Quelltext der Seite Einsteinsche Mannigfaltigkeit

Die '''Einsteinsche Mannigfaltigkeit''' oder '''Einsteinmannigfaltigkeit''' ist ein Begriff aus dem [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Differentialgeometrie]] sowie aus der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]]. Es handelt sich um einen Spezialfall einer (pseudo-)riemannschen Mannigfaltigkeit und wurde nach dem Physiker [[Albert Einstein]] benannt.

== Definition ==
Eine [[Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit|pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit]] <math>(M,g)</math> heißt Einsteinmannigfaltigkeit, falls eine reelle Konstante <math> \lambda</math> existiert, so dass
:<math>\operatorname{Ric}_p(X,Y) = \lambda \,g_p(X,Y)</math>
gilt. Dabei ist <math>\operatorname{Ric}_p</math> der (0,2)-[[Ricci-Tensor]] und <math>X,Y \in T_pM</math> für jedes <math>p \in M.</math> Die pseudo-riemannsche Metrik <math>g</math> heißt unter diesen Gegebenheiten Einsteinmetrik.

== Eigenschaften ==
* Einsteinsche Mannigfaltigkeiten sind nur für Dimensionen <math>n \geq 4</math> von eigenständigem Interesse, da sie für <math>n = 2</math> und <math>n = 3</math> mit den Räumen mit konstanter [[Riemannscher Krümmungstensor#Skalarkrümmung|Skalarkrümmung]] beziehungsweise konstanter [[Schnittkrümmung]] zusammenfallen.

* Sei <math>n \geq 3.</math> Dann ist eine n-dimensionale pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit einsteinsch genau dann, wenn für jedes <math>p \in M</math> eine Konstante <math>\lambda_p</math> (in Abhängigkeit von <math>p\,</math>) existiert, so dass 
::<math>\operatorname{Ric}_p(X,Y) = \lambda_p \,g_p(X,Y)</math>
:gilt. Im Unterschied zur Definition ist hier <math>\lambda</math> vom Punkt der Mannigfaltigkeit abhängig.

* Das [[Kartesisches Produkt|kartesische Produkt]] zweier Einsteinmannigfaltigkeiten, welche beide die gleiche Konstante <math>\lambda</math> haben, ist wieder eine Einsteinmannigfaltigkeit mit Konstante <math>\lambda</math>.

* Die Definition der Einsteinmetrik <math>g</math> ergibt sich aus der Aussage, dass <math>g</math> eine Lösung der [[Einsteinsche_Feldgleichungen#Die Vakuumfeldgleichungen|einsteinschen Vakuumfeldgleichungen]]
::<math>\operatorname{Ric}_p(X,Y) - \frac{1}{2}\,g_p(X,Y)\,s_p + g_p(X,Y)\,\Lambda = 0 </math>
:mit der [[Kosmologische Konstante|kosmologischen Konstante]] <math>\Lambda</math> und der [[Riemannscher Krümmungstensor#Skalarkrümmung|Skalarkrümmung]] <math>s_p</math> ist. Durch [[Tensorverjüngung|Spurbildung]] in der Gleichung <math>\operatorname{Ric}_p(X,Y) = \lambda \,g_p(X,Y)</math> erhält man 
::<math>s_p = n \lambda,</math>
:dabei bezeichnet <math>n\,</math> die [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] der Mannigfaltigkeit.

== Literatur ==
* [[Arthur L. Besse]]: ''Einstein Manifolds.'' Reprint of the 1987 edition. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-74120-6 (''Classics in mathematics'').

[[Kategorie:Riemannsche Mannigfaltigkeit]]
[[Kategorie:Allgemeine Relativitätstheorie]]
[[Kategorie:Albert Einstein als Namensgeber]]