Benutzer:Meier99/Skalare, Vektoren und Tensoren

Skalare, Vektoren und Tensoren

Dieser Unterabschnitt ist aus sachlichen Gründen sehr formal, wovon man sich nicht abschrecken lassen sollte. Wenn nötig, kann er einfach übergangen werden.

Größen verschiedener Stufen

Skalar	Masse, Temperatur
Pseudoskalar	Helizität
Vektor	Kraft
Pseudovektor	Drehmoment
Tensor 2-ter Stufe	Trägheitstensor
Tensor 3-ter Stufe	Piezoelektrischer Tensor
Tensor 4-ter Stufe	Elastizitätstensor

Bestimmte physikalische Größen besitzen eine Orientierung im physikalischen Raum, sodass der gemessene Größenwert von der Messrichtung abhängt. Beispielsweise ist die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs typischerweise entlang einer Straße gerichtet; die gemessene Geschwindigkeit senkrecht zu dieser ist Null. Allgemein lässt sich der Bezug jeder physikalischen Größe zum Raum als Tensor darstellen. Man unterscheidet dabei:

• Tensoren 0-ter Stufe oder Skalare: Dies sind alle Größen, die keine Richtungsabhängigkeit aufweisen, d. h., einzig durch ihren Größenwert bestimmt sind. Das gilt insbesondere für das sog. Skalarprodukt (siehe das Folgende).
• Tensoren 1-ter Stufe oder Vektoren: Dies sind alle Größen $U$, die durch ihren Größenwert (Betrag) und ihre Richtung vollständig bestimmt sind (eine einzige Richtung, drei Komponenten $u_{i}$). Zwischen zwei Vektoren $W$ bzw. $U$ kann man das Skalarprodukt bilden: In kartesischen Koordinaten: $\langle W|U\rangle :=\sum _{i=1}^{3}w_{i}\cdot u_{i}$.
  Ein typisches Messergebnis erhält man mit einem einstufigen Zusammenhang von $U$ und $W$:  $w_{i}=v^{(1)}\cdot u_{i}$   (genauer: $w_{i}=v^{(1)}(U)\cdot u_{i}).$  der Gesamteffekt ist also:
  

$T^{(1)}=\sum _{i=1}^{3}w_{i}\cdot v^{(1)}\cdot u_{i}\,.$

• Tensoren 2-ter Stufe: Diese bilden zunächst den Vektor $U$ auf einen anderen Vektor ab: $U\to W=P^{(W)}(U)$., worauf dann wieder ein Skalarprodukt folgt. Der Zusammenhang zwischen $U$ und $W$ ist aber jetzt zweistufig. Es folgt die Doppelsumme:

$T^{(2)}\ =\ \ \sum _{i=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}w_{k}\cdot v_{k\,i}^{(2)}\cdot u_{i}$.

(genauer: $v_{k\,i}^{(2)}=v_{k\,i}^{(2)}(W,U)$)

Die Formel für den Gesamteffekt gibt direkt das Ursache-Vermittlung-Wirkung-Prinzip (Drei-Finger-Regel) wieder, wobei hier die kanonische Reihenfolge der Quantenmechanik (von rechts nach links statt von links nach rechts) benutzt wird und wobei die Ursache $u_{i}$ in eine andere Richtung zeigen kann als die Wirkung $w_{k}$, während die Vermittlung durch die $v_{k\,i}^{(2)}$ erfolgt. Die $v_{\dots }^{(2)}$ , oft einfach mit dem griechischen Buchstaben $\chi _{\dots }$ bezeichnet, sind sog. verallgemeinerte Suszeptibilitäten. (Wenn zwischen $U$ und $W$ eine zeitliche Distanz liegt, betrachtet man sogar eine Frequenzabhängigkeit dieser Größen .)

Das vermittelnde System $v_{k\,i}^{(2)}$ gerichteter Größenwerte (mit zwei unabhängigen Richtungen) ist ein Tensor zweiter Stufe. (Vektoren sind einfach Tensoren erster Stufe.)

• Tensoren n-ter Stufe $T^{(n)}$ entstehen durch Verallgemeinerung von $n=2$ auf das „n-fache“, was z. B. rekursiv erfolgen kann. Mathematisch ist also $T^{(n)}$ im einfachsten Fall durch das n-fache Tensorprodukt (siehe unten) von Vektoren ${V_{\ell _{1}}}$ bis ${V_{\ell _{n}}}$ gegeben. (Das Tensorprodukt zweier Vektoren $W$ und $U\,,$  $T^{(2)}:=W\otimes U\,,$ ist eine 3x3-Matrix mit den Elementen $T_{k\,i}^{(2)}=w_{k}\cdot u_{i}\,.$ Die oben genannte „vermittelnde Größe“ $v_{k\,i}^{(2)}$ hat also hier einfach für alle i und k den Wert Eins. Im allgemeinen Fall ist das komplizierter: Es entstehen erneut Ausdrücke der schon bekannten Form:

$T^{(n)}=\sum _{\ell _{1}}\dots \sum _{\ell _{n}}w_{\ell _{1}}\dots w_{\ell _{q}}\cdot v_{\ell _{1}\,\dots \,\ell _{n}}^{(n)}\cdot u_{\ell {q+1}}\dots u_{n}$
wobei aber jetzt q nicht notwendig gleich n/2 sein muss.)

Diese und andere Objekte sind Gegenstand der Differentialgeometrie.

Es resultieren so jedenfalls n-fache Summen anstelle der Doppelsummen im Falle n=2. Tensoren höherer Stufe beschreiben also Resultate, die durch ihren Größenwert in $n$ unabhängigen Richtungen bestimmt sind und infolgedessen durch eine n-stufige Form beschrieben werden.

Der Tensorcharakter einer Größe wird von ihrem Größenwert getrennt. Vektoren beispielsweise lassen sich mathematisch als Produkt aus Größenwert (Betrag) und Richtungsvektor mit Betrag Eins darstellen. Tensoren zweiter Stufe sind z. B. der sog. Trägheitstensor, eine in der Mechanik rotierender Objekte auftretende Größe, oder der sog. Spannungstensor in der Elastizitätstheorie, von dem der Name „Tensor“ herrührt. Tensoren höherer Stufe treten u. a. in der Nichtlinearen Optik auf.

Grundlegend für die Elastizitätstheorie ist beispielsweise der Ausdruck $E_{Elast.}\ {\text{(= elast. Energie)}}\ =\sum \sum \sigma _{k\,i}\cdot \epsilon _{i\,k}$, wobei über i und k summiert wird. Dabei beschreibt die vorletzte Größe den Spannungstensor und die letzte den sog. Dehnungstensor. (Das Resultat entspricht der sog. „Spur“-Operation angewandt auf das Tensorproduktes $T^{(4)}=\sigma \otimes \epsilon$ der erwähnten Tensoren, das den vierstufigen sog. Elastizitätstensor ergibt.)

Als Literatur zu diesem Absatz wird der erste Eintrag in der unten angegebenen Literaturliste empfohlen.

Invarianzen

Eine physikalische Größe ist auch in diesem Fall invariant unter Koordinatentransformationen. So wie das System ihrer Größenwerte unabhängig von der Einheit ist, so ist die jeweilige Richtung unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems.

Tensoren haben unter Punktspiegelung ein für ihre Stufe charakteristisches Verhalten. So ändert sich eine skalarwertige Größe eines Objekts nicht, wenn man dieses Objekt an einem Punkt spiegelt. Eine vektorwertige Größe, wie etwa die Geschwindigkeit, zeigt nach der Punktspiegelung hingegen in die entgegengesetzte Richtung. Manche Größen verhalten sich zwar bei Drehung und Verschiebung wie Tensoren, weichen jedoch unter Punktspiegelung ab. Derartige Größen bezeichnet man als Pseudotensoren. Bei Pseudoskalaren ändert der Größenwert sein Vorzeichen. Bei Pseudovektoren wie etwa dem Drehimpuls dreht sich die Richtung durch eine Punktspiegelung des Objekts nicht um.