Benutzer:Fb8cont/Ampère'sches Kraftgesetz

Der obere Draht mit Stromstärke I₁ erfährt eine Lorentzkraft F₁₂ aufgrund des Magnetfelds B₂, das der untere Draht erzeugt. (Der spiegelbildliche Sachverhalt für die Lorentzkraft auf den unteren Draht ist nicht eingezeichnet.)

Verknüpft man die Formel für die Lorentzkraft auf stromdurchflossene Leiter mit dem Biot-Savart-Gesetz für das Magnetfeld um stromdurchflossene Leiter, so ergibt sich eine Formel für die Kraft, die zwei stromdurchflossene dünne Leiter aufeinander ausüben, was in der Literatur auch als Ampère'sches Kraftgesetz (nicht zu verwechseln mit dem Ampère'schen Gesetz) bezeichnet wird.

Die allgemeine Formel für die Kraft ${\vec {F}}_{12}$ , die vom stromdurchflossenen dünnen Leiter 2 auf den stromdurchflossenen dünnen Leiter 1 ausgeübt wird, lautet:

${\vec {F}}_{12}={\frac {\mu _{0}\cdot I_{1}\cdot I_{2}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {{\text{d}}{\vec {\ell }}_{1}\ \mathbf {\times } \ ({\text{d}}{\vec {\ell }}_{2}\ \mathbf {\times } \ {\vec {r}}_{21})}{r^{3}}}$

wobei

• $I_{1}$ and $I_{2}$ die Stromstärken in Leiter 1 bzw. 2 sind,
• ${\text{d}}{\vec {\ell }}_{1}$ and ${\text{d}}{\vec {\ell }}_{2}$ die (infinitesimal kleinen) vektoriellen Linienelemente der beiden Leiter sind, über die im doppelten Linienintegral integriert wird,
• ${\vec {r}}_{21}/r$ der Vektor ist, der vom Linienelement des Leiters 2 zum Linienelement des Leiters 1 zeigt und $r=|{\vec {r}}_{21}|$ der Abstand zwischen den beiden Linienelementen ist.
• die Multiplikation × ist a Kreuzprodukt,
• das Vorzeichen von $I_{1}$ bzw. $I_{2}$ ist relativ zu der Orientierung von ${\text{d}}{\vec {\ell }}_{1}$ bzw. ${\text{d}}{\vec {\ell }}_{2}$; wenn also ${\text{d}}{\vec {\ell }}_{1}$ in Richtung der technischen Stromrichtung zeigt, dann ist $I_{1}>0$.

Für die Kraft ${\vec {F}}_{21}$ , die vom stromdurchflossenen dünnen Leiter 1 auf den stromdurchflossenen dünnen Leiter 2 ausgeübt wird gilt nach dem Wechselwirkungsgesetz: ${\vec {F}}_{21}=-{\vec {F}}_{12}$

Verknüpfung von Lorentzkraft und Biot-Savart

Für die Lorentzkraft auf den dünnen Leiter 1 gilt:

${\vec {F}}_{L}=I_{1}\cdot \int _{L_{1}}\left({\text{d}}{\vec {\ell }}_{1}\mathbf {\times } {\vec {B}}_{2}({\vec {r}}_{1})\right)$ , wobei ${\vec {B}}_{2}({\vec {r}}_{1})$ das Magnetfeld von Leiter 2 am Ort ${\vec {r}}_{1}$ ist

Und nach dem Gesetz von Biot-Savart gilt unter der Voraussetzung, dass Leiter 2 dünn ist:

${\vec {B}}_{2}({\vec {r}}_{1})={\frac {\mu _{0}I_{2}}{4\pi }}\cdot \int _{L_{2}}{\frac {{\text{d}}{\vec {\ell }}_{2}\ \mathbf {\times } \ {\vec {r}}_{21}}{r^{3}}}$

Setzt man ${\vec {B}}_{2}({\vec {r}}_{1})$ in die obere Formel ein, ergibt sich:

${\vec {F}}_{L}=I_{1}\cdot \int _{L_{1}}\left({\text{d}}{\vec {\ell }}_{1}\mathbf {\times } \left({\frac {\mu _{0}I_{2}}{4\pi }}\cdot \int _{L_{2}}{\frac {{\text{d}}{\vec {\ell }}_{2}\ \mathbf {\times } \ {\vec {r}}_{21}}{r^{3}}}\right)\right)$

Und nach Herausziehen des skalaren und konstanten Faktors ${\frac {\mu _{0}I_{2}}{4\pi }}$ folgt also:

${\vec {F}}_{L}={\frac {\mu _{0}\cdot I_{1}\cdot I_{2}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\left({\text{d}}{\vec {\ell }}_{1}\ \mathbf {\times } \int _{L_{2}}{\frac {{\text{d}}{\vec {\ell }}_{2}\ \mathbf {\times } \ {\vec {r}}_{21}}{r^{3}}}\right)$

Da Integral und Kreuzprodukt lineare Operatoren sind, gilt damit (absolute Integrierbarkeit vorausgesetzt):

${\vec {F}}_{L}={\frac {\mu _{0}\cdot I_{1}\cdot I_{2}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {{\text{d}}{\vec {\ell }}_{1}\ \mathbf {\times } \ ({\text{d}}{\vec {\ell }}_{2}\ \mathbf {\times } \ {\vec {r}}_{21})}{r^{3}}}$

In der differentiellen Form gilt damit:

${\text{d}}^{2}{\vec {F}}_{L}={\frac {\mu _{0}\cdot I_{1}\cdot I_{2}}{4\pi }}\cdot {\frac {{\text{d}}{\vec {\ell }}_{1}\ \mathbf {\times } \ ({\text{d}}{\vec {\ell }}_{2}\ \mathbf {\times } \ {\vec {r}}_{21})}{r^{3}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\cdot {\frac {I_{1}\cdot {\text{d}}{\vec {\ell }}_{1}\ \mathbf {\times } \ (I_{2}\cdot {\text{d}}{\vec {\ell }}_{2}\ \mathbf {\times } \ {\vec {r}}_{21})}{r^{3}}}$

Spezialfall für parallele Leiter

Veranschaulichung der Definition des Ampère

Wenn die beiden Leiter dünn sind und einander parallel gegenüberliegen wie die gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks, dann ergibt sich die schon von der Ampère-Definition her bekannte einfache Formel für den Betrag $F$ der aufeinander wirkenden Kräfte ${\vec {F}}_{12}$ bzw. ${\vec {F}}_{21}$:

$F=\ell \cdot {\frac {\mu _{0}\cdot I_{1}\cdot I_{2}}{2\pi \cdot r}}$

Dabei ist $\ell$ die jeweilige Länge der Leiter, $r$ ihr gegenseitiger Abstand und $I_{1}$ bzw. $I_{2}$ sind die Stromstärken in Leiter 1 bzw. 2.