S-Dualität (Homotopietheorie)

In der Algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet S-Dualität eine Dualität zwischen topologischen Spektren und damit zwischen verallgemeinerten Homologie- und Kohomologietheorien.

Definition

Es seien $A$ und $A^{*}$ zwei Spektra. Wir bezeichnen mit $A\wedge A^{*}$ ihr Smash-Produkt und mit $\mathbf {S}$ das Sphärenspektrum.

Ein Dualitätsmorphismus oder eine Dualität zwischen $A$ und $A^{*}$ ist ein Morphismus von Spektren

$u\colon \mathbf {S} \to A\wedge A^{*}$

so dass für jedes Spektrum $E$ die durch

$u_{E}(\phi ):=(\phi \wedge id_{A^{*}})u$

$u^{E}(\phi ):=(id_{A}\wedge \phi )u$

definierten Abbildungen

$u_{E}\colon \left[A,E\right]\to \left[\mathbf {S} ,E\wedge A^{*}\right]$

$u^{E}\colon \left[A^{*},E\right]\to \left[\mathbf {S} ,A\wedge E\right]$

Bijektionen sind.

Die Spektren $A$ und $A^{*}$ heißen S-dual, wenn es einen Dualitätsmorphismus $u\colon \mathbf {S} \to A\wedge A^{*}$ gibt. S-Dualität ist eine symmetrische Relation.

Zwei Spektren $A$ und $B$ heißen $n$-dual für $n\in \mathbb {N}$, wenn $A$ und $\Sigma ^{n}B$ S-dual sind. Dabei bezeichnet $\Sigma ^{n}B$ das durch $(\Sigma ^{n}B)_{k}=B_{k+n}$ definierte Spektrum.

S-dualer Morphismus

Seien $u\colon \mathbf {S} \to A\wedge A^{*}$ und $v\colon \mathbf {S} \to B\wedge B^{*}$ zwei Dualitätsmorphismen, dann ist zu jedem Morphismus

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon A\to B}

sein S-dualer Morphismus

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f^*\colon B^*\to A^*}

definiert als das Bild von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} unter dem Isomorphismus

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (v^{A^*})^{-1}u_B\colon \left[A,B\right]\to \left[\mathbf{S},B\wedge A^*\right]\to \left[B^*,A^*\right]} .

(Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f^*} ist also wohldefiniert bis auf Homotopie.)

Insbesondere ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\in\left[A,B\right]} genau dann S-dual zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\in\left[B^*,A^*\right]} , wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_B(f)=v_{A^*}(g)} .

Beispiele

• Die kanonische Äquivalenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u\colon\mathbf{S}\to \Sigma^n\mathbf{S}\wedge\Sigma^{-n}\mathbf{S}} ist eine S-Dualität.
• Für eine geschlossene Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -Mannigfaltigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} mit Einhängungsspektrum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Sigma^\infty M} wird die Milnor-Spanier S-Dualität

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u\colon\mathbf{S}\to Th(\nu_M)\wedge \Sigma^{-n}\Sigma^\infty M_+}

definiert wie folgt: Wähle eine Einbettung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M\subset S^N} für ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N \gg n} und eine Tubenumgebung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M\subset U\subset S^N} mit Projektion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p\colon \overline{U}\to M} . Dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Th(\nu_M)\simeq\overline{U}/\partial\overline{U}} und wir betrachten die Komposition

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon S^N\to \overline{U}/\partial\overline{U}\to \overline{U}/\partial\overline{U}\wedge M_+} ,

wobei die erste Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S^N-U} auf einen Punkt kollabiert und die zweite Abbildung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (id,p)} induziert wird. Dann ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u:=\Sigma^{-N}\Sigma^\infty f\colon \mathbf{S}\to Th(\nu_M)\wedge \Sigma^{-n}\Sigma^\infty M_+ }

eine S-Dualität.

Falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} bzgl. eines Ringspektrums Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} orientierbar ist, dann entsprechen die kohomologischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} -Orientierungen (Thom-Klassen) unter

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_E\colon\left[Th(\nu_M),E\right]\to\left[\mathbf{S},E\wedge\Sigma^{-n}\Sigma^\infty M_+\right]}

den homologischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} -Orientierungen (Fundamentalklassen).

Literatur

• Y. B. Rudyak: On Thom spectra, orientability, and cobordism, Springer-Verlag, 1998, Corrected reprint 2008

Weblinks

• Spanier-Whitehead: Duality in homotopy theory
• Milnor-Spanier: Two remarks on fiber homotopy type