Quelltext der Seite Zeta-Funktion

Ursprünglich war mit '''Zeta-Funktion''' oder '''<math>\zeta</math>-Funktion''' in der Mathematik die [[Holomorphe Funktion|holomorphe]]<ref>Brockhaus Enzyklopädie in 24 Bänden, 19. Aufl., Bd. 18, S. 407, Mannheim 1992.</ref> [[komplexe Funktion]]
: <math>\zeta(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^z}\quad </math>, mit <math>z\in \mathbb{C},\, \Re(z)>1</math>
gemeint. Heute heißt diese genauer [[riemannsche Zeta-Funktion]], zu Ehren von [[Bernhard Riemann]], der um 1850 bedeutende Arbeiten zur Untersuchung dieser Funktion im Komplexen leistete. Als [[reelle Funktion]] geht das Studium der Zeta-Funktion auf [[Leonhard Euler]] in den 1730er und 1740er Jahren zurück, der unter anderem die Werte der Zeta-Funktion bei positiven geradzahligen Argumenten bestimmte und die Produktformel fand.

Einige Werte sind<ref>CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, ed. Eric W. Weinstein. Chapman&Hall: Boca Raton [u. a.]. 2nd ed. 2003, S. 2564.</ref>

:<math>\zeta(1) = \infty</math>
:<math>\zeta(2) = \frac{\pi^2}6</math>
:<math>\zeta(3) = 1{,}2020569032...</math>
:<math>\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}</math>
:<math>\zeta(5) = 1{,}0369277551...</math>
:<math>\zeta(6) = \frac {\pi^6}{945}</math>
:<math>\zeta(7) = 1{,}0083492774...</math>
:<math>\zeta(8) = \frac{\pi^8}{9450}</math>
:<math>\zeta(9) = 1{,}0020083928...</math>
Seither wurden viele in Definition oder Eigenschaften ähnliche oder verallgemeinernde Funktionen untersucht, denen dann auch der Name Zeta-Funktion zusammen mit dem ihres Entdeckers gegeben wurde.

Die wichtigsten weiteren Zetafunktionen sind:
* [[Airysche Zeta-Funktion]]
* [[Artin-Mazursche Zeta-Funktion]]
* [[Dedekindsche Zeta-Funktion]]
* [[Epsteinsche Zeta-Funktion]]
*[[Hasse-Weil-Zetafunktion]]
* [[Hurwitzsche Zeta-Funktion]]
*[[Igusa-Zetafuntkion]]
*[[Ihara-Zetafunktion]]
* [[Jacobische Zetafunktion]]
* [[Lefschetzsche Zeta-Funktion]]
* [[Lerchsche Zeta-Funktion]]
* [[Ninitsche Zeta-Funktion]]
*[[Ruelle-Zetafunktion]] oder Dynamische Zetafunktion
* [[Selbergsche Zeta-Funktion]]
* [[Weierstraßsche Zeta-Funktion]]
* [[Primzetafunktion]]

Ebenfalls mit der riemannschen Zeta-Funktion verwandt, ohne das „Zeta“ im Namen zu tragen, sind die [[Dirichletsche L-Funktion|dirichletschen L-Funktionen]], die [[Dirichletsche η-Funktion|dirichletsche Eta-Funktion]] <math>\eta</math> und die [[Dirichletsche Betafunktion|dirichletsche Beta-Funktion]] <math>\beta</math>.

== Literatur ==
*[[Pierre Cartier (Mathematiker)|Pierre Cartier]]: An introduction to Zeta Functions, in M. Waldschmidt u.&nbsp;a. (Hrsg.), From Number Theory to Physics, Springer 1992, S. 1–63
*[[Anton Deitmar]]: A panorama of Zeta functions, in E. Kähler, Mathematical Works, De Gruyter 2003, [https://arxiv.org/abs/math/0210060 Arxiv]
*[[Mircea Mustaţă]]: Zeta functions in algebraic geometry, Vorlesung 2011 ([http://www-personal.umich.edu/~mmustata/zeta_book.pdf pdf])
* Bernhard Schiekel: ''Zetafunktionen in der Physik – eine Einführung'', {{doi|10.18725/OPARU-4418}}
*Alan David Thomas: ''Zeta-Functions: an introduction to algebraic geometry'', Pitman 1977

== Weblinks ==
* [http://www.secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/directoryofzetafunctions.htm A Dictionary of All Known Zeta Functions]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analytische Funktion]]