Quelltext der Seite E8-Mannigfaltigkeit

In der [[Mathematik]] ist die '''<math>E_8</math>-Mannigfaltigkeit''' eine [[einfach zusammenhängend]]e <math>4</math>-[[Mannigfaltigkeit]] mit [[Schnittform]], die verschiedene ungewöhnliche Eigenschaften hat.
[[Datei:DynkinE8 labeled.png|mini|Graph des Dynkin-Diagramms <math>E_8</math>]]
[[Datei:Plumbing disk bundles.jpg|mini|Klempnern zweier <math>D^1</math>-Bündel über <math>S^1</math>]]
== Konstruktion ==
Durch die Methode des [[Klempnern (Mathematik)|Klempnerns]] entlang Graphen können aus mit den Knoten des Graphen assoziierten Kreisscheibenbündeln kompliziertere Mannigfaltigkeiten gebaut werden. Dies wird auf den Graphen des [[Dynkin-Diagramm]]s <math>E_8</math> angewandt, wobei den Knoten des Graphen jeweils das zum [[Kotangentialbündel]] der 2-Sphäre assoziierte Kreisscheibenbündel zugeordnet wird.

Die so erhaltene 4-Mannigfaltigkeit hat als Rand die [[Poincaré-Homologiesphäre]]. Diese berandet eine 4-Mannigfaltigkeit mit trivialer Homologie und durch Verkleben erhält man eine [[Geschlossene Mannigfaltigkeit|geschlossene]] [[4-Mannigfaltigkeit]] mit [[Schnittform]] <math>E_8</math>. (Dies ist ein Spezialfall des [[Satz von Freedman|Satzes von Freedman]], dass es zu jeder unimodularen, symmetrischen Bilinearform eine einfach zusammenhängende, geschlossene 4-Mannigfaltigkeit mit dieser Schnittform gibt.)

== Eigenschaften ==
* Die <math>E_8</math>-Mannigfaltigkeit trägt keine [[Differenzierbare Mannigfaltigkeit|Differentialstruktur]]. Das folgt aus dem [[Satz von Rochlin]], demzufolge die [[Signatur (Topologie)|Signatur]] einer differenzierbaren [[Spin-Mannigfaltigkeit]] durch <math>16</math> teilbar ist, oder aus dem [[Satz von Donaldson]], demzufolge die Schnittformen einfach zusammenhängender, differenzierbarer <math>4</math>-Mannigfaltigkeiten nur dann positiv definit sein können, wenn sie diagonalisierbar sind. Die zum Dynkin-Diagramm <math>E_8</math> gehörende [[Bilinearform]] ist [[positiv definit]], aber nicht [[Diagonalisierbarkeit|diagonalisierbar]]. Ihre Signatur ist <math>8</math>.
* Die <math>E_8</math>-Mannigfaltigkeit ist nicht [[Triangulierung (Topologie)|triangulierbar]]. Dies wurde von [[Andrew Casson|Casson]] mit der zu diesem Zweck eingeführten [[Casson-Invariante]] bewiesen. Allgemein sind geschlossene <math>4</math>-Mannigfaltigkeiten mit gerader Schnittform und Signatur <math>8</math> nicht triangulierbar.

== Literatur ==
* M. Freedman, F. Quinn: ''Topology of 4-Manifolds''. Princeton Mathematical Series, 39. Princeton, NJ: Princeton University Press (1990).

[[Kategorie:Mannigfaltigkeit]]