Quelltext der Seite Konjugation (Gruppentheorie)

Die '''Konjugationsoperation''' ist eine [[Gruppenoperation]], die eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] in '''Konjugationsklassen''' [[Partition (Mengenlehre)|zerlegt]]. Die Elemente einer Konjugationsklasse haben viele Gemeinsamkeiten, sodass eine nähere Betrachtung dieser Klassen wichtige Einblicke in die Struktur nicht-abelscher Gruppen ermöglicht. Bei [[Abelsche Gruppe|abelschen Gruppen]] sind Konjugationsklassen nebensächlich, da jedes Gruppenelement eine eigene Konjugationsklasse bildet.

== Konjugationsoperation ==
Die Konjugationsoperation ist eine Operation einer Gruppe auf sich selbst, die entweder als Linksoperation
:<math>(g,h) \mapsto ghg^{-1}</math>
oder als Rechtsoperation
:<math>(g,h) \mapsto h^{-1}gh</math>
definiert ist.

Für die Rechtsoperation <math>(g,h) \mapsto h^{-1}gh</math> ist die exponentielle Schreibweise <math>h^{-1}gh = g^h</math> üblich.  In dieser Notation erfüllt die Konjugationsoperation die Beziehung <math>(x^g)^h = x^{gh}</math>. Im Folgenden wird die Konjugationsoperation als Linksoperation definiert.

Zwei Elemente <math>h_1</math> und <math>h_2</math> einer Gruppe G heißen zueinander konjugiert, wenn es ein Element <math>g \in G</math> gibt, sodass <math>h_1 = gh_2g^{-1}</math> ist. Die Konjugiertheit ist eine [[Äquivalenzrelation]]. Sie besitzt also folgende Eigenschaften:
* Jedes Element <math>h</math> ist konjugiert zu sich selbst ([[Reflexive Relation|Reflexivität]]).
* Ist <math>h_1</math> konjugiert zu <math>h_2</math>, so ist auch <math>h_2</math> konjugiert zu <math>h_1</math> ([[Symmetrische Relation|Symmetrie]]).
* Ist <math>h_1</math> konjugiert zu <math>h_2</math> und <math>h_2</math> konjugiert zu <math>h_3</math>, dann ist auch <math>h_1</math> konjugiert zu <math>h_3</math> ([[Transitive Relation|Transitivität]]).
Alle Elemente, die zueinander konjugiert sind, bilden jeweils eine [[Äquivalenzrelation#Äquivalenzklassen|Äquivalenzklasse]], die sogenannte Konjugationsklasse von <math>h</math>:
:<math>G \cdot h = \left\{ghg^{-1} \mid g \in G\right\}</math>
Dabei kann als <math>h</math> ein beliebiges Element der Konjugationsklasse gewählt werden. Die Konjugationsklassen sind die [[Gruppenoperation#Bahn|Bahnen]] der Konjugationsoperation.

Der [[Gruppenoperation#Stabilisator|Stabilisator]]
:<math>Z_G(x) = \left\{ g\in G \mid x=gxg^{-1} \right\}</math>
eines Elementes <math>x</math> ist der [[Zentralisator]] von <math>x</math>.

Zwei [[Untergruppe]]n <math>U</math> und <math>V</math> einer Gruppe <math>G</math> heißen konjugiert zueinander, wenn es ein <math>g \in G</math> gibt mit <math>V = gUg^{-1}</math>.

Eine Untergruppe <math>N</math> einer Gruppe <math>G</math> ist invariant unter Konjugation, wenn für alle Elemente <math>h</math> aus <math>N</math> und alle Elemente <math>g</math> aus <math>G</math> das Produkt <math>ghg^{-1}</math> wieder in <math>N</math> liegt:
: <math>gNg^{-1}= N</math>
Eine unter Konjugation invariante Untergruppe einer Gruppe wird als [[Normalteiler]] der Gruppe bezeichnet. Normalteiler erlauben die Bildung von [[Faktorgruppe]]n der Gruppe.

Zwei [[Gruppenwirkung]]en <math>G_1\times X\to X</math> und <math>G_2\times X\to X</math> heißen konjugiert zueinander, wenn <math>G_1</math> und <math>G_2</math> als Untergruppen der Automorphismengruppe <math>Aut(X)</math> konjugiert zueinander sind.

== Konjugation ==
{{Anker|Innerer Automorphismus}}
Die Konjugation mit <math>g</math> ist die Abbildung
:<math>\operatorname{int}_g \colon G \rightarrow G, \quad h \mapsto ghg^{-1}</math>.
Sie entsteht aus der Konjugationsoperation, indem <math>g</math> festgehalten wird. Die Konjugation ist ein [[Automorphismus]] von <math>G</math>. Automorphismen von <math>G</math>, die als Konjugation mit einem Element von <math>G</math> geschrieben werden können, werden als [[Automorphismus#Innere Automorphismen|innere Automorphismen]] bezeichnet.  Daher kommt auch die Bezeichnung <math>\operatorname{int}_g</math>, bei der das „int“ für „interior“ steht.<ref>[[Siegfried Bosch]]: ''Algebra''. Springer, 2004, ISBN 3-540-40388-4, S. 239</ref>
Die inneren Automorphismen <math>\operatorname{Inn}(G)</math> bilden einen [[Normalteiler]] der [[Automorphismengruppe]] von <math>G</math>.
Als Kern des [[Gruppenhomomorphismus]]
:<math>T \colon \ G \rightarrow \operatorname{Inn}(G), \quad g \mapsto \operatorname{int}_g</math>
erhält man das [[Zentrum (Algebra)|Zentrum]] <math>Z(G)</math> von <math>G</math>.
Nach dem [[Homomorphiesatz]] vermittelt die Abbildung <math>T</math> also einen [[Isomorphismus]] von <math>G / Z(G)</math> nach <math>\operatorname{Inn}(G)</math>.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Gruppentheorie]]