Quelltext der Seite Strukturkonstante

'''Strukturkonstanten''' enthalten in der [[Mathematik]] die gesamten Informationen einer (endlichdimensionalen) [[Lie-Algebra]] und somit insbesondere alle lokalen Informationen jeder ihr zugeordneten [[Lie-Gruppe]].

== Definition ==
Sei <math>V</math> eine endlichdimensionale Lie-Algebra mit der [[Lie-Klammer]] <math>[\cdot, \cdot]</math> und sei <math>\{x_1 , \ldots , x_n\}</math> eine [[Vektorraumbasis]] dieser Lie-Algebra. Da in [[Vektorraum|Vektorräumen]] jedes Element als [[Linearkombination]] bezüglich einer Basis darstellbar ist, existiert für alle <math>i, j \in {1, \ldots n}</math> die Zerlegung

:<math>[x_i,x_j] = \sum_{k=1}^n c_{ij}^k x_k</math>

der Lie-Klammer der Lie-Algebra. Die <math>n^3</math> Konstanten <math>c^k_{ij} \in \Complex</math> (d.&nbsp;h. aus der Menge der komplexen Zahlen) heißen Strukturkonstanten der Lie-Algebra.

== Eigenschaften ==
;*Antisymmetrie
:Die Strukturkonstanten sind aufgrund der Antisymmetrie der Lie-Klammer antisymmetrisch in den unteren Indizes;
::<math>c_{ij}^k = - c_{ji}^k</math>
:Daraus folgt für Strukturkonstanten mit identischen unteren Indizes <math>c_{ii}^k = 0</math>.
;*Jacobi-Identität
:Aufgrund der [[Jacobi-Identität]] für die Lie-Klammer folgt eine Jacobi-Identität für die Strukturkonstanten:
::<math>\sum_{l=1}^n\left( c_{il}^m c_{jk}^l + c_{jl}^m c_{ki}^l + c_{kl}^m c_{ij}^l\right) = 0</math>
;*Tensorstruktur
:Die Strukturkonstanten sind <math>(2,1)</math>-[[Tensor]]en. Das heißt, bei einem [[Basiswechsel  (Vektorraum)|Basiswechsel]] <math>\textstyle x_i \to x_i' = \sum_{j=1}^n a_i^j x_j</math> gilt:
::<math>\sum_{k = 1}^n {c'}_{ij}^k a_k^l = \sum_{r,s = 1}^n c_{rs}^l a_i^r a_j^s</math>

== Beispiel ==
Als Beispiel für Strukturkonstanten sei die in der Physik wichtige Lie-Algebra <math>\mathfrak{su}(2)</math> in der Basis der [[Pauli-Matrizen]] <math>\sigma_i, i = 1,2,3</math> gegeben. Die Lie-Klammer in dieser Darstellung ist der [[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]] und es gilt
:<math>[\sigma_i,\sigma_j] = \sum_{k=1}^3 2 \mathrm i \varepsilon_{ij}^k \sigma_k</math>
mit dem total antisymmetrischen [[Levi-Civita-Symbol]] <math>\varepsilon_{ij}^k</math>.

== Literatur ==
*{{Literatur  | Autor = Manfred Böhm | Titel = Lie-Gruppen und Lie-Algebren in der Physik | Jahr = 2011 | Verlag = Springer | Ort = Berlin | ISBN = 978-3-642-20378-7 | Seiten = 179–180 }}
*{{Literatur  | Autor = Hans Samelson | Titel = Notes on Lie Algebras | Jahr = 1990 | Verlag = Springer | Ort = New York | ISBN = 978-0-387-97264-0 | Seiten = 5}}

[[Kategorie:Theorie der Lie-Gruppen]]
[[Kategorie:Theorie der Lie-Algebren]]