Quelltext der Seite Landau-Ramanujan-Konstante

Die '''Landau-Ramanujan-Konstante''' ist eine der [[Mathematische Konstante|mathematischen Konstanten]] und gehört als solche in die [[Zahlentheorie]]. Ihr Name verweist auf die beiden bedeutenden Mathematiker [[Edmund Landau]] und [[Srinivasa Ramanujan]], welche unabhängig voneinander ihre Existenz nachwiesen. Die Landau-Ramanujan-Konstante wird mit <math>K</math> bezeichnet und hat angenähert die [[Dezimalsystem|Dezimalzahldarstellung]] <math>K = 0{,}7642236535892206 \ldots</math><ref>{{Literatur |Autor=Steven R. Finch |Titel=Mathematical Constants |Reihe=Encyclopedia of Mathematics and its Applications |BandReihe=94 |Verlag=Cambridge Univity Press |Ort=Cambridge [u.&nbsp;a.] |Datum=2003 |ISBN=0-521-81805-2 |Seiten=98–104 |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Finch%2C%20Steven%20R.&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=2003519 MR2003519]}}</ref><ref>{{OEIS|A064533}}</ref>

Die Untersuchung der Landau-Ramanujan-Konstanten hängt zusammen mit der Frage, welche ''[[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]]'' sich als [[Summe]] zweier [[Quadratzahl]]en darstellen lassen, und dem daraus resultierenden Problem, den Anteil dieser Zahlen an den ''natürlichen Zahlen'' [[asymptotisch]] zu bestimmen.

== Formeln ==
Sei <math>B(x)</math> für eine [[Positive Zahl|positive reelle Zahl]] <math>x</math> die Anzahl der natürlichen Zahlen <math>n \leq x </math>, welche sich als Summe zweier Quadratzahlen darstellen lassen. Landau und Ramanujan bewiesen unabhängig voneinander, dass <math>B(x)</math> asymptotisch proportional zu <math>\frac{x}{\sqrt{\ln(x)}}</math> ist, d.&nbsp;h., es existiert der Grenzwert
: '''(I)''' <math>K = \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{B(x)}{x} \sqrt{\ln(x)}</math>,

wobei <math>\ln(x) </math> für den [[Logarithmus#Natürlicher Logarithmus|natürlichen Logarithmus]] von <math>x</math> steht. Der Grenzwert <math>K</math> wird als ''Landau-Ramanujan-Konstante'' bezeichnet.

Es gilt weiter:<ref>E. Landau: ''Über die Einteilung der positiven ganzen Zahlen in vier Klassen nach der Mindestzahl der zu ihrer additiven Zusammensetzung erforderlichen Quadrate''. In: ''Arch. Math. Phys.'', 13, 1908, S.&nbsp;305–312.</ref>
: '''(II)''' <math>
\begin{align}
K &= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \prod\limits_{p\;\text{Primzahl mit} \atop\;\ p \equiv 3 \; (\text{mod}\;4)} \bigl(1-\frac{1}{p^2}\bigr)^{-\frac{1}{2}} \\
&= \frac{\pi}{4} \cdot \prod\limits_{p\;\text{Primzahl mit} \atop\;\ p \equiv 1 \; (\text{mod}\;4)} \bigl(1-\frac{1}{p^2}\bigr)^{\frac{1}{2}} \\
\end{align}
</math>

Darüber hinaus gibt es weitere Formeln, welche die Landau-Ramanujan-Konstante in Beziehung bringen etwa mit der [[Riemannsche Zetafunktion|riemannschen Zetafunktion]], der [[Dirichletsche Betafunktion|dirichletschen Betafunktion]], der [[Euler-Mascheroni-Konstante]]n sowie der [[Lemniskatische Konstante|lemniskatischen Konstanten]].

=== Herleitung der zweiten Gleichung bei II ===
Die zweite Gleichung bei '''II''' ergibt sich aus der [[Euler-Produkt]]darstellung der ''riemannschen Zetafunktion'' <math> \zeta(z) </math> auf der [[Halbebene]] <math> \operatorname{Re}(z) > 1</math>.<ref>{{Literatur |Autor=[[Konrad Knopp]] |Titel=Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen |BandReihe=2 |Auflage=5., berichtigte |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin [u.&nbsp;a.] |Datum=1964 |ISBN=3-540-03138-3 |Seiten=461}}</ref> Denn aus ihr folgt für &nbsp; <math> z = 2 </math> &nbsp; mithilfe einer bekannten [[Kreiszahl#Formeln der Analysis|Kreiszahlformel der Analysis]]:
: <math>
\begin{align}
\frac{{\pi}^2}{6}
&= {\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}} \\
&= \zeta (2) \\
&= {\prod\limits_{p\;\text{Primzahl} } \bigl(1-\frac{1}{p^2}\bigr)^{-1}} \\
&= \frac{4}{3} \cdot A \cdot B \\
\end{align}
</math>

mit
: <math>
\begin{align}
A &= \prod\limits_{p\;\text{Primzahl mit} \atop\;\ p \equiv 1 \; (\text{mod}\;4)} \bigl(1-\frac{1}{p^2}\bigr)^{-1} \\
\end{align}
</math>

und
: <math>
\begin{align}
B &= \prod\limits_{p\;\text{Primzahl mit} \atop\;\ p \equiv 3 \; (\text{mod}\;4)} \bigl(1-\frac{1}{p^2}\bigr)^{-1} \\
\end{align}
</math>

Dabei geht in die letzte Gleichung der obigen Gleichungskette ein, dass eine Primzahl entweder gleich 2 oder ungerade ist und dabei letzterenfalls [[Division mit Rest#Modulo|modulo]] 4 entweder den Rest 1 oder 3 hat.

Also ergibt sich
: <math>
\begin{align}
\frac{1}{2} \cdot B &= \frac{{\pi}^2}{16 \cdot A} \\
\end{align}
</math>

und damit
: <math>
\begin{align}
\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot B^{\frac{1}{2}} &= {\bigl( \frac{1}{2} \cdot B \bigr)}^{\frac{1}{2}} \\
&= \frac{\pi}{4 \cdot A^{\frac{1}{2}}} = \frac{\pi}{4} \cdot {A^{-\frac{1}{2}}} \\
\end{align}
</math>&nbsp;

und schließlich die zu zeigende Gleichung.

== Siehe auch ==
* [[Mathematische Konstante]]
* [[Liste besonderer Zahlen]]

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=Steven R. Finch
   |Titel=Mathematical Constants
   |Reihe=Encyclopedia of Mathematics and its Applications
   |BandReihe=94
   |Verlag=[[Cambridge University Press]]
   |Ort=Cambridge [u.&nbsp;a.]
   |Datum=2003
   |ISBN=0-521-81805-2
   |Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Finch%2C%20Steven%20R.&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=2003519 MR2003519]}}
* {{Literatur
   |Hrsg=[[Siegfried Gottwald]]
   |Titel=Lexikon bedeutender Mathematiker
   |Verlag=Verlag Harri Deutsch
   |Ort=Thun
   |Datum=1990
   |ISBN=3-8171-1164-9}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Konrad Knopp]]
   |Titel=Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen
   |Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen
   |BandReihe=2
   |Auflage=5., berichtigte
   |Verlag=Springer-Verlag
   |Ort=Berlin [u.&nbsp;a.]
   |Datum=1964
   |ISBN=3-540-03138-3}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Daniel Shanks]]
   |Titel=The Second-Order Term in the Asymptotic Expansion of B(x)
   |Sammelwerk=[[American Mathematical Society|Mathematics of Computation]]
   |Band=18
   |Datum=1964
   |Seiten=75–86
   |JSTOR=2003407}}

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=Landau-RamanujanConstant |title=Landau-Ramanujan Constant |author=}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analytische Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Besondere Zahl]]
[[Kategorie:Srinivasa Ramanujan]]