemäß zu schreiben: Eine Funktion ist gegeben durch Definitionsmenge, Zielmenge und Funktionsgraph. 
::::::--[[Benutzer:Digamma|Digamma]] ([[Benutzer Diskussion:Digamma|Diskussion]]) 21:29, 27. Sep. 2013 (CEST)
:::::Konkreter möchte ich sagen: Im Wesentlichen finde ich die Definiton im Artikel in Ordnung. Die meisten einführenden Mathematik-Bücher (z.B. Analysis oder Lineare Algebra) bringen eine wenig formale Definition. Die von Heuser wird in der Artikel-Diskussion schon zitiert, genauso eine aus einer Vorlesung von Ebbinghaus (inzwischen im Archiv). Ich zitiere mal die von Barner-Flohr (Analysis I, 4. Auflage, de Gruyter 1991, Kapitel 2.1, Seite 52):
::::::"Gegeben seien die Mangen <math>A</math> und <math>B</math>, und es sei jedem <math>x</math> aus <math>A</math> genau ein Element aus <math>B</math>, das wir <math>f(x)</math> nennen, zugeordnet. Wir sagen dann, dass durch <math>A</math>, <math>B</math> und diese Zuordnung eine ''Abbildung'' <math>f</math> von <math>A</math> in <math>B</math> gegeben ist. ... Statt Abbildung sagen wir auch ''Funktion''."
:::::Weiter unten schreiben sie:
::::::"Die ''Gleichheit zweier Abbildungen'' erklären wir folgendermaßen: Es gilt <math>f = g</math> genau dann, wenn <math>f</math> und <math>g</math> diese Definitionsmenge <math>A</math> besitzen und für alle <math>x \in A</math> gilt <math>f(x) = g(x)</math>.

::::::Bermerkung: Oft wird in die Definition von <math>f = g</math> auch die Gleichheit der Zielmengen aufgenommen. Dies ist für uns nicht so zweckmäßig, da z.B. die durch dieselbe Zuordnung <math>x \mapsto x^2</math> festgelegten Abbildungen von <math>\R</math> in <math>\R</math> bzw. von <math>\R</math> in <math>\R^+_0</math> verschieden wären."
:::::Viel weiter unten (S. 58/59) folgt die mengentheoretische Definition in einer Bemerkung:
::::::"Wir zeigen noch, wie der nicht näher definierte Begriff der „Zuordnung“ auf den Mengenbegriff zurückgeführt werden kann. (Für das Umgehen mit Abbildungen ist diese Zurückführung nicht von Belang ...
::::::Def.: ''Eine Abbildung <math>f</math> von <math>A</math> in <math>B</math> ist eine Teilmenge von <math>A \times B</math> mit der Eigenschaft: Zu jedem <math>x</math> aus <math>A</math> gibt es genau ein <math>y</math> aus <math>B</math>, so dass <math>(x,y) \in f</math>.''"
:::::Meiner Meinung nach ist dies der richtige Zugang. Im Wesentlichen folgt der Artikel bisher diesem. Was natürlich nicht heißen soll, dass man nicht Details noch verbessern kann. Insbesondere sollte man nicht schreiben: "ein Paar <math>(G_f, Z)</math>" oder "ein Tripel <math>(G_f,D,Z)</math>" sondern höchstens so etwas wie: "Betrachtet man zwei Funktionen nur dann als gleich, wenn ihre Zielmengen übereinstimmen, dann kann man die mengentheoretische Definition wie folgt modifizieren: ..."
:::::--[[Benutzer:Digamma|Digamma]] ([[Benutzer Diskussion:Digamma|Diskussion]]) 21:05, 17. Okt. 2013 (CEST)

:::::: Der Teufel steckt bekanntlich im Detail. Ein Detail ist, dass „Abbildung“ und „Funktion“ sehr unterschiedlich benutzt werden:
::::::# „Funktion“ und „Abbildung“ sind nur verschiedene Namen für das gleiche mathematische Objekt (Barner-Flohr u.a.).
::::::# „Funktion“ nennt man nur eine solche „Abbildung“, die in eine algebraisch strukturierte Menge, in <math>\Complex</math> oder in <math>\R</math> abbildet (Hebisch/Weinert; Heuser; v. Querenburg; die [[Funktionentheorie]] hat sogar ihren Namen danach bekommen).
::::::# Eine eindeutige Zuordnung bzw. (rechts-)eindeutige Relation <math>f</math> heißt „Funktion“ und eine „Funktion“, die von ihrer Definitionsmenge <math>D</math> in eine (Ziel-)Menge <math>Z</math> abbildet, heißt „Abbildung von <math>D</math> in <math>Z</math>“ (Erné; van der Waerden: ''Algebra I.'').
:::::: --[[Benutzer:RPI|RPI]] ([[Benutzer Diskussion:RPI|Diskussion]]) 10:42, 18. Okt. 2013 (CEST)

:::::::Es sich handelt um einen aus der Mengenlehre stammendes Konzept, welches in anderen mathematischen Disziplinen dann (mit Anpassungen) nur benutzt wird. Ich schlage daher vor, dass wir die moderne deutschprachige Literatur zur Mengenlehre als maßgeblich betrachten. Hier finde ich Oliver Deisers ''Einführung in die Mengenlehre '' , Kapitel  ''3. Abbildungen zwischen Mengen'' (Springer 2010) empfehlenswert. Dort heißt es:
::::::::: ''<<Definition (Funktion): Sei f eine Menge von geordneten Paaren. f heißt Funktion, falls für alle a,b1,b2 gilt: Aus (a, b1) ∈f und (a,b2 ) ∈f folgt b1 =b2. (Rechtseindeutigkeit)>>'' (Seite 54)
::::::: Und:
::::::::: ''<<Definition (Funktion von A nach B): Seien f eine Funktion und A,B Mengen. f heißt Funktion von A nach B, in Zeichen f : A → B, falls gilt: dom(f) = A und rng(f) ⊆ B.>>'' (Seite 55)
::::::: Deiser setzt dabei auf dem zuvor eingeführten Begriff der Relation auf, wodurch  er ''dom(f) = Definitionsbereich von f''  ''rng(f) = Wertebereich von f'' benutzen kann. Und wie dem einleitenden Satz des 3. Kapitels  (''<< In diesem Kapitel führen wir den für alles Folgende grundlegenden Begriff der Abbildung oder Funktion rein mengentheoretisch ein ... >>'') zu entnehmen ist, fasst Deiser ''Funktion'' und ''Abbildung'' als synonym auf.
:::::::[[Benutzer:Schojoha|Schojoha]] ([[Benutzer Diskussion:Schojoha|Diskussion]]) 17:10, 22. Okt. 2013 (CEST)

:'''Einfach und übersichtlich:''' ''Funktion'' und ''Abbildung'' sind verschiedene Begriffe, beiden liegt der ''Graph''begriff zugrunde.<br />
:*'''Graph''' = rechtseindeutige Paarklasse.
:*'''Funktion''' = Graph. 
:*'''Abbildung''' = Tripel (g,q,z), wobei g ein Graph ist und <sup>L</sup>g ⊆ q und <sup>R</sup>g ⊆ z &nbsp;&nbsp; (<sup>L</sup>g, <sup>R</sup>g = Klasse der linken, rechten Komponenten der Elemente von g).<br />
:Einschränkungen dieser Definitionen können sachlich nicht begründet werden, es sei denn, man möchte nicht enzyklopädisch sondern schulmathematisch definieren, dann lauteten die Einschränkungen: '''1.''' Graph = rechtseindeutige Paar'''menge''' und/oder '''2.''' Abbildungen = (g,<sup>L</sup>'''g''',z)<br />
:--[[Benutzer:Hederich|Lothario Hederich]] ([[Benutzer Diskussion:Hederich|Diskussion]]) 17:35, 27. Okt. 2013 (CET)
:::Also wir sollten bzw. müssen uns schon an der in der Literatur üblichen Definitionen orientieren (das ist kleine Vorgabe aus den allgemeinen Projektregeln) und nicht nach dem was dir persönlich als angemessen erscheint. Die oben zitierte Literatur folgt in keiner Weise deiner Darstellung und wenn es nicht andere reputable Literatur gibt, die deinen Ansatz verfolgt, dann scheidet dieser als Option für den WP_artikel eigentlich schon aus.--[[Benutzer:Kmhkmh|Kmhkmh]] ([[Benutzer Diskussion:Kmhkmh|Diskussion]]) 21:06, 27. Okt. 2013 (CET)

:Noch '''<big>Einfacher und übersichtlicher:</big>''' als bei Lothario''':''' 
:*'''Funktion''' := rechtseindeutige Klasse geordneter Paare.
:::Bezeichnungen für Funktion f''':''' ''Definitionsbereich'' D(f), ''Wertebereich'' W(f) := Klasse der linken, rechten Komponenten der Elemente von f

:*'''Abbildung''' := (f,q,z), wobei f eine Funktion ist und D(f) ⊆ q und W(f) ⊆ z
:::Bezeichnungen für Abbildung a=(f,q,z)''':''' ''Urbildquellbreich'' Uq(a) := q, ''Urbildbereich'' U(a) := D(f), ''Bildzielbreich'' Bz(a) := z, ''Bildbereich'' B(a) := W(f)

:Quelle: Oberschelp, ''Allgemeine Mengenlehre'', Seite 71: ''"Die Funktion ist die Klassen von Paaren, die Abbildung das Tripel."''
:--[[Benutzer:Argetula|Argetula]] ([[Benutzer Diskussion:Argetula|Diskussion]]) 12:05, 28. Okt. 2013 (CET)
::Oberschelps ''Allgemeine Mengenlehre'' ist ein gute Quelle, aber vielleicht nicht mehr ganz aktuell. (Zumindest meine ich, dass  1994 das Erscheinungsjahr ist.) Ich denke, man kann Oberschelp folgen, sollte aber berücksichtigen, dass andere Autoren wie etwa Deiser (s.o.) eine abweichende Auffassung haben. Da es um einen zentralen Begriff geht, sollte der Artikel das ganze Begriffsfeld (''Funktion'', ''Funktionale Klasse'',  ''Abbildung'',  ''Familie'',  ''Korrespondenz'', ''Zuordnung'',  ...) und dann auch die unterschiedlichen Auffassungen wichtiger Autoren mit einbeziehen.[[Benutzer:Schojoha|Schojoha]] ([[Benutzer Diskussion:Schojoha|Diskussion]]) 23:34, 30. Okt. 2013 (CET)
:::Die Problematik des Begriffsfeldes bzw. eine leicht unterschiedlichen Verwendung bei unterschiedlichen Autoren wird übrigens explizit im Eintrag in der Encylopedia of Mathematics angesprochen:
:::*http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Function
:::Nichts gegen Oberschelp, aber wenn man schon unbedingt über die Darstellung in einem Buch zur Mengentheorie argumentieren will, kann man nicht nur dort nachschlagen, sondern sollte sich auch anschauen, was in anderen Werken zur Mengenlehre steht, insbesondere bei einem Klassiker wie Halmos:
:::*Halmos 1960: http://books.google.de/books?id=kknLTPobDHwC&pg=PA43
:::*Deiser 2004: http://books.google.de/books?id=94jSPGG1UHkC&pg=PA54
:::*Hrbacek/Jech 1999: http://books.google.de/books?id=Er1r0n7VoSEC&pg=PA23
:::*Suppes 1960: http://books.google.de/books?id=sxr4LrgJGeAC&pg=PA86
:::*Hamburger 1999: http://books.google.de/books?id=pf0Rmrv-eDYC&pg=PA8
:::Ansonsten sollte bei dem Artikel auf Lesbarkeit/Zugänglichkeit für große Leserschichten geachtet werden, insbesondere in der Einleitung und in den ersten Kapiteln. Ich würde daher bei einer ersten Formalisierung des Begriffes auf Darstellungen wie man sie in Schulbüchern oder Analysiseinführungen findet, zurückgreifen, denn das ist mMn. die Variante, die die meisten Leser suchen bzw. mit der sie arbeiten. Kleinere, feinere Unterschiede sollte man in späteren Abschnitten behandeln und bitte im Auge behalten, dass es "die" allein glücklich machende Definition nicht gibt, sondern nur verschiedene Autoren mit leicht unterschiedlichen Ansätzen, deren Unterschiede ohnehin oft nur marginal sind.--[[Benutzer:Kmhkmh|Kmhkmh]] ([[Benutzer Diskussion:Kmhkmh|Diskussion]]) 09:28, 31. Okt. 2013 (CET)
:::: Hinsichtlich der ''allein glücklich machende Definition'' stimme ich Kmhkmh zu. Hier ergänze ich den Hinweis auf die Geschichte des Funktionsbegriffs, die doch lang ist und in den vorliegenden Artikel eingearbeitet werden sollte. (Der Terminus selbst etwa soll nach Deiser auf Leibniz zurückgehen und die f(x)-Notation auf Euler.)
:::: Was die Frage der Darstellung angeht, bin ich mir nicht so sicher wie Kmhkmh. Vielleicht wäre es hier einfacher, sich an den entsprechenden Artikeln in den einschlägigen Mathematiklexika zu orientieren.
::::[[Benutzer:Schojoha|Schojoha]] ([[Benutzer Diskussion:Schojoha|Diskussion]]) 21:09, 3. Nov. 2013 (CET)
:::: 2 Nachträge: Sowohl das ''Lexikon der Mathematik'' (Spektrum 2001 - 2003) als  auch  das ''Lexikon der Schulmathematik'' (Aulis-Verlag 1976 - 1978) verstehen ''Funktion'' und ''Abbildung'' als synonym. Und: Es reicht nicht, den Abbildungs-/Funktionsbegriff  - etwa aus didaktischen Gründen - auf Mengen zu beschränken und die Klassen außer Acht zu lassen. Mit einer solchen Beschränkung hat man bspw. ein Problem mit dem verwandten  ''[[Funktor (Mathematik)|Begriff des Funktors]]'' in der Kategorientheorie. (Übrigens ist die Definition in dem Artikel insofern auch nicht sauber.)[[Benutzer:Schojoha|Schojoha]] ([[Benutzer Diskussion:Schojoha|Diskussion]]) 23:11, 5. Nov. 2013 (CET)
Ich denke, hier tut sich nichts mehr. Ist alles gesagt? Sollen wir die Diskussion beenden?[[Benutzer:Schojoha|Schojoha]] ([[Benutzer Diskussion:Schojoha|Diskussion]]) 13:56, 22. Nov. 2013 (CET)
== Nachbemerkung ==

Der Artikel, so wie er jetzt steht, ist ein stümperhaftes Konglomerat verworrener Aussagen, wie kann man nur den so klaren einfachen Funktionsbegriff so verhunzen? Ich war Mathematiklehrer an einem Stuttgarter Gymnasium, jetzt aber bin ich im Ruhestand, kann mich aber nur wundern, wie Kollegen so etwas Zustandebringen. Das musste ich mal loswerden. Trotz allem Grüße ich euch --[[Spezial:Beiträge/80.134.168.155|80.134.168.155]] 18:32, 27. Nov. 2013 (CET)

== y=f(x)-Notation ==

Warum ist die sehr häufig anzutreffende Notation à la <math>y=x^2</math> nicht im Notationen-Abschnitt aufgeführt? Ich weiß, dass es Leute gibt, die sie nicht mögen, aber wäre ein Grund, sie zu diskutieren, nicht sie totzuschweigen. Immerhin ist das hier eine Enzyklopädie und sollte demnach die Welt beschreiben, wie sie ist und nicht, wie sie nach Ansicht mancher zu sein hat. --[[Benutzer:Mudd1|Mudd1]] ([[Benutzer Diskussion:Mudd1|Diskussion]]) 13:37, 14. Dez. 2013 (CET)
:Hast du nicht mal in den Abschnitt „Begriffsgeschichte“ hineingeschaut? Da steht genau das drin, was du hier suchst. --[[Benutzer:Klaeren|Herbert Klaeren]] ([[Benutzer Diskussion:Klaeren|Diskussion]]) 14:50, 14. Dez. 2013 (CET)
::Ich weiß nicht, warum dieser pampige Ton sein musste. Der Abschnitt heißt "Begriffsgeschichte", warum sollte ich da etwas zur Notation erwarten? Desweiteren steht da nur, dass das Verständnis einer Funktion als Gleichung naiv ist, aber kein Wort zur Erklärung oder warum <math>f(x)=x^2</math> keine Gleichung sein soll oder was am impliziten <math>y=f(x)</math> böse sein soll.
::So oder so, sollte ein so langer Artikel nicht so angelegt sein, dass man ihn von Anfang bis Ende lesen muss. Ein gewisses Maß an Redundanz und Querverweise innerhalb des Artikels wären mehr als nur Höflichkeit gegenüber dem Leser. --[[Benutzer:Mudd1|Mudd1]] ([[Benutzer Diskussion:Mudd1|Diskussion]]) 13:57, 30. Dez. 2013 (CET)

== Abzählbar unendliche Wertetabellen ==

Warum abzählbar unendliche Wertetabellen? Wenn ich schon eine abstrakte, unendliche Wertetabelle mir denke, dann kann ich die auch überabzählbar denken, vllt. alle Ordinalzahlen hoch. Aber das ist meines Erachtens keine Notation. Eine Notation ist endlich wie das Papier und stellt daher immer nur Funktionen mit endlichem Definitionsbereich (bzw. Funktionen eingeschränkt auf eine endliche Menge) dar. Daher würde ich das mit dem „abzählbar unendlich“ ganz streichen. --[[Benutzer:Chricho|Chricho]] [[BD:Chricho|¹]] [//de.wikipedia.org/w/?title=BD:Chricho&amp;action=edit&amp;section=new ²] [[Benutzer:Chricho/Keine_Verbesserung|³]] 02:49, 30. Dez. 2013 (CET)

:Ich denke damit ist, wie ja im Beispiel zu sehen, die Schreibweise mit den Auslassungspünktchen gemeint. -- [[Benutzer:HilberTraum|HilberTraum]] ([[Benutzer Diskussion:HilberTraum|Diskussion]]) 14:05, 30. Dez. 2013 (CET)
::Das würde ich trotzdem nur als Notation der Funktion eingeschränkt auf eine endliche Menge ansehen, eben zur Veranschaulichung. --[[Benutzer:Chricho|Chricho]] [[BD:Chricho|¹]] [//de.wikipedia.org/w/?title=BD:Chricho&amp;action=edit&amp;section=new ²] [[Benutzer:Chricho/Keine_Verbesserung|³]] 14:39, 30. Dez. 2013 (CET)

== Hallo, habe ich das Kapitel ''Mengentheoretische Definition'' richtig verstanden?  ==

Der Funktionsbegriff ist durch folgende Aussage definiert:
::<math>\boldsymbol\mathfrak{Funk}\colon</math>&nbsp; Eine Funktion ist eine Menge geordneter Paare, die keine verschiedenen Elemente mit gleicher linker Komponente enthält '''und jede''' solche Menge ist eine Funktion.
Gruß, Georg --[[Spezial:Beiträge/91.54.35.81|91.54.35.81]] 12:26, 10. Jan. 2014 (CET)
:Ja, es ist aber nicht die einzige Definition. Siehe die andere Definition weiter unten: „Oft möchte man aber auch die Zielmenge explizit zu einem Teil der Funktion machen […]“ Diese ist oft wichtiger. --[[Benutzer:Chricho|Chricho]] [[BD:Chricho|¹]] [//de.wikipedia.org/w/?title=BD:Chricho&amp;action=edit&amp;section=new ²] [[Benutzer:Chricho/Keine_Verbesserung|³]] 13:31, 10. Jan. 2014 (CET)

::Ok, Chricho. Dass zwei ganz verschiedene Begriffe mit demselben Namen belegt werden ist kein mathematischer Usus und so wie es im Artikel gemacht ist auch nicht widerspruchsfrei im Prädikatenkalkül beschreibbar, mit anderen Worten, mathematisch falsch. Mir sind diese Definitionen aus der Literatur bekannt. Wenn ein Autor beide angibt, dann selbstverständlich mit verschiedenen Namen, zum Beispiel als Menge mit '''Funktion''', als Tripel mit '''Abbildung'''. Möchte man partout diese beiden Formen mit demselben Namen belegen, dann geht das nur unter Zuhilfenahme eines zusätzlichen Begriffs, was jedoch den Funktionsbegriff eher verfremdet. Mit Grüßen, Georg --[[Spezial:Beiträge/91.54.48.100|91.54.48.100]] 10:34, 11. Jan. 2014 (CET)

:::Das hier ist eine Enzyklopädie und kein Lehrbuch. Wir können uns hier nicht einfach eine gefällige Definition aussuchen, wie ein Lehrbuch das kann, sondern stellen die Situation übergreifend dar – es gibt nun einmal mehrere verbreitete Definitionen, unter demselben Namen, die so eng zusammenhängen, dass eine gemeinsame Darstellung in einem Artikel sinnvoll ist. Dies darzustellen, ist nicht mathematisch falsch, falsch wäre es, beide Definitionen gleichzeitig anzuwenden, um über dieselben Dinge zu sprechen. Dass Lehrbücher für die beiden Varianten verschiedene Namen einführen, ist eine absolute Seltenheit. Im Übrigen weist selbst so manchen Lehrbuch darauf hin, dass Definitionen anderswo leicht anders sein mögen – bloß kann ein Lehrbuch eine Definition priorisieren, das können wir nicht. --[[Benutzer:Chricho|Chricho]] [[BD:Chricho|¹]] [//de.wikipedia.org/w/?title=BD:Chricho&amp;action=edit&amp;section=new ²] [[Benutzer:Chricho/Keine_Verbesserung|³]] 12:01, 11. Jan. 2014 (CET)

:Lieber Chricho, im obigen Kapitel [[Diskussion:Funktion_(Mathematik)#x und y]] finden sich die Sätze
:*Wikipedia ist das größte Schulbuch der Welt. Meines Erachtens zurecht. 
:*Das größte ja, aber es muss in einigen Artikeln besser werden.
:die mich zusammen mit deiner Aussage "Das hier ist eine Enzyklopädie und kein Lehrbuch" irritieren, so dass ich fast geneigt bin, meine Bemühungen um mathematische Korrektheit in Artikeln einzustellen. Grüße, Georg --[[Spezial:Beiträge/91.54.0.108|91.54.0.108]] 11:02, 12. Jan. 2014 (CET)