Quelltext der Seite Von-Mises-Verteilung

{{Infobox Verteilung
 | name       =
 | type       = density
 | pdf_image  = [[Datei:VonMises distribution PDF.svg|280px]]
 | cdf_image  = [[Datei:VonMises distribution CDF.svg|280px]]
 | parameters = <math>\mu \in \R</math>, <math>\kappa > 0</math>
 | support    = beliebiges [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] der Länge 2π
 | pdf        = <math>\frac{1}{2\pi I_0(\kappa)}e^{\kappa\cos(x-\mu)}</math>
 | cdf        = nicht [[Gleichung#Analytische Lösung|analytisch]], siehe Text
 | mean       = <math>\mu</math>
 | variance   = <math>1-I_1(\kappa)/I_0(\kappa)</math> (zirkulär)
 | entropy    = <math>\ln(2\pi I_0(\kappa))-\kappa\frac{I_1(\kappa)}{I_0(\kappa)}</math>
 | char       = <math>\frac{I_{|t|}(\kappa)}{I_0(\kappa)}e^{i t\mu}</math>
}}

Die '''Von-Mises-Verteilung''' ist die Entsprechung der [[Normalverteilung]] für periodische Funktionen. Sie hat zwei Parameter, <math>\mu</math> für die Lage des Maximums und <math>\kappa</math> für die Schärfe der Verteilung. Die Funktion ist symmetrisch um ihr Maximum an der Stelle <math>\mu</math>. Für <math>\kappa = 0</math> geht sie in die [[Gleichverteilung]] über. Für große <math>\kappa</math> geht sie in die (periodisch fortgesetzte) Normalverteilung mit [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] <math>\sigma^2 = 1/\kappa</math> über.

Die ''Von-Mises-Verteilung'' gilt im Bereich der [[Zirkuläre Statistik|zirkulären Statistik]] als die am einfachsten handhabbare Verteilungsfunktion. Sie hat die Eigenschaft, die [[Maximum-Entropie-Methode|Entropie zu maximieren]], wenn lediglich das ''zirkuläre Mittel'' und die ''zirkuläre Varianz'' gegeben sind.<ref name="Jammalamadaka">S. Rao Jammalamadaka, A. Sengupta: ''Topics in circular statistics.'' World Scientific 2001, ISBN 981-02-3778-2, {{Google Buch|BuchID=sKqWMGqQXQkC|Seite=39|Hervorhebung=entropy}}</ref>

Sie ist nach dem österreichischen Mathematiker [[Richard von Mises]] benannt.<ref>R. von Mises: ''Über die „Ganzzahligkeit“ der Atomgewichte und verwandte Fragen.'' Physikalische Zeitschrift 19, 1918, S.&nbsp;490–500.</ref>

Summen mehrerer ''Von-Mises-Komponenten'' werden dann gegenüber der [[Fourier-Analyse]] bevorzugt, wenn die zu approximierende Funktion über weite Teile der Periode verschwindet, siehe die beiden letzten Beispiele:
* Häufigkeitsverteilung der Abflugrichtung von Brieftauben,
* Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Hauptwindrichtung im Rahmen einer Vorhersage,
* Intensitätsverlauf des Radiosignals eines [[Pulsar]]s,<ref>R. N. Manchester et al.: ''The Parkes Pulsar Timing Array Project.'' Publications of the Astronomical Society of Australia (PASA) 30, 2013, [[doi:10.1017/pasa.2012.017]] (Open access).</ref>

* [[Bayes-Schätzer|Bayes-Schätzung]] mit mehrdeutigen Messungen.<ref>Ivan Marković, Ivan Petrović: ''Bearing-Only Tracking with a Mixture of von Mises Distributions.'' Beitrag zur  2012 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS), [[doi:10.1109/IROS.2012.6385600]], ([http://bib.irb.hr/datoteka/587013.iros2012_master.pdf online]).</ref>

== Definition ==
Im Folgenden ist <math>x</math> entweder der geometrische [[Winkel]] in der Ebene oder der [[Phasenwinkel]] eines Signals. Die [[Dichtefunktion]] der Von-Mises-Verteilung lautet:

:<math>f(x\mid\mu,\kappa)=\frac{1}{2\pi I_0(\kappa)}e^{\kappa\cos(x-\mu)}</math>

Der Faktor vor der [[Exponentialfunktion]] normiert das [[Integralrechnung#Integral für kompakte Intervalle|Integral der Funktion über eine Periode]] auf den Wert 1. Darin ist <math>I_0(\kappa)</math> die [[Besselsche Differentialgleichung#Modifizierte Bessel-Funktionen|modifizierte Bessel-Funktion]] nullter Ordnung.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}

[[Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]