Quelltext der Seite Verallgemeinerte Binomialverteilung

{{Infobox Verteilung
  | name       = Verallgemeinerte Binomialverteilung
  | type       = mass
  | pdf_image  = [[Datei:Pmf genBinom.png|280px]]
  | cdf_image  = [[Datei:Cdf genBinom.png|280px]]
  | parameters = <math>\mathbf{p}\in [0,1]^n</math> — Erfolgswahrscheinlichkeiten für jeden der ''n'' Versuche  
  | support    = <math>k \in \{0, \dots,n\}</math>
  | pdf        = <math>\sum\limits_{A\in B_k} \prod\limits_{i\in A} p_i \prod\limits_{j\in A^c} (1-p_j)</math>
  | cdf        = <math>\sum\limits_{l=0}^k \sum\limits_{A\in B_l} \prod\limits_{i\in A} p_i \prod\limits_{j\in A^c}{(1-p_j)}</math>
  | mean       = <math>\sum\limits_{i=1}^n p_i</math>  
  | variance   = <math> \sum\limits_{i=1}^n (1 - {p_i}){p_i} </math>
  | skewness   = <math>\frac{\sum\limits_{i=1}^n {\left( 1-2{p_i} \right)\left( 1-{{p}_{i}} \right){{p}_{i}}}}{(\sum\limits_{i=1}^n (1 - {p_i}){p_i})^{\frac{3}{2}}}</math>
  | kurtosis   = <math>3+ \frac{\sum\limits_{i=1}^n {\left( 1 - 6(1 - p_i){p_i} \right)\left( 1 - p_i \right)p_i}}{(\sum\limits_{i=1}^n (1 - {p_i}){p_i})^{4}}</math>
  | mgf        = <math>\prod\limits_{j=1}^n (1-{p_j}+{p_j}{e^{t}})</math>
  | char        = <math>\prod\limits_{j=1}^n (1-{p_j}+{p_j}{e^{it}})</math>
  }}

Die '''Verallgemeinerte Binomialverteilung''' (gelegentlich auch '''Poissonsche Verallgemeinerung der Binomialverteilung''', oder '''Poisson-Binomialverteilung''' genannt) ist eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] und somit dem mathematischen Teilgebiet der [[Stochastik]] zuzuordnen. Bei ihr handelt es sich um eine [[Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung|univariate]] [[diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]].
Sie ist definiert als die Summe von [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|unabhängigen]], nicht notwendigerweise [[Identisch verteilt|identisch verteilten]] [[Zufallsvariable]]n, welche einer [[Bernoulli-Verteilung]] unterliegen.

Die ''Verallgemeinerte Binomialverteilung'' beschreibt also die Erfolge einer Serie von unabhängigen Versuchen, welche jeweils genau zwei Ergebnisse annehmen kann. Der Unterschied zur [[Binomialverteilung]] besteht darin, dass jedem Versuch eine andere Erfolgswahrscheinlichkeit zugeordnet werden kann.

Es ist auch möglich die ''Verallgemeinerte Binomialverteilung'' als Summe von unabhängigen, nicht identischen, binomialverteilten Zufallsvariablen festzulegen, wobei die Bernoulli Zufallsgrößen mit identischen Erfolgswahrscheinlichkeiten zu binomialverteilten Zufallsvariablen zusammengefasst werden.

== Definition der Verallgemeinerten Binomialverteilung ==
Eine diskrete Zufallsvariable <math>X</math> folgt einer ''Verallgemeinerten Binomialverteilung'' mit Parametervektor <math>p</math>, wenn sie die folgende [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]] besitzt<ref>[http://www3.stat.sinica.edu.tw/statistica/oldpdf/A3n23.pdf ''On the Number of Successes in Independent Trials''.] (PDF; 1,6&nbsp;MB) Y.H.Wang, Statistica Sinica, Vol. 3, 1993, p. 295–312. Abgerufen am 23. September 2013.</ref>
:<math>\rho_X(k)=\sum\limits_{A\in B_k} \prod\limits_{i\in A} p_i \prod\limits_{j\in A^c} (1-p_j)</math>,

wobei <math>p=(p_{1},\dots ,p_{n})</math> den Vektor der ''Erfolgswahrscheinlichkeiten pro Versuch'' und <math>k</math> die ''Gesamtanzahl der Erfolge'' bei <math>n</math> ''Versuchen'' bezeichnet.

Schreibweise:  <math>X \sim GB(p)</math>

<math>B_k</math> ist die Menge aller <math>k</math>-elementigen Teilmengen, die aus dem [[Träger (Mathematik)|Träger]] <math>\{1,2,\dots ,n\}</math> gebildet werden können. <math>A^c</math> ist das [[Komplement (Mengenlehre)|Komplement]] von <math>A</math>, das heißt <math>A^c=\{1,2,\dots ,n\}\backslash A</math>.

Die zugehörige [[Verteilungsfunktion]] lautet<ref name="Technical Report">{{Webarchiv|url=http://www.stat.vt.edu/research/Technical_Reports/TechReport11-2.pdf |wayback=20151023162331 |text=''On Computing the Distribution Function for the Sum of Independent and Non-identical Random Indicators''. |archiv-bot=2019-05-21 04:09:01 InternetArchiveBot }} (PDF; 110&nbsp;kB) Y.Hong, Blacksburg, USA, 5. April 2011. Abgerufen am 23. September 2013.</ref>
:<math>F_X(k)= P(X\le k) =\sum\limits_{l=0}^k \sum\limits_{A\in B_l} \prod\limits_{i\in A} p_i \prod\limits_{j\in A^c}{(1-p_j)} </math>

=== Alternative Parametrisierung ===
Die ''Verallgemeinerte Binomialverteilung'' kann ebenso als Summe von binomialverteilten Zufallsgrößen definiert werden, indem die Bernoulli Zufallsvariablen mit gleichen Erfolgswahrscheinlichkeiten zu binomialverteilten Zufallsgrößen zusammengefasst werden.
:<math>GB(k|p)=GB(k|pr,nr)</math>,
wobei der Parametervektor <math>pr=(pr_{1},\dots ,pr_{r})</math> die Erfolgswahrscheinlichkeiten von <math>r</math> binomialverteilten Zufallsvariablen enthält und der Parametervektor <math>nr=(nr_{1},\dots ,nr_{r})</math> die jeweils zugehörige Anzahl an Versuchen.

Es gilt somit <math>p=(p_{1},\dots ,p_{n})=(pr_{1}\cdot 1_{nr_{1}}^{T},\dots ,pr_{r}\cdot 1_{nr_{r}}^{T})</math>.  Hierbei ist <math>1_{nr_{i}}^{T}</math> der [[Einsvektor]] der Länge <math>nr_{i}</math>, bestehend aus lauter Einsen.

== Eigenschaften der Verallgemeinerten Binomialverteilung ==
<math>X</math> sei im Folgenden eine Zufallsvariable, die einer ''Verallgemeinerten Binomialverteilung folgt'' <math>X \sim GB(p)</math>.
=== Erwartungswert ===
Die ''Verallgemeinerte Binomialverteilung'' besitzt den [[Erwartungswert]]
:<math>E(X)=\sum\limits_{i=1}^n p_i</math>
=== Varianz ===
Die ''Verallgemeinerte Binomialverteilung'' besitzt die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]]
: <math> Var(X) =\sum\limits_{i=1}^n (1 - {p_i}){p_i}</math>
=== Schiefe ===
Die ''Verallgemeinerte Binomialverteilung'' besitzt die [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]]
:<math>v(X)=\frac{\sum\limits_{i=1}^n {\left( 1-2{p_i} \right)\left( 1-{{p}_{i}} \right){{p}_{i}}}}{(\sum\limits_{i=1}^n \left(1 - {p_i}){p_i}\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
=== Wölbung und Exzess ===
Die ''Verallgemeinerte Binomialverteilung'' besitzt die [[Wölbung (Statistik)|Wölbung]]
:<math>\beta_{2}=3+ \frac{\sum\limits_{i=1}^n {\left( 1 - 6(1 - p_i){p_i} \right)\left( 1 - p_i \right)p_i}}{(\sum\limits_{i=1}^n \left(1 - {p_i}){p_i}\right)^{2}}</math>
und damit den Exzess
:<math>\gamma=\beta_2-3=\frac{\sum\limits_{i=1}^n {\left( 1 - 6(1 - p_i){p_i} \right)\left( 1 - p_i \right)p_i}}{(\sum\limits_{i=1}^n \left(1 - {p_i}){p_i}\right)^{2}}</math>

=== Kumulanten ===
Die [[kumulantenerzeugende Funktion]] ist
:<math> g_X(t)=\sum_{i=1}^n \ln(1-p_i+p_ie^t) </math>.
Daher ist die k-te [[Kumulante]] genau die Summe der k-ten Kumulanten der n Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen, aus denen die Verallgemeinerte Binomialverteilung zusammengesetzt ist:
:<math> \tau_k=\tau_k^1+ \dots + \tau_k^n </math>

Für diese Kumulanten gilt dann auch die Rekursionsgleichung der Kumulanten der Bernoulli-Verteilung

=== Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ===
Die [[wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion]] der verallgemeinerten Binomialverteilung lautet
:<math>m_{X}(t)=\prod\limits_{j=1}^n (1-{p_j}+{p_j}{t})</math>

=== Charakteristische Funktion ===
Die [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] der ''Verallgemeinerten Binomialverteilung'' lautet:
:<math>\varphi_{X}(t)=\prod\limits_{j=1}^n (1-{p_j}+{p_j}{e^{it}})</math>
=== Momenterzeugende Funktion ===
Die [[momenterzeugende Funktion]] der ''Verallgemeinerten Binomialverteilung'' lautet:
:<math>M_{X}(t)=\prod\limits_{j=1}^n (1-{p_j}+{p_j}{e^{t}})</math>

=== Summe von verallgemeinert binomialverteilten Zufallsvariablen ===
Ist <math> X \sim GB_n(p_1, \dots p_n) </math> und <math> Y \sim GB_m(p_1, \dots p_m) </math> zwei unabhängige verallgemeinert binomialverteilte Zufallsvariablen, dann ist auch <math> X+Y </math> verallgemeinert binomialverteilt: <math> X+Y \sim GB_{n+m}(p_1, \dots p_{n+m}) </math>. Demnach ist die verallgemeinerte Binomialverteilung [[Reproduktivität|reproduktiv]].

== Beziehung zu anderen Verteilungen ==

=== Beziehung zur Binomialverteilung ===
Die Summe von voneinander unabhängigen binomialverteilten Zufallsvariablen <math> X_i \sim B(n_i, p_i) </math>  ist verallgemeinert binomialverteilt.
Wenn alle Erfolgswahrscheinlichkeiten gleich sind, das heißt <math>p_{i}=p_{j} \; \forall i,j=1\dots,n</math>, dann ergibt sich aus der ''Verallgemeinerten Binomialverteilung'' die Binomialverteilung.
Tatsächlich ist die Binomialverteilung für festen Erwartungswert und feste Ordnung diejenige verallgemeinerte Binomialverteilung mit maximaler [[Entropie (Informationstheorie)|Entropie]].<ref name="Harremoes2001">{{cite journal |author=Peter Harremoës |date=2001 |title=Binomial and Poisson Distributions as Maximum Entropy Distributions |publisher=[[IEEE Information Theory Society]] |journal=[[IEEE Transactions on Information Theory]] |volume=47 |pages=2039–2041 |doi=10.1109/18.930936}}</ref>
Das bedeutet, unter der Bedingung, dass der Parametervektor <math>p</math> von <math>X \sim GB(p)</math> die Länge <math>n</math> hat, maximiert <math>p = (E(X)/n, \dots, E(X)/n)</math> die Entropie <math>\Eta(X)</math>.

=== Beziehung zur Bernoulli-Verteilung ===
Die Summe von <math> n </math> voneinander unabhängigen [[Bernoulli-Verteilung|Bernoulli-verteilten]] Zufallsvariablen <math> X_i </math>, die alle einen unterschiedlichen Parameter <math> p_i </math> besitzen, ist verallgemeinert binomialverteilt.

=== Approximation durch die Poisson-Verteilung ===
{{Hauptartikel|Poisson-Approximation}}
Für eine sehr große Anzahl an Versuchen <math>n</math> und sehr kleine, aber unterschiedliche Erfolgswahrscheinlichkeiten <math>p_{1},\dots ,p_{n}</math> kann die Wahrscheinlichkeitsfunktion der ''Verallgemeinerten Binomialverteilung'' durch die [[Poisson-Verteilung]] approximiert werden.<ref name="Technical Report" />
:<math>\rho_{X}(k)\approx \frac{\lambda^k}{k!}\cdot \mathrm{e}^{-\lambda}</math>
Der Parameter <math>\lambda</math> ist gleich dem Erwartungswert der ''Verallgemeinerten Binomialverteilung''.

=== Approximation durch die Normalverteilung ===
Die Verteilungsfunktion der ''Verallgemeinerten Binomialverteilung'' kann für eine sehr große Anzahl an Versuchen <math>n</math> durch die [[Normalverteilung]] approximiert werden.<ref name="Technical Report" />
:<math> F_{X}(k)\approx \Phi\left(\frac{k+0{,}5-\mu}{\sigma}\right),\ k=0,\dots ,n </math>
Der Parameter <math>\mu</math> entspricht dem Erwartungswert und <math>\sigma </math> der Standardabweichung der ''Verallgemeinerten Binomialverteilung''.
<math>\Phi(\cdot)</math> ist die Verteilungsfunktion der [[Standardnormalverteilung]].

== Beispiele ==
=== Radarkontrolle ===
Ein Arbeitnehmer muss an jedem Arbeitstag über die Autobahn und durch das Ortsgebiet zur Arbeit fahren. Die Wahrscheinlichkeiten in eine Radarkontrolle zu geraten sind <math>0{,}5\,\%</math> auf der Autobahn und <math>1\,\%</math> im Ortsgebiet.

Wie hoch sind die Wahrscheinlichkeiten an einem Arbeitstag in <math>0,1,2</math> Kontrollen zu geraten?

Die zufällige Anzahl von Radarkontrollen <math>R</math> kann als Summe von zwei Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen <math>R_1</math> für die Autobahn und <math>R_2</math> für das Ortsgebiet modelliert werden: <math>R=R_1+R_2</math>, mit
:<math>R_1=\begin{cases} 1,   & \text{Kontrolle mit Wahrscheinlichkeit } 0{,}005 \\
                            0, & \text{keine Kontrolle mit Wahrscheinlichkeit } 0{,}995               \end{cases}</math>
:<math>R_2=\begin{cases} 1,   & \text{Kontrolle mit Wahrscheinlichkeit } 0{,}01 \\
                            0, & \text{keine Kontrolle mit Wahrscheinlichkeit } 0{,}99               \end{cases}</math>

Da <math>R_1</math> und <math>R_2</math> unterschiedliche Erfolgswahrscheinlichkeiten besitzen, kann man dieses Beispiel nicht mit Hilfe der Binomialverteilung lösen.

<math>R</math> folgt einer ''Verallgemeinerten Binomialverteilung'' mit Parametervektor <math>p=(0{,}005, 0{,}01)</math>.

Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten können folgendermaßen berechnet werden:

* <math>0</math> Kontrollen: <math>P(R=0)</math>
::<math>P(R=0)=P(R_1=0)\cdot P(R_2=0)=0{,}995\cdot 0{,}99=0{,}98505=98{,}505\,\%</math>

* <math>1</math> Kontrolle: <math>P(R=1)</math>
::<math>P(R=1)=P(R_1=1)\cdot P(R_2=0)+P(R_1=0)\cdot P(R_2=1)=0{,}005\cdot 0{,}99+0{,}995 \cdot 0{,}01=0{,}0149=1{,}49\,\%</math>

* <math>2</math> Kontrollen: <math>P(R=2)</math>
::<math>P(R=2)=P(R_1=1)\cdot P(R_2=1)=0{,}005\cdot 0{,}01=0{,}00005=0{,}005\,\%</math>

=== Herstellungsprozess ===
In einer Fabrik werden Geräte produziert und anschließend einer Qualitätskontrolle unterzogen. Es können <math>3</math> verschiedene Fehlertypen auftreten. Die Wahrscheinlichkeiten, dass ein spezieller Fehlertyp auftritt sind <math>4\,\%</math> für den Fehler vom Typ <math>1</math> und jeweils <math>7\,\%</math> für die Fehlertypen <math>2</math> und <math>3</math>.

Wie hoch sind die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass ein Gerät mit <math>0,1,2,3</math> Fehlern produziert wird?

Die zufällige Anzahl von Fehlern <math>F</math> kann als Summe von drei Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen <math>F_1</math>, <math>F_2</math> und <math>F_3</math> geschrieben werden: <math>F=F_1+F_2+F_3</math>, mit
:<math>F_1=\begin{cases} 1,   & \text{Fehler mit Wahrscheinlichkeit } 0{,}04 \\
                            0, & \text{kein Fehler mit Wahrscheinlichkeit } 0{,}96               \end{cases}</math>
:<math>F_2=F_3=\begin{cases} 1,   & \text{Fehler mit Wahrscheinlichkeit } 0{,}07 \\
                            0, & \text{kein Fehler mit Wahrscheinlichkeit } 0{,}93               \end{cases}</math>

<math>F</math> besitzt eine ''Verallgemeinerten Binomialverteilung'' mit Parametervektor <math>p=(0{,}04, 0{,}07, 0{,}07)</math>.

Alternativ kann die Parametrisierung <math>pr=(0{,}04, 0{,}07),\ nr=(1,2)</math> gewählt werden, indem die identischen Bernoulli Zufallsvariablen zu einer binomialverteilten Zufallsvariable zusammengefasst werden.

Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten können folgendermaßen berechnet werden:

* <math>0</math> Fehler: <math>P(F=0)</math>

::<math>P(F=0)=P(F_1=0)\cdot P(F_2=0)\cdot P(F_3=0)=0{,}96\cdot 0{,}93\cdot 0{,}93=0{,}830304=83{,}0304\,\%</math>

* <math>1</math> Fehler: <math>P(F=1)</math>

::<math>\begin{align}
P(F=1)&= P(F_1=1)\cdot P(F_2=0) \cdot P(F_3=0)+P(F_1=0)\cdot P(F_2=1) \cdot P(F_3=0) + P(F_1=0)\cdot P(F_2=0) \cdot P(F_3=1) \\
&= 0{,}04\cdot 0{,}93\cdot 0{,}93+0{,}96\cdot 0{,}07\cdot 0{,}93+0{,}96\cdot 0{,}93\cdot 0{,}07=0{,}159588=15{,}9588\,\%
\end{align}</math>

* <math>2</math> Fehler: <math>P(F=2)</math>

::<math>\begin{align}
P(F=2) &= P(F_1=1)\cdot P(F_2=1) \cdot P(F_3=0)+P(F_1=0)\cdot P(F_2=1) \cdot P(F_3=1)	+ P(F_1=1)\cdot P(F_2=0) \cdot P(F_3=1) \\
&= 0{,}04\cdot 0{,}07\cdot 0{,}93+0{,}96\cdot 0{,}07\cdot 0{,}07+0{,}04\cdot 0{,}93\cdot 0{,}07=0{,}009912=0{,}9912\,\%
\end{align}</math>

* <math>3</math> Fehler: <math>P(F=3)</math>

::<math>P(F=3)=P(F_1=1)\cdot P(F_2=1) \cdot P(F_3=1)=0{,}04\cdot 0{,}07\cdot 0{,}07=0{,}000196=0{,}0196\,\%</math>

== Anwendung & Berechnung ==
Die ''Verallgemeinerte Binomialverteilung'' kommt in vielen Bereichen zum Einsatz; z.&nbsp;B. Umfragen, Herstellungsprozesse, Qualitätssicherung. Oft wird allerdings eine Approximation benutzt, da die exakte Berechnung sehr aufwändig ist. Ohne entsprechende Software sind selbst einfache Modelle mit wenigen Bernoulli Zufallsvariablen kaum zu berechnen.

== Zufallszahlen ==
Zur Erzeugung von Zufallszahlen kann die [[Inversionsmethode]] verwendet werden. Alternativ kann man auch <math> n </math> [[Bernoulli-Verteilung#Simulation|Bernoulli-verteilte Zufallszahlen]] zu den Parametern <math> p_i </math> erzeugen und diese Aufsummieren. Das Ergebnis ist dann verallgemeinert binomialverteilt.

== Literatur ==
* M.Fisz, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1973, p. 164 ff.
* K.J. Klauer, Kriteriumsorientierte Tests, Verlag für Psychologie, Hogrefe, 1987, Göttingen, p. 208 ff.

== Weblinks ==
* [https://cran.r-project.org/web/packages/GenBinomApps/GenBinomApps.pdf ''GenBinomApps'' – R Package]. R Package zur Berechnung von Clopper Pearson Konfidenzintervallen und der verallgemeinerten Binomialverteilung. Abgerufen am 30. Juli 2015.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}
[[Kategorie:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]