Quelltext der Seite Hyperbolische Spirale

[[Datei:Hyperbol-spiral-1.svg|mini|hochkant=1.2|Hyperbolische Spirale: Ast für <math>\varphi>0</math>]]
[[Datei:Hyperbol-spiral-2.svg|mini|hochkant=1.2|Hyperbolische Spirale: beide Äste]]
Eine '''hyperbolische Spirale''' ist eine [[ebene Kurve]], die sich in [[Polardarstellung]] durch die Gleichung
:<math>r=\frac{a}{\varphi}</math>
einer [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]] beschreiben lässt. Da sie sich auch als [[Inversion (Geometrie)|Inversion]] (Kreisspiegelung) einer [[Archimedische Spirale|archimedischen Spirale]] auffassen lässt, heißt die Kurve auch '''reziproke Spirale'''.

1704 studierte [[Pierre Varignon]] diese Kurve. Auch [[Johann I Bernoulli|Johann Bernoulli]] und [[Roger Cotes]] beschäftigten sich später damit.<ref>{{MacTutor |id=Hyperbolic |title=Hyperbolic Spiral |page=cur}}</ref>

== Beschreibung in kartesischen Koordinaten ==
Die hyperbolische Spirale mit der Polargleichung

:<math>r=\frac a \varphi \ ,\quad \varphi \ne 0</math>
lässt sich in kartesischen Koordinaten <math>(x=r\cos\varphi,\; y=r\sin\varphi)</math> durch die ''Parameterdarstellung''
* <math>x = a \frac{\cos \varphi} \varphi, \qquad y = a \frac{\sin \varphi} \varphi ,\quad \varphi \ne 0</math>
beschreiben.

Die Hyperbel in der <math>r</math>-<math>\varphi</math>-Ebene besitzt die Koordinatenachsen als Asymptoten. Die hyperbolische Spirale (in der <math>x</math>-<math>y</math>-Ebene) nähert sich für <math>\varphi \to \pm \infty</math> dem Nullpunkt an. Für <math>\varphi \to \pm 0</math> ergibt sich eine Asymptote (s. nächsten Abschnitt).

Aus der Parameterdarstellung und <math>\ \varphi=\frac a r, \ r=\sqrt{x^2+y^2}\ </math>
ergibt sich eine Darstellung mit einer ''Gleichung'':
* <math>\frac{y}{x}=\tan\big(\frac{a}{\sqrt{x^2+y^2}}\big) \ . </math>

== Eigenschaften ==
=== Asymptote ===
Wegen
:<math>\lim_{\varphi\to 0}x = a\lim_{\varphi\to 0} \frac{\cos \varphi} \varphi =\infty,\qquad
\lim_{\varphi\to 0}y = a\lim_{\varphi\to 0} \frac{\sin \varphi} \varphi = a\cdot 1=a</math>

hat die Kurve eine
* ''Asymptote'' mit der Gleichung <math>\ y=a.</math>

=== Krümmung ===
Mit der [[Krümmung#Ebene Kurven|Formel]]

:<math>\kappa = \frac{r^2 + 2(r')^2 - r\; r''}{(r^2+(r')^2)^{3/2}}</math>

für die [[Krümmung]] einer Kurve in Polardarstellung <math>\; r=r(\varphi) \;</math> und den Ableitungen <math>\;r' = \tfrac{-a}{\varphi^2}\;</math> und <math>\; r''= \tfrac{2a}{\varphi^3}\;</math> der hyperbolischen Spirale ergibt sich für die ''Krümmung''

* <math>\kappa(\varphi) = \frac{\varphi^4}{a (\varphi^2 + 1)^{3/2}}.</math>

=== Inversion einer archimedischen Spirale ===
[[Datei:Hyperbol-spiral-inv-arch-spir.svg|mini|Hyperbolische Spirale (blau) als Bild einer archimedischen Spirale (grün) bei der Spiegelung am Einheitskreis (rot)]]
Die [[Kreisspiegelung|Spiegelung am Einheitskreis]] (Inversion) lässt sich in Polarkoordinaten durch <math>\ (r,\varphi) \to (\tfrac{1}{r},\varphi)\ </math> beschreiben.

* Das Bild der [[Archimedische Spirale|archimedischen Spirale]] mit <math>\; r=\tfrac{\varphi}{a}\;</math> ist bei der Spiegelung am Einheitskreis die hyperbolische Spirale mit der Gleichung <math>\; r=\tfrac{a}{\varphi}\; .</math>

Für <math>\varphi=a</math> schneiden sich beide Kurven in einem Fixpunkt auf dem Einheitskreis.

Der [[Krümmungskreis]] der archimedischen Spirale <math>\; r=\tfrac{\varphi}{a}\;</math> im Nullpunkt hat den Radius <math>\rho_0=\tfrac{1}{2a}</math> (siehe [[Archimedische Spirale#Eigenschaften|Krümmung der archimedischen Spirale]]) und den Mittelpunkt <math>(0,\rho_0)</math>. Dieser Kreis geht bei der Kreisspiegelung in die Gerade <math>y=a</math> über (siehe [[Inversion (Geometrie)#Beispiel Kreis|Inversion]]). Also gilt:
* Das Urbild der Asymptote der hyperbolischen Spirale bei der Kreisspiegelung der archimedischen Spirale ist der Krümmungskreis der archimedischen Spirale im Nullpunkt.

;Beispiel:
Das Bild zeigt ein Beispiel mit <math>a=\pi</math>. Der Kurvenbogen der archimedischen Spirale (grün), der im Einheitskreis (rot) liegt, wird auf den Teil der hyperbolischen Spirale (blau) abgebildet, der außerhalb des Kreises liegt.

=== Bogenlänge ===
Die Länge des Bogens einer hyperbolischen Spirale zwischen zwei Punkten <math>\; (r(\varphi_1),\varphi_1),(r(\varphi_2),\varphi_2)\;</math> lässt sich mit der [[Länge (Mathematik)#Polarkoordinaten|Formel für Kurven in Polardarstellung]] berechnen:

:<math>L=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{\left(r^\prime(\varphi)\right)^2+r^2(\varphi)}\,\mathrm{d}\varphi=\cdots=a \int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\frac{\sqrt{1+\varphi^2}}{\varphi^2}\,\mathrm{d}\varphi</math>
<math>\qquad = a\Big[-\frac{\sqrt{1+\varphi^2}}{\varphi}+\ln(\varphi+\sqrt{1+\varphi^2})\Big]_{\varphi_1}^{\varphi_2}\ .</math>

[[Datei:Hyperbol-spiral-sector.svg|mini|Hyperbolische Spirale: Sektor]]

=== Sektorfläche ===
Den Flächeninhalt eines Sektors der hyperbolischen Spirale berechnet man in Polarkoordinaten:
:<math> A=\tfrac{1}{2}\int_{\varphi_1}^{\varphi_2} r(\varphi)^2\; d\varphi=\tfrac{1}{2}\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\frac{a^2}{\varphi^2}\; d\varphi= \frac{a}{2}\big(\frac{a}{\varphi_1}-\frac{a}{\varphi_2}\big)</math>
:<math>\quad =\frac{a}{2}\big(r(\varphi_1)-r(\varphi_2)\big)\ .</math>

=== Zentralprojektion einer Schraublinie ===
Die Zentralprojektion einer Schraublinie ist eine hyperbolische Spirale, falls Hauptpunkt und Augpunkt auf der Schraubachse liegen, siehe [[Schraublinie (Darstellende Geometrie)]].

== Literatur ==
* I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: ''Taschenbuch der Mathematik'', Harri Deutsch Verlag, 1983, ISBN 3871444928, S. 146.
* Hans-Jochen Bartsch, Michael Sachs: ''Taschenbuch mathematischer Formeln für Ingenieure und Naturwissenschaftler'', Carl Hanser Verlag, 2018, ISBN 3446457070, 9783446457072, S. 410.
* Kinko Tsuji, Stefan C. Müller: ''Spirals and Vortices: In Culture, Nature, and Science'', Springer, 2019, ISBN 3030057984, 9783030057985, S. 96.
* Pierre Varignon: [https://books.google.fr/books?id=o73OAAAAMAAJ&hl=fr&pg=RA1-PA94#v=onepage&q&f=false ''Nouvelle formation de Spirales – exemple II'', Mémoires de l’Académie des sciences de l’Institut de France, 1704, S. 94–103.]
* [[Friedrich Grelle]]: ''Analytische Geometrie der Ebene'', Verlag F. Brecke, 1861 [https://books.google.de/books?id=bZALAAAAYAAJ&pg=PA213&dq=parabolische+spirale&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwi07KWK_-7jAhWL16YKHbShBNA4KBDoAQhMMAY#v=onepage&q=spirallinie&f=false hyperbolische Spirale], S. 215.
* [[Jakob Philipp Kulik]]: ''Lehrbuch der höhern Analysis, Band 2'', In Commiss. bei Kronberger u. Rziwnatz, 1844, [https://books.google.de/books?id=CxoHAAAAcAAJ&pg=PA224&dq=kulik,+spirale&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwjuwIzbtO7jAhXHR5oKHQvUC5QQ6AEIKzAA#v=onepage&q=kulik%2C%20spirale&f=false Spirallinien], S. 222.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
* {{MathWorld |title=Hyperbolic Spiral |id=HyperbolicSpiral}}
* [http://jsxgraph.uni-bayreuth.de/wiki/index.php/Hyperbolic_spiral Online exploration using JSXGraph (JavaScript)]

[[Kategorie:Kurve (Geometrie)]]