Quelltext der Seite Gammafunktion

[[Datei:Gamma function.svg|thumb|Graph der Gammafunktion im Reellen]]
[[Datei:Complex-gamma.jpg|thumb|Komplexe Gammafunktion: Die Helligkeit entspricht dem Betrag, die Farbe dem Argument des Funktionswerts. Zusätzlich sind Höhenlinien konstanten Betrags eingezeichnet.]]
[[Datei:Gamma abs 3D.png|thumb|Betrag der komplexen Gammafunktion]]

Die '''Eulersche Gammafunktion,''' auch kurz '''Gammafunktion''' oder '''Eulersches Integral zweiter Gattung,''' ist eine der wichtigsten [[Spezielle Funktion|speziellen Funktionen]] und wird in den [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebieten der [[Analysis]] und der [[Funktionentheorie]] untersucht. Sie wird heute durch ein <math>\Gamma</math>, den griechischen Großbuchstaben [[Gamma]], bezeichnet und ist eine [[Transzendente Funktion|transzendente]] [[meromorphe Funktion]] mit der Eigenschaft
: <math>\Gamma(n) = (n-1)!</math>
für jede [[natürliche Zahl]] <math>n</math>, wobei mit <math>!</math> die [[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]] bezeichnet wird. Die Motivation zur Definition der Gammafunktion war, die Fakultätsfunktion auf reelle und komplexe Argumente erweitern zu können. Der Schweizer Mathematiker [[Leonhard Euler]] löste im Jahr 1729 diese Fragestellung und definierte die Gammafunktion mittels eines [[Produkt (Mathematik)#Unendliche Produkte|unendlichen Produktes]]. Heute wird die Gammafunktion oft mittels einer [[Integralrechnung|Integraldarstellung]] definiert, die ebenfalls auf Euler zurückgeht.

Die Gammafunktion liegt der [[Gammaverteilung|Gamma-Wahrscheinlichkeitsverteilung]] zugrunde.

== Einordnung ohne mathematisches Vorwissen ==

Eine [[mathematische Funktion]] ist im Grunde wie eine [[Rechenmaschine]]. Man gibt einen Wert in die Funktion ein, und diese liefert dann ein Ergebnis in Abhängigkeit vom Eingabewert, zumindest theoretisch. Damit ist gemeint, dass die Funktion an sich nicht rechnet, sondern meist nur eine Rechenvorschrift [[Mathematische Formel|formelhaft]] festhält. Einfaches Beispiel für eine Funktion ist die [[quadratische Funktion]], welche die Eingabe mit sich selbst multipliziert. Formelhaft schreibt man dies als <math> f(x) = x^2 </math>. Somit ordnet die quadratische Funktion beispielsweise der Zahl <math> -2 </math> den Wert <math> (-2)^2 </math> zu. Rechnet man dies aus, ergibt sich <math> 4 </math>, also <math> f(-2) = 4 </math>.

Die Gammafunktion fußt auf einer Vorschrift, die auch als [[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]] bekannt ist. Diese ordnet einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen bis zu dieser Zahl zu. Bezeichnet wird die Fakultät mit dem Symbol des [[Ausrufezeichen]]s. Also gilt zum Beispiel
: <math> 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24.</math>
Es galt innerhalb der Mathematik als Problem, ob sich diese Vorschrift auch auf Zahlen anderer Art erweitern ließe. Konkret bedeutet das:
* Lassen sich Fakultäten auch für beliebige [[Rationale Zahl|rationale]], [[Reelle Zahl|reelle]], [[Komplexe Zahl|komplexe]] Zahlen berechnen? Wie in etwa könnte man sich <math> (\tfrac12)!</math> vorstellen?
* Falls solche „universelle“ Vorschriften gefunden werden, welche mathematischen Eigenschaften können ihnen gegeben werden? Zeichnet sich eine dieser Vorschriften als ganz besonders natürlich und strukturell aus? Ist diese besondere Vorschrift eindeutig bestimmt, also „die eine“ verallgemeinerte Fakultät?

Die Antwort auf diese Fragen liefert die Gammafunktion. Für beliebige Werte <math> z </math> liefert <math> \Gamma(z+1) = z! </math>, also gilt zum Beispiel <math> \Gamma(5) = 24.</math> Die Verschiebung um 1 von der oben erwähnten Fakultät ist auf eine Konvention aus dem 19.&nbsp;Jahrhundert zurückzuführen. Die Strategie der Verallgemeinerung basiert auf der Beobachtung, dass aus einer vorherigen Fakultät durch Hinzunahme eines weiteren Faktors eine weitere Fakultät gewonnen wird. So gilt etwa <math> 4! \cdot 5 = 5!</math> und ganz allgemein <math> n! \cdot (n+1) = (n+1)! </math>. Demnach sollten sämtliche Werte der Gammafunktion mittels <math> \Gamma(z) \cdot z = \Gamma(z+1)</math> in Relation stehen. Stellt man weitere wichtige Bedingungen, wie [[Differenzierbarkeit]], an <math> \Gamma(z)</math>, so kann diese schließlich eindeutig definiert werden, womit „die“ verallgemeinerte Fakultät gefunden ist.

Es gilt dann <math> (\tfrac12)! = \Gamma(\tfrac32) = \tfrac{\sqrt{\pi}}{2} \approx 0{,}88622 </math> mit der [[Kreiszahl]] <math>\pi</math>. Dieser Zusammenhang lässt sich über die [[Normalverteilung]] von Gauß erklären.

== Geschichte ==

Als früheste Definition der Gammafunktion gilt die in einem Brief von [[Daniel Bernoulli]] an [[Christian Goldbach]] vom 6.&nbsp;Oktober 1729 gegebene:<ref>[http://www.luschny.de/math/factorial/DanielBernoulliLetterToGoldbach-1729-10-06.jpg Brief] ([[JPG]]-Datei, 136&nbsp;kB) von [[Daniel Bernoulli]] an [[Christian Goldbach]] vom 6.&nbsp;Oktober 1729, abgedruckt in Paul Heinrich Fuss (Hrsg.): ''Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle.'' (Band&nbsp;2), St.-Pétersbourg 1843, [https://books.google.com/books?id=RGMSAAAAIAAJ&pg=PA324 S.&nbsp;324–325] (französisch).</ref><ref>Peter Luschny: ''[http://www.luschny.de/math/factorial/history.html Interpolating the natural factorial n! or The birth of the real factorial function (1729–1826).]'' (Englisch).</ref>

: <math>\Bigl(A + \frac{x}{2}\Bigr)^{x-1} \Bigl(\frac{2}{1+x} \cdot \frac{3}{2+x} \cdot \frac{4}{3+x} \cdots \frac{A}{A-1+x}\Bigr)</math>

für unendlich große <math>A</math>, entsprechend heutiger Notation <math>x!</math> oder <math>\Gamma(x+1)</math>. Wenige Tage später, am {{JULGREGDATUM|24|10|1729}}, beschrieb Euler ebenfalls in einem Brief an Goldbach die ähnliche, etwas einfachere Formel<ref name="euler1729-10" />

: <math>\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \dotsm n}{(1+m)(2+m) \dotsm (n+m)}\,(n+1)^m,</math>

die Gauß 1812 für den allgemeineren Fall komplexer Zahlen wiederentdeckte<ref name="gauss1812" /> (die genannten Briefe wurden erst 1843 herausgegeben). Sie nähert sich mit wachsendem <math>n</math> dem wahren Wert für <math>m!</math> oder <math>\Gamma(m+1)</math>. Am 8.&nbsp;Januar 1730 beschrieb Euler in einem Brief an Goldbach folgendes Integral zur Interpolation der Fakultätsfunktion,<ref>[http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0717.pdf Brief] ([[PDF]]-Datei, 211&nbsp;kB) von [[Leonhard Euler]] an [[Christian Goldbach]] vom 8.&nbsp;Januar 1730, abgedruckt in Paul Heinrich Fuss (Hrsg.): ''Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle.'' Band&nbsp;1, St.-Pétersbourg 1843, [https://books.google.com/books?id=OGMSAAAAIAAJ&pg=PA11 S.&nbsp;11–18] (lateinisch).</ref> das er am 28.&nbsp;November 1729 der [[Russische Akademie der Wissenschaften|St.&nbsp;Petersburger Akademie]] vorgestellt hatte:<ref name="euler1729-11" />

: <math>\int\!\mathrm dx(-lx)^n,</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; in heutiger Notation: &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\displaystyle \Gamma(n+1) = \int_0^1 (-\log x)^n \mathrm dx</math>

Diese Definition wurde von Euler später bevorzugt verwendet<ref>[[Leonhard Euler]]: ''[http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E342sec1ch9.pdf De evolutione integralium per producta infinita.]'' ([[PDF]]-Datei, 1,2&nbsp;MB), Kapitel&nbsp;9 in Teil&nbsp;1 des ersten Bandes von Euler: ''Institutionum calculi integralis.'' 1768, [https://books.google.com/books?id=yRsPAAAAIAAJ&pg=PA225 S.&nbsp;225–250] (lateinisch).</ref> und geht durch die [[Integration durch Substitution|Substitution]] <math>t = -\log x</math> in die Form

: <math>\Gamma(n+1) = \int_0^\infty t^n \mathrm{e}^{-t} \mathrm dt</math>

über. Euler entdeckte dieses Integral bei der Untersuchung eines Problems aus der [[Mechanik]], bei dem die Beschleunigung eines Teilchens betrachtet wird.

[[Adrien-Marie Legendre]] führte 1809 die griechische [[Majuskel]] <math>\Gamma</math> ([[Gamma]]) als Funktionssymbol ein.<ref>[[Adrien-Marie Legendre]]: ''Recherches sur diverses sortes d’intégrales définies.'' (13.&nbsp;November 1809), Mémoires de la classe des sciences mathématiques et physiques de l’Institut de France 10, 1809, [https://www.archive.org/stream/mmoiresdelinst10inst#page/476/mode/2up S.&nbsp;477] (französisch).</ref><ref>[[Adrien-Marie Legendre]]: ''Traité des fonctions elliptiques et des intégrales Eulériennes.'' (Band&nbsp;2), Huzard-Courcier, Paris 1826, [https://books.google.de/books?id=c4M_AAAAcAAJ&pg=PA365 S.&nbsp;365] (französisch).</ref> Gauß verwendete 1812 das Funktionssymbol <math>\Pi</math> ([[Pi (Buchstabe)|Pi]]) so, dass <math>\Pi(x) = \Gamma(x+1)</math> und somit auch <math>\Pi(n) = n!</math> für nichtnegative ganzzahlige <math>n</math> gilt. Es setzte sich jedoch nicht durch; heute wird <math>\Pi</math> als Symbol für ein Produkt benutzt (analog zu <math>\Sigma</math> für eine Summe).

== Definition und elementare Darstellungsformen ==

Es gibt in der Literatur keine einheitliche Definition für die Gammafunktion.

Häufig wird das Eulersche Integral zweiter Gattung gegeben. Ein Nachteil ist, dass dieses Integral nicht überall konvergiert. Somit ist eine globale Berechnung mittels dieser Definition nur indirekt möglich. Für komplexe Zahlen <math>z</math> mit positivem [[Realteil]] ist die Gammafunktion damit das [[Uneigentliches Integral|uneigentliche Integral]]

: <math>\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} {\mathrm e}^{-t} \mathrm dt.</math>

Die dadurch definierte Funktion ist [[Holomorphe Funktion|holomorph]], da das Integral (wegen des schnellen Abfallens der Exponentialfunktion) auf kompakten Mengen gleichmäßig konvergiert. Dies ermöglicht den Einsatz des [[Weierstraßscher Konvergenzsatz|Weierstraßschen Konvergenzsatzes]]. Mittels [[Meromorphe Fortsetzung|meromorpher Fortsetzung]] lässt sich <math> \Gamma(z) </math> schließlich für alle Werte <math> \Complex \setminus \{0, -1, -2, \dotsc\} </math> berechnen.

Eine andere Darstellung mittels eines Produktes motiviert die Verallgemeinerung der Fakultät auf direkte Weise. Sie ist gegeben durch:

: <math>\Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n!\,n^z}{z(z+1)(z+2) \dotsm (z+n)}.</math>

In seinem Buch ''Number Theory. Analytic and modern tools'' gibt [[Henri Cohen]] eine Definition mittels der [[Hurwitzsche Zeta-Funktion|Hurwitzschen Zeta-Funktion]] <math>\zeta(s,z)</math>. Als Begründung hierfür wird eine „einfache Möglichkeit der Verallgemeinerung“ und die „Betonung wichtiger Formeln“ angegeben. Es gilt demnach für komplexe Zahlen <math>z</math> mit positivem [[Realteil]]

: <math> \Gamma(z) = \exp(\zeta'(0,\ z) - \zeta'(0,\ 1)), </math>
wobei die [[Holomorphe Funktion#Holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher|Ableitung]] bezüglich der ''ersten'' Variablen gebildet ist.

== Globale Eigenschaften ==

=== Funktionalgleichung und Meromorphie ===

Die Gammafunktion erfüllt in ihrem Definitionsbereich für alle <math> z </math> die Funktionalgleichung
: <math> z \; \Gamma(z) = \Gamma(z+1). </math>
Mittels dieser Relation ist eine [[Vollständige Induktion|induktive]] Fortsetzung (beispielsweise des Eulerschen Integrals) möglich. Es gilt für alle <math> n = 0, 1, 2, \dotsc</math>
: <math> \Gamma(z) = \frac{\Gamma(z+n+1)}{z(z+1)(z+2) \cdots (z+n)}.</math>

=== Nullstellen und Polstellen ===

Aus der vorherigen Darstellung kann gefolgert werden, dass <math>\Gamma(z)</math> zu einer auf <math>\Complex</math> meromorphen Funktion fortgesetzt werden kann, die Pole an den Stellen <math>z = 0, -1, -2, \dotsc</math> besitzt. Alle Pole sind einfach und besitzen das [[Residuum (Funktionentheorie)|Residuum]]
: <math>\operatorname{Res}_{-n}\Gamma = \frac{(-1)^n}{n!}</math>,
hierbei ist <math>n \in \mathbb N_0</math>. Nullstellen besitzt <math>\Gamma</math> keine. Das macht <math>\Gamma^{-1}</math> zu einer [[Ganze Funktion|ganzen Funktion]] mit ausschließlich einfachen Nullstellen.

=== Der Satz von Hölder ===

Der Satz von Hölder ([[Otto Hölder]] 1886)<ref>[[Otto Hölder|O. Hölder]]: ''[http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002249545 Ueber die Eigenschaft der Gammafunction keiner algebraischen Differentialgleichung zu genügen.]'' 26.&nbsp;Juni 1886, Mathematische Annalen&nbsp;28, 1887, [https://www.archive.org/stream/mathematischean04behngoog#page/n8/mode/2up S.&nbsp;1–13].</ref> ist ein Negativresultat und besagt, dass die Gammafunktion keine algebraische [[Differentialgleichung]] erfüllt, deren Koeffizienten [[rationale Funktion]]en sind. Das heißt, es gibt keine Differentialgleichung der Form <math>f(z, y(z), y'(z), \dotsc, y^{(n)}(z)) = 0</math> mit einer nichtnegativen ganzen Zahl <math>n</math> und einem [[Polynom]] <math>f \neq 0</math> in <math>y, y', \dotsc, y^{(n)}</math>, dessen Koeffizienten rationale Funktionen von <math>z</math> sind, und der Lösung <math>y = \Gamma</math>.<ref>Steven B. Bank, Robert P. Kaufman: ''[http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002315181 A note on Hölder’s theorem concerning the Gamma function.]'' Mathematische Annalen&nbsp;232, 1978, S.&nbsp;115–120 (englisch).</ref>

== Axiomatische Charakterisierung ==

=== Fortsetzung der Fakultät ===

Die Bedingungen <math>G(1) = 1</math> und <math>G(x+1) = x \cdot G(x)</math>, die die Fakultät für natürliche Zahlen eindeutig beschreiben, werden auch von anderen [[Analytische Funktion|analytischen Funktionen]] als der Gammafunktion erfüllt. Für positive <math>x</math> erfüllt beispielsweise die Funktion

: <math>G(x) = \Gamma(x) \cdot \bigl(1 + c\,\sin(2\pi x)\bigr)</math>

für <math>0<c<1</math> die charakteristischen Bedingungen der Gammafunktion. Weierstraß fügte 1854 daher die notwendige und hinreichende Bedingung

: <math>\lim_{n \to \infty} \frac{G(x+n)}{G(n)\,n^x} = 1</math>

hinzu,<ref>[[Karl Weierstraß]]: ''[http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002149141 Über die Theorie der analytischen Facultäten.]'' (20.&nbsp;Mai 1854), Journal für die reine und angewandte Mathematik&nbsp;51, 1856, [https://books.google.com/books?id=DQwPAAAAIAAJ&pg=PA36 S.&nbsp;36].</ref><ref>Nielsen: ''Handbuch der Theorie der Gammafunktion.'' 1906, [https://books.google.de/books?id=cog1xpHvkucC&pg=PA3 S.&nbsp;3].</ref> womit aber die Suche nach einer möglichst elementaren oder natürlichen charakterisierenden Eigenschaft nicht beendet war.<ref>Davis: ''Leonhard Euler’s integral: A historical profile of the gamma function.'' 1959, S.&nbsp;867.</ref> [[Emil Artin]] diskutierte 1931 die mögliche Kennzeichnung durch [[Funktionalgleichung]]en.<ref>Artin: ''Einführung in die Theorie der Gammafunktion.'' 1931, S. 31–35.</ref>

=== Der Satz von Bohr-Mollerup ===

Der Satz von Bohr-Mollerup ([[Harald Bohr]] und [[Johannes Mollerup]] 1922)<ref>[[Harald Bohr]], [[Johannes Mollerup]]: ''Lærebog i matematisk Analyse&nbsp;III.'' (Lehrbuch der mathematischen Analysis&nbsp;III), Jul. Gjellerups Forlag, København (Kopenhagen) 1922 (dänisch).</ref><ref>Artin: ''Einführung in die Theorie der Gammafunktion.'' 1931, S.&nbsp;12–13.</ref> erlaubt eine einfache Charakterisierung der Gammafunktion:

: Eine Funktion <math>G\colon\mathbb R_{>0}\to\mathbb R_{>0}</math> ist in diesem Bereich genau dann gleich der Gammafunktion, wenn gilt:
:# <math>G(1) = 1,</math>
:# <math>G(x+1) = x \cdot G(x),</math>
:# <math>G</math> ist [[Logarithmische Konvexität|logarithmisch konvex]], das heißt, <math>x\mapsto\log G(x)</math> ist eine [[konvexe Funktion]].

Diese Axiome sind bei [[Nicolas Bourbaki]] der Ausgangspunkt für die Darstellung der Theorie der Gammafunktion.<ref>[[Nicolas Bourbaki|N. Bourbaki]]: ''Éléments de mathématique IV. Fonctions d’une variable réelle.'' Hermann, Paris 1951 (französisch).</ref>

=== Der Satz von Wielandt ===

Der Satz von Wielandt über die Gammafunktion ([[Helmut Wielandt]] 1939)<ref>[[Konrad Knopp]]: ''Funktionentheorie&nbsp;II.'' (5.&nbsp;Auflage), de Gruyter, Berlin 1941, S.&nbsp;47–49.</ref><ref>[[Reinhold Remmert]]: ''Wielandt’s theorem about the Γ-function.'' The American Mathematical Monthly&nbsp;103, 1996, S.&nbsp;214–220 (englisch).</ref> charakterisiert die Gammafunktion als [[holomorphe Funktion]] und besagt:

: Eine holomorphe Funktion <math>G</math>, definiert auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>D</math>, das den Streifen <math>S = \{ x\in\mathbb{C} \mid 1 \leq \operatorname{Re}(x) < 2 \}</math> enthält, ist genau dann gleich der Gammafunktion auf <math>D</math>, wenn gilt:
:# <math>G(1) = 1,</math>
:# <math>G(x+1) = x \cdot G(x),</math>
:# <math>|G|</math> ist auf dem Streifen <math>S</math> beschränkt, das heißt, es existiert ein <math>c > 0</math>, sodass <math>|G(x)|<c</math> für alle <math>x</math> aus <math>S</math>.

Genauer gilt <math>|\Gamma(x)| \leq \Gamma(\operatorname{Re}(x))</math> für alle <math>x</math> mit <math>\operatorname{Re}(x) > 0</math>.

== Weitere Darstellungsformen ==

Neben der Darstellung der Gammafunktion aus der Definition gibt es noch andere äquivalente Darstellungen. Eine direkte Definition von <math>\Gamma(x)</math> für alle <math>x \in \mathbb{C} \setminus \{ 0, -1, -2, \dotsc \}</math> gibt die Produktdarstellung der Gammafunktion nach [[Carl Friedrich Gauß|Gauß]],<ref>Brief von [[Carl Friedrich Gauß]] an [[Friedrich Wilhelm Bessel]] vom 21.&nbsp;November 1811, abgedruckt in [[Arthur Auwers]] (Hrsg.): ''Briefwechsel zwischen Gauss und Bessel,'' Wilhelm Engelmann, Leipzig 1880, [https://www.archive.org/stream/briefwechselzwi00berlgoog#page/n181/mode/2up S.&nbsp;151–155] (Auszug in ''[http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN236018647 Gauß: Werke. Band 10.1.]'' S.&nbsp;362–365).</ref><ref name="gauss1812">[[Carl Friedrich Gauß]]: ''[http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN35283028X_0002_2NS Disquisitiones generales circa seriem infinitam 1+… Pars I.]'' (30.&nbsp;Januar 1812), Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis recentiores&nbsp;2 (classis mathematicae), 1813, [https://books.google.de/books?id=xVrNAAAAMAAJ&pg=RA7-PA26 S.&nbsp;26] (lateinisch; auch in ''Gauß: Werke. Band 3.'' [https://books.google.com/books?id=uDMAAAAAQAAJ&pg=PA145 S.&nbsp;145]).</ref>

: <math>\Gamma(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{n!\,n^x}{x(x+1)(x+2) \dotsm (x+n)},</math>

die für positive reelle Zahlen bereits von [[Leonhard Euler|Euler]] 1729 angegeben wurde.<ref name="euler1729-10">[http://math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0715.pdf Brief] ([[PDF]]-Datei, 118&nbsp;kB) von [[Leonhard Euler]] an [[Christian Goldbach]] vom 13.&nbsp;Oktober 1729, abgedruckt in Paul Heinrich Fuss (Hrsg.): ''Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle.'' (Band 1), St.-Pétersbourg 1843, [https://books.google.com/books?id=OGMSAAAAIAAJ&pg=PA1 S.&nbsp;3–7] (lateinisch).</ref> Daraus abgeleitet ist die Darstellung von <math>1 / \Gamma</math> als [[Weierstraßscher Produktsatz|Weierstraß-Produkt]]:<ref>[[Oskar Schlömilch|O. Schlömilch]]: ''Einiges über die Eulerischen Integrale der zweiten Art.'' Archiv der Mathematik und Physik&nbsp;4, 1844, [https://books.google.com/books?id=HKsKAAAAIAAJ&pg=PA171 S.&nbsp;171].</ref>

: <math>1 / \Gamma(x) = x \cdot \prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{x}{n}\right) \mathrm{e}^{-x \log(\frac{n+1}{n})} = x \cdot \mathrm{e}^{\gamma\,x} \cdot \prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{x}{n}\right) \mathrm{e}^{-x/n}</math>

mit der [[Euler-Mascheroni-Konstante]]n <math>\gamma = \lim_{n \to \infty} \bigl((\tfrac{1}{1} + \tfrac {1}{2} + \tfrac {1}{3} + \dotsb + \tfrac{1}{n}) - \log n\bigr)</math>. Das zweite Produkt wird üblicherweise als Weierstraßsche Darstellung bezeichnet, [[Karl Weierstraß]] verwendete jedoch nur das erste.<ref>Remmert: ''Die Gammafunktion.'' Kapitel&nbsp;2 in ''Funktionentheorie&nbsp;2.'' 2007, [https://books.google.de/books?id=XjqMNdsP_KsC&pg=PA39 S.&nbsp;39].</ref>

Die Integraldarstellung aus der Definition geht ebenfalls auf Euler 1729 zurück,<ref name="euler1729-11">[[Leonhard Euler]]: ''[http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E019.html De progressionibus transcendentibus, seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt.]'' (28.&nbsp;November 1729), Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae&nbsp;5, 1738, [https://books.google.com/books?id=neoAAAAAYAAJ&pg=PA36 S.&nbsp;36–57] (lateinisch).</ref> sie gilt allgemeiner für komplexe Zahlen mit positivem Realteil:

: <math>\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm dt,</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; wenn &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\operatorname{Re}(x) > 0.</math>

Durch die Zerlegung dieses Integrals folgerte [[Friedrich Prym|E. F. Prym]] 1876<ref>E. Freitag, R. Busam: ''Funktionentheorie&nbsp;1.'' Springer-Verlag, ISBN 3-540-31764-3, Seite&nbsp;225.</ref> eine in ganz <math>\mathbb{C} \setminus \{0, -1, -2, -3, \dotsc \}</math> gültige Darstellung:

: <math>\Gamma(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!(n+x)} + \int _1^\infty t^{x-1}e^{-t} \mathrm dt</math>

Eine andere Variante der Eulerschen Integraldarstellung<ref>Siehe Remmert: ''Funktionentheorie&nbsp;2.'' Kapitel&nbsp;2, S.&nbsp;51.</ref> gibt es für <math>x \in \mathbb{C}</math> mit <math>0 < \operatorname{Re}(x) < 1</math>:

: <math>\Gamma(x) = \mathrm{e}^{\pi \mathrm {i} x/2} \int_0^\infty t^{x-1} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} t}\,\mathrm dt</math>

Aus dieser Darstellung lassen sich zum Beispiel auf elegante Weise die Fresnelschen Integralformeln ableiten.

[[Ernst Eduard Kummer]] gab 1847 die [[Fourierreihe|Fourierentwicklung]] der logarithmischen Gammafunktion an:<ref>[[Ernst Eduard Kummer|E. E. Kummer]]: ''[http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002145839 Beitrag zur Theorie der Function <math>\textstyle \Gamma(x) = \int_0^\infty\!\mathrm{e}^{-v} v^{x-1} dv</math>.]'' Journal für die reine und angewandte Mathematik&nbsp;35, 1847, [https://books.google.de/books?id=BwkPAAAAIAAJ&pg=PA4 S.&nbsp;4].</ref>

: <math>\log\Gamma(x) = \left(\tfrac{1}{2}-x\right) \bigl(\gamma + \log(2\pi)\bigr) + \frac{1}{2} \log\frac{\pi}{\sin(\pi x)} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=2}^\infty \frac{\log k}{k} \sin(2\pi k x)</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; für &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>0 < x < 1</math>

Sie heißt auch ''Kummersche Reihe.'' Bereits 1846 fand [[Carl Johan Malmstén]] eine ähnliche Reihe:<ref>[[Carl Johan Malmstén|C. J. Malmstén]]: ''[http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN243919689_0038 De integralibus quibusdam definitis, seriebusque infinitis.]'' (1.&nbsp;Mai 1846), Journal für die reine und angewandte Mathematik&nbsp;38, 1849, [https://books.google.de/books?id=FdIGAAAAYAAJ&pg=PA25 S.&nbsp;25] (lateinisch).</ref><ref>Ia. V. Blagouchine: ''Rediscovery of Malmsten’s integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results.'' 2014, Ramanujan J., 35(1), 21–110, {{DOI|10.1007/s11139-013-9528-5}}. Erratum-Addendum {{DOI|10.1007/s11139-015-9763-z}}</ref>

: <math>\log\frac{\Gamma(\tfrac{1}{2}+x)}{\Gamma(\tfrac{1}{2}-x)}
= -2 x\,\bigl(\gamma + \log(2\pi)\bigr) + \frac{2}{\pi} \sum_{k=2}^\infty (-1)^{k} \frac{\log k}{k} \sin(2\pi k x)</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; für &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>-\tfrac{1}{2} < x < \tfrac{1}{2}</math>

== Funktionalgleichungen und spezielle Werte ==

=== Grundlegende Funktionalgleichung ===
Die Gammafunktion genügt der Funktionalgleichung

: <math>\Gamma(x+1) = x \cdot \Gamma(x)</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; mit &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\Gamma(1) = 1.</math>

=== Elementare Gammafunktionswerte von Brüchen ===
Im Folgenden wird <math>\Gamma(\tfrac{1}{2})</math> ermittelt:
: <math>\Gamma\left(\tfrac{1}{2}\right) = \int_0^\infty x^{-1/2} \exp(-x)\,\mathrm dx = 2\int_0^\infty \exp\left(-x^2\right)\,\mathrm dx </math>
: <math>\left[\int_0^\infty \exp\left(-x^2\right)\,\mathrm dx\right]^2 = \int_0^\infty 2\exp\left(-x^2\right)\left[\int_0^1 x\exp(-x^2y^2)\,\mathrm dy\right]\,\mathrm dx = \int_0^\infty\int_0^1 2x\exp\left(-x^2\right)\exp\left(-x^2y^2\right)\,\mathrm dy\,\mathrm dx = </math>
: <math> = \int_0^1\int_0^\infty 2x\exp\left(-x^2\right)\exp\left(-x^2y^2\right)\,\mathrm dx\,\mathrm dy = \int_0^1\int_0^\infty 2x\exp\left[-x^2(y^2+1)\right]\,\mathrm dx\,\mathrm dy = \int_0^1 \frac{1}{y^2+1}\mathrm dy = \frac{\pi}{4} </math>
Daraus folgt: <math>\Gamma\left(\tfrac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi} </math>

Alternativ kann dieser Gammafunktionswert mit dem [[Wallissches Produkt|Wallisschen Produkt]] ermittelt werden:
: <math>\prod_{k=1}^{\infty} \frac{4k^2}{4k^2 - 1} = \frac{\pi}{2}</math>
Dieses Produkt lässt sich auf diese Weise umformen:
: <math> \prod_{k = 1}^{\infty} \frac{4k(k+1)}{(2k+1)^2} = \frac{\pi}{4}</math>
Folgender Bruch hat folgenden Grenzwert:
: <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\Gamma(n+1)\sqrt{n+1}}{\Gamma(n+3/2)} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{\Gamma(n+1)\Gamma(n+2)}}{\Gamma(n+3/2)} = 1 </math>
Für alle n ∈ ℕ gelten folgende Ausdrücke:
: <math>\Gamma(n+1)\sqrt{n+1} = \prod_{k = 1}^{n} \sqrt{k(k+1)} </math>
: <math>\frac{1}{\Gamma(n+3/2)} = \frac{1}{\Gamma(3/2)} \prod_{k = 1}^{n} \frac{2}{2k+1} </math>
Folglich gilt diese Formel:
: <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \left[\prod_{k = 1}^{n} \sqrt{k(k+1)} \frac{1}{\Gamma(3/2)} \prod_{k = 1}^{n} \frac{2}{2k+1}\right] = 1 </math>
Die Formel wird nach Γ(3/2) aufgelöst:
: <math>\Gamma(3/2) = \lim_{n \rightarrow \infty} \left[\prod_{k = 1}^{n} \sqrt{k(k+1)} \prod_{k = 1}^{n} \frac{2}{2k+1}\right] = </math>
: <math>= \lim_{n \rightarrow \infty} \left[\prod_{k = 1}^{n} \sqrt{k(k+1)} \frac{2}{2k+1}\right] = \prod_{k = 1}^{\infty} \sqrt{k(k+1)} \frac{2}{2k+1} = </math>
: <math>= \sqrt{\prod_{k = 1}^{\infty} \frac{4k(k+1)}{(2k+1)^2}} = \sqrt{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{\pi} </math>
Daraus folgt:
: <math>\Gamma(1/2) = 2\Gamma(3/2) = \sqrt{\pi} </math>
Mit dem Ergänzungssatz der Gammafunktion (Euler 1749)<ref>[[Leonhard Euler|L. Euler]]: ''[http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E352.html Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques.]'' (1749), Histoire de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres&nbsp;17 (1761), 1768, [https://books.google.com/books?id=FVVFAAAAcAAJ&pg=PA96 S.&nbsp;96/97] (französisch).</ref><ref>L. Euler: ''[https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/421/ Evolutio formulae integralis <math>\textstyle \int\!x^{f-1}\mathrm dx(lx)^\frac{m}{n}</math> integratione a valore x=0 ad x=1 extensa.]'' 4.&nbsp;Juli 1771, Novi commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 16, 1772, [https://books.google.com/books?id=s-MAAAAAYAAJ&pg=PA121 S.&nbsp;121] (lateinisch).</ref>
: <math>\Gamma(x) \cdot \Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin(\pi x)}</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; für &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>x \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}</math>

erhält man ebenso <math>\Gamma(\tfrac{1}{2}) = \sqrt{\pi} = 1{,}77245\,38509\,05516\,02729 \dotso</math> ({{OEIS|A002161}}) sowie

: <math>\Gamma(-n+\tfrac{1}{2}) = \frac{n!\,(-4)^n}{(2n)!}\,\sqrt{\pi}</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; und &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\Gamma(n+\tfrac{1}{2}) = \frac{(2n)!}{n!\,4^n}\,\sqrt{\pi}</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; für &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>n = 0, 1, 2, \dotsc</math>

Mit allgemeiner gewähltem <math>n</math> wird aus der letzten Formel die Legendresche Verdopplungsformel (Legendre 1809)<ref>[[Adrien-Marie Legendre]]: ''Recherches sur diverses sortes d’intégrales définies.'' (13.&nbsp;November 1809), Mémoires de la classe des sciences mathématiques et physiques de l’Institut de France&nbsp;10, 1809, [https://www.archive.org/stream/mmoiresdelinst10inst#page/484/mode/2up S.&nbsp;485] (französisch).</ref>

: <math>\Gamma\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \Gamma\left(\frac{x+1}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2^{x-1}} \cdot \Gamma(x)</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; für &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>x \in \mathbb{C} \setminus \{ 0, -1, -2, \dotsc \}.</math>

Diese ist ein Spezialfall der Gaußschen Multiplikationsformel (Gauß 1812)<ref>[[Carl Friedrich Gauß]]: ''[http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN35283028X_0002_2NS Disquisitiones generales circa seriem infinitam 1+… Pars I.]'' 30.&nbsp;Januar 1812, Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis recentiores&nbsp;2 (classis mathematicae), 1813, [https://books.google.de/books?id=xVrNAAAAMAAJ&pg=RA7-PA30 S.&nbsp;30] (lateinisch; auch in ''Gauß: Werke. Band&nbsp;3,'' [https://books.google.com/books?id=uDMAAAAAQAAJ&pg=PA150 S.&nbsp;150]).</ref>

: <math>\Gamma\left(\frac{x}{n}\right) \cdot \Gamma\left(\frac{x+1}{n}\right) \cdots \Gamma\left(\frac{x+n-1}{n}\right)
= \frac{(2\pi)^{(n-1)/2}}{n^{\,x-1/2}}\cdot\Gamma(x)</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; für &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>n = 1,\,2,\,3,\,\ldots</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; und &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>x \in \mathbb{C} \setminus \{ 0, -1, -2, \dotsc \}.</math>

=== Herleitungen elliptischer Gammafunktionswerte von Brüchen ===
[[Gregory Chudnovsky]] zeigte 1975, dass jede der Zahlen <math>\Gamma(1/6)</math>, <math>\Gamma(1/4)</math>, <math>\Gamma(1/3)</math>, <math>\Gamma(2/3)</math>, <math>\Gamma(3/4)</math> und <math>\Gamma(5/6)</math> [[Transzendente Zahl|transzendent]] und [[Algebraische Unabhängigkeit|algebraisch unabhängig]] von <math>\pi</math> ist. Sie sind nicht elementar darstellbar, aber können sehr wohl über algebraische Kombinationen von vollständigen [[Elliptisches Integral|elliptischen Integralen]] erster und zweiter Art dargestellt werden. Hingegen ist beispielsweise von dem Funktionswert <math>\Gamma(1/5) = 4{,}59084\,37119\,98803\,05320\,\dotso</math> ({{OEIS|A175380}}) nicht einmal bekannt, ob er [[Irrationale Zahl|irrational]] ist. Und bei diesem Wert ist eine Darstellung aus einer algebraischen Kombination von vollständigen elliptischen Integralen erster und zweiter Art und aus algebraischen Vorfaktoren als einzige Komponenten in der betroffenen Darstellung nicht möglich.<ref>Steven R. Finch: ''Mathematical constants.'' Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, [https://books.google.com/books?id=Pl5I2ZSI6uAC&pg=PA33 S.&nbsp;33] (englisch).</ref><ref>[[Gregory Chudnovsky|Gregory V. Chudnovsky]]: ''Contributions to the theory of transcendental numbers.'' American Mathematical Society, 1984, ISBN 0-8218-1500-8, [https://books.google.com/books?id=j0o4o0IxdXYC&pg=PA8 S.&nbsp;8] (englisch).</ref>

Mit der [[Lemniskatische Konstante|lemniskatischen Konstante]] <math>\varpi</math> gilt

: <math>\Gamma\left(\frac{1}{4}\right) = 4\cdot\Gamma\left(\frac{5}{4}\right) = \sqrt{2 \varpi\,\sqrt{2 \pi}} = 3{,}62560\,99082\,21908\,31193 \dotso</math> ({{OEIS|A068466}}).
Denn es gilt Folgendes:
: <math>\Gamma\left(\frac{5}{4}\right)^2 = [\int_0^\infty \exp(-x^4)\,\mathrm dx]^2 = \int_0^1\int_0^\infty 2x\exp(-x^4)\exp(-x^4y^4)\,\mathrm dx\,\mathrm dy = \int_0^1\int_0^\infty 2x\exp[-x^4(y^4+1)]\,\mathrm dx\,\mathrm dy = </math>
: <math>= \int_0^1\int_0^\infty \exp[-x^2(y^4+1)]\,\mathrm dx\,\mathrm dy = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{y^4+1}}\mathrm{d}y\int_0^\infty \exp(-x^2)\,\mathrm dx = \frac{\varpi}{2\sqrt{2}}\int_0^\infty \exp(-x^2)\,\mathrm dx = \frac{\varpi\sqrt{\pi}}{4\sqrt{2}} </math>
Hierbei gilt folgende Formel über den Arcussinus lemniscatus: <math>\frac{1}{\sqrt{y^4+1}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\sqrt{2}\cdot\mathrm{arcsl}\left(\frac{y}{\sqrt{\sqrt{y^4+1}+1}}\right) </math>

Wegen des Ergänzungssatzes gilt:
: <math>\Gamma\left(\frac{3}{4}\right) = \sqrt{2}\pi/\Gamma\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{\sqrt[4]{\pi^3}}{\sqrt[4]{2}\sqrt{\varpi}} = \sqrt[4]{\pi}\sqrt{2E(\frac{1}{\sqrt{2}}) - K(\frac{1}{\sqrt{2}})}</math>
Hierbei ist K das vollständige [[Elliptisches Integral|elliptische Integral]] erster Ordnung und E das vollständige elliptische Integral zweiter Ordnung.

Die Gammafunktionswerte der Drittel können ebenso mit Hilfe elliptischer Integrale erster und zweiter Ordnung dargestellt werden:
: <math>\Gamma\left(\frac{1}{3}\right) = 3\cdot\Gamma\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{2^{7/9}}{3^{1/12}}{\pi}^{1/3}{K[\sin(\frac{\pi}{12})]}^{1/3}</math>
: <math>\Gamma\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{3}{2}\cdot\Gamma\left(\frac{5}{3}\right) = \frac{2^{2/9}}{3^{5/12}}{\pi}^{2/3}{K[\sin(\frac{\pi}{12})]}^{-1/3} = \frac{2^{5/9}}{3^{5/12}}{\pi}^{1/3}[{2\sqrt{3}E[\sin(\frac{\pi}{12})]-(\sqrt{3}+1)K[\sin(\frac{\pi}{12})]}]^{1/3}</math>
Denn es gilt Folgendes:
: <math>\Gamma\left(\frac{4}{3}\right)^2 = [\int_0^\infty \exp(-x^3)\,\mathrm dx]^2 = \int_0^1\int_0^\infty 2x\exp(-x^3)\exp(-x^3y^3)\,\mathrm dx\,\mathrm dy = </math>
: <math>= \int_0^1\int_0^\infty 2x\exp[-x^3(y^3+1)]\,\mathrm dx\,\mathrm dy = \int_0^1 \frac{1}{(y^3+1)^{2/3}}\mathrm{d}y\int_0^\infty 2x\exp(-x^3)\,\mathrm dx = \frac{2^{1/3}}{3^{3/4}}K[\sin(\frac{\pi}{12})]\Gamma\left(\frac{5}{3}\right) </math>
Wegen der Eulerschen Formel des Ergänzungssatzes gilt: <math>\Gamma\left(\frac{4}{3}\right)\Gamma\left(\frac{5}{3}\right) = \frac{4\pi}{9\sqrt{3}} </math>

Generell gilt folgende Formel für alle <math>n\in\N</math>:

: <math>\frac{\Gamma(1+1/n)^2}{\Gamma(1+2/n)} = \int_{0}^{1} \frac{1}{(x^n + 1)^{2/n}} \mathrm{d}x = \int_{0}^{1} \frac{1}{2^{2/n}\sqrt{1 - x^n}} \mathrm{d}x</math>
Im letzten Schritt wird auf folgende Weise substituiert: <math>x \mapsto \frac{x}{(1+\sqrt{1-x^n})^{2/n}}</math>

Auf diese Weise lassen sich alle Gamma-Funktionswerte von rationalen Zahlen ermitteln.

=== Liste elliptischer Gammafunktionswerte ===
Folgende weitere Funktionswerte der Gammafunktion lassen sich mit elliptischen Integralen erster und zweiter Ordnung darstellen:
: <math>\Gamma(1/6) = 2^{11/9} 3^{1/3} \pi^{1/6} K[\sin(\frac{\pi}{12})]^{2/3}</math>
: <math>\Gamma(5/6) = 2^{4/9} 3^{-1/3} \pi^{1/6} \{{2\sqrt{3}E[\sin(\frac{\pi}{12})]-(\sqrt{3}+1)K[\sin(\frac{\pi}{12})]}\}^{2/3}</math>
: <math>\Gamma(1/8) = 2^{17/8} \pi^{1/8} K(\frac{1}{\sqrt{2}})^{1/4} K(\sqrt{2}-1)^{1/2}</math>
: <math>\Gamma(3/8) = 2^{11/8} (\sqrt{2}-1)^{1/2} \,\pi^{1/8} [2E(\frac{1}{\sqrt{2}}) - K(\frac{1}{\sqrt{2}})]^{1/4} K(\sqrt{2}-1)^{1/2}</math>
: <math>\Gamma(5/8) = 2^{5/8} \pi^{1/8} K(\frac{1}{\sqrt{2}})^{1/4} [\sqrt{2}E(\sqrt{2}-1) - K(\sqrt{2}-1)]^{1/2}</math>
: <math>\Gamma(7/8) = 2^{-1/8} (\sqrt{2}+1)^{1/2} \pi^{1/8} [2E(\frac{1}{\sqrt{2}}) - K(\frac{1}{\sqrt{2}})]^{1/4} [\sqrt{2}E(\sqrt{2}-1) - K(\sqrt{2}-1)]^{1/2}</math>
: <math>\Gamma(1/12) = 2^{55/36} 3^{7/24} (\sqrt{3}+1)^{1/2} \pi^{1/12} K(\frac{1}{\sqrt{2}})^{1/2} K[\sin(\frac{\pi}{12})]^{1/3}</math>
: <math>\Gamma(5/12) = 2^{29/36} 3^{-1/24} (\sqrt{3}-1)^{1/2} \pi^{1/12} K(\frac{1}{\sqrt{2}})^{1/2} \{{2\sqrt{3}E[\sin(\frac{\pi}{12})]-(\sqrt{3}+1)K[\sin(\frac{\pi}{12})]}\}^{1/3}</math>
: <math>\Gamma(7/12) = 2^{19/36} 3^{1/24} (\sqrt{3}-1)^{1/2} \pi^{1/12} [2E(\frac{1}{\sqrt{2}}) - K(\frac{1}{\sqrt{2}})]^{1/2} K[\sin(\frac{\pi}{12})]^{1/3}</math>
: <math>\Gamma(11/12) = 2^{-7/36} 3^{-7/24} (\sqrt{3}+1)^{1/2} \pi^{1/12} [2E(\frac{1}{\sqrt{2}}) - K(\frac{1}{\sqrt{2}})]^{1/2} \{{2\sqrt{3}E[\sin(\frac{\pi}{12})]-(\sqrt{3}+1)K[\sin(\frac{\pi}{12})]}\}^{1/3}</math>
Weitere Beziehungen zwischen der Gammafunktion und den elliptischen Integralen:
: <math>\frac{\Gamma(21/20)^2}{\Gamma(11/10)} = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[10]{x^{20}+1}} \,\mathrm{d}x = 2^{9/10} 5^{-1/2} \sin(\frac{\pi}{5})^{1/2} \cos(\frac{\pi}{20}) K\{\sin[\frac{1}{2}\arcsin(\sqrt{5}-2)]\}</math>
: <math>\frac{\Gamma(23/20)^2}{\Gamma(13/10)} = 2^{27/10} 5^{-5/4} 3 \sin(\frac{\pi}{5})^{5/2} \cos(\frac{3\pi}{20}) K\{\sin[\frac{1}{2}\arcsin(\sqrt{5}-2)]\}</math>
: <math>\frac{\Gamma(25/24)^2}{\Gamma(13/12)} = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[12]{x^{24}+1}} \,\mathrm{d}x = 2^{-13/12} 3^{-1/4} (\sqrt{3}-1) (\sqrt{2}+1) K\{\tan[\frac{1}{4}\arcsin(\frac{1}{3})]\}</math>
: <math>\frac{\Gamma(29/24)^2}{\Gamma(17/12)} = 2^{-17/12} 3^{-3/4} 5(\sqrt{3}-1) K\{\tan[\frac{1}{4}\arcsin(\frac{1}{3})]\}</math>

=== Kurvendiskussion ===
Die Steigung der Gammafunktion an der Stelle 1 ist gleich dem Negativen der [[Euler-Mascheroni-Konstante]] <math>\gamma</math>:
: <math>\Gamma'(1) = -\gamma</math>

Die Gammafunktion hat an den Stellen <math>x=-n\ \left(n = 0, 1, 2, \dotsc\right)</math> [[Polstelle|Pole]] erster [[Polstelle#Ordnung einer Polstelle|Ordnung]]. Aus der Funktionalgleichung erhält man für die [[Residuum (Funktionentheorie)|Residuen]]

: <math>\operatorname{Res}_{x=-n} \Gamma(x) = \frac{(-1)^n}{n!}.</math>

Alternativ lassen sie sich direkt an der Formel

: <math>\Gamma(z)= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!}\frac{1}{z+n} + \int_1^\infty t^{z-1} e^{-t} \mathrm dt</math>

ablesen. Da <math>\Gamma</math> keine Nullstellen hat, ist <math>1 / \Gamma</math> eine [[ganze Funktion]].

== Zusammenhang mit der Riemannschen ζ-Funktion ==

[[Bernhard Riemann]] brachte 1859 die Gammafunktion mit der [[Riemannsche Zeta-Funktion|Riemannschen ζ-Funktion]] über die Formel

: <math>\Gamma(s)\,\zeta(s) = \int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{\mathrm{e}^x - 1}\,\mathrm dx</math>

und die folgende Feststellung in Beziehung:<ref>[[Bernhard Riemann]]: ''Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe.'' (19.&nbsp;Oktober 1859), Monatsberichte der Königlichen Preuß. Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1860, [https://books.google.de/books?id=CMgAAAAAYAAJ&pg=PA671 S.&nbsp;671–680].</ref> Der Ausdruck <math>\Gamma(s/2)\,\pi^{-s/2}\,\zeta(s)</math> „bleibt ungeändert, wenn <math>s</math> in <math>1-s</math> verwandelt wird“, also

: <math>\Gamma(s/2)\,\pi^{-s/2}\,\zeta(s) = \Gamma\bigl((1-s)/2\bigr)\,\pi^{-(1-s)/2}\,\zeta(1-s).</math>

== Näherungsweise Berechnung ==

=== Stirlingsche Formel ===

Näherungswerte der Gammafunktion für <math>x > 0</math> liefert unter anderem die [[Stirling-Formel|Stirlingsche Formel]], es gilt

: <math>\Gamma(x) = \sqrt{2\pi}\,x^{x-1/2}\,\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{e}^{\mu(x)}</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; mit &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>0 < \mu(x) < 1 / (12x).</math>

=== Rekursive Näherung ===

Aus der Funktionalgleichung

: <math>\Gamma(z+1) = z \cdot \Gamma(z),</math>

die eine Art Periodizität beinhaltet, können aus bekannten Funktionswerten in einem Streifen der Breite&nbsp;1 in <math>\operatorname{Re}(z)</math> die Werte in jedem anderen entsprechenden Streifen rekursiv berechnet werden. Mit

: <math>\log\Gamma(z) = \log\Gamma(z+1) - \log z</math>

kann man von einem Streifen auf den benachbarten mit kleinerem Realteil gelangen, und das <math>m</math>-fach.<ref>Paul Eugen Böhmer: ''Differenzengleichungen und bestimmte Integrale.'' K. F. Koehler, Leipzig 1939, S.&nbsp;108.</ref> Da es für großes <math>|z|</math> sehr gute Näherungen für <math>\log \Gamma(z)</math> gibt, kann deren Genauigkeit in Bereiche übertragen werden, in denen direkte Anwendung der betreffenden Näherung nicht anzuraten wäre. Nach Rocktäschel<ref>Otto Rudolf Rocktäschel: ''Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument.'' Dissertation, Dresden 1922, S.&nbsp;14.</ref> empfiehlt sich, wie schon von [[Carl Friedrich Gauß]] bemerkt, die aus der [[Stirling-Formel]] abgeleitete [[asymptotische Entwicklung]] in <math>z</math>

: <math>\operatorname{Ro}(z) := \frac{1}{2} \log(2\pi) + \left(z-\frac{1}{2}\right) \left(\log\left(z-\frac{1}{2}\right) - 1\right) \sim \log\Gamma(z)</math>.

Diese hat zwar im Nahbereich bei <math>z = \tfrac{1}{2}</math> eine Irregularität, ist aber schon für <math>|z| > 10</math> brauchbar. Mit dem Korrekturterm <math>-\tfrac{1}{24}\left(z-\tfrac{1}{2}\right)^{-1}</math> wird ihr Fehler auf die [[Landau-Symbol|Größenordnung]] <math>\mathcal{O}(z^{-3})</math> für unbeschränkt wachsendes <math>|z|</math> verringert.

Die <math>m</math>-fache Anwendung dieser Näherung führt auf

: <math>\log\Gamma(z) \approx \operatorname{Ro}(z+m) - \sum_{k=0}^{m-1} \log(z+k).</math>

Den komplexen Logarithmus berechnet man über die Polardarstellung von <math>z</math>. Für die meisten Anwendungen, etwa in der Wellenausbreitung,<ref>[[Karl Rawer]]: ''Wave Propagation in the Ionosphere.'' Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1993, ISBN 0-7923-0775-5 (englisch).</ref> sollte <math>m=100</math> ausreichen.

== Unvollständige Gammafunktion ==

In der Literatur wird dieser Begriff, im Hinblick auf Integrationsgrenzen und Normierung (Regularisierung), nicht einheitlich verwendet.

Häufige Notationen sind:

: <math>\gamma(a,x) = \int_0^x t^{a-1} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm dt</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; unvollständige Gammafunktion der oberen Grenze

: <math>\Gamma(a,x) = \int_x^\infty t^{a-1} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm dt</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; unvollständige Gammafunktion der unteren Grenze

: <math>\operatorname{P}(a,x) = \frac{\gamma(a,x)}{\Gamma(a)}</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; regularisierte (unvollständige) Gammafunktion der oberen Grenze

: <math>\operatorname{Q}(a,x) = \frac{\Gamma(a,x)}{\Gamma(a)}</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; regularisierte (unvollständige) Gammafunktion der unteren Grenze

Spricht man von einer regularisierten Gammafunktion, so impliziert dies schon, dass sie unvollständig ist.

: <math>\Gamma(a,x,y) = \int_x^y t^{a-1} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm dt</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; oder &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\Gamma(a,x,y) = \frac{1}{\Gamma(a)}\int_x^y t^{a-1} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm dt</math>

steht für die verallgemeinerte unvollständige Gammafunktion.

== Verallgemeinerung ==

Eine Verallgemeinerung ist die [[multivariate Gammafunktion]], welche in der [[Wishart-Verteilung]] anzutreffen ist.

== Siehe auch ==

* [[Digamma-Funktion]]
* [[Meijersche G-Funktion]]
* [[Eulersche Betafunktion]]
* [[Elliptisches Integral]]

== Literatur ==

* [[Niels Nielsen (Mathematiker)|Niels Nielsen]]: ''Handbuch der Theorie der Gammafunktion.'' B. G. Teubner, Leipzig 1906 ([https://www.archive.org/details/handbuchgamma00nielrich im Internetarchiv], [https://www.archive.org/details/handbuchdertheo00nielgoog dito], [https://www.archive.org/details/handbuchdertheo01nielgoog dito]).
* [[Edmund Taylor Whittaker|E. T. Whittaker]], [[George Neville Watson|G. N. Watson]]: ''The Gamma function.'' Kapitel&nbsp;12 in ''A course of modern analysis.'' Cambridge University Press, 4.&nbsp;Ausgabe 1927; Neuauflage 1996, ISBN 0-521-58807-3, S.&nbsp;235–264 (englisch; [https://www.archive.org/details/ACourseOfModernAnalysis im Internetarchiv]).
* [[Emil Artin]]: ''Einführung in die Theorie der Gammafunktion.'' B. G. Teubner, Leipzig 1931; ''The Gamma function.'' Holt, Rinehart and Winston, New York 1964 (englische Übersetzung von Michael Butler).
* Friedrich Lösch, Fritz Schoblik: ''Die Fakultät (Gammafunktion) und verwandte Funktionen. Mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendungen.'' B. G. Teubner, Leipzig 1951.
* [[Philip J. Davis]]: ''Leonhard Euler’s integral: A historical profile of the gamma function.'' The American Mathematical Monthly&nbsp;66, 1959, S.&nbsp;849–869 (englisch; 1963 mit dem [[Chauvenet-Preis]] ausgezeichnet; [http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3104 bei MathDL]).
* [[Konrad Königsberger]]: ''Die Gammafunktion.'' Kapitel&nbsp;17 in ''Analysis&nbsp;1.'' Springer, Berlin 1990; 6.&nbsp;Auflage 2003, ISBN 3-540-40371-X, S.&nbsp;351–360.
* [[Reinhold Remmert]]: ''Die Gammafunktion.'' Kapitel&nbsp;2 in ''Funktionentheorie&nbsp;2.'' Springer, Berlin 1991; mit Georg Schumacher: 3.&nbsp;Auflage 2007, ISBN 978-3-540-40432-3, [https://books.google.de/books?id=XjqMNdsP_KsC&pg=PA31 S.&nbsp;31–73].
* [[Eberhard Freitag]], Rolf Busam: ''Die Gammafunktion.'' Kapitel&nbsp;4.1 in ''Funktionentheorie&nbsp;1.'' Springer, Berlin 1993; 4.&nbsp;Auflage 2006, ISBN 3-540-31764-3, [https://books.google.com/books?id=fp14VkqV88sC&pg=PA194 S.&nbsp;194–212].
*Jörg Arndt: ''Matters Computational, Ideas, Algorithms, Source Code''. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-14763-0, Seite 610

== Weblinks ==

* {{MathWorld|id=GammaFunction|title=Gamma Function}}
* {{PlanetMath|id=GammaFunction|title=Gamma Function|author=Aaron Krowne u.&nbsp;a.}}
* ''[http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Gamma/ Gamma Function.]'' Bei ''The Wolfram Functions Site'' (englisch; mit Berechnungsmöglichkeiten).
* [http://mryoumath.blogspot.de/ Videos über die Gamma Funktion für Anfänger.]
* https://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegralSingularValue.html

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Analytische Funktion]]