Quelltext der Seite Weyl-Gruppe

In der [[Mathematik]] ist die '''Weyl-Gruppe''' ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung von [[Lie-Gruppe]]n und [[Lie-Algebra|Lie-Algebren]] und allgemeiner von [[Wurzelsystem]]en. Sie ist nach [[Hermann Weyl]] benannt, der 1925 ihre Bedeutung erkannte.

== Weyl-Gruppe einer Lie-Gruppe ==

Es sei <math>G</math> eine [[halbeinfache Lie-Gruppe]] und 
:<math>G=KAN</math>
ihre [[Iwasawa-Zerlegung]] (K ist eine kompakte Untergruppe, A eine abelsche und N eine nilpotente). Es seien <math>\mathcal{N}_G(A)</math> der [[Normalisator]] von <math>A</math> in <math>G</math> und <math>\mathcal{Z}_G(A)</math> der [[Zentralisator]] von <math>A</math> in <math>G</math>.
Die ''Weyl-Gruppe'' ist definiert als
:<math>W=\mathcal{N}_G(A)/\mathcal{Z}_G(A)</math>.
Sie ist eine [[endliche Gruppe]], die von Elementen der [[Ordnung einer Gruppe|Ordnung]] 2 erzeugt wird.

=== Weyl-Gruppe einer kompakten Lie-Gruppe ===
Für jeden [[Maximaler Torus|maximalen Torus]] <math>T\subset G</math> sei <math>\mathcal{N}_G(T)</math> und <math>\mathcal{Z}_G(T)</math> der Normalisator und Zentralisator von <math>T</math>, dann ist
:<math>W=\mathcal{N}_G(T)/\mathcal{Z}_G(T)=\mathcal{N}_G(T)/T</math>
die Weyl-Gruppe von <math>T</math>.

== Weyl-Gruppe eines Wurzelsystems ==
{{Hauptartikel|Wurzelsystem}}

Es sei <math>R</math> ein [[Wurzelsystem]] in einem [[Vektorraum]] <math>V</math>, dann heißt die von den [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelungen]] an den von den Wurzeln erzeugten [[Hyperebene]]n
:<math>\left\{s_\Alpha: \Alpha\in R\right\}</math> 
[[Erzeuger (Algebra)|erzeugte]] Gruppe
<math>W</math> die ''Weyl-Gruppe'' des Wurzelsystems. 

Falls <math>G</math> eine halbeinfache Lie-Gruppe mit [[Lie-Gruppe#Lie-Algebra der Lie-Gruppe|Lie-Algebra]] <math>\mathfrak{g}</math> ist, dann betrachtet man eine [[Cartan-Unteralgebra]] <math>\mathfrak{a}\subset\mathfrak{g}</math> und das dazugehörige [[Wurzelsystem#Lie-Algebren|Wurzelsystem]] <math>R</math>. Die Weyl-Gruppe von <math>(\mathfrak{a},R)</math> stimmt mit der Weyl-Gruppe von <math>G</math> überein.

== Längstes Element ==

Das '''längste Element''' der Weyl-Gruppe (zu einem gegebenen Wurzelsystem) ist das Element maximaler Länge bzgl. des durch Spiegelungen an den von Wurzeln erzeugten Hyperebenen gegebenen Erzeugendensystems.

== Beispiel ==

Die Weyl-Gruppe der [[Spezielle lineare Gruppe|speziellen linearen Gruppe]] <math>SL(n,\R)</math> ist die [[symmetrische Gruppe]] <math>S_n</math>. Das längste Element ist die Permutation <math>(1,2,\ldots,n-1,n)\to(n,n-1,\ldots,2,1)</math>.

== Literatur ==
* [[Michael Davis]]: ''The Geometry and Topology of Coxeter Groups'', ISBN 978-0-691-13138-2 

== Weblinks ==
* [[Alexander Kirillov]]: ''An introduction to Lie groups and Lie algebras'', [http://www.math.sunysb.edu/~kirillov/mat552/liegroups.pdf PDF] (Kapitel 8)
*[http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Weyl_group Encyclopedia of Mathematics, A. S. Fedenko]
[[Kategorie:Symmetriegruppe]]
[[Kategorie:Theorie der Lie-Gruppen]]
[[Kategorie:Theorie der Lie-Algebren]]