Quelltext der Seite Quasi-Möbiusabbildung

In der metrischen Geometrie verallgemeinern '''Quasi-Möbiusabbildungen''' den aus der komplexen Geometrie bekannten Begriff der [[Möbiusabbildung]]. Sie kommen insbesondere als Randabbildungen von [[Quasi-Isometrie]]n [[Gromov-hyperbolischer Raum|Gromov-hyperbolischer Räume]] vor.

== Definition ==
Eine Abbildung <math>f\colon X_1\to X_2</math> zwischen [[Metrischer Raum|metrischen Räumen]] <math>(X_1,d_1)</math> und <math>(X_2,d_2)</math> heißt quasi-Möbius, wenn sie das [[Doppelverhältnis]] bis auf eine kontrollierte Abweichung erhält, wenn es also eine [[Stetige Funktion|stetige]] [[Bijektion]] <math>\eta\colon\left(0,\infty\right)\to\left(0,\infty\right)</math> mit 
:<math>\left[f(x_1),f(x_2),f(x_3),f(x_4)\right]\le\eta(\left[x_1,x_2,x_3,x_4\right])\ \ \forall x_1,x_2,x_3,x_4\in X_1</math>
gibt. Dabei ist das Doppelverhältnis von vier Punkten in einem metrischen Raum <math>(X,d)</math> definiert durch <math>\left[x_1,x_2,x_3,x_4\right]=\frac{d(x_1,x_3)d(x_2,x_4)}{d(x_1,x_4)d(x_2,x_3)}</math>. 

Wenn sogar 
:<math>\left[f(x_1),f(x_2),f(x_3),f(x_4)\right]=\left[x_1,x_2,x_3,x_4\right]\ \ \forall x_1,x_2,x_3,x_4\in X_1</math>
gilt, dann spricht man (in Verallgemeinerung des Begriffes aus der komplexen Geometrie) von einer Möbiusabbildung.

== Eigenschaften ==
Vertauschen von <math>x_1</math> und <math> x_2</math> ergibt die umgekehrte Ungleichung (mit einer anderen Funktion <Math>\eta</math>). Daraus folgt, dass das Inverse einer Quasi-Möbiusabbildung wieder eine Quasi-Möbiusabbildung ist. Weiterhin ist die Verknüpfung zweier Quasi-Möbiusaabbildungen eine Quasi-Möbiusabbildung.

Quasi-Möbiusabbildungen sind [[Quasikonforme Abbildung|quasikonform]]. Die Umkehrung gilt in [[Loewner-Raum|Loewner-Räumen]].

== Satz von Efremowitsch-Tichomirowa ==

Jede Quasi-Isometrie <math>f\colon X\to Y</math> zwischen [[Gromov-hyperbolischer Raum|<math>\delta</math>-hyperbolischen Räumen]] lässt sich zu einem [[Homöomorphismus]] der [[Rand im Unendlichen|Ränder im Unendlichen]] <math>\partial_\infty f\colon \partial_\infty X\to\partial_\infty Y</math> fortsetzen, der eine Quasi-Möbiusabbildung ist.

Dieser Satz hat eine Umkehrung für nicht-entartete <math>\delta</math>-hyperbolische Räume, d.&nbsp;h. wenn es eine Konstante <Math>C</math> gibt, so dass jeder Punkt im Abstand höchstens <Math>C</math> aller drei Seiten eines Dreiecks liegt. Unter dieser Voraussetzung lässt sich jeder 
Quasi-Möbius-Homöomorphismus <math>\partial_\infty f\colon \partial_\infty X\to\partial_\infty 
Y</math>
zu einer Quasi-Isometrie <math>f\colon X\to Y</math> fortsetzen.

== Literatur ==
* J. Väisälä: ''Quasi-Möbius maps'', J. Anal. Math. 44, 218-234 (1984/85)
* V. Efremovich, E. Tichomirova: ''Epimorphisms of hyperbolic spaces'', Izv. Ac. Nauk. 28, 1139-1144 (1964)
* F.  Paulin: ''Un groupe hyperbolique est déterminé par son bord'', J. Lond. Math. Soc. 54, 50-74 (1996)
*M. Bonk, O. Schramm: ''Embeddings of Gromov-hyperbolic spaces'', Geom. Func. Anal. 10, 266-306 (2000)

[[Kategorie:Metrische Geometrie]]