Diskussion:Volumenableitung

@HilberTraum. Du schriebst am 19.04.2013: „Beide Ableitungstypen werden als Grenzwerte von Randintegralen eingeführt und stellen differentielle Formulierungen des Integralsatzes von Stokes dar.“ Für die Flächenableitung o.k.! Die Volumenableitung ist eher eine Folgerung aus dem Satz von Gauß. Deshalb schlage ich vor: ‚Beide Ableitungstypen werden als Grenzwerte von Randintegralen eingeführt und stellen differentielle Formulierungen der Integralsätze von Stokes bzw. Gauß dar.‘

Nebenbei: Nach einigen Zweifeln neige ich dazu, die Volumenintegral-Grenzwerte als vorrangige Definitionen von Gradient, Divergenz und Rotation anzusehen - jedenfalls im Ortsraum. Die koordinatenweisen Definitionen empfinde ich als weniger befriedigend, zumal sie zwanglos aus den Volumenintegral-Grenzwerten folgen. Deshalb hatte ich die Artikel über Gradient und Rotation entsprechend ergänzt. Modalanalytiker (Diskussion) 21:10, 19. Apr. 2013 (CEST)

„Satz von Stokes“ ist mehrdeutig – man meint damit auch einen allgemeinen Satz, der den Satz von Gauß und den „klassischen“ Satz von Stokes aus der Vektoranalysis mit einschließt. --Chricho ¹ ² ³ 21:13, 19. Apr. 2013 (CEST)

Danke, das hatte ich nicht gesehen; dann kann das durch genauere Verweise in den Stokes-Artikel klargestellt werden. Modalanalytiker (Diskussion) 21:50, 19. Apr. 2013 (CEST)

Ich finde es auch so besser wie du vorschlägst, weil der allgemeine Satz von Stokes deutlich abstrakter ist. Leider hat der klassische Satz keinen eigenen Artikel, aber ich habe jetzt auf den entsprechenden Abschnitt verlinkt. -- HilberTraum (Diskussion) 10:32, 20. Apr. 2013 (CEST)

Ist ein eigener Artikel für den klassischen Stokesschen Integralsatz gewünscht? Eine Diskussion zu diesem Thema verlief 2010 ohne Konsens, siehe Portal:Mathematik/Qualitätssicherung/Archiv/2010/Oktober.--Christian1985 (Disk) 12:08, 23. Mai 2013 (CEST)

Ja, ich fände einen eigenen Artikel dazu deutlich besser, vor allem um Ingenieure und Physiker besser "mitzunehmen". Zum klassischen Satz gäbe es meiner Meinung nach genug zu sagen (Beispiele, Anwendungen, Geschichte), was den Artikel zum allgemeinen Satz sprengen würde. Natürlich müssten die beiden Artikel deutlich aufeinander verweisen, also in Satz von Stokes als Spezialfall lassen (aber natürlich kürzen) und im neuen Artikel dann einen Abschnitt "Verallgemeinerungen". -- 12:47, 23. Mai 2013 (CEST)

Neuer Abschnitt: Verallgemeinerung durch die Cartan-Ableitung

Hallo,

leider kann ich in dem Abschnitt "Verallgemeinerung durch die Cartan-Ableitung" nicht den Zusammenhang zur Volumenableitung erkennen. Einen eigenen Artikel zur Cartan-Ableitung existiert auch schon, in dem auch die Zusammenhänge zum Gradienten, zur Divergenz und zur Rotation dargestellt werden. Viele Grüße--Christian1985 (Disk) 10:05, 14. Sep. 2014 (CEST)

Hallo! Die Cartanableitung ist die direkte Fortführung des Konzepts der Volumenableitung! Du integrierst ein Vektorfeld über den Rand eines Volumens, dessen Inhalt du gegen null gehen lässt, und teilst durch das Volumen: Der Grenzwert ist die Divergenz des Vektorfelds. Du integrierst eine Differentialform über den Rand einer Kette, deren Volumen du gegen null gehen lässt, und teilst dadurch: Der Grenzwert ist die Cartanableitung. Ist das nicht zur Geltung gekommen? 141.70.80.5 01:38, 15. Sep. 2014 (CEST)

Die Volumenableitung hat vor allem im Ortsraum praktische Bedeutung. Für eine Verallgemeinerung dürften sich nur sehr wenige Leser interessieren. Vorschlag: Nur einen Hinweis geben, dass der Begriff Volumenableitung per Cartan-Ableitung verallgemeinerbar ist. --Modalanalytiker (Diskussion) 12:40, 15. Sep. 2014 (CEST)

Leider verstehe ich den direkten Zusammenhang immernoch nicht. Die Cartan-Ableitung ist, soweit mir bekannt, entweder durch eine Summenformel (siehe Äußere_Ableitung#Formel_f.C3.BCr_die_.C3.A4u.C3.9Fere_Ableitung) oder mittels gewisser Axiome (siehe Äußere_Ableitung#Definition) definiert. Eine Definition mittels eines wie auch immer gearteten Differentialquotienten kenne ich leider nicht.--Christian1985 (Disk) 17:58, 15. Sep. 2014 (CEST)

Die Cartan-Ableitung ist mir bisher nicht untergekommen. Ich habe angenommen, dass der Zusammenhang besteht, keineswegs bestätigt. Wenn er nicht besteht, nehme ich meinen Hinweis-Vorschlag natürlich zurück. --Modalanalytiker (Diskussion) 19:02, 15. Sep. 2014 (CEST)

Die Geometrie wird auch nicht sehr oft zur Definition herangezogen. Nicht umsonst habe ich ja dafür eine Quelle angegeben. Ob man die jetzt so definiert oder nicht, ist letztlich egal, die Identifikation bleibt korrekt. Im Arnol'd wird das sogar bewiesen, wie man herausfindet, wenn man sich die Quelle mal anschaut (gibt es als PDF hier: http://www.math.boun.edu.tr/instructors/ozturk/eskiders/guz10m455/ClMech.pdf). In Jänichs Buch "Vektoranalysis" wird das zumindest als Motivation erwähnt. Man hätte auch einfach schreiben können $d\omega =\lim _{\operatorname {Vol} V\to 0}{\frac {\int _{\partial V}\omega }{\operatorname {Vol} V}}$. Man nehme den Mittelwertsatz der Integralrechnung und vergleiche das mit dem Satz von Stokes $\int _{\partial V}\omega =\int _{V}d\omega$. Dem Einwand, dass Volumenableitungen vor allem im Ortsraum praktische Bedeutung hätte, möchte ich widersprechen: An vielen Stellen in der Physik kommt man in die Gelegenheit, Rotation, Divergenz und Gradient für n-dimensionale Räume formulieren zu wollen: der Phasenraum in der klassischen Mechanik ist ein Beispiel, Integration über Raumzeit-Gebiete in der Relativitätstheorie und damit auch in der Elektrodynamik ist ein anderes (Quellen: Scheck/Theoretische Physik 3, Landau/Theoretische Physik 2; Seitenzahlen liefere ich gerne nach, falls gewünscht). --141.70.80.5 14:19, 20. Sep. 2014 (CEST)

Okey, so langsam beginne ich zu verstehen. Leider habe ich diese Darstellung der äußeren Ableitung in keinen - außer den von Dir angeführten - Büchern finden können. Ich werde mal weiterforschen und versuchen den Abschnitt noch etwas verständlicher zu gestalten.--Christian1985 (Disk) 18:17, 22. Sep. 2014 (CEST)

Allgemeine Definition der Volumenableitung im Bereich der quasikonformen Abbildungen

Hallo,

im Bereich der quasikonformen Abbildungen wird die Volumenableitung definiert durch

$Df:=\lim _{r\to 0}{\frac {\mu (f(B(z,r))))}{\mu (B(z,r))}}$,

wobei $f$ eine homöomorphe Funktion und $\mu$ das Lebesgue-Maß ist. Teilweise wird die Definition noch etwas allgemeiner gegeben.[1] [2] [3] Diese Definition scheint auch die Fälle in diesem Artikel mehr oder weniger zu umfassen. Aber im Wp-Artikel geht es nur um Vektoranalysis und in den Büchern ausschließlich um quasikonforme Abbildungen. Hat jemand eine Idee wie wir das hier unter einen Hut bekommen können?--Christian1985 (Disk) 10:27, 28. Okt. 2014 (CET)