Quelltext der Seite Mathieusche Differentialgleichung

Als '''Mathieusche Differentialgleichung''' wird eine spezielle [[Lineare Abbildung|lineare]] [[gewöhnliche Differentialgleichung]] zweiter Ordnung bezeichnet. Die DGL ist nach dem Mathematiker [[Émile Léonard Mathieu]] benannt und ist ein Spezialfall der [[Hillsche Differentialgleichung|Hillschen Differentialgleichung]] mit der Parameterfunktion

:<math> q(x) = q_o + \Delta q \cdot \cos(x) </math>

Lösungen der Mathieuschen Differentialgleichung – meist in Normalform bzw. der unten angegebenen alternativen Darstellung – werden als '''Mathieu-Funktionen''' bezeichnet.
== Normalform ==

Die Gleichung wird in der Literatur in unterschiedlicher Form dargestellt. Eine als Normalform bezeichnete Gleichung<ref>Kurt Magnus: ''Schwingungen: Eine Einführung in die physikalischen Grundlagen und die theoretische Behandlung von Schwingungsproblemen.'' 8., überarb. Auflage, Vieweg+Teubner, 2008, Kapitel 4, ISBN 3-8351-0193-5.</ref> hat die Gestalt

:<math> y''(x)+[\lambda + \gamma\cos(x) ] \cdot y(x)=0. </math>

Ist <math>x</math> eine Funktion der Zeit

:<math> x\;\stackrel{!}=\;x(t) = \Omega \cdot t </math>

so stehen die Abkürzungen <math> \lambda </math> und <math> \gamma </math> für

:<math> \lambda = q_0/\Omega^2 \; ; \; \gamma = \Delta q / \Omega^2</math>

== Alternative Darstellung ==

Die DGL wird unter anderem auch folgendermaßen angegeben<ref>[http://dlmf.nist.gov/28.2 NIST Digital Library of Mathematical Functions: Mathieu Functions and Hill’s Equation] (englisch)</ref><ref>Wolfgang Demtröder: ''Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme.'' Springer, 2008, Kapitel 11.7, ISBN 3-540-79294-5.</ref>

:<math>\ y''(x)+[a-2q\cos (2x) ] \cdot y(x)=0</math>
oder
:<math>\ \ddot x(t) + \omega_0^2[1 + h \cos(\Omega t)] \cdot x(t) = 0.</math>

== Lösungseigenschaften ==

Die Mathieusche Differentialgleichung lässt sich als lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung mit zwei Gleichungen darstellen:

:<math>
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
\lambda + \gamma \cos(x) & 0 \\
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
u(x) \\
v(x) \\
\end{pmatrix}

= 

\begin{pmatrix}
u(x) \\
v(x) \\
\end{pmatrix}'

</math>

Die Koeffizientenmatrix ist hier <math>2\pi</math>-periodisch. Nach dem [[Satz von Floquet]]
lässt sich die [[Fundamentalsystem (Mathematik)|Fundamentalmatrix]] beschreiben als

:<math>
\Phi(x) = P(x)\exp(xR)
</math>

Dabei ist <math>R \in \mathbb{C}^{2 \times 2}</math> und <math>P: \mathbb{R}\rightarrow GL(m; \mathbb{C})</math>
ebenfalls <math>2\pi</math>-periodisch. Durch die Berechnung der [[Jordansche Normalform|jordanschen Normalform]]
der Matrix <math>R</math> ergeben sich zwei Fälle:

# <math>R</math> hat zwei verschiedene (komplexe) Eigenwerte <math>\gamma_1 \neq \gamma_2</math>: In diesem Fall sind die Lösungen von der Form <math>e^{\gamma_{1} x} \phi_{1}(x)</math> und <math> e^{\gamma_{2} x} \phi_{2}(x)</math>, wobei <math>\phi_1, \phi_2</math> jeweils <math>2\pi</math>-periodisch sind.
# <math>R</math> hat einen einzigen Eigenwert <math>\gamma</math>: Hier sind die Lösungen von der Gestalt <math>e^{\gamma x} \phi(x)</math> und <math> x e^{\gamma x} \phi(x)</math> mit einer <math>2\pi</math>-periodischen Funktion <math>\phi</math>.

== Siehe auch ==
* [[Parametrischer Oszillator]]
* [[Paul-Falle]]
* [[Quadrupol-Massenspektrometer]]

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
* [http://functions.wolfram.com/MathieuandSpheroidalFunctions/ List of equations and identities for Mathieu Functions] functions.wolfram.com (englisch)
* {{cite journal | author=E. Mathieu |title=Mémoire sur Le Mouvement Vibratoire d’une Membrane de forme Elliptique  |journal=Journal de Mathématiques Pures et Appliquées | year=1868 | pages=137–203 | url=http://visualiseur.bnf.fr/StatutConsulter?N=sorel2.bnf.fr-1418157930213&B=1&E=PDF&O=NUMM-16412}}
* [https://github.com/Florian-Wilhelm/Octave-Matlab/blob/main/Parametererregte_Schwingung/mathieu_dgl_1.m Mathieu’sche Differentialgleichung in der Zustandsdarstellung] Code (Octave) zur numerischen Berechnung eines Anfangswertproblems

[[Kategorie:Gewöhnliche Differentialgleichung]]
[[Kategorie:Normalform]]