Quelltext der Seite Kubikzahl

{{Zeichen|1= n³ = n⋅n⋅n}}
Eine '''Kubikzahl''' (von {{laS|cubus}}, „Würfel“) ist eine Zahl, die entsteht, wenn man eine [[natürliche Zahl]] zweimal mit sich selbst [[Multiplikation|multipliziert]]. Beispielsweise ist <math>27 = 3 \cdot 3 \cdot 3</math> eine Kubikzahl. Die ersten Kubikzahlen sind
: 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, … ({{OEIS|A000578}})
Bei einigen Autoren ist die Null keine Kubikzahl, sodass die Zahlenfolge erst mit der Eins beginnt.

Die Bezeichnung Kubikzahl leitet sich von der [[Geometrische Figur|geometrischen Figur]] des [[Würfel (Geometrie)|Würfels]] her. Die Anzahl der Steine, die man zum Bauen eines Würfels benötigt, entspricht immer einer Kubikzahl. So lässt sich beispielsweise ein Würfel mit der Seitenlänge&nbsp;3 mit Hilfe von 27 Steinen legen.

Aufgrund dieser Verwandtschaft mit einer geometrischen Figur zählen die Kubikzahlen zu den [[Figurierte Zahl|figurierten Zahlen]], zu denen auch die [[Quadratzahl]]en und [[Tetraederzahl]]en gehören.

== Eigenschaften ==
* Aus den aufeinanderfolgenden Blöcken von einer, zwei, drei, vier, fünf, … [[Parität (Mathematik)|ungeraden]] natürlichen Zahlen in aufsteigender Reihenfolge lassen sich durch [[Addition|Summation]] die Kubikzahlen erzeugen:
*: <math>\underbrace{1}_{1}\ \underbrace{3\ 5}_{8}\ \underbrace{7\ 9\ 11}_{27}\ \underbrace{13\ 15\ 17\ 19}_{64}\ \underbrace{21\ 23\ 25\ 27\ 29}_{125}\ \ldots</math>
* Ausgehend von der Folge der [[Zentrierte Sechseckszahl|zentrierten Sechseckszahlen]] 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, … erhält man die <math>n</math>-te Kubikzahl als Summe der ersten <math>n</math> Folgenglieder:
*: <math>\begin{align}
1 &= 1\\
8 &= 1 + 7\\
27 &= 1 + 7 + 19\\
64 &= 1 + 7 + 19 + 37\\
125 &= 1 + 7 + 19 + 37 + 61\\
\ldots &= \ldots\end{align}
</math>
* Die Summe der ersten <math>n</math> Kubikzahlen ist gleich dem [[Quadratzahl|Quadrat]] der <math>n</math>-ten [[Dreieckszahl]]:
*: <math>\sum_{i=1}^n i^3 = 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2</math>
* Jede natürliche Zahl kann als Summe von höchstens neun Kubikzahlen dargestellt werden (Lösung des [[Waringsches Problem|Waringschen Problems]] für den Exponenten 3). Dass 9 Summanden notwendig sein können, zeigt die Zahl 23. Diese hat die Darstellung<br />&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>23 = 8 + 8 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1\,</math>,<br />aber offensichtlich keine mit weniger kubischen Summanden.
* Jede Kubikzahl lässt sich als Summe der ungeraden Zahlen zwischen zwei aufeinanderfolgenden doppelten Dreieckszahlen sowie als Differenz der Quadrate zweier sukzessiver Dreieckszahlen darstellen:
*:  <math>n^3 = \sum_{i=1}^n (n-1)n+2i-1 = {\Delta_n}^2 - {\Delta_{n-1}}^2</math>
* Die Summe zweier beliebiger Kubikzahlen kann selbst nie eine Kubikzahl sein. Anders formuliert heißt dies, dass die Gleichung<br />&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>a^3+b^3=c^3\,</math><br />keine Lösung mit natürlichen Zahlen <math>a,b,c</math> besitzt. Dieser Spezialfall der [[Großer fermatscher Satz|Fermatschen Vermutung]] wurde 1753 von [[Leonhard Euler]] bewiesen. Lässt man mehr als zwei Summanden zu, kann es vorkommen, dass eine Kubikzahl als Summe von Kuben darstellbar ist, wie das folgende Beispiel (sogar mit drei direkt aufeinanderfolgenden Kubikzahlen) zeigt:<br />&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>3^3+4^3+5^3=6^3\,</math>.
* Wenn man von der Folge der Kubikzahlen den Modulo 9 nimmt, erhält man die periodische Folge <math>0, 1, 8, \ldots</math> ({{OEIS|A167176}}). Dies ergibt sich aus <math>x^3 \bmod 9 = (x \bmod 3)^3, D = \{x \in \mathbb{Z}\}</math>. Hieraus schließt sich ebenfalls, dass eine Zahl, die als [[Summe von drei Kubikzahlen]] darstellbar ist, niemals kongruent zu 4 oder 5 mod 9 sein kann.

== Summe der Kehrwerte ==
Die Summe der [[Kehrwert]]e aller Kubikzahlen wird [[Apéry-Konstante]] genannt. Sie entspricht dem Wert der [[Riemannsche Zeta-Funktion|riemannschen <math>\zeta</math>-Funktion]] an der Stelle 3.
: <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} = \zeta{(3)} = 1{,}2020569\ldots </math>

== Erzeugende Funktion ==
Jeder Folge ganzer (oder reeller) Zahlen <math>(a_i)_{i\ge 0}</math> kann man eine [[formale Potenzreihe]] zuordnen, die sogenannte [[erzeugende Funktion]] <math>\textstyle \sum_{i \ge 0} a_i x^i</math>. In diesem Kontext ist es allerdings üblich, die Folge der Kubikzahlen mit 0 beginnen zu lassen, also die Folge <math>0, 1, 8, 27, 64, \ldots</math> zu betrachten. Die erzeugende Funktion der Kubikzahlen ist dann
: <math>\sum_{i \ge 0} i^3 x^i = x + 8x^2 + 27 x^3 + 64 x^4 + \ldots = \frac{x(x^2+4x+1)}{(x-1)^4}</math>

== Geometrische Generierung ==
{{Hauptartikel|Konstruktion mit Zirkel und Lineal}}
In der Kubikzahl <math>a^3</math> ist die Basis <math>a</math> eine [[reelle Zahl]] und der Exponent <math>3</math> eine positive [[ganze Zahl]]. Aus diesem Grund ist der [[Potenz_(Mathematik)#Potenzwert mit Zirkel und Lineal|Potenzwert]] von <math>a^3</math> auf einer [[Zahlengerade]]n als Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar.

Es ist zu unterscheiden, ob die Basis <math> a</math> größer oder kleiner als die Zahl <math>1</math> ist. Im Folgenden werden beide Möglichkeiten beschrieben.

=== Vorgehensweise für Basis > 1 ===
# Ziehe auf der Zahlengeraden einen Kreisbogen um <math>A,0</math> mit der Basis <math>a=\overline{AB}</math> als Radius, bis er die Zahlengerade in <math>B'</math> schneidet.
# Bestimme den [[Abstand]] mit der Länge <math>=1</math> zum Punkt <math>A,0</math> und errichte eine [[Orthogonalität|Senkrechte]] zur Zahlengeraden im Punkt <math>1</math>, bis sie den Kreisbogen in <math>B</math> schneidet.
# Verlängere die Basis <math>\overline{AB}</math> mit einer [[Halbgerade]]n und errichte eine Senkrechte zur Zahlengeraden im Punkt <math>B'</math>, bis sie die Halbgerade in <math>C</math> schneidet.
# Abschließend schneidet eine Senkrechte zur [[Strecke]] <math>\overline{AC}</math> im Punkt <math>C</math> die Zahlengerade in der Kubikzahl <math>\overline{AB}^3.</math>

<gallery mode="packed" heights="200">
01 Cubing a line segment.svg|Konstruktion der Kubikzahl <math>\overline{AB}^3</math> mit Basis <math>\overline{AB}>1</math>
01 Cubing a line segment-2.svg|Konstruktion der Kubikzahl <math>\overline{AB}^3</math> mit Basis <math>\overline{AB}<1</math>
</gallery>

=== Vorgehensweise für Basis < 1 ===
# Bestimme auf der Zahlengeraden die Basis <math>a</math> als Strecke <math>\overline{AB}</math>.
# Ziehe auf der Zahlengeraden einen Halbkreis um <math>B</math> mit Radius <math>\overline{AB}</math>, er schneidet die Zahlengerade in <math>C</math>.
# Bestimme auf der Zahlengeraden ab <math>B</math> die Strecke <math>\overline{BD}</math> mit der Länge <math> = 0,5</math> und ziehe einen Kreisbogen um <math>D</math> mit Radius <math>\overline{BD}</math> bis er den Halbkreis in <math>E</math> schneidet.
# Fälle das Lot von <math>E</math> auf <math>\overline{BC}</math> mit Fußpunkt <math>F</math> und verbinde den Punkt <math>B</math> mit <math>E</math>.  
# Fälle das Lot von <math>F</math> auf <math>\overline{BE}</math> mit Fußpunkt  <math>G</math>.
# Der abschließende Kreisbogen um <math>B</math> mit Radius <math>\overline{BG}</math> bis auf die Zahlengerade liefert die Kubikzahl <math>\overline{AB}^3</math> .

== Tastatur ==
Auf der deutschen [[Tastatur#PC-Tastatur|PC-Tastatur]] liegt das ³-Zeichen als dritte Belegung auf der 3-Taste und kann mit Hilfe der [[Alt Gr|Alt-Gr]]-Taste eingegeben werden. Oft kann man auch statt [[Alt Gr]] die beiden Tasten [[Steuerungstaste|Strg]] und [[Alt (Taste)|Alt]] verwenden. Bei einer [[Tastatur#Apple-Tastatur|Apple-Tastatur]] hingegen gibt es keine definierte Tastenkombination für das ³-Zeichen. Das ³-Zeichen ist mit der Codenummer <code>179</code> (hexadezimal <code>B3</code>) Bestandteil der Zeichenkodierung [[ISO 8859-1]] (bzw. [[ISO 8859-15]]) und damit auch des [[Unicodeblock Lateinisch-1, Ergänzung]].

== Siehe auch ==
* [[Zentrierte Kubikzahl]]
* [[Tausendsiebenhundertneunundzwanzig|Hardy-Ramanujan-Zahl]]
* [[Quadratzahl]]

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* {{MathWorld |id=CubicNumber |title=Cubic Number}}

[[Kategorie:Figurierte Zahl]]