Quelltext der Seite Giuga-Zahl

Die '''Giuga-Zahlen''' sind nach dem Mathematiker [[Giuseppe Giuga]] benannte [[natürliche Zahl]]en mit speziellen Eigenschaften. Sie sind im Zusammenhang mit einer von ihm vermuteten Charakterisierung der [[Primzahl]]en von Bedeutung. Verwandt zu den Giuga-Zahlen sind die [[Vollkommene Zahl|primär pseudovollkommenen Zahlen]] und die [[Carmichael-Zahl]]en.

== Giugas Vermutung ==

Im Jahr 1950 äußerte G. Giuga die Vermutung, dass eine natürliche Zahl <math>n</math> genau dann eine [[Primzahl]] sei, wenn
:<math>\sum_{k=1}^{n-1} k^{n-1} \equiv -1 \pmod{n}</math>
gilt. Für Primzahlen folgt diese Eigenschaft aus dem [[Kleiner Fermatscher Satz|kleinen Satz von Fermat]]. Bis heute ist ungeklärt, ob auch die umgekehrte Schlussrichtung gilt. Es ist also nicht bekannt, ob es auch [[zusammengesetzte Zahl]]en mit dieser Eigenschaft gibt. Nach einem Ergebnis aus dem Jahr [[1994]] müsste eine solche Zahl mehr als 10.000 Dezimalstellen haben.

Giugas Vermutung ist äquivalent zu folgender Aussage: Keine natürliche Zahl ist zugleich Giuga- und [[Carmichael-Zahl]].

Sie ist auch äquivalent zu (Vermutung von Giuga und [[Takashi Ago]]): <math>n</math> ist genau dann prim falls

:<math>nB_{n-1} \equiv -1 \pmod n.</math>

mit den [[Bernoulli-Zahl]]en <math>B_n</math>.

== Definition ==

Eine zusammengesetzte Zahl <math>n</math> heißt ''Giuga-Zahl'', wenn für alle [[Primzahl|Primteiler]] <math>p</math> von <math>n</math> gilt: <math>p</math> teilt <math>\frac{n}{p}-1</math>.

Die zu den Giuga-Zahlen verwandten [[Carmichael-Zahl]]en besitzen eine ähnliche Charakterisierung: Eine zusammengesetzte Zahl heißt Carmichael-Zahl, wenn für alle [[Primzahl|Primteiler]] <math>p</math> von <math>n</math> gilt: <math>p-1</math> teilt <math>\frac{n}{p}-1</math>.

== Äquivalente Charakterisierungen ==

Die Giuga-Zahlen lassen sich noch auf weitere Arten charakterisieren:
Sei <math>n</math> eine zusammengesetzte Zahl und <math>P</math> die Menge der Primteiler von <math>n</math>. Dann gilt:
* Die Zahl <math>n</math> ist genau dann eine Giuga-Zahl, wenn gilt: <math>\sum_{k=1}^{n-1} k^{\varphi(n)}\equiv -1 \pmod {n}</math>.
* Die Zahl <math>n</math> ist genau dann eine Giuga-Zahl, wenn gilt: <math>n</math> ist quadratfrei und <math>\sum_{p\in P}\frac{1}{p} - \prod_{p\in P}\frac{1}{p} \in\mathbb{N}</math>
: Dies zeigt die enge Beziehung der Giuga-Zahlen zu den primär pseudovollkommenen Zahlen, die durch <math>\sum_{p\in P}\frac{1}{p} + \prod_{p\in P}\frac{1}{p} = 1</math> charakterisiert sind.
* Die Zahl <math>n</math> ist genau dann eine Giuga-Zahl, wenn gilt: <math>n B_{\varphi(n)} \equiv -1 \pmod{n}</math>.
Dabei bezeichnet <math>\varphi</math> die [[Eulersche φ-Funktion]] und <math>B</math> die [[Bernoulli-Zahlen]].

== Beispiele ==
'''Beispiel 1:'''

Sei <math>n:=30.</math>

Dann hat <math>n</math> die Primteiler <math>p=2, 3</math> und <math>5</math>. Es gilt:
:<math>
\begin{align}
p=2 & \quad \text{teilt} & \frac{n}{p}-1=\frac{30}{2}-1 & = & 15-1 & = & 14 \\
p=3 & \quad \text{teilt} & \frac{n}{p}-1=\frac{30}{3}-1 & = & 10-1 & = & 9 \\
p=5 & \quad \text{teilt} & \frac{n}{p}-1=\frac{30}{5}-1 & = & 6-1 & = & 5
\end{align}
</math>
Somit ist <math>n=30</math> eine Giuga-Zahl.

'''Beispiel 2:'''

Die ersten sieben Giuga-Zahlen lauten:

30, 858, 1722, 66198, 2214408306, 24423128562, 432749205173838 … ({{OEIS|A007850}})

== Die bisher bekannten Giuga-Zahlen ==
* 3 Faktoren:
** 30 = 2 · 3 · 5
* 4 Faktoren:
** 858 = 2 · 3 · 11 · 13
** 1722 = 2 · 3 · 7 · 41
* 5 Faktoren:
** 66.198 = 2 · 3 · 11 · 17 · 59
* 6 Faktoren:
** 2.214.408.306 = 2 · 3 · 11 · 23 · 31 · 47.057
** 24.423.128.562 = 2 · 3 · 7 · 43 · 3041 · 4447
* 7 Faktoren:
** 432.749.205.173.838 = 2 · 3 · 7 · 59 · 163 · 1381 · 775.807
** 14.737.133.470.010.574 = 2 · 3 · 7 · 71 · 103 · 67.213 · 713.863
** 550.843.391.309.130.318 = 2 · 3 · 7 · 71 · 103 · 61.559 · 29.133.437
* 8 Faktoren:
** 244.197.000.982.499.715.087.866.346 = 2 · 3 · 11 · 23 · 31 · 47.137 · 28.282.147 · 3.892.535.183
** 554.079.914.617.070.801.288.578.559.178 = 2 · 3 · 11 · 23 · 31 · 47.059 · 2.259.696.349 · 110.725.121.051
** 1.910.667.181.420.507.984.555.759.916.338.506 = 2 · 3 · 7 · 43 · 1831 · 138.683 · 2.861.051 · 1.456.230.512.169.437
* 10 Faktoren:
** 4.200.017.949.707.747.062.038.711.509.670.656.632.404.195.753.751.630.609.228.764.416.142.557.211.582.098.432.545.190.323.474.818 = 2 · 3 · 11 · 23 · 31 · 47.059 · 2.217.342.227 · 1.729.101.023.519 · 8.491.659.218.261.819.498.490.029.296.021 · 58.254.480.569.119.734.123.541.298.976.556.403

== Eigenschaften ==

* Alle Giuga-Zahlen sind quadratfrei.
* Alle Giuga-Zahlen sind [[Abundante Zahl|abundant]].
* Es existieren nur endlich viele Giuga-Zahlen mit einer vorgegebenen Anzahl von Primfaktoren.
* Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele Giuga-Zahlen gibt.
* Alle bekannten Giuga-Zahlen sind gerade. Eine ungerade Giuga-Zahl müsste aus mindestens 14 Primfaktoren bestehen. Da alle Carmichael-Zahlen ungerade sind, wäre auch Giugas Vermutung bewiesen, wenn man beweisen könnte, dass alle Giuga-Zahlen gerade sind.

== Literatur ==

* G. Giuga: ''Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi''. Ist. Lombardo Sci. Lett. Rend. A, '''83''':511-528, 1950
* T. Agoh: ''On Giuga’s conjecture''. Manuscripta Math. '''87'''(4): 501-510, 1995
* D. Borwein, J. M. Borwein, P. B. Borwein und R. Girgensohn: ''Giuga's Conjecture on Primality''. Amer. Math. Monthly '''103''':40-50, 1996
* Sorini L. "Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga", Facoltà di Economia, Università degli Studi di Urbino Carlo Bo, Quaderni di Economia, Matematica e Statistica, n. '''68''', Ottobre (2001) ISSN 1720-9668.
[[Kategorie:Primzahl]]