Quelltext der Seite Lamé-Konstanten

Die zwei '''Lamé-Konstanten''' <math>\lambda</math> und <math>\mu</math> (nach [[Gabriel Lamé]]) sind [[Materialkonstante]]n, die im Rahmen der [[Kontinuumsmechanik]] alle Komponenten des [[Elastizitätstensor]]s eines [[isotrop]]en [[Werkstoff|Materials]] [[Elastizitätstensor#Isotropie|festlegen]]. Ihre Dimensionen entsprechen einem [[Druck (Physik)|Druck]] ([[Kraft]] pro [[Flächeninhalt|Fläche]], in [[SI-Einheiten]] <math>\mathrm{N}/\mathrm{m}^2</math>).

== Elastizitätstheorie ==
In der linearen [[Elastizitätstheorie]] wird die lineare Abhängigkeit des [[Spannungstensor]]s <math>\sigma</math> vom [[Verzerrungstensor]] <math>\varepsilon</math> durch den [[Elastizitätstensor]] <math>C</math> beschrieben ([[Hookesches Gesetz #Verallgemeinertes hookesches Gesetz|verallgemeinertes Hookesches Gesetz]]). Dieser Zusammenhang lautet in Komponentenschreibweise und mit Hilfe der [[Einsteinsche Summenkonvention|Einsteinschen Summenkonvention]]:

: <math>\sigma_{ij} = C_{ijkl} \, \varepsilon_{kl}.</math>

Dabei sind die Spannungs- und Verzerrungstensoren [[Tensor]]en 2.&nbsp;Stufe und der Elastizitätstensor ein Tensor 4.&nbsp;Stufe.

Im Falle eines isotropen Materials lässt sich dies vereinfachen zu:

: <math>\sigma_{ij} = 2 \, \mu \, \varepsilon_{ij} + \lambda \; \mathrm{Spur}(\varepsilon) \, \delta_{ij}</math>

mit
* der '''ersten Lamé-Konstante''' <math>\lambda = \frac{\nu}{1 - 2 \nu}          \cdot \frac 1 {1 + \nu} \cdot E</math>
* der '''zweiten Lamé-Konstante''' bzw. dem [[Schubmodul]] <math>\mu = G = \frac 1 2 \cdot \frac 1 {1 + \nu} \cdot E</math>
** der [[Querdehnzahl]] (Poissonzahl) <math>\nu</math>
** der [[Elastizitätsmodul]] <math>E</math>
* dem [[Kronecker-Delta]] <math>\delta_{ij}</math>
* der [[Spur (Mathematik)|Spur]].

Für weitere Formeln in Abhängigkeit von den Lamé-Konstanten siehe im Abschnitt.

=== Herleitung ===
Im Falle eines isotropen, linear elastischen Materials, d.&nbsp;h. der Spannungstensor hängt linear von den Komponenten des Verzerrungstensors ab, kann man ein skalares [[Potential (Physik)|Potenzial]] <math>U_0(\varepsilon_{ij})</math> definieren, das die Energiedichte des Materials in Abhängigkeit von der Verzerrung angibt und durch die Beziehung
: <math>\sigma_{ij}=\frac{\partial U_0}{\partial \varepsilon_{ij}}</math>
eine Spannungs-Verzerrungs-Relation definiert. Diese Funktion darf nur von [[Tensor#Invarianten von Tensoren 1. und 2. Stufe|Invarianten]] des Verzerrungstensors abhängen, da die Wahl des [[Koordinatensystem]]s nicht die Energiedichte des beschriebenen Verzerrungzustandes ändern darf. Der Verzerrungstensor ist symmetrisch, daher hat er folgende Invarianten (in der Schreibweise mit Einsteinscher Summenkonvention)
: <math>I_1=\varepsilon_{ii},</math>
: <math>I_2=\frac{1}{2}\varepsilon_{ij}\varepsilon_{ji},</math>
: <math>I_3=\frac{1}{3}\varepsilon_{ij}\varepsilon_{jk}\varepsilon_{ki}.</math>
Um eine lineare Verzerrungs-Spannungs-Relation zu erhalten, darf das Potenzial nur quadratisch von den Komponenten des Verzerrungstensors abhängen. Daher und aufgrund der Koordinateninvarianz des Potenzials muss es die Form
: <math>U_0=C_1I_1^2+C_2I_2</math>
haben, mit beliebigen Konstanten <math>C_1</math> und <math>C_2</math>. Setzt man diesen Potenzialansatz in die Spannungs-Verzerrungs-Relation ein und führt einige Umformungen durch<ref name="Kundu2012">{{Literatur |Autor=Tribikram Kundu |Titel=Ultrasonic and Electromagnetic NDE for Structure and Material Characterization |Verlag=CRC Press |Datum=2012 |ISBN=1-4398-3663-9 |Seiten=27ff. |Online={{Google Buch|BuchID=yhP2FJgn25wC}}}}</ref>, so ergibt sich die Beziehung
: <math>\sigma_{ij}=2C_1\varepsilon_{kk}\delta_{ij}+C_2\varepsilon_{ij}.</math>
Mit den Definitionen
: <math>2C_1=\lambda</math> und
: <math>C_2=2\mu</math>
nennt man nun <math>\lambda</math> und <math>\mu</math> erste und zweite Lamé-Konstante.

== Strömungslehre ==
In den [[Navier-Stokes-Gleichungen]] der [[Strömungslehre]] wird
* für die dynamische [[Scherviskosität]] (Einheit <math>\mathrm{N} \cdot \mathrm{s}/\mathrm{m}^{2}</math>) häufig das Symbol <math>\mu</math> der ''zweiten Lamé-Konstante'' verwendet und
* für die [[Volumenviskosität]] unter Umständen das Symbol <math>\lambda</math> der ''ersten Lamé-Konstante''.<ref name="Sinaiski2011">{{Literatur |Autor=Emmanuil G. Sinaiski |Titel=Hydromechanics |Verlag=John Wiley & Sons |Datum=2011 |ISBN=978-3-527-63378-4 |Seiten=30 |Online={{Google Buch|BuchID=erSASFyd7T4C|Seite=30}}}}</ref>
Diese Viskositäten sind jedoch nicht mit den obigen Lamé-Konstanten zu verwechseln, welche Elastizitätsmaße eines Festkörpers repräsentieren.
{{:Umrechnung zwischen den elastischen Konstanten}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Elastische Konstante]]
[[Kategorie:Kontinuumsmechanik]]
[[Kategorie:Strömungsmechanik]]