Quelltext der Seite Generator und Kogenerator

'''Generator''' und '''Kogenerator''' sind Begriffe aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Kategorientheorie]]. Es handelt sich um Objekte einer Kategorie, die zu beliebigen Objekten der Kategorie in einer bestimmten Beziehung stehen. Statt ''Generator'' und ''Kogenerator'' findet man auch die Bezeichnungen '''Separator''' und '''Koseparator'''.<ref>H. Herrlich, G. E. Strecker: ''Category Theory'', Ally and Bacon Inc. 1973, Definition 12.18</ref>

== Definitionen ==
Eine Menge <math>\{G_i\mid i\in I\}</math> von Objekten einer Kategorie <math>\mathcal{C}</math> heißt eine Menge von Generatoren für <math>\mathcal{C}</math>, wenn es zu je zwei verschiedenen [[Morphismus|Morphismen]] <math>f,g:A\rightarrow B</math> ein <math>i\in I</math> und einen Morphismus <math>h:G_i\rightarrow A</math> gibt mit <math>f\circ h \not= g\circ h</math>.

Ein Objekt <math>G</math> aus <math>\mathcal{C}</math> heißt ein Generator für <math>\mathcal{C}</math>, falls die einelementige Menge <math>\{G\}</math> ein Generator für <math>\mathcal{C}</math> ist.<ref>B. Pareigis: ''Kategorien und Funktoren'', Springer Verlag 1969, ISBN 978-3-519-02210-7, Kap. 2.10 ''Generatoren und Kogeneratoren''</ref>

[[Duale Kategorie|Dual]] dazu ist der Begriff des Kogenerators:

Eine Menge <math>\{K_i\mid i\in I\}</math> von Objekten einer Kategorie <math>\mathcal{C}</math> heißt eine Menge von Kogeneratoren für <math>\mathcal{C}</math>, wenn es zu je zwei verschiedenen Morphismen <math>f,g:A\rightarrow B</math> ein <math>i\in I</math> und einen Morphismus <math>h:B\rightarrow K_i</math> gibt mit <math>h\circ f \not= h\circ g</math>.

Ein Objekt <math>K</math> aus <math>\mathcal{C}</math> heißt ein Kogenerator für <math>\mathcal{C}</math>, falls die einelementige Menge <math>\{K\}</math> ein Kogenerator für <math>\mathcal{C}</math> ist.<ref>H. Schubert: ''Kategorien I'', Springer-Verlag 1970, ISBN 978-3-540-04865-7, Definition 10.5.1°</ref>

== Beispiele ==
* In der Kategorie <math>\mathcal{Set}</math> der Mengen ist jede nicht-leere Menge <math>G</math> ein Generator, denn sind <math>f,g:A\rightarrow B</math> verschiedene Abbildungen, etwa <math>f(a)\not= g(a)</math>, so leistet die Abbildung <math>h:G\rightarrow A</math>, die konstant gleich <math>a</math> ist, das Verlangte.
: Jede Menge <math>K</math> mit mindestens zwei Elementen ist ein Kogenerator in <math>\mathcal{Set}</math>, denn sind <math>f,g:A\rightarrow B</math> verschiedene Abbildungen, etwa <math>f(a)\not= g(a)</math>, so leistet jede Abbildung <math>h: B\rightarrow K</math>, die <math>f(a)</math> und <math>g(a)</math> auf verschiedene Elemente in <math>K</math> abbildet, das Verlangte.
* In der Kategorie <math>\mathcal{T\!op}</math> der [[Topologischer Raum|topologischen Räume]] ist jeder nicht-leere [[Diskrete Topologie|diskrete Raum]] ein Generator und jeder Raum, der einen mindestens zweielementigen [[Unterraum]] mit der [[Triviale Topologie|trivialen]] [[Teilraumtopologie]] enthält, ist ein Kogenerator.
* In der Kategorie der [[Vollständig regulärer Raum|vollständig regulären Räume]] oder in der Kategorie der [[Kompakter Raum|kompakten]] [[Hausdorffraum|Hausdorffräume]] ist das [[Einheitsintervall]] <math>[0,1]</math> ein Kogenerator.<ref>H. Herrlich, G. E. Strecker: ''Category Theory'', Ally and Bacon Inc. 1973, Beispiele 12.21 (12)</ref>
* In der Kategorie <math>\mathcal{Mod}_R</math> der Moduln über einem Ring <math>R</math> ist der als Modul aufgefasste Ring <math>R</math> ein Generator.
* Die Kategorie [[Ring (Mathematik)|Ringe mit Einselement]] besitzt keine Kogeneratoren. (Wäre nämlich <math>R</math> ein Kogenerator, so müsste es zu zwei verschiedenen Körpermorphismen <math>K\rightarrow K</math> einen Morphismus <math>h:K\rightarrow R</math> geben mit <math>h\circ f \not= h\circ g</math>. Aber Morphismen <math>h:K\rightarrow R</math> auf Körpern sind stets die [[Nullfunktion]] oder [[Injektive Funktion|injektiv]], weshalb es für Körper mit einer [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] größer als der Mächtigkeit von <math>R</math> keine solchen <math>h:K\rightarrow R</math> geben kann.)<ref>H. Herrlich, G. E. Strecker: ''Category Theory'', Ally and Bacon Inc. 1973, Beispiele 12.21 (14)</ref>

== Eigenschaften ==
=== Hom-Funktoren ===
Eine einfache Umformulierung, die von manchen Autoren als Definition verwendet wird, lautet:

Ein Objekt <math>G</math> aus <math>\mathcal{C}</math> ist genau dann ein Generator für <math>\mathcal{C}</math>, wenn der [[Hom-Funktor]] <math>\mathrm{hom}_\mathcal{C}(G,-): \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{Set}</math> [[Treuer Funktor|treu]] ist.

Dual dazu gilt

Ein Objekt <math>K</math> aus <math>\mathcal{C}</math> ist genau dann ein Kogenerator für <math>\mathcal{C}</math>, wenn der Hom-Funktor <math>\mathrm{hom}_\mathcal{C}(-,K): \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{Set}</math> treu ist.

=== Produkte und Koprodukte ===
Folgende Eigenschaften zeigen, wie Generatoren und Kogeneratoren zu beliebigen Objekten der Kategorie in Beziehung gesetzt werden können:

Ein Objekt <math>G</math> einer Kategorie <math>\mathcal{C}</math>, die beliebige [[Koprodukt]]e besitzt, ist genau dann ein Generator für <math>\mathcal{C}</math>, wenn es zu jedem Objekt <math>A</math> aus <math>\mathcal{C}</math> eine Menge <math>I</math> und einen [[Epimorphismus]] <math>\textstyle \coprod_{i \in I}G \rightarrow A</math> des <math>I</math>-fachen Koproduktes von <math>G</math> nach <math>A</math> gibt.<ref>B. Pareigis: ''Kategorien und Funktoren'', Springer Verlag 1969, ISBN 978-3-519-02210-7, Kap. 2.10 ''Generatoren und Kogeneratoren'', Lemma 2</ref>

Dual dazu gilt:

Ein Objekt <math>K</math> einer Kategorie <math>\mathcal{C}</math>, die beliebige [[Produkt und Koprodukt|Produkte]] besitzt, ist genau dann ein Kogenerator für <math>\mathcal{C}</math>, wenn es zu jedem Objekt <math>A</math> aus <math>\mathcal{C}</math> eine Menge <math>I</math> und einen [[Monomorphismus]] <math>\textstyle A\rightarrow \prod_{i \in I}K</math> von <math>A</math> in das <math>I</math>-fache Produkt von <math>K</math> gibt.<ref>H. Herrlich, G. E. Strecker: ''Category Theory'', Ally and Bacon Inc. 1973, Satz 19.6</ref>

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kategorientheorie]]