Quelltext der Seite Superellipse

[[Datei:Superellipse.svg|300px|mini|Beispiele von Superellipsen für <math>a=1, \ b=0.75</math>]]

Eine '''Superellipse''', auch '''Lamésche Kurve''' oder '''Lamésches Oval''', ist eine geometrische Figur (Kurve), die ein „Mittelding“ zwischen [[Ellipse]] und [[Rechteck]] (bzw. zwischen [[Kreis (Geometrie)|Kreis]] und [[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]] → '''Superkreis''') darstellt. Eine Superellipse kann in einem [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystem]] als Menge aller Punkte (''x'', ''y'') beschrieben werden, für die gilt:

:<math>\left|\frac{x}{a}\right|^n\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1,
</math>

mit den [[Reelle Zahl|reellen]] Werten ''n'' ≥ 0 und ''a'', ''b'': Halbachsen.

Der Fall ''n'' = 2 führt auf eine normale Ellipse; größeres ''n'' (> 2) liefert die eigentliche Superellipse, die sich zunehmend einem Rechteck annähert; ''n'' unterhalb von 2 führt auf '''Subellipsen''', die Ecken in Richtung der ''x''- und ''y''-Achsen aufweisen und sich für ''n'' gegen 0 dem Achsenkreuz annähern.

Der Begriff „Superellipse“ geht auf den dänischen Wissenschaftler, Erfinder und Literaten [[Piet Hein (Wissenschaftler)|Piet Hein]] (1905–1996) zurück. Die allgemeine kartesische Beschreibung stammt von dem französischen Physiker und Mathematiker [[Gabriel Lamé]] (1795–1870), der die Gleichung der Ellipse auf diese Weise verallgemeinerte.

== Parameterdarstellung ==
Aus der Eigenschaft <math>\cos^2t+\sin^2t=1 </math> der Sinus- und Kosinus-Funktionen ergibt sich (analog zu einer Ellipse) die folgende Parameterdarstellung:
:<math>\left.
\begin{align}
 x\left(t\right) &= \plusmn a\cos^{\frac{2}{n}} t \\
 y\left(t\right) &= \plusmn b\sin^{\frac{2}{n}} t
\end{align} \right\} \qquad 0 \le t \le \pi/2 \ .</math>

== Anwendungen ==
=== Architektur & Design ===
[[Datei:Superaeg.jpg|mini|Piet Heins Superei]]
[[Datei:Mathsson, Superellips.jpg|mini|[[Bruno Mathsson]]s und Piet Heins Tisch „Superellips“]]
Der dänische Wissenschaftler Piet Hein popularisierte die Verwendung der Superellipse in der [[Architektur]], der [[Stadtplanung]] und im (Möbel-)Design. Er registrierte in diesem Zusammenhang die Marke ''Superellipse'' (''n'' = 2,5).

Außerdem entwarf Piet Hein das [[Super-Ei]] (Super-Egg), ein dreidimensionales Superellipsoid. Es handelt sich um einen [[Rotationskörper]], der auf einer Superellipse mit ''n'' = 2,5 basiert:

: <math>\left|\, \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{3} \,\right|^{2{,}5} + \; \left|\, \frac{z}{4} \,\right|^{2{,}5} = 1</math>

Anders als ein reguläres [[Ellipsoid]] steht dieses Superellipsoid auf einer planen Oberfläche (wackelnd) stabil aufrecht.

Die (geschlossene) Innenkapsel von [[Überraschungsei]]ern ist ähnlich geformt – jedoch ein Zylinder mit starker Abrundung seiner Kanten (großer Krümmungsradius), sodass eine plane Standfläche von etwa dem halben Zylinderradius bestehen bleibt.

=== Schrifttypen ===
[[Donald Ervin Knuth|Donald Knuth]] benutzt Superellipsen in den [[Computer Modern|Computer-Modern]]-Schriften und den Programmen [[Metafont]] und [[Metapost]], mit denen diese Schriften erstellt wurden. Der Unterschied zwischen dem Buchstaben O und der Ziffer 0 (Null) in Computer Modern Typewriter ist vor allem durch die unterschiedliche ''Superness'' bedingt. Dieser Parameter ''Superness'' (kurz ''s'') hat folgenden Zusammenhang mit dem oben erwähnten Parameter ''n'':
:<math>
s^n = \frac{1}{2}
</math>
Damit sind auch Rechtecke möglich, die man mit ''s = 1'' (''n → ∞'') erhält.

=== Flugzeugkonstruktion ===
Bei der Konstruktion von [[Tragfläche]]n für [[Segelflugzeug]]e werden in einigen Modellen superelliptische Grundrisse verwendet (siehe [[Schempp-Hirth Quintus]]).

== Spezielle Superellipsen ==
Wählt man ''n'' = 1, so entsteht eine [[Raute]] oder Rhombus (für den Spezialfall ''a'' = ''b'' ein Quadrat) mit der Fläche ''a''·''b''/2. Bei ''n'' = 2/3 (und ''a'' = ''b'') liegt eine [[Astroide]] vor. Für ''a'' = ''b'' liegt ein Superkreis vor.

== Verallgemeinerungen ==
[[Datei:Superellipse-m-n.svg|mini|Variation einer Superellipse mit verschiedenen Exponenten]]
[[Datei:Superellipsoid Sequence.gif|mini|Superellipsoide in drei Dimensionen]]
=== Kurven mit verschiedenen Exponenten ===
Lässt man für x- und y-Koordinaten verschiedene Exponenten zu, erhält man Kurven mit Gleichungen
:<math>\left|\frac{x}{a}\right|^m\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1\ ,\quad m,n >0.</math>
Wesentlich neue Kurven ergeben sich, wenn ein Exponent >1 und der andere <1 ist (s. Bild).

=== Superellipsoide (Flächen) ===
Eine Verallgemeinerung der Superellipse auf den Raum liefert die '''Superellipsoide''' mit den Gleichungen:
:<math>\left|\frac{x}{a}\right|^n\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! + \left|\frac{z}{c}\right|^n\!= 1.</math>

Auch hier kann man die Vielfalt erhöhen, indem man für jede Koordinate einen anderen Exponenten wählt.

== Verwandte Kurven ==
* Die [[Superformel]] beschreibt eine Schar geschlossener, drehsymmetrischer Kurven.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Superellipse|Superellipse}}
* {{MacTutor Biography|id=Lame|title=Lame Curves|page=cur}}
* {{MathWorld|id=Superellipse|title=Superellipse}}

[[Kategorie:Kurve (Geometrie)]]
[[Kategorie:Geometrische Figur]]