Dichtheitssatz von Jacobson

Der Dichtheitssatz von Jacobson, benannt nach Nathan Jacobson, ist ein mathematischer Satz aus der Darstellungstheorie mit Anwendungen in der Ringtheorie und Gruppentheorie. Er wurde erstmals 1945 von Jacobson bewiesen und stellt eine enge Beziehung zwischen gewissen Ringen und Matrizenringen über Schiefkörpern her.

Definitionen

Es sei $R$ ein Ring mit Einselement und $M$ ein Links-R-Modul. Ein solcher Modul heißt einfach, wenn er keine nicht-trivialen Untermoduln, das heißt neben $\{0\}$ und $M$ keine weiteren Untermoduln, enthält. Der Modul heißt treu, wenn $rM=\{0\}$ nur für $r=0$ gilt.

$\mathrm {End} _{R}(M)$ sei der Ring der R-Endomorphismen auf $M$. Dann wird $M$ durch die Definition

$\alpha \cdot m:=\alpha (m)$   für   $\alpha \in \mathrm {End} _{R}(M),m\in M$

zu einem $\mathrm {End} _{R}(M)$-Modul und man kann von $\mathrm {End} _{R}(M)$-linearen Abbildungen sprechen.

Die $R$-Linearität von Endomorphismen $\alpha \in \mathrm {End} _{R}(M)$ besagt gerade

$\alpha (rm)=r\alpha (m)$   für alle   $r\in R,m\in M,\alpha \in \mathrm {End} _{R}(M)$.

Bezeichnet man mit $\ell _{r}$ die Linksmultiplikation mit $r$ auf $M$, so kann man obige Gleichung auch so lesen, dass jedes $\ell _{r}$ eine $\mathrm {End} _{R}(M)$-lineare Abbildung ist. Beachte, dass die $\ell _{r}$ im Allgemeinen nicht $R$-linear sind, wenn $R$ nicht kommutativ ist.

Formulierung des Satzes

Es sei $R$ ein Ring mit Einselement, $M$ ein einfacher, treuer Links-$R$-Modul und $\varphi$ eine $\mathrm {End} _{R}(M)$-lineare Abbildung.

Dann gibt es zu je endlich vielen $m_{1},\ldots ,m_{n}\in M$ ein $r\in R$ mit $\varphi (m_{i})=rm_{i}$ für alle $i=1,\ldots ,n$.

In Worten: Jede $\mathrm {End} _{R}(M)$-lineare Abbildung verhält sich auf einer endlichen Menge wie die Linksmultiplikation mit einem Ringelement.

Bemerkungen

Wegen der Einfachheit des Links-$R$-Moduls $M$ ist $D=\mathrm {End} _{R}(M)$ nach dem Lemma von Schur ein Schiefkörper. Für jedes $m\in M$ und $\varphi \in \mathrm {End} _{D}(M)$ sei

$B(m,\varphi ):=\{\psi \in \mathrm {End} _{D}(M)\mid \varphi (m)=\psi (m)\}$.

Dann bilden die $B(m,\varphi )$ die Subbasis einer Topologie auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{End}_D(M)} , die man die finite Topologie nennt.

In der Situation des Satzes ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ell_r \in \mathrm{End}_D(M)} und wegen der Treue kann man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r\in R} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ell_r} identifizieren. In diesem Sinne ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R\subset \mathrm{End}_D(M)} und obiger Satz besagt gerade, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R\subset \mathrm{End}_D(M)} dicht liegt bezüglich der finiten Topologie. Daher rührt der Name Dichtheitssatz.

Eine weitere Besonderheit liegt vor, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} ein endlichdimensionaler Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D} -Vektorraum ist. Wählt man in obigem Satz eine Vektorraumbasis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m_1, \ldots, m_n \in M} , so ist jeder Endomorphismus aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{End}_D(M) \cong M_n(D)} bereits durch seine Werte auf den Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m_i} eindeutig bestimmt, und aus dem Dichtheitssatz von Jacobson ergibt sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R\cong M_n(D)} .

Primitive Ringe

Ein Ring Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} mit Einselement heißt primitiv, wenn er einen treuen, einfachen Modul hat. Der Dichtheitssatz von Jacobson sagt zusammen mit obiger Bemerkung aus, dass es zu einem primitiven Ring Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} einen Schiefkörper Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D} und einen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D} -Modul Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} gibt, so dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} dicht in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{End}_D(M)} liegt, denn der nach Definition existierende treue, einfache Modul leistet das Verlangte.

Diese Eigenschaft charakterisiert primitive Ringe, denn ist umgekehrt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R\subset \mathrm{End}_D(M)} dicht für einen Modul Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} über einem Schiefkörper Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D} , so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} -Modul treu, denn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R\subset \mathrm{End}_D(M)} , und wegen der Dichtheit auch einfach.

Diese Charakterisierung primitiver Ringe ist letztlich nichts anderes als eine alternative Formulierung des Dichtheitssatzes von Jacobson, man kann letzteren daher auch in dieser Form finden. Jacobson formuliert den Satz in seinem Lehrbuch Basic Algebra zweimal, zunächst wie oben und dann als Charakterisierung primitiver Ringe unter dem Namen Density Theorem for Primitive Rings.

Gruppendarstellungen

Als weiteres Anwendungsbeispiel zeigen wir einen auf Burnside zurückgehenden Satz.

• Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} eine Gruppe und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho:G\rightarrow \mathrm{GL}(\Complex^n)} eine n-dimensionale, irreduzible Darstellung über dem Körper der komplexen Zahlen. Dann gibt es Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_1, \ldots, g_{n^2} \in G} , so dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho(g_1), \ldots, \rho(g_{n^2})} Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Complex} -linear unabhängig sind.

Wir betrachten die Gruppenalgebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Complex[G]} und die kanonische Erweiterung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho} zu einem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Complex} -Algebrenhomomorphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde{\rho}:\Complex[G] \rightarrow \mathrm{End}_\Complex(\Complex^n)} . Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R = \tilde{\rho}(\Complex[G]) \subset \mathrm{End}_\Complex(\Complex^n) } . Diese Definitionen machen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Complex^n} zu einem treuen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} -Modul, der wegen der vorausgesetzten Irreduzibilität einfach ist. Es ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D=\mathrm{End}_R(M) = \Complex} nach dem Lemma von Schur zusammen mit der algebraischen Abgeschlossenheit von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Complex} . Aus dem Dichheitssatz von Jacobson und nachfolgender Bemerkung folgt nun Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R=\mathrm{End}_\Complex(\Complex^n)} , das heißt der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n^2} -dimensionale Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Complex} -Vektorraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{End}_\Complex(\Complex^n)} wird als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Complex} -Vektorraum von den Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho(g), g\in G} erzeugt. Aus dem Basisauswahlsatz folgt nun die Behauptung.

Diese Aussage kann für Zählargumente verwendet werden. Im unten angegebenen Lehrbuch von Derek J. S. Robinson wird ausgeführt, wie sich daraus ein Satz von Schur ergibt, wonach jede Torsionsgruppe in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{GL}(n, \Q)} endlich ist.

Siehe auch

• Der Transitivitätssatz von Kadison ist eine analoge Dichtheitsaussage für irreduzible Darstellungen von C*-Algebren auf Hilberträumen.