Quelltext der Seite Ramanujansche g-Funktion und G-Funktion

Die '''Ramanujanschen Funktionen g und G''' zählen zu den [[Elliptische Funktion|elliptischen Funktionen]]. Sie wurden nach dem indischen Mathematiker [[Srinivasa Ramanujan]] (श्रीनिवास रामानुजन) benannt. Diese beiden G-Funktionen stehen mit der [[Elliptische Lambda-Funktion|elliptischen Lambda-Funktion]] und der Jacobischen [[Thetafunktion]] in algebraischer Beziehung.

== Definition ==
Die Ramanujansche g-Funktion und die G-Funktion sind auf folgende Weise als unendliche Produkte<ref>{{Internetquelle |autor=Eric W. Weisstein |url=https://mathworld.wolfram.com/Ramanujang-andG-Functions.html |titel=Ramanujan g- and G-Functions |sprache=en |abruf=2021-07-12}}</ref> definiert:

:<math> g(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\exp\left(\frac{\pi}{24}\sqrt{x}\right) \prod_{a=0}^{\infty}\{1-\exp[-(2a+1)\pi\sqrt{x}]\} = \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\exp\left(\frac{\pi}{24}\sqrt{x}\right)[\exp(-\pi\sqrt{x});\exp(-2\pi\sqrt{x})]_\infty </math>
:<math> G(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\exp\left(\frac{\pi}{24}\sqrt{x}\right) \prod_{a=0}^{\infty}\{1+\exp[-(2a+1)\pi\sqrt{x}]\} = \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\exp\left(\frac{\pi}{24}\sqrt{x}\right)\frac{[\exp(-2\pi\sqrt{x});\exp(-4\pi\sqrt{x})]_\infty}{[\exp(-\pi\sqrt{x});\exp(-2\pi\sqrt{x})]_\infty} </math>
Bei den Ausdrücken mit den eckigen Klammern auf der rechten Seite sind hierbei die [[Pochhammer-Symbol]]e dargestellt.

Deswegen lassen sich diese Funktionen auch über die [[Webersche Modulfunktionen|Webersche Modulfunktion]] und die [[Dedekindsche Etafunktion]] definieren:<ref>{{Internetquelle |autor=Eric W. Weisstein |url=https://mathworld.wolfram.com/DedekindEtaFunction.html |titel=Dedekind Eta Function |sprache=en |abruf=2021-07-12}}</ref>

:<math> g(x) = 2^{-1/4}\mathfrak{f}_1(i\sqrt{x}) = 2^{-1/4}\,\eta(\tfrac{1}{2}i\sqrt{x})\,\eta(i\sqrt{x})^{-1} = </math>
:<math> = 2^{-1/4} \biggl\{\sum_{a=-\infty}^\infty (-1)^a \exp\biggl[-(6a+1)^2\frac{\pi}{24}\sqrt{x}\biggr]\biggr\} \biggl\{\sum_{a=-\infty}^\infty (-1)^a \exp\biggl[-(6a+1)^2\frac{\pi}{12}\sqrt{x}\biggr]\biggr\}^{-1} </math>
:<math> G(x) = 2^{1/4}\mathfrak{f}_1^{-1}(i\sqrt{x})\mathfrak{f}_2^{-1}(i\sqrt{x}) = 2^{-1/4}\,\eta(\tfrac{1}{2}i\sqrt{x})^{-1}\,\eta(i\sqrt{x})^{2}\,\eta(2i\sqrt{x})^{-1} </math>

Diese Summenformeln sind mit dem [[Pentagonalzahlensatz]] von den Produktformeln hergeleitet.

Alternativ können die Ramanujanschen Funktionen über die Jacobische Thetafunktion definiert werden:
:<math> g(x) = 2^{-1/12}\vartheta_{01}[0;\exp(-\pi\sqrt{x})]^{1/3}\vartheta_{10}[0;\exp(-\pi\sqrt{x})]^{-1/6}\vartheta_{00}[0;\exp(-\pi\sqrt{x})]^{-1/6} = </math>
:<math> = 2^{-1/4}\{\vartheta_{00}[\tfrac{1}{12}\pi;\exp(-\tfrac{1}{24}\pi\sqrt{x})]-\vartheta_{00}[\tfrac{5}{12}\pi;\exp(-\tfrac{1}{24}\pi\sqrt{x})]\}\{\vartheta_{00}[\tfrac{1}{12}\pi;\exp(-\tfrac{1}{12}\pi\sqrt{x})]-\vartheta_{00}[\tfrac{5}{12}\pi;\exp(-\tfrac{1}{12}\pi\sqrt{x})]\}^{-1} </math>
:<math> G(x) = 2^{-1/12}\vartheta_{00}[0;\exp(-\pi\sqrt{x})]^{1/3}\vartheta_{10}[0;\exp(-\pi\sqrt{x})]^{-1/6}\vartheta_{01}[0;\exp(-\pi\sqrt{x})]^{-1/6} </math>
Dabei gelten für die Thetafunktionen<ref>{{Internetquelle |url=https://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/EllipticThetaPrime4/introductions/JacobiThetas/ShowAll.html |titel=Derivative of the Jacobi theta function: Introduction to the Jacobi theta functions |abruf=2021-08-01}}</ref> folgende Definitionen:
:<math>\vartheta_{00}(y;z) = \prod_{n = 1}^\infty (1-z^{2n})[1+2\cos(2y)z^{2n-1}+z^{4n-2}]</math>
: <math>\vartheta_{01}(y;z) = \prod_{n = 1}^\infty (1-z^{2n})[1-2\cos(2y)z^{2n-1}+z^{4n-2}]</math>
: <math>\vartheta_{10}(y;z) = 2 z^{1/4}\cos(y)\prod_{n = 1}^\infty (1-z^{2n})[1+2\cos(2y)z^{2n}+z^{4n}]</math>

Bei beiden Ramanujanschen Funktionen werden alle positiven x-Werte reellen positiven Werten zugeordnet. Die Funktion g(x) beginnt am Punkt g(x = 0) = 0. Für positive x-Werte ist die Funktion g(x) monoton steigend. Im Gegensatz dazu weist die Funktion G(x) ein relatives Minimum bei dem Wert G(x = 1) = 1 auf.

Generell zählen alle g-Funktionswerte und G-Funktionswerte von positiven [[Rationale Zahl|rationalen]] Zahlen zur Menge der reellen positiven [[Algebraische Zahl|algebraischen]] Zahlen:

:<math>g(x \in \mathbb{Q}^+) \in \mathbb{A}^+ </math>

:<math>G(x \in \mathbb{Q}^+) \in \mathbb{A}^+ \ge 1 </math>

== Umkehrfunktionen ==
Die Umkehrfunktionen zu den Ramanujanschen Funktionen können allein mit den Integralen algebraischer Funktionen dargestellt werden. Bei diesen Integralen handelt es sich um vollständige [[Elliptisches Integral|elliptische Integrale]] erster Art.

:<math> g^{\langle -1 \rangle}(x) = 2\biggl(\int_{0}^{1} \frac{x^6}{\sqrt{y^4+2\sqrt{x^{24}+1}\,y^2+1}} \mathrm{d}y\biggr)^2\biggl(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{y^4+2\sqrt{x^{-24}+1}\,y^2+1}} \mathrm{d}y\biggr)^{-2} </math>

:<math> G^{\langle -1 \rangle}(x) = \biggl(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{y^4-2\sqrt{-x^{-24}+1}\,y^2+1}} \mathrm{d}y\biggr)^2\biggl(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{y^4+2\sqrt{-x^{-24}+1}\,y^2+1}} \mathrm{d}y\biggr)^{-2} </math>

Unter Verwendung des Ausdrucks K(x) für das vollständige elliptische Integral erster Art können diese Umkehrfunktionen auf folgende Weise formuliert werden:

:<math> g^{\langle -1 \rangle}(x) = K(\sqrt{2}x^6\sqrt{\sqrt{x^{24}+1}-x^{12}})^2 K(\sqrt{x^{24}+1}-x^{12})^{-2} </math>

:<math> G^{\langle -1 \rangle}(x) = K\biggl(\frac{1}{2}\sqrt{x^{-12}+1}+\frac{1}{2}\sqrt{-x^{-12}+1}\biggr)^2 K\biggl(\frac{1}{2}\sqrt{x^{-12}+1}-\frac{1}{2}\sqrt{-x^{-12}+1}\biggr)^{-2} </math>
Für die Umkehrfunktionen von den Funktionen g und G gelten folgende mathematische Sätze:

Wenn gilt: <math>g^{\langle -1 \rangle}(x_1 \in \mathbb{A}^+) \in \mathbb{A}^+ </math>, dann gilt: <math>g^{\langle -1 \rangle}(x_1 \in \mathbb{A}^+) \in \mathbb{Q}^+ </math>

Wenn gilt: <math>G^{\langle -1 \rangle}(x_2 \in \mathbb{A}^+) \in \mathbb{A}^+ </math>, dann gilt: <math>G^{\langle -1 \rangle}(x_2 \in \mathbb{A}^+) \in \mathbb{Q}^+ </math>

== Algebraische Beziehungen ==
Folgende Gleichungen gelten für die Ramanujanschen Funktionen:

:<math> G(x) = 2^{-1/8} g(x)^{-1/2}[\sqrt{g(x)^{24}+1}+g(x)^{12}]^{1/8} </math>

:<math> [g(x)^{-24}g(1/x)^{-24}+8]^2 = 64[g(x)^{-24}+1][g(1/x)^{-24}+1] </math>

:<math> G(x) = G(1/x) </math>

:<math> g(x)g(4/x) = 1 </math>

:<math> g(4x) = 2^{1/4}g(x)G(x) </math>

:<math> g(9x)^{12} - g(x)^{12} = 2\sqrt{2} g(x)^{9} g(9x)^{9} + 2\sqrt{2} g(x)^{3} g(9x)^{3} </math>

:<math> g(9x) = 2^{-1/6}g(x)^{1/3}\left[\sqrt{g(x)^{8}+1}\sqrt{2\sqrt{g(x)^{16}-g(x)^{8}+1}+2g(x)^{8}-1}+g(x)^{8}+\sqrt{g(x)^{16}-g(x)^{8}+1}\right]^{1/3} </math>

Einige Theoreme für Vervielfachungen mit ungeraden Quadratzahlen werden nur durch Gleichungen beschrieben, bei welchen die Lösungen für den Allgemeinfall von g und G nicht elementar dargestellt werden können. Ein solches Beispiel sind die beiden unten abgebildeten Theoreme für die Verfünfundzwanzigfachung. Diese Gleichungen sechsten Grades haben quintische Resolventen in der Bring-Jerrard-Form, deren Allgemeinfall nicht elementar lösbar ist.<ref>{{Internetquelle |autor=Eric W. Weisstein |url=https://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html |titel=Quintic Equation |sprache=en |abruf=2021-07-12}}</ref> Auch können die Jacobischen elliptischen Sinus-, Cosinus- und Delta-Funktionenswerte vom Fünftel des vollständigen elliptischen Integrals erster Ordnung für den Allgemeinfall des elliptischen Moduls auch nicht elementar dargestellt werden. Dies funktioniert jedoch sehr wohl für das Drittel<ref>http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa73/aa7316.pdf</ref> und das Neuntel des vollständigen elliptischen Integrals erster Ordnung.

:<math> g(25x)^{6} - g(x)^{6} = 2 g(x)^{5} g(25x)^{5} + 2 g(x) g(25x) </math>

:<math> G(25x)^{6} + G(x)^{6} = 2 G(x)^{5} G(25x)^{5} - 2 G(x) G(25x) </math>

:<math> g(49x)^{8} + g(x)^{8} - 7 g(x)^{4} g(49x)^{4} = 2\sqrt{2} g(x)^{7} g(49x)^{7} + 2\sqrt{2} g(x) g(49x) </math>

:<math> G(49x)^{8} + G(x)^{8} + 7 G(x)^{4} G(49x)^{4} = 2\sqrt{2} G(x)^{7} G(49x)^{7} + 2\sqrt{2} G(x) G(49x) </math>

:<math> g(121x)^{12} - g(x)^{12} = </math>

:<math> = 2\sqrt{2} g(x) g(121x) [g(x)^{2} g(121x)^{2} + 1] [g(x)^{4} g(121x)^{4} + 3 g(x)^{2} g(121x)^{2} + 1] [2 g(x)^{4} g(121x)^{4} + 3 g(x)^{2} g(121x)^{2} + 2] </math>

:<math> [g(169x)^{2} - g(x)^{2}] [g(169x)^{4} + g(x)^{4} - 7 g(x)^{2} g(169x)^{2}] \{ [g(169x)^{2} - g(x)^{2}]^4 - g(x)^{2} g(169x)^{2} [g(169x)^{2} + g(x)^{2}]^2 \} = </math>

:<math> = 8 g(x)^{13} g(169x)^{13} + 8 g(x) g(169x) </math>

Folgende Beziehungen gelten zur [[Elliptische Lambda-Funktion|elliptischen Lambdafunktion]]:<ref>{{Internetquelle |autor=Eric W. Weisstein |url=https://mathworld.wolfram.com/EllipticLambdaFunction.html |titel=Elliptic Lambda Function |sprache=en |abruf=2021-07-12}}</ref>

:<math> \lambda^*(x) = \tan\{\frac{1}{2}\arctan[g(x)^{-12}]\} = \frac{1}{2}g(x)^{-4}G(x)^{-8} = \sqrt{g(x)^{24}+1}-g(x)^{12} </math>
:<math> g(x) = \tan\{2\arctan[\lambda^*(x)]\}^{-1/12} = [2\lambda^*(x)]^{-1/12}[1-\lambda^*(x)^2]^{1/12} </math>
:<math> G(x) = \sin\{2\arcsin[\lambda^*(x)]\}^{-1/12} = [2\lambda^*(x)]^{-1/12}[1-\lambda^*(x)^2]^{-1/24} </math>
:<math> \lambda^*(4x) = \biggl[\sqrt{\sqrt{g(x)^{24}+1}+1}-g(x)^{6}\biggr]^{2}\biggl[\sqrt{\sqrt{g(x)^{24}+1}+1}+g(x)^{6}\biggr]^{-2} </math>
:<math> \lambda^*(9x) = \lambda^*(x)^3 \tan\biggl\{\arctan\biggl[\sqrt{2\sqrt{g(x)^{-16}-g(x)^{-8}+1}-g(x)^{-8}+2}+\sqrt{g(x)^{-8}+1}\biggr]-\frac{1}{4}\pi\biggr\}^4 </math>
:<math> g(25x) = g(x)^5 \left\langle\operatorname{nc}\{\tfrac{4}{5} K[\lambda^*(x)];\lambda^*(x)\} - \operatorname{nc}\{\tfrac{2}{5} K[\lambda^*(x)];\lambda^*(x)\}\right\rangle </math>

Dabei ist nc der Kehrwert der [[Jacobische elliptische Funktion|Jacobischen Funktion]] Cosinus Amplitudinis.

== Spezielle Werte ==
Werte der g-Funktion:
:<math> g(1) = 2^{-1/8} </math>
:<math> g(2) = 1 </math>
:<math> g(3) = 2^{-1/6}(2+\sqrt{3})^{1/8} </math>
:<math> g(4) = 2^{1/8} </math>
:<math> g(5) = 2^{-1/4}(\sqrt{\sqrt{5}+1}+\sqrt{2})^{1/4} </math>
:<math> g(6) = (\sqrt{2}+1)^{1/6} </math>
:<math> g(7) = 2^{-1/4}(8+3\sqrt{7})^{1/8} </math>
:<math> g(8) = 2^{1/8}(\sqrt{2}+1)^{1/8} </math>
:<math> g(9) = 2^{-1/6}(\sqrt{3}+1)^{1/12}(\sqrt{2}+\sqrt[4]{3})^{1/4} </math>
:<math> g(10) = 2^{-1/2}(\sqrt{5}+1)^{1/2} </math>
:<math> g(14) = \frac{1}{2}\sqrt{3+\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}-1} </math>
:<math> g(18) = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{1/3} </math>
:<math> g(22) = \sqrt{\sqrt{2}+1} </math>
:<math> g(26) = \frac{1}{6}\sqrt{2\sqrt{13}-2}(\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\sqrt[6]{3\sqrt{3}+\sqrt{26}}-\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\sqrt[6]{3\sqrt{3}-\sqrt{26}})+\frac{1}{3}\sqrt{\sqrt{13}+2} </math>
:<math> g(30) = (\sqrt{10}+3)^{1/6}(\sqrt{5}+2)^{1/6} </math>
:<math> g(34) = \frac{1}{4}\sqrt{14+2\sqrt{17}}+\frac{1}{4}\sqrt{2\sqrt{17}-2} </math>
:<math> g(38) = \frac{1}{6}\sqrt{\sqrt{2}+1}[(\sqrt{57}+6\sqrt{2}-1)\sqrt[3]{3\sqrt{57}-16\sqrt{2}}+(\sqrt{57}-6\sqrt{2}+1)\sqrt[3]{3\sqrt{57}+16\sqrt{2}}+2\sqrt{2}] </math>
:<math> g(42) = (2\sqrt{7}+3\sqrt{3})^{1/6}(2\sqrt{2}+\sqrt{7})^{1/6} </math>
:<math> g(46) = \frac{1}{2}\sqrt{5+\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+1} </math>
:<math> g(50) = \frac{1}{144}(\sqrt{5}+1)[2\sqrt[12]{5}(\sqrt[3]{16+6\sqrt{6}}+\sqrt[3]{16-6\sqrt{6}})+\sqrt[4]{5}(3-\sqrt{5})]^2-\frac{1}{2} </math>
:<math> g(54) = [(\sqrt{2}+1)^{3/2}+\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)^{7/6}+\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)^{5/6}]^{1/3} </math>
:<math> g(58) = \frac{1}{2}\sqrt{2\sqrt{29}+10} </math>
:<math> g(62) = \frac{1}{4}\sqrt{9+5\sqrt{2}}+\frac{1}{4}\sqrt{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{8}\sqrt{4-2\sqrt{2}}(\sqrt{7+\sqrt{31}}\sqrt[4]{4\sqrt{2}+\sqrt{31}}+\sqrt{7-\sqrt{31}}\sqrt[4]{4\sqrt{2}-\sqrt{31}}) </math>
:<math> g(66) = \frac{1}{2}\left[2(\sqrt{2}+1)(\sqrt{126+14\sqrt{33}-32\sqrt{2}}+9+\sqrt{33}-2\sqrt{2})\sqrt[4]{\sqrt{33}-4\sqrt{2}}+2(\sqrt{2}-1)(\sqrt{126+14\sqrt{33}+32\sqrt{2}}+9+\sqrt{33}+2\sqrt{2})\sqrt[4]{\sqrt{33}+4\sqrt{2}}\right]^{1/3} </math>
:<math> g(70) = \frac{1}{2}(\sqrt{5}+1)\sqrt{\sqrt{2}+1} </math>

Der Wert g(74) ist quintisch radikal beschaffen. Folglich muss für die Ermittlung dieses Wertes eine [[Gleichung fünften Grades]] gelöst werden:
:<math> g(74)^5 + g(74)^3 + g(74) - \sqrt{\sqrt{37}+6} \left[g(74)^4 - g(74)^2 + 1\right] = 0 </math>

Werte<ref>{{Internetquelle |url=https://sites.google.com/site/tpiezas/0026 |titel=0026: Part 5, Complete Elliptic Integral of the First Kind - A Collection of Algebraic Identities |abruf=2021-07-12}}</ref> der G-Funktion:
:<math> G(1) = 1 </math>
:<math> G(2) = 2^{-1/8}(\sqrt{2}+1)^{1/8} </math>
:<math> G(3) = 2^{1/12} </math>
:<math> G(4) = 2^{-3/16}(\sqrt{2}+1)^{1/4} </math>
:<math> G(5) = 2^{-1/4}(\sqrt{5}+1)^{1/4} </math>
:<math> G(6) = 2^{-1/8}(2+\sqrt{3})^{1/8}(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{1/8}(\sqrt{2}+1)^{-1/12} </math>
:<math> G(7) = 2^{1/4} </math>
:<math> G(8) = 2^{-1/4}(\sqrt{2\sqrt{2}+2}+2)^{1/8}(\sqrt{2}+1+\sqrt{2\sqrt{2}+2})^{1/8} </math>
:<math> G(9) = (2+\sqrt{3})^{1/6} </math>
:<math> G(10) = 2^{-3/8}(\sqrt{10}+3)^{1/8}(\sqrt{5}-1)^{1/4}(\sqrt{2}+1)^{1/4} </math>
:<math> G(11) = 2^{-1/4}3^{-1}(\sqrt[3]{3\sqrt{33}+17}-\sqrt[3]{3\sqrt{33}-17}+2) = 2^{1/12} T_{TRI}^{1/3} = 2^{-1/4}(T_{TRI}^2-T_{TRI}) </math>
:<math> G(13) = 2^{-1/4}(\sqrt{13}+3)^{1/4} </math>
:<math> G(15) = 2^{-1/12}(\sqrt{5}+1)^{1/3} </math>
:<math> G(17) = \frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{17}}+\frac{1}{4}\sqrt{2\sqrt{17}-6} </math>
:<math> G(19) = 2^{-1/4}3^{-2/3}(\sqrt[3]{9+\sqrt{57}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{57}}) = \tfrac{2}{3}\sqrt[4]{18}\cosh[\tfrac{1}{3}\operatorname{arcosh}(\tfrac{3}{4}\sqrt{6})] </math>
:<math> G(21) = 2^{-1/12}(3+\sqrt{7})^{1/6}(2\sqrt{7}+3\sqrt{3})^{1/12} </math>
:<math> G(23) = 2^{-1/12}3^{-2/3}(\sqrt[3]{9+\sqrt{69}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{69}}) = \tfrac{2}{3}\sqrt[4]{18}\cosh[\tfrac{1}{3}\operatorname{arcosh}(\tfrac{3}{2}\sqrt{3})] = 2^{1/4} \rho </math>
:<math> G(25) = \frac{1}{2}(\sqrt{5}+1) </math>
:<math> G(27) = 2^{1/12}3^{-1/3}(\sqrt[3]{2}+1) </math>
:<math> G(29) = 2^{-5/4}3^{-1}(\sqrt{29}-5)^{1/4}[\sqrt{29}+3+(\sqrt{3}+1)\sqrt[3]{2\sqrt{29}+6\sqrt{3}}-(\sqrt{3}-1)\sqrt[3]{2\sqrt{29}-6\sqrt{3}}] </math>
:<math> G(31) = 2^{-3/4}3^{-1}(\sqrt[3]{116+12\sqrt{93}}+\sqrt[3]{116-12\sqrt{93}}+2) = \tfrac{1}{2}\sqrt[4]{18}\operatorname{csch}[\tfrac{1}{3}\operatorname{arsinh}(\tfrac{3}{2}\sqrt{3})] = 2^{1/4} \psi </math>
:<math> G(33) = (10+3\sqrt{11})^{1/12}(2+\sqrt{3})^{1/4} </math>
:<math> G(35) = 2^{-9/4}3^{-1}(\sqrt{5}-1)[(\sqrt{7}+\sqrt{3})\sqrt[3]{\sqrt{35}+3\sqrt{3}}+(\sqrt{7}-\sqrt{3})\sqrt[3]{\sqrt{35}-3\sqrt{3}}]+2^{-1/4}3^{-1}(\sqrt{5}+1) </math>
:<math> G(37) = (\sqrt{37}+6)^{1/4} </math>
:<math> G(39) = 2^{-13/12}(\sqrt{2\sqrt{13}+7}+1)(\sqrt{13}-3)^{1/3} </math>
:<math> G(41) = \frac{1}{8}\sqrt{6\sqrt{41}+38}+\frac{1}{8}\sqrt{14-2\sqrt{41}}+\frac{1}{8}\sqrt[4]{40\sqrt{41}+8}+\frac{1}{8}\sqrt[4]{40\sqrt{41}-248} </math>
:<math> G(43) = 2^{-1/4}3^{-1}(\sqrt[3]{35+3\sqrt{129}}+\sqrt[3]{35-3\sqrt{129}}+2) = \tfrac{1}{4}\sqrt[4]{72}\operatorname{csch}[\tfrac{1}{3}\operatorname{arsinh}(\tfrac{3}{4}\sqrt{3})] </math>
:<math> G(45) = (4+\sqrt{15})^{1/6}(\sqrt{5}+2)^{1/4} </math>

Der Wert G(47) ist quintisch radikal, der Wert G(71) sogar septisch radikal beschaffen.<ref>{{Internetquelle |url=https://oeis.org/A084540 |titel=A084540 - OEIS |abruf=2021-07-12}}</ref>
:<math> [2^{-1/4}G(47)]^5 - [2^{-1/4}G(47)]^3 - 2[2^{-1/4}G(47)]^2 - 2[2^{-1/4}G(47)] - 1 = 0 </math>

Das Kürzel T_TRI steht für die [[Tribonacci-Folge|Tribonacci-Konstante]], das Kürzel ρ steht für die [[Plastische Zahl]] und das Kürzel ψ steht für die [[Supergoldener Schnitt|Supergoldene]] Zahl. Alle drei Konstanten sind die Lösungen von kubischen Gleichungen mit rationalen Koeffizienten an allen vier Gliedern:

{| class="wikitable"
!Konstante
!Algebraischer Ausdruck
!Kubische Gleichung
|-
|Tribonacci-Konstante
|<math> T_{TRI} = \tfrac{1}{3}\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}} + \tfrac{1}{3}\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}} + \tfrac{1}{3} </math>
|<math> T_{TRI}^3 - T_{TRI}^2 - T_{TRI} - 1 = 0 </math>
|-
|Plastische Zahl
|<math> \rho = \tfrac{1}{6}\sqrt[3]{12}(\sqrt[3]{9+\sqrt{69}} + \sqrt[3]{9-\sqrt{69}}) </math>
|<math> \rho^3 - \rho - 1 = 0 </math>
|-
|Supergoldene Zahl
|<math> \psi = \tfrac{1}{6}\sqrt[3]{116+12\sqrt{93}} + \tfrac{1}{6}\sqrt[3]{116-12\sqrt{93}} + \tfrac{1}{3} </math>
|<math> \psi^3 - \psi^2 - 1 = 0 </math>
|}

== Kreiszahlformeln ==
Der Mathematiker Srinivasa Ramanujan erkannte, dass diese Formel für alle positiven x-Werte gültig ist:
:<math> \frac{1}{\pi} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(4k)!}{(k!)^4} \biggl[\frac{g(x)^{12}}{8g(x)^{24}+8}\biggr]^{2k} \biggl\{\frac{[1-\lambda^*(x)^2]\sqrt{x}}{[1+\lambda^*(x)^2]^2} - \frac{\sqrt{x}E[\lambda^*(x)]}{[1+\lambda^*(x)^2]K[\lambda^*(x)]} + \frac{\pi}{4[1+\lambda^*(x)^2]K[\lambda^*(x)]^2} + \frac{k[g(x)^{24}-1]\sqrt{x}}{g(x)^{24}+1}\biggr\} </math>

Für alle positiven rationalen x-Werte entstehen in den geschweiften Klammern stets algebraische Ausdrücke.

Bei dem Wert x = 58 entsteht die weltberühmte und rasant konvergierende von Ramanujan entdeckte Summenformel für den Kehrwert der Kreiszahl:
:<math> \frac{1}{\pi} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{2\sqrt{2}(4k)!(1103 + 26390k)}{9801(k!)^4 396^{4k}} </math>

Bei dem Wert x = 22 entsteht diese ebenso sehr schnell konvergierende Summenformel:
:<math> \frac{1}{\pi} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(4k)!(19 + 280k)}{18\sqrt{11}(k!)^4 1584^{2k}} </math>

Bei dem Wert x = 10 entsteht jene auch sehr schnell konvergierende Summenformel:
:<math> \frac{1}{\pi} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{2\sqrt{2}(4k)!(1 + 10k)}{9(k!)^4 12^{4k}} </math>

== Literatur ==
* Srinivasa Ramanujan: ''Modular Equations and Approximations to pi.'' Quart. J. Pure. Appl. Math. 45, 350–372, 1913–1914.
* J. M. und P. B. Borwein: ''Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity.'' New York: Wiley, Seiten 139, 172 und 298, 1987.
* D. H. Bailey, J. M. und P. B. Borwein: ''Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi or How to Compute One Billion Digits''. The American Mathematical Monthly, Vol. 96, No. 3 (Mar., 1989), pp. 215–216
* Bruce C. Berndt, Sen–Shan Huang, Jaebum Sohn und Seung Hwan Son: ''Some theorems on the Rogers-Ramanujan continued fraction in Ramanujan's lost notebook''. pp. 19–21

== Einzelnachweise ==
<references />

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