Quelltext der Seite Lojasiewicz-Ungleichung

Die '''Łojasiewicz-Ungleichung''' (in deutschsprachiger Literatur meist: '''Lojasiewicz-Ungleichung'''; nach [[Stanisław Łojasiewicz]]) ist eine [[Ungleichung]] der [[Mathematik|mathematischen]] [[Analysis]], die vor allem in der [[Reelle Algebraische Geometrie|reellen algebraischen Geometrie]] Anwendung findet.

Anschaulich besagt sie, dass für eine [[analytische Funktion]] <math>f</math> der Abstand eines Punktes <math>x</math> von der [[Nullstellenmenge]] <math>f^{-1}(0)</math> der Funktion <math>f</math> in Abhängigkeit vom Funktionswert <math>f(x)</math> in diesem Punkt abgeschätzt werden kann. Diese Interpretation ist allerdings mit Vorsicht zu betrachten, weil die in der Ungleichung vorkommenden Konstanten von der Funktion <math>f</math> abhängen und es je nach Wahl einer Funktion <math>f</math> natürlich auch in größerer Entfernung von der Nullstellenmenge kleine Funktionswerte geben kann.

== Allgemeine Formulierung ==
Sei <math>K\subset\R^n</math> [[Kompakter Raum|kompakt]] und seien <math>f,g\colon K\to \R</math> (auf einer [[Offene Umgebung|offenen Umgebung]] von <math>K</math> definierte) analytische Funktionen mit <math>f^{-1}(0)\subset g^{-1}(0)</math>. Dann gibt es Konstanten <math>c,\alpha>0</math>, so dass für alle <math>x\in K</math> die Ungleichung
:<math>|f(x)| \ge c |g(x)|^\alpha</math>
gilt.

== Abstand zur Nullstellenmenge ==
Die allgemeine Formulierung lässt sich insbesondere auf <math>g(x)=d(x,f^{-1}(0))</math> anwenden, denn für diese Funktion ist <math>g^{-1}(0)=f^{-1}(0)</math>. Man erhält das folgende Korollar.

Für jede auf einer offenen Umgebung einer kompakten Menge <math>K\subset \R^n</math> analytische Funktion <math>f\colon K\to \R</math> gibt es Konstanten <math>c,\alpha>0</math>, so dass für alle <math>x\in K</math> die Ungleichung
:<math>|f(x)| \ge c d(x,f^{-1}(0))^\alpha</math>
gilt.

== Literatur ==
* Edward Bierstone, Pierre Milman: ''Semianalytic and subanalytic sets.'' Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 67 (1988), 5–42.

[[Kategorie:Ungleichung]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Algebraische Geometrie]]