Quelltext der Seite Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus

[[Datei:Hyperbolic Tangent.svg|mini|Graph des Tangens hyperbolicus]]
[[Datei:Hyperbolic Cotangent.svg|mini|Graph des Kotangens hyperbolicus]]
'''Tangens hyperbolicus''' und '''Kotangens hyperbolicus''' sind [[Hyperbelfunktion]]en. Man nennt sie auch ''Hyperbeltangens'' oder ''hyperbolischen [[Tangens]]'' bzw. ''Hyperbelkotangens'' oder ''hyperbolischen [[Kotangens]].''

== Schreibweisen ==
{|
|-
|Tangens hyperbolicus: || <math>y = \tanh\,x</math>
|-
|Kotangens hyperbolicus: || <math>y = \coth\,x</math>
|}

== Definitionen ==
: <math>\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}}=\frac{\mathrm{e}^{2x}-1}{\mathrm{e}^{2x}+1} = 1-\frac{2}{\mathrm{e}^{2x}+1}</math>
: <math>\coth x = \frac{\cosh x} {\sinh x} = \frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}} = \frac{\mathrm{e}^{2x}+1}{\mathrm{e}^{2x}-1} = 1+\frac{2}{\mathrm{e}^{2x}-1}</math>

Hierbei bezeichnen <math>\sinh x</math> und <math>\cosh x</math> den [[Sinus hyperbolicus]] bzw. [[Kosinus hyperbolicus]].

== Eigenschaften ==
{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
!&nbsp;
!Tangens hyperbolicus
!Kotangens hyperbolicus
|-
! [[Definitionsmenge|Definitionsbereich]]
| <math> - \infty < x < + \infty </math>
| <math> - \infty < x < + \infty</math> ; <math> x \ne 0</math>
|-
! [[Bild (Mathematik)|Wertebereich]]
| <math>-1<f\left(x\right)<1</math>
| <math>-\infty<f\left(x\right)<-1 </math> ; <math>1<f\left(x\right)<+\infty</math>
|-
! [[Periodizität (Mathematik)|Periodizität]]
| keine
| keine
|-
! [[Reelle monotone Funktion|Monotonie]]
| streng monoton steigend
| <math>x < 0</math> streng monoton fallend<br /><math>x > 0</math> streng monoton fallend
|-
! [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrien]]
| Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung
| Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung
|-
! [[Asymptote]]n
| <math>x\to+\infty\colon f\left(x\right)\to +1</math><br /><math>x\to-\infty\colon f\left(x\right)\to-1</math>
| <math>x\to+\infty\colon f\left(x\right)\to +1</math><br /><math>x\to-\infty\colon f\left(x\right)\to-1</math>
|-
! [[Nullstelle]]n
| <math> x = 0 </math>
| keine
|-
! [[Sprungstelle]]n
| keine
| keine
|-
! [[Polstelle]]n
| keine
|<math>x = 0</math>
|-
! [[Extremwert|Extrema]]
| keine
| keine
|-
! [[Wendepunkt]]e
| <math> \left(0,0\right) </math>
| keine
|}

== Spezielle Werte ==
Der Kotangens hyperbolicus hat zwei Fixpunkte, d.&nbsp;h., es gibt zwei <math>u \in \mathbb R</math>, sodass
:<math>\coth\,u=u</math>.
Sie liegen bei <math>u_\pm = \pm 1{,}19967864\dots</math> ({{OEIS|A085984}})

== Umkehrfunktionen ==
Der Tangens hyperbolicus ist eine [[Bijektivität|Bijektion]] <math>\tanh\colon \mathbb{R}\rightarrow (-1,1)</math>. Die [[Umkehrfunktion]] nennt man [[Areatangens hyperbolicus]]. Sie ist für Zahlen ''x'' aus dem Intervall <math>(-1,1)</math> definiert und nimmt als Wert alle reellen Zahlen an.
Sie lässt sich durch den natürlichen [[Logarithmus]] ausdrücken:
: <math>\operatorname{artanh} x = \frac12\ln\frac{1+x}{1-x}.</math>

Für die Umkehrung des Kotangens hyperbolicus gilt:
: <math>\operatorname{arcoth} x = \frac{1}{2}\ln\frac{x+1}{x-1}</math>

== Ableitungen ==
:<math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \tanh x = 1-\tanh^2 x =  \frac{1}{\cosh^2 x}= \operatorname{sech}^2 x </math>
:<math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \coth x = 1-\coth^2 x = -\frac{1}{\sinh^2 x}=-\operatorname{csch}^2 x </math>

Die <math>n</math>-te Ableitung ist gegeben durch

:<math>\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}z^n}\tanh z=\frac{2^{n+1}\mathrm{e}^{2z}}{(1+\mathrm{e}^{2z})^{n+1}} \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k A_{n,k}\,\mathrm{e}^{2kz}</math>

mit den [[Euler-Zahlen]] A<sub>n,k</sub>.

== Additionstheorem ==
Es gilt das Additionstheorem
:<math>\tanh(\alpha+\beta)=\frac{\tanh\alpha+\tanh\beta}{1+\tanh\alpha\,\tanh\beta}</math>

analog dazu:

:<math>\coth(\alpha+\beta)=\frac{1+\coth\alpha\,\coth\beta}{\coth\alpha+\coth\beta}</math>

== Integrale ==
: <math> \int\tanh x\,\mathrm{d}x = \ln\cosh x+C</math>
: <math> \int\coth x\,\mathrm{d}x = \ln|{\sinh x}| +C</math>

== Weitere Darstellungen ==
=== Reihenentwicklungen ===
:<math> \tanh x = \sgn x \left[1+ \sum_{k=1}^\infty (-1)^k\,2\,\mathrm{e}^{-2k|x|}\right] </math>
:<math> \tanh x = \sum_{k=0}^\infty \frac{8x} {(2k+1)^2\pi^2+4x^2} </math>
:<math> \coth x = \frac{1}{x}+ \sum_{k=1}^\infty \frac{2x} {k^2\pi^2+x^2} </math>

Die [[Taylorreihe]] des Tangens hyperbolicus lautet:
:<math> \tanh x = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n} -1)}{(2n)!} \cdot B_{2n} \cdot x^{2n - 1} = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \cdot \frac{2^{2n+1}}{\pi^{2n}} \cdot \lambda(2n) \cdot x^{2n - 1} = x - \frac{1}{3} x^3 + \frac {2}{15} x^5 - \frac{17}{315} x^7 + \cdots </math>
Hierbei steht Bₙ für die [[Bernoulli-Zahlen]] und λ(n) für die Dirichletsche Lambdafunktion. Der [[Konvergenzradius]] dieser Reihe ist π/2.

Die Taylorreihe der Differenz von Kotangens hyperbolicus und Kehrwertfunktion lautet:
:<math> \mathrm{L}(x) = \coth x - \frac{1}{x} = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \cdot \frac{2}{\pi^{2n}} \cdot \zeta(2n) \cdot x^{2n - 1} = \frac{1}{3} x - \frac{1}{45} x^3 + \frac{2}{945} x^5 - \frac{1}{4725} x^7 + \cdots </math>
Diese Funktion wird [[Langevin-Funktion]] genannt.

Dabei steht ζ(n) für die [[Riemannsche Zetafunktion]]. Der Konvergenzradius dieser Reihe ist π.

=== Kettenbruchdarstellung ===
[[Johann Heinrich Lambert]] zeigte folgende Formel:

:<math>\tanh x=\frac{x}{1+\cfrac{x^2}{3+\cfrac{x^2}{5+\ldots}}}</math>

== Numerische Berechnung ==
Grundsätzlich kann der Tangens hyperbolicus über die bekannte Formel

: <math>\tanh x = \frac{\mathrm{e}^{2x}-1}{\mathrm{e}^{2x}+1}</math>

berechnet werden, wenn die Exponentialfunktion <math>{e}^{x}</math> zur Verfügung steht. Es gibt jedoch folgende Probleme:
*Große positive Operanden lösen einen Überlauf aus, obwohl das Endergebnis immer darstellbar ist
*Für Operanden nahe an 0 kommt es zu einer numerischen Auslöschung, womit das Ergebnis ungenau wird

''Fall 1'': <math>x</math> ist eine große positive Zahl mit <math>{x} > k \cdot\frac{\ln 10}{2}</math>:

:<math>\tanh x = +1</math>,

: wobei <math>k</math> die Anzahl der signifikanten Dezimalziffern des verwendeten Zahlentyps ist, was zum Beispiel beim 64-Bit-Gleitkommatyp ''double'' 16 ist.

''Fall 2'': <math>x</math> ist eine kleine negative Zahl mit <math>{x} < -k \cdot\frac{\ln 10}{2}</math>:

:<math>\tanh x = -1</math>

''Fall 3'': <math>x</math> ist nahe an 0, z. B. für <math>-0{,}1 < x < +0{,}1</math>:

:<math>\tanh x = \frac{\sinh x}{\mathrm{e}^{x} - \sinh x}</math>

:<math>\sinh x</math> lässt sich hier über die Taylorreihe <math>\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \dots</math> sehr genau berechnen.

''Fall 4'': Alle übrigen <math>x</math>:

:<math>\tanh x = \frac{\mathrm{e}^{2x}-1}{\mathrm{e}^{2x}+1}</math>

== Differentialgleichung ==
<math>\tanh</math> löst folgende Differentialgleichungen:

:<math>f^\prime =1-f^2</math> oder

:<math>\frac12 f^{\prime\prime}=f^3-f=f(f^2-1)</math>

mit <math>f(0)=0</math> und <math>f^\prime (\infty )=0</math>

== Komplexe Argumente ==
:<math>\tanh(x + i\,y) = \frac{\sinh(2x)}{\cosh(2x) + \cos(2y)} + i \, \frac{ \sin(2y)}{\cosh(2x) + \cos(2y)} </math>
:<math>\tanh(i\,y) =  i\,\tan y </math>
:<math>\coth(x + i\,y) = \frac{\sinh(2x)}{\cosh(2x) - \cos(2y)} + i \, \frac{-\sin(2y)}{\cosh(2x) - \cos(2y)} </math>
:<math>\coth(i\,y) = -i\,\cot y </math>

== Anwendungen in der Physik ==
* Tangens und Kotangens hyperbolicus können benutzt werden, um die zeitliche Abhängigkeit der [[Geschwindigkeit]] beim [[Fall mit Luftwiderstand]] oder auch beim Wurf nach unten zu beschreiben, wenn für den [[Strömungswiderstand]] eine [[turbulente Strömung]] angesetzt wird ([[Newtonsches Reibungsgesetz|Newton-Reibung]]). Das Koordinatensystem werde so gelegt, dass die Ortsachse nach oben zeigt. Für die Geschwindigkeit gilt dann eine Differenzialgleichung der Form <math>\dot{v} = -g + k v^2</math> mit der [[Schwerebeschleunigung]] ''g'' und einer Konstanten ''k'' > 0 mit der Einheit 1/m. Es gibt dann immer eine Grenzgeschwindigkeit <math>v_\mathrm{g} = -\sqrt{\frac{g}{k}} < 0 </math>, die für <math>t \to \infty</math> erreicht wird, und es gilt:
** beim Fall oder Wurf nach unten mit einer Anfangsgeschwindigkeit kleiner der Grenzgeschwindigkeit: <math>v(t) = v_\mathrm{g} \cdot \tanh\left(\sqrt{gk}t + c\right) </math> mit <math>c = \operatorname{artanh} \frac{v(0)}{v_\mathrm{g}} \ge 0 </math>
** beim Wurf nach unten mit einer Anfangsgeschwindigkeit größer der Grenzgeschwindigkeit: <math>v(t) = v_\mathrm{g} \cdot \coth\left(\sqrt{gk}t + c\right) </math> mit <math>c = \operatorname{arcoth} \frac{v(0)}{v_\mathrm{g}} > 0 </math>

* In der [[Spezielle Relativitätstheorie|Speziellen Relativitätstheorie]] ist der Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit ''v'' und [[Rapidität (Physik)|Rapidität]] <math>\theta</math> gegeben durch <math>v = c \cdot \tanh\theta</math> mit der [[Lichtgeschwindigkeit]] ''c.''

* Der Tangens hyperbolicus beschreibt ferner die thermische Besetzung eines Zwei-Zustands-Systems in der [[Quantenmechanik]]: Ist ''n'' die gesamte Besetzung der beiden Zustände und ''E'' ihr [[Energie]]-Unterschied, so ergibt sich für die Differenz der Besetzungszahlen <math>\delta n = n \cdot \tanh\frac{E}{2k_\mathrm{B}T}</math>, wobei <math>k_\mathrm{B}</math> die [[Boltzmann-Konstante]] und ''T'' die [[absolute Temperatur]] ist.

* Wichtig für die Beschreibung der [[Magnetisierung]] eines [[Paramagnetismus|Paramagneten]] ist die [[Brillouin-Funktion]]:
:<math>B_J(x) = \frac{1}{J}\left[\left(J+\frac{1}{2}\right)\coth\left(J\,x+\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2} \coth\frac{x}{2}\right]</math>

* Der Kotangens hyperbolicus tritt auch in der [[Kosmologie]] auf: Die zeitliche Entwicklung des [[Hubble-Konstante|Hubble-Parameters]] in einem flachen Universum, das im Wesentlichen nur [[Materie (Physik)|Materie]] und [[Dunkle Energie]] enthält (was ein gutes Modell für unser tatsächliches Universum ist), wird beschrieben durch <math>H(t) = H_g \coth\frac{t}{t_{ch}}</math>, wobei <math>t_{ch} = \frac{2}{3 H_g}</math> eine charakteristische Zeitskala ist und <math>H_g = \sqrt{\Omega_{\Lambda,0}} H_0</math> der Grenzwert des Hubble-Parameters für <math>t \to \infty</math> ist (<math>H_0</math> ist dabei der heutige Wert des Hubble-Parameters, <math>\Omega_{\Lambda,0}</math> der [[Dichteparameter]] für die Dunkle Energie). (Dieses Ergebnis ergibt sich leicht aus dem zeitlichen Verhalten des Skalenparameters, das aus den [[Friedmann-Gleichungen#Spezielle Lösungen der Gleichungen|Friedmann-Gleichungen]] abgeleitet werden kann.) Bei der Zeitabhängigkeit des Dichteparameters der Dunklen Energie tritt dagegen der Tangens hyperbolicus auf: <math>\Omega_{\Lambda}(t) = \tanh^2(t/t_{ch}) </math>.

== Weblinks ==
<!-- noch gut erweiterbar -->
* {{MathWorld|id=HyperbolicTangent|title=Hyperbolic Tangent}}
* {{MathWorld|id=HyperbolicCotangent|title=Hyperbolic Cotangent}}

{{Navigationsleiste Trigonometrische Funktionen}}

[[Kategorie:Trigonometrische Funktion]]