Quelltext der Seite SL(2,R)

{{Dieser Artikel|behandelt die spezielle lineare Gruppe <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math>, für die Lie-Algebra <math>\mathfrak{sl}(2,\R)</math> siehe [[sl(2,R)]].}}
Die [[spezielle lineare Gruppe]] <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math> oder <math>\operatorname{SL}_2(\R)</math> ist die [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] der reellen <math>2 \times 2</math>-[[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] mit [[Determinante]] 1:
: <math>\mbox{SL}(2,\R) = \left\{ \left( \begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix} \right) : a,b,c,d\in\R \mbox{ und }ad-bc=1\right\}.</math>

Sie ist eine [[Lie-Gruppe]] mit vielfältigen Anwendungen in [[Geometrie]], [[Topologie (Mathematik)|Topologie]], [[Darstellungstheorie]], [[Harmonische Analysis|harmonischer Analysis]], [[Zahlentheorie]], [[Modulform]]en und [[Physik]].

== Darstellungstheorie ==

Für jede natürliche Zahl <math>d</math> gibt es eine, bis auf Isomorphismus eindeutige, <math>(d+1)</math>-dimensionale irreduzible Darstellung der <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math>. Eine explizite Realisierung dieser irreduziblen Darstellung ist wie folgt. Sei
: <math>V_d=\left\{f(x,y)=a_0x^d+a_1x^{d-1}y+a_2x^{d-2}y^2+\ldots+a_{d-1}xy^{d-1}+a_dy^d: a_0,\ldots,a_d\in\R\right\}</math>
der Vektorraum der homogenen Polynome vom Grad <math>d</math> in 2 Variablen. Dieser Vektorraum ist <math>(d+1)</math>-dimensional und <math>A\in \operatorname{SL}(2,\R)</math> wirkt durch
: <math>(Af)(x,y):=f(A^{-1}(x,y)).</math>
Die [[Veronese-Einbettung]] <math>\nu_d\colon \R P^1\to \R P^d</math> ist [[Äquivariante Abbildung|äquivariant]] bezüglich der irreduziblen Darstellung <math>\operatorname{SL}(2,\R)\to \operatorname{SL}(d+1,\R)</math>.

Die unendlich-dimensionalen Darstellungen der <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math> werden durch die [[Langlands-Klassifikation]] beschrieben.

== Lie-Algebra ==
{{Hauptartikel|sl(2,R)}}
<math>\operatorname{SL}(2,\R)</math> ist eine [[Lie-Gruppe]], ihre [[Lie-Algebra]] ist die Lie-Algebra der [[Spur (Mathematik)|spurfreien]] <math>2\times 2</math>-Matrizen
:<math>\mathfrak{sl}(2,\R)=\left\{A\in \operatorname{Mat}(2,\R): \operatorname{Sp}(A)=0\right\}</math>.
Eine Vektorraum-Basis des 3-dimensionalen Vektorraumes <math>\mathfrak{sl}(2,\R)</math> ist zum Beispiel
:<math>H=\left(\begin{array}{cc}1&0\\
0&-1\end{array}\right),\ X= \left(\begin{array}{cc}0&1\\
0&0\end{array}\right),\ Y=\left(\begin{array}{cc}0&0\\
1&0\end{array}\right)</math>
mit den [[Kommutator (Mathematik)|Kommutator-Relationen]]
:<math>\left[H,X\right]=2X,\ \left[H,Y\right]=-2Y,\ \left[X,Y\right]=H</math>.

Diese Lie-Algebra ist [[Lie-Algebra#Einfache Lie-Algebra|einfach]], sie hat zwei nicht-konjugierte [[Cartan-Algebra|Cartan-Unteralgebren]]: eine erzeugt von <math>H</math>, die andere von <math>X-Y</math>.

Die [[Killing-Form]] ist <math>B(V,W)=4\operatorname{Sp}(VW)</math>. Sie ist negativ definit auf dem von <math>X-Y</math> erzeugten Unterraum, positiv definit auf dem von <math>H</math> und <math>X+Y</math> erzeugten Unterraum.

== Lineare Algebra ==

Matrizen aus <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math> entsprechen invertierbaren linearen Abbildungen des Vektorraums <math>\R^2</math>. Die Matrix <math>\left( \begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix} \right)</math> wirkt durch
: <math>\left( \begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
x  \\
y
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
ax+by \\
cx+dy
\end{matrix} \right).</math>
Matrizen aus <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math> erhalten die Volumenform, aber im Allgemeinen nicht die euklidische Metrik des <math>\R^2</math>.

== Klassifikation der 2×2-Matrizen ==

Die [[Eigenwert]]e einer Matrix <math>A \in \operatorname{SL}(2,\R)</math> sind Nullstellen des [[Charakteristisches Polynom|charakteristischen Polynoms]]
:<math>\lambda^2 - \mathrm{Sp}(A) \lambda + 1 = 0</math>
und lassen sich nach der Lösungsformel für [[quadratische Gleichung]]en berechnen als
:<math>\lambda = \frac{\mathrm{Sp}(A) \pm \sqrt{\mathrm{Sp}(A)^2 - 4}}{2}</math>.
Man klassifiziert die Matrizen dann entsprechend der folgenden Einteilung:
* Wenn <math>\vert \operatorname{Sp}(A) \vert < 2</math>, dann ist <math>A</math> eine ''elliptische'' Matrix.
* Wenn <math>\vert \operatorname{Sp}(A) \vert = 2</math>, dann ist <math>A</math> eine ''parabolische'' Matrix.
* Wenn <math>\vert \operatorname{Sp}(A) \vert > 2</math>, dann ist <math>A</math> eine ''hyperbolische'' Matrix.

=== Elliptische Elemente ===

[[Datei:Rotation illustration2.svg|mini|Drehung mit Fixpunkt 0.]]
Elliptische Elemente sind von der Form
:<math>A\left( \begin{matrix}
\cos\phi & \sin\phi \\
-\sin \phi & \cos \phi
\end{matrix}\right)A^{-1}</math>
mit <math>\phi\in\R/2\pi\Z</math> und <math>A\in \operatorname{SL}(2,\R)</math>.

Die Matrix  <math>\left( \begin{matrix}
\cos\phi & \sin\phi \\
-\sin \phi & \cos \phi
\end{matrix}\right)</math> wirkt auf der euklidischen Ebene als [[Drehung]] mit Fixpunkt 0 und Drehwinkel <math>\phi</math>.

=== Parabolische Elemente ===

[[Datei:Scherung.png|mini|400px|Eine Scherung bildet ein Rechteck auf ein Parallelogramm ab.]]
Parabolische Elemente sind von der Form
:<math>\pm A\left( \begin{matrix}
1 & n \\
0 & 1
\end{matrix}\right)A^{-1}</math>
mit <math>n\in\R</math> und <math>A\in \operatorname{SL}(2,\R)</math>.

Die Matrix  <math>\left( \begin{matrix}
1 & \ n \\
0 & 1
\end{matrix}\right)</math> wirkt auf der euklidischen Ebene als [[Scherung (Geometrie)|Scherung]].

=== Hyperbolische Elemente ===

[[Datei:Arnoldcatmap.svg|mini|Das Bild-Parallelogramm hat denselben Flächeninhalt wie das ursprüngliche Quadrat.]]
Hyperbolische Elemente sind von der Form
:<math> A\left( \begin{matrix}
a & 0 \\
0 & \frac{1}{a}
\end{matrix}\right)A^{-1}</math>
mit <math>a\in\R\setminus\left\{0\right\}</math> und <math>A\in \operatorname{SL}(2,\R)</math>.

Die Matrix <math> \left( \begin{matrix}
a & 0 \\
0 & \frac{1}{a}
\end{matrix}\right)</math> wirkt als Dehnstauchung, d.&nbsp;h., sie dehnt in Richtung eines Eigenvektors, staucht in Richtung des anderen Eigenvektors, erhält insgesamt aber den Flächeninhalt.

== Hyperbolische Geometrie ==

Matrizen aus <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math> wirken auf der oberen Halbebene
:<math>\mathbb{H} = \{x + iy \ | \ y > 0; \, x, y \in \R \}\subset \Complex</math>
durch
: <math>z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}</math>.
Sie wirken als Isometrien der [[Hyperbolische Ebene|hyperbolischen Metrik]].

Weil <math>\pm I_2</math> als Identitätsabbildung wirkt, faktorisiert diese Wirkung von <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math> über
: <math>\operatorname{PSL}(2,\R) = \operatorname{SL}(2,\R) / \{\pm I_2\}</math>.

== Projektive Geometrie und gebrochen-lineare Transformationen ==

Die [[Projektiver Raum|projektive Gerade]] <math>\R P^1</math> ist die Menge aller Geraden durch den Nullpunkt im <math>\R^2</math>. Die Wirkung von <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math> auf <math>\left(\R^2 \setminus \{0\}\right)</math> gibt eine wohl-definierte Wirkung von <math>\operatorname{PSL}(2,\R)</math> auf <math>\R P^1</math>.

Durch <math>[x:y]\rightarrow \frac{x}{y}</math> wird eine Bijektion zwischen <math>\R P^1</math> und <math>\R\cup\left\{\infty\right\}</math> definiert. Nach dieser Identifizierung von <math>\R P^1</math> und <math>\R\cup\left\{\infty\right\}</math> wirkt <math>\operatorname{PSL}(2,\R)</math> auf <math>\R\cup\left\{\infty\right\}</math> durch gebrochen-lineare Transformationen
: <math>\left( \begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix} \right) z = \frac{az+b}{cz+d}</math>.

Die [[Veronese-Einbettung]] <math>\R P^1\to \R P^n</math> ist [[Äquivariante Abbildung|äquivariant]] bzgl. der [[SL(2,R)#Darstellungstheorie|irreduziblen Darstellung <math>\operatorname{SL}(2,\R) \to \operatorname{SL}(n+1,\R)</math>]].

<math>\R P^1=\R\cup\left\{\infty\right\}</math> ist auch der [[Hyperbolische Gruppe#Rand im Unendlichen|Rand im Unendlichen]] <math>\partial\mathbb{H}</math> der hyperbolischen Ebene <math>\mathbb{H}</math>. Die Wirkung von <math>PSL(2,\R)</math> auf der Kompaktifizierung <math>\mathbb{H}\cup\partial \mathbb{H}</math> der hyperbolischen Ebene durch gebrochen-lineare Transformationen ist stetig. Elliptische Elemente haben einen Fixpunkt in <math>\mathbb{H}</math>, parabolische Elemente haben einen Fixpunkt in <math>\partial\mathbb{H}</math>, hyperbolische Elemente haben zwei Fixpunkte in <math>\partial\mathbb{H}</math>.

== Fuchssche Gruppen ==

[[Diskrete Untergruppe]]n von <math>\operatorname{PSL}(2,\R)</math> bezeichnet man als [[Fuchssche Gruppe]]n.

Die Limesmenge einer Fuchsschen Gruppe <math>\Gamma</math> ist der Durchschnitt von  <math>\R P^1=\partial\mathbb{H}</math> mit dem [[Abgeschlossene Hülle|Abschluss]] einer [[Gruppenoperation#Bahn|Bahn]] <math>\Gamma x</math>, wobei und die Definition der Limesmenge unabhängig vom gewählten Punkt <math>x\in\mathbb{H}</math> ist.

Eine Fuchssche Gruppe heißt Fuchssche Gruppe 1. Art, falls die Limesmenge ganz <math>\mathbb{P}^1(\R) = \R\cup\{\infty\}</math> ist. Andernfalls handelt es sich um eine Fuchssche Gruppe 2. Art.

Fuchssche Gruppen 1. Art sind die sogenannten Gitter in <math>\operatorname{PSL}(2,\R)</math>, d.&nbsp;h. diskrete Untergruppen <math>\Gamma</math>, für die es einen [[Fundamentalbereich]] endlichen Volumens in der hyperbolischen Ebene gibt.

Ein Beispiel eines Gitters in  <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math> ist die [[PSL(2,Z)|modulare Gruppe]] <math>\operatorname{SL}(2,\Z)</math>, die unter anderem in der Theorie der [[Modulform]]en eine zentrale Rolle mit vielen zahlentheoretischen Anwendungen spielt.

Wenn eine Fuchssche Gruppe <math>\Gamma\subset\operatorname{PSL}(2,\R)</math> keine Elemente der [[Ordnung eines Gruppenelementes|Ordnung]] 2 enthält, dann ist sie die Projektion einer diskreten Untergruppe von <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math>. (Satz von [[Marc Culler|Culler]])

== Topologie ==

Die Kreis-Gruppe <math>\operatorname{SO}(2)</math> ist eine maximal kompakte Untergruppe von <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math>. Die Untergruppe <math>\operatorname{SO}(2)</math> ist ein [[Deformationsretrakt]] von <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math>, insbesondere sind die beiden Räume [[homotopieäquivalent]].

Die [[Fundamentalgruppe]] von <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math> ist isomorph zu <math>\Z</math>, die höheren [[Homotopiegruppe]]n sind trivial.

Die [[Überlagerung (Topologie)#Universelle Überlagerung|universelle Überlagerung]] <math>\widetilde{\operatorname{SL}(2,\R)}</math> von <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math> ist ein Beispiel einer [[Lie-Gruppe]], welche keine treue endlich-dimensionale Darstellung besitzt, also zu keiner Untergruppe einer [[Allgemeine lineare Gruppe|allgemeinen linearen Gruppe]] <math>\operatorname{GL}(n,\R)</math> isomorph ist.

Der Quotient <math>\operatorname{PSL}(2,\R)=\operatorname{SL}(2,\R)/(\Z/2\Z)</math> ist diffeomorph zum [[Einheitstangentialbündel]] der hyperbolischen Ebene: <math>{\operatorname{PSL}(2,\R)}=T^1\mathbb{H}</math>.

== Literatur ==

* [[Serge Lang]]: ''SL<sub>2</sub>(R)'' (= ''Graduate Texts in Mathematics.'' Bd. 105). Springer, New York NY u.&nbsp;a. 1985, ISBN 0-387-96198-4.
* [[William Thurston|William P. Thurston]]: ''Three-dimensional geometry and topology'' (= ''Princeton Mathematical Series.'' Bd. 35). Band 1. Edited by Silvio Levy. Princeton University Press, Princeton NJ, 1997, ISBN 0-691-08304-5.

[[Kategorie:Lie-Gruppe]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]