Quelltext der Seite Umkreis

[[Datei:Circumscribed Polygon.svg|mini|hochkant=1.0|Unregelmäßiges Achteck mit Umkreis]]

In der ebenen [[Geometrie]] ist ein '''Umkreis''' ein [[Kreis]], der durch alle [[Eckpunkt]]e eines [[Polygon]]s (Vielecks) geht.

Nicht für jedes Polygon existiert ein solcher Umkreis. Allgemein besitzt ein [[Konvexe Menge|konvexes]] Polygon genau dann einen Umkreis, wenn die [[Streckensymmetrale|Mittelsenkrechten]] aller Seiten einander in einem Punkt schneiden. In diesem Fall ist der gemeinsame Punkt der Mittelpunkt des Umkreises.

== Umkreis eines Dreiecks ==
[[Datei:Umkreismittelpunkt.svg|mini|hochkant=1.0|Dreieck mit Mittelsenkrechten und Umkreis]]
Eine besonders große Bedeutung hat der Umkreis in der [[Dreiecksgeometrie]]. Jedes [[Dreieck]] besitzt einen Umkreis, wie im Folgenden begründet wird.

Alle Punkte der Mittelsenkrechten zu <math>[AB]</math> sind von <math>A</math> und <math>B</math> gleich weit entfernt. Entsprechend haben die Punkte der Mittelsenkrechten zu <math>[BC]</math> übereinstimmende Entfernungen von <math>B</math> und <math>C</math>. Der Schnittpunkt dieser beiden Mittelsenkrechten ist also von allen drei Ecken (<math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math>) gleich weit entfernt. Er muss also auch auf der dritten Mittelsenkrechten liegen. Zeichnet man um diesen Schnittpunkt einen Kreis, der durch eine Ecke des Dreiecks geht, so müssen auch die anderen Ecken auf diesem Kreis liegen.

Der Umkreismittelpunkt, also der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, zählt zu den [[Ausgezeichnete Punkte im Dreieck|ausgezeichneten Punkten]] des Dreiecks. Er trägt die [[Kimberling-Nummer]] <math>X_3</math>.

=== Sonderfälle ===
Für [[Spitzwinkliges Dreieck|spitzwinklige Dreiecke]] liegt der Umkreismittelpunkt im Inneren des Dreiecks. Beim [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] ist der Mittelpunkt der Hypotenuse zugleich Umkreismittelpunkt (siehe [[Satz des Thales]]). Im Falle eines [[Stumpfwinkliges Dreieck|stumpfwinkligen Dreiecks]] (mit einem Winkel über 90°) befindet sich der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks.

=== Radius ===
Der Umkreisradius eines Dreiecks lässt sich mit dem [[Sinussatz]]
:<math>R = \frac{a}{2\sin\alpha} = \frac{b}{2\sin\beta} = \frac{c}{2\sin\gamma}</math>
oder aus der Dreiecksfläche berechnen:
:<math>R = \frac{abc}{4A}</math>.
Dabei stehen die Bezeichnungen <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> für die Seitenlängen und <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math> für die Größen der [[Innenwinkel]]. <math>A</math> bezeichnet den [[Dreiecksfläche|Flächeninhalt]] des Dreiecks, der sich z.&nbsp;B. mit Hilfe der [[Heronische Formel|heronischen Formel]] berechnen lässt.

=== Koordinaten ===
Die [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]] des Umkreismittelpunkts <math>(x_u,y_u)</math> können aus den kartesischen Koordinaten der Eckpunkte berechnet werden. Die Koordinaten der drei Eckpunkte seien <math>(x_1,y_1)</math>, <math>(x_2,y_2)</math> und <math>(x_3,y_3)</math>.

Mit
:<math> d = 2 (x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2)) </math>

ergeben sich die kartesischen Koordinaten des Umkreismittelpunkts zu

:<math> x_u = \frac {(x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) (y_2 - y_3) + (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2)  (y_3 - y_1) + (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2) (y_1 - y_2)} {d} </math>

und

:<math> y_u = \frac {(x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) (x_3 - x_2) + (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2)  (x_1 - x_3) + (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2) (x_2 - x_1)} {d}
</math>.

{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="2" align="center"
|----
! bgcolor="#c0c0ff" colspan="2" align="center" | Umkreismittelpunkt eines Dreiecks (<math>X_3</math>)
|----
! align="left" | [[Trilineare Koordinaten]]
| <math>\cos\alpha \,: \, \cos\beta \,: \, \cos\gamma</math><br />
<math>= a(b^2+c^2-a^2) \,: \, b(c^2+a^2-b^2) \,: \, c(a^2+b^2-c^2)</math>
|----
! align="left" | [[Baryzentrische Koordinaten]]
| <math>\sin(2\alpha) \,: \, \sin(2\beta) \,: \, \sin(2\gamma)</math>
|}

=== Weitere Eigenschaften ===
* Der Umkreismittelpunkt liegt wie der [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkt]] und der [[Höhenschnittpunkt]] auf der [[Eulersche Gerade|eulerschen Geraden]]. 
* Nach dem [[Südpolsatz]] schneidet sich die Mittelsenkrechte einer Dreiecksseite mit der [[Winkelhalbierende]]n des gegenüberliegenden [[Winkel]]s stets auf dem Umkreis.
* Die Entfernung zwischen Umkreismittelpunkt und Inkreismittelpunkt beträgt <math>\sqrt{R(R-2r)}</math>, wobei <math>R</math> den Umkreisradius und <math>r</math> den Inkreisradius bezeichnet ([[Satz von Euler (Geometrie)|Satz von Euler]]).
* Die Summe der vorzeichenbehafteten [[Abstand|Abstände]] des Umkreismittelpunktes von den Dreiecksseiten ist gleich der Summe aus Umkreis- und Inkreisradius (siehe [[Satz von Carnot (Umkreis, Inkreis)|Satz von Carnot]]).
* Der [[Satz vom Dreizack]] stellt einen Zusammenhang zwischen Umkreis und [[Inkreis]] her

=== Verallgemeinerung: Mittellotensatz ===
Die Aussage, dass sich die Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten in einem Punkt schneiden, wird in der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] als '''Mittellotensatz''' bezeichnet. Dort kann für allgemeinere affine Ebenen, in denen kein Abstandsbegriff und damit keine "Kreise" definiert sind, gezeigt werden, dass dieser Satz äquivalent zum '''Höhenschnittpunktsatz''' ist. → Siehe dazu [[Höhenschnittpunkt]] und [[präeuklidische Ebene]].

== Umkreise anderer Vielecke ==
Während beim Dreieck stets ein Umkreis existiert, trifft dies bei Vielecken (Polygonen) mit mehr als drei Ecken nur in besonderen Fällen zu.

[[Viereck]]e, die einen Umkreis haben, werden [[Sehnenviereck]]e genannt. Spezialfälle sind [[Gleichschenkliges Trapez|gleichschenklige Trapeze]], also auch [[Rechteck]]e und [[Quadrat (Geometrie)|Quadrate]]. 

Unabhängig von der Eckenzahl hat jedes [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßige Polygon]] einen Umkreis. Für den Umkreisradius eines regelmäßigen <math>n</math>-Ecks mit der Seitenlänge <math>a</math> gilt:
:<math>R = \frac{a}{2 \sin\frac{180^\circ}{n}}</math>

== Verwandte Begriffe ==
Der [[Inkreis]] eines Vielecks ist ein Kreis, der alle Seiten dieses Vielecks berührt. Der Inkreis eines Dreiecks stellt einen besonders wichtigen Spezialfall dar. Er gehört mit dem Umkreis und den drei [[Ankreis]]en zu den [[Kreise am Dreieck|besonderen Kreisen]] der Dreiecksgeometrie.

Überträgt man die Definition des Umkreises auf den (dreidimensionalen) [[Raum (Physik)|Raum]], so erhält man den Begriff der [[Umkugel]], also einer [[Kugel]], auf der alle Eckpunkte eines gegebenen [[Polyeder]]s (Vielflächners) liegen.

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* http://www.walter-fendt.de/html5/mde/circumcircle_de.htm (Umkreis-Konstruktion wird Schritt für Schritt vorgeführt)
* [http://www.zum.de/dwu/depotan/amdl003.htm Flash-Animation zur Umkreis-Konstruktion beim Dreieck] (dwu-Unterrichtsmaterialien)

[[Kategorie:Kreis]]
[[Kategorie:Dreiecksgeometrie]]
[[Kategorie:Ausgezeichnete Punkte im Dreieck]]