Quelltext der Seite Margulis-Ruelle-Ungleichung

In der [[Mathematik|mathematischen]] Theorie [[Dynamisches System|dynamischer Systeme]] besagt die '''Margulis-Ruelle-Ungleichung''', dass die [[Entropie]] eines dynamischen Systems nach oben durch die Summe seiner positiven [[Lyapunov-Exponent]]en abgeschätzt werden kann.

== Mathematische Formulierung ==

Sei <math>f\colon M\to M</Math> ein <math>C^{1+\alpha}</Math>-[[Diffeomorphismus]] einer [[Kompakter Raum|kompakten]] [[Mannigfaltigkeit]] mit einem [[Maßerhaltende Abbildung|invarianten]] [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>\nu</math>. Dann gilt für die [[Kolmogorow-Sinai-Entropie]] <math>h_\nu(f)</Math> die Ungleichung
:<Math>h_\nu(f)\le \int_M \sum_{\lambda_i(x)>0}\lambda_i(x) d\nu(x)</math>,
wobei <math>\lambda_1(x),\ldots,\lambda_n(x)</math> die [[Ljapunow-Exponent]]en im Punkt <math>x\in M</math> sind und aber auf der rechten Seite jeweils nur über die in <math>x</math> positiven Ljapunow-Exponenten summiert wird.

Für [[Glattes Maß|glatte]] invariante Wahrscheinlichkeitsmaße gilt die stärkere '''Entropieformel von Pesin''':
:<Math>h_\nu(f)=\int_M \sum_{\lambda_i(x)>0}\lambda_i(x) d\nu(x)</math>.

Für nicht-glatte invariante Wahrscheinlichkeitsmaße kann jedoch eine strikte Ungleichung gelten. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn die [[nichtwandernde Menge]] endlich und [[Hyperbolische Menge|hyperbolisch]] ist. Präzise Bedingungen, wann in der Margulis-Ruelle-Ungleichung Gleichheit gilt, gibt der [[Satz von Ledrappier-Young]].

== Literatur ==
* Min Quian, Jian-Sheng Xie, Shu Zhu: ''Smooth ergodic theory for endomorphisms'', Lecture Notes in Mathematics 1978, Springer Verlag, 2009.

== Weblinks ==

* [http://www.scholarpedia.org/article/Pesin_entropy_formula Pesin entropy formula] (Scholarpedia)

[[Kategorie:Theorie dynamischer Systeme]]
[[Kategorie:Ungleichung]]