Quelltext der Seite Satz von Alexander (Knotentheorie)

Der '''Satz von Alexander''' ist ein [[Lehrsatz]] aus dem [[Mathematik|mathematischen]] Gebiet der [[Knotentheorie]]. Er besagt, dass jede [[Verschlingung]] der Abschluss eines [[Zopfgruppe|Zopfes]] ist. Er ermöglicht es, Zopfgruppen für die Untersuchung von Knoten und Verschlingungen nutzbar zu machen. Der [[Satz von Markov]] gibt hinreichende und notwendige Bedingungen, wann die Abschlüsse zweier Zöpfe äquivalente Verschlingungen ergeben. Er ist nach dem US-amerikanischen Mathematiker [[James Alexander (Mathematiker)|James Alexander]] (1888–1971) benannt.
[[Datei:An Element of the Braid Group.svg|mini|Der 5-strängige Zopf <math>\sigma_2^{-1}\sigma_4^{-1}\sigma_3\sigma_2^2\sigma_4^{-3}\sigma_1^2\sigma_3</math>.]]

== Abschluss eines Zopfes ==
Ein Zopf mit <math>n</math> Strängen entsteht wie im Bild rechts durch Hintereinanderausführung einer beliebigen Folge von Verflechtungen <math>\sigma_1,\ldots,\sigma_{n-1}</math> und deren Inversen. Siehe dafür den Artikel [[Zopfgruppe]].

Den Abschluss eines Zopfes bildet man, indem der erste Punkt des unteren Randes mit dem ersten Punkt des oberen Randes, der zweite Punkt des unteren Randes mit dem zweiten Punkt des oberen Randes, …, der n-te Punkt des unteren Randes mit dem n-ten Punkt des oberen Randes durch jeweils unverknotete Bögen im <math>\R^3</math> verbunden wird.

== Satz ==
'''Satz von Alexander''': ''Jede Verschlingung kann als Abschluss eines Zopfes konstruiert werden.''<ref>Proposition 2.14 in: Burde, Zieschang: ''Knots.'' Second edition. de Gruyter Studies in Mathematics, 5. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2003. ISBN 3-11-017005-1</ref>

Der Satz von Alexander folgt aus der zuerst von Brunn bewiesenen Tatsache, dass jeder Knoten eine Projektion mit nur einem Mehrfachpunkt besitzt. Ein auf [[Pierre Vogel (Mathematiker)|Pierre Vogel]] zurückgehender Algorithmus ermöglicht die Implementierung auf dem Computer.

== Beispiele ==
* Die [[Hopf-Verschlingung]] ist der Abschluss des Zopfes <math>\sigma_1^2</math>.
* Die rechtshändige [[Kleeblattschlinge]] ist der Abschluss des Zopfes <math>\sigma_1^3</math>.
* Der [[Achterknoten (Mathematik)|Achterknoten]] ist der Abschluss des Zopfes <math>\sigma_1\sigma_2^{-1}\sigma_1\sigma_2^{-1}</math>.
* Die [[Whitehead-Verschlingung]] ist der Abschluss des Zopfes <math>\sigma_1\sigma_2^{-1}\sigma_1\sigma_2^{-2}</math>.
* Die [[Borromäische Ringe|Borromäischen Ringe]] sind der Abschluss des Zopfes <math>\sigma_1^{-1}\sigma_2\sigma_1^{-1}\sigma_2\sigma_1^{-1}\sigma_2</math>.

== Zopfindex ==
Der '''Zopfindex''' (engl.: '''braid index''') einer Verschlingung ist die kleinste Anzahl von Strängen eines Zopfes, als dessen Abschluss man die Verschlingung konstruieren kann. Er ist eine [[Knoteninvariante]] und kann beispielsweise benutzt werden, um die links- und rechtshändige [[Kleeblattschlinge]] voneinander zu unterscheiden.

== Literatur ==

* J. W. Alexander: ''A lemma on systems of knotted curves.'' Proc. Nat. Acad. Sci. USA 9 (1923) S. 93–95.
* H. K. Brunn: ''Über verknotete Kurven.'' Verh. Math. Kongr. Zürich (1897) S. 256–259.

== Weblinks ==
* [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Alexander_theorem_on_braids Alexander Theorem on Braids] (Encyclopedia of Mathematics)
* [https://mathworld.wolfram.com/BraidWord.html Braid Word] (Math World)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Knotentheorie]]
[[Kategorie:Satz (Topologie)|Alexander, Satz von (Knotentheorie)]]