Quelltext der Seite Gromovs Satz über Betti-Zahlen

In der [[Mathematik]] ist '''Gromovs Satz über Betti-Zahlen''' ein [[Lehrsatz]] der globalen [[Riemannsche Geometrie|riemannschen Geometrie]] von [[Michail Leonidowitsch Gromow]].

== Satz ==

Sei <math>M</math> eine <math>n</math>-dimensionale [[Satz von Hopf-Rinow|vollständige]] [[riemannsche Mannigfaltigkeit]] nichtnegativer [[Schnittkrümmung]]. Dann gilt für die [[Betti-Zahl]]en (mit [[Homologie mit Koeffizienten|Koeffizienten]] in einem beliebigen [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>F</math>):
:<math>\sum_{i=0}^n b_i(M;F)\le 10^{10n^4}</math>.
(Gromovs ursprüngliche Abschätzung war doppelt-exponentiell<ref>M. Gromov, Curvature, diameter and Betti numbers, Comment. Math. Helv. 56 (1981), no. 2, 179–195. ([https://www.ihes.fr/~gromov/distancegeometry/101/ online])</ref>, die obige Verbesserung geht auf Abresch<ref>U. Abresch, Lower curvature bounds, Toponogov’s theorem, and bounded topology. II. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 20 (1987), no. 3, 475–502.</ref> zurück. Die vermutete optimale rechte Seite ist <math>2^n</math>.)

Allgemeiner beweist Gromov, dass für eine <math>n</math>-dimensionale [[Geschlossene Mannigfaltigkeit|geschlossene]] riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung <math>K\ge-\kappa^2</math> und [[Durchmesser#Durchmesser in metrischen Räumen|Durchmesser]] <math>D</math> die Ungleichung
:<math> \sum_{i=0}^n b_i(M;F)\le C^{1+\kappa D}</math>
für eine Konstante <math>C</math> gilt.

== Weblinks ==

* Kapitel 2 in [https://arxiv.org/pdf/0707.3091.pdf Wilking: Nonnegatively and positively curved manifolds]
* [https://www.ams.org/journals/proc/1996-124-02/S0002-9939-96-03056-0/S0002-9939-96-03056-0.pdf Weiss: Curvature and finite domination]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Satz (Riemannsche Geometrie)]]