Quelltext der Seite Satz von Gleason-Kahane-Żelazko

Der '''Satz von Gleason-Kahane-Żelazko''', benannt nach [[Andrew Gleason]], [[Jean-Pierre Kahane]] und  [[Wiesław Żelazko]], ist ein Satz aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Funktionalanalysis]]. Der Satz charakterisiert die [[multiplikativ]]en [[lineares Funktional|linearen Funktionale]] auf einer  <math>\Complex</math>-[[Banachalgebra]].

== Formulierung des Satzes ==
Seien <math>A</math> eine <math>\Complex</math>-Banachalgebra mit [[Einselement]] <math>e</math> und <math>\varphi:A\rightarrow \Complex</math> ein lineares Funktional. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
# <math>\varphi\not= 0</math>, und <math>\varphi</math> ist multiplikativ, das heißt, <math>\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)</math> für alle <math>a,b\in A</math>.
# <math>\varphi(e)=1</math>, und <math>\rm ker(\varphi)</math> besteht nur aus nicht-invertierbaren Elementen.
# <math>\varphi(a)\in \sigma(a)</math> für alle <math>a\in A</math>, das heißt, für jedes <math>a\in A</math> liegt <math>\varphi(a)</math> im [[Spektrum (Operatortheorie)|Spektrum]] von <math>a</math>

== Bemerkungen ==
* Die Schlüsse <math>(1) \Rightarrow (2) \Rightarrow (3)</math> sind sehr einfach. Die nicht-triviale Aussage des Satzes steckt im Schluss <math>(3) \Rightarrow (1)</math>.
* Für reelle Banachalgebren ist der Satz falsch. Ist <math>C_{\R}([0,1])</math> die Banachalgebra der stetigen Funktionen <math>[0,1]\rightarrow \R</math> und ist <math>\varphi:C_{\R}([0,1])\rightarrow \R</math> definiert durch <math>\varphi(f):=\int_0^1f(t)\,{\rm d}t</math>, so ist <math>\varphi</math> ein stetiges lineares Funktional. Zu jedem <math>f\in C_{\R}([0,1])</math> gibt es nach dem  [[Mittelwertsatz der Integralrechnung]] ein <math>t_0\in [0,1]</math> mit <math>\varphi(f) = \int_0^1f(t)\,{\rm d}t = f(t_0)</math>, und <math>f(t_0)</math> liegt im Spektrum von <math>f</math>, denn  <math>f-f(t_0)\cdot 1</math> hat eine Nullstelle, nämlich <math>t_0</math>, und ist daher nicht invertierbar. Daher erfüllt <math>\varphi</math> den dritten Punkt obigen Satzes, nicht aber den  ersten, denn das Integrieren ist bekanntlich nicht multiplikativ.

== Quellen ==
* F. F. Bonsall, J. Duncan: ''Complete Normed Algebras''. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-5400-6386-2.
* Andrew M. Gleason: ''A characterization of maximal ideals''. Journal d'Analyse Mathématique, Band 19 (1967), Seiten 171–172.
* Jean-Pierre Kahane, Wiesław Żelazko: ''A characterization of maximal ideals in commutative Banach algebras''. [[Studia Mathematica]], Band 29 (1968), Seiten 339–343.

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Gleason-Kahane-Zelazko, Satz von]]