Quelltext der Seite Doppelt-stochastische Matrix

In der [[Mathematik]] bezeichnet eine '''doppelt-stochastische Matrix''' (manchmal auch ''doppelt-stochastische [[Übergangsmatrix]]'') eine quadratische [[Matrix (Mathematik)|Matrix]], deren Zeilen- und Spaltensummen <math>1</math> betragen und deren Elemente zwischen <math>0</math> und <math>1</math> liegen.

== Charakterisierungen ==
Die folgenden Charakterisierungen doppelt-stochastischer Matrizen sind äquivalent:

* Eine Matrix ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn Zeilen- und Spaltensummen eins betragen und alle Elemente der Matrix zwischen <math>0</math> und <math>1</math> liegen.

* Eine Matrix <math>M</math> ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn sowohl <math>M</math> als auch die [[transponierte Matrix]] <math>M^T</math> Übergangsmatrizen sind.

* Eine Matrix ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn Zeilen- und Spaltensummen <math>1</math> betragen und alle Elemente der Matrix nicht negativ sind.

== Eigenwerte und Eigenvektoren ==

Wie alle [[Übergangsmatrix|Übergangsmatrizen]] besitzen auch doppelt-stochastische Matrizen als betragsgrößten Eigenwert den Eigenwert <math>1</math>. Da jede doppelt-stochastische Matrix sowohl zeilen- als auch spaltenstochastisch ist, ist der [[Einsvektor]] <math>\mathbf{1}</math> (welcher nur Einsen als Einträge hat) sowohl Links- als auch Rechtseigenvektor jeder doppelt-stochastischen Matrix. Ist nun die Matrix <math>M</math> doppelt-stochastisch und noch zusätzlich entweder [[Irreduzible Matrix|irreduzibel]] oder echt positiv (vgl. [[Satz von Perron-Frobenius]]), so ist die einzige [[stationäre Verteilung]] der [[Markow-Kette]], die durch <math>M</math> charakterisiert wird, die [[Diskrete Gleichverteilung|Gleichverteilung]], also der [[Wahrscheinlichkeitsvektor]] <math>\tfrac{1}{n}\mathbf{1}</math>.

== Satz von Birkhoff und von Neumann ==
Für eine <math>n \times n</math>-Matrix gilt, dass sie genau dann doppelt-stochastisch ist, wenn sie eine [[Konvexkombination#Spezialfälle|Konvexkombination]] von [[Permutationsmatrix|Permutationsmatrizen]] ist.

Zusatz: Die Permutationsmatrizen sind die [[Extremalpunkt]]e der Menge der doppelt-stochastischen Matrizen.

== Literatur ==

* {{Literatur
   |Autor=Joseph P. S. Kung, [[Gian-Carlo Rota]], Catherine H. Yan
   |Titel=Combinatorics: The Rota Way
   |Verlag=[[Cambridge University Press]]
   |Ort=Cambridge (u. a)
   |Datum=2009
   |ISBN=978-0-521-73794-4}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Peter Knabner]], [[Wolf Barth (Mathematiker)|Wolf Barth]]
   |Titel=Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen
   |Reihe=Springer-Lehrbuch
   |Verlag=Springer Spektrum
   |Ort=Berlin u. a.
   |Datum=2013
   |ISBN=978-3-642-32185-6}}

== Weblinks ==
* {{PlanetMath|id=BirkhoffVonNeumannTheorem|title=Birkhoff-von Neumann theorem|author=Andrea Ambrosio, Stephen Forrest}}
* {{MathWorld| id=DoublyStochasticMatrix| title=Doubly Stochastic Matrix}}
[[Kategorie:Diskrete Mathematik]]
[[Kategorie:Markow-Prozesse]]