Benutzer:Wm40/verstreutes

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Kommutativgesetz für Vektoren und Skalare

Siehe Reichardt, H.: Vorlesung über Vektor- und Tensorrechnung, VEB Dt. Verlag der Wissenschaften, Berlin 1957: S. 199.

Nachdem der Verfasser im dritten Kapitel über fast 60 Seiten Vektorräume endlicher Dimension über Schiefkörpern behandelt hatte, folgt Kapitel IV: Vektorräume über kommutativen Körpern. Wegen seiner grundsätzlichen Bedeutung (und der weitverbreiteten Nichtbeachtung dieses Zusammenhangs) sei der Einleitungsabschnitt zu diesem Kapitel hier wörtlich zitiert:

"In diesem Kapitel wird der Grundkörper $K$ stets als kommutativ vorausgesetzt. Es ist dann nicht mehr nötig, zwischen Rechts- und Linksvektorraum zu unterscheiden. Man kann nämlich jeden Linksvektorraum ${\mathfrak {V}}$ zu einem Rechtsvektorraum machen, indem man die Addition wie bisher in ${\mathfrak {V}}$ definiert, jedoch die Rechtsmultiplikation eines Vektors ${\mathfrak {a}}$ mit einem Skalar $a$ durch ${\mathfrak {a}}a=a{\mathfrak {a}}$ erklärt. Es gelten dann in der Tat die sämtlichen Gesetze eines Rechtsvektorraumes: Die auf die Addition allein bezüglichen Gesetze übertragen sich direkt. Weiter ist ${\mathfrak {a}}a=a{\mathfrak {a}}$ in der Menge enthalten, und speziell ist ${\mathfrak {a}}\cdot 1=1\cdot {\mathfrak {a}}={\mathfrak {a}}$. Die Kommunitativität von $K$ wird nur beim Assoziativgesetz der Multiplikation ausgenutzt: Nach Definition ist nämlich

$({\mathfrak {a}}b)c=c({\mathfrak {a}}b)=c(b{\mathfrak {a}})=(cb){\mathfrak {a}}={\mathfrak {a}}(cb)={\mathfrak {a}}(bc),$

während die Distributivgesetze wieder unabhängig davon sind:

$({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}})c=c({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}})=c{\mathfrak {a}}+c{\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}c+{\mathfrak {b}}c$

und

${\mathfrak {a}}(b+c)=(b+c){\mathfrak {a}}=b{\mathfrak {a}}+c{\mathfrak {a}}={\mathfrak {a}}b+{\mathfrak {a}}c.$

Wir können daher im folgenden die Skalare stets nach Belieben als Links- oder Rechtsfaktoren schreiben, also das Kommutativgesetz für Vektoren und Skalare anwenden:

$c{\mathfrak {a}}={\mathfrak {a}}c.$"

Siehe auch Geise, G.: Grundkurs Lineare Algebra, B.G. Teubner, Leipzig 1979: S. 42 oben.

Gradient eines Skalarprodukts

Im Folgenden sind alle Vektorgrößen als Vektoren eines geometrischen Vektorraums VO3 (Vektorraum der Ortsvektoren) gemeint. Dieser Vektorraum ist vom Vektorraum R3 (Vektorraum der Koordinatenvektoren) wohl zu unterscheiden!

Für den Gradienten eines Skalarprodukts zweier Vektoren ist die Formel

${\vec {\nabla }}({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})=({\vec {A}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {B}}+({\vec {B}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {A}}+{\vec {A}}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}})+{\vec {B}}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})$ ....(1)

zu beweisen. Zunächst gilt natürlich die Produktregel

${\vec {\nabla }}({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})={\vec {\nabla }}{\stackrel {\downarrow }{\vec {A}}}\cdot {\vec {B}}\,+\,{\vec {\nabla }}{\stackrel {\downarrow }{\vec {B}}}\cdot {\vec {A}}$ ....(2).

Durch die senkrechten Pfeile über einer Größe wurden wie üblich die Wirkstellen des Differentialoperators bezeichnet. Die Klammern sind eigentlich entbehrlich und auf der linken Seite nur zur Verdeutlichung stehengeblieben; im zweiten Ausdruck auf der rechten Seite sind die Faktoren des Skalarprodukts stillschweigend vertauscht worden.

Dann ist nach der Zerlegungsformel für das zweifache Vektorprodukt

${\vec {B}}\times ({\vec {\nabla }}\times {\stackrel {\downarrow }{\vec {A}}})={\vec {\nabla }}{\stackrel {\downarrow }{\vec {A}}}\cdot {\vec {B}}-{\vec {B}}\cdot {\vec {\nabla }}{\stackrel {\downarrow }{\vec {A}}}$ ....(3),

weiter nach Umstellen

${\vec {\nabla }}{\stackrel {\downarrow }{\vec {A}}}\cdot {\vec {B}}={\vec {B}}\times ({\vec {\nabla }}\times {\stackrel {\downarrow }{\vec {A}}})+{\vec {B}}\cdot {\vec {\nabla }}{\stackrel {\downarrow }{\vec {A}}}$ ....(3a)

und nach Vertauschen von \vec A und \vec B

${\vec {\nabla }}{\stackrel {\downarrow }{\vec {B}}}\cdot {\vec {A}}={\vec {A}}\times ({\vec {\nabla }}\times {\stackrel {\downarrow }{\vec {B}}})+{\vec {A}}\cdot {\vec {\nabla }}{\stackrel {\downarrow }{\vec {B}}}$ ....(3b).

Einsetzen von (3a) und (3b) in (2) liefert das Ergebnis (1).

Die Schreib-und Vorgehensweisen bedürfen evtl. einiger Bemerkungen.

1. Man darf einen Vektor auch so mit einer Zahl multiplizieren, daß der Vektor links und die Zahl rechts steht. Nach den gewöhnlichen Vektorraum-Axiomen ist das erst mal nicht erlaubt. Es ist aber für Vektorräume über kommutativen Zahlenkörpern definierbar. Dazu s.u.a. G. Geise: Grundkurs Lineare Algebra, B.G. Teubner, Leipzig 1979, sowie H. Reichardt: Vorlesungen über Vektor- und Tensorrechnung, Berlin 1957.

2. Dieser so mit einem Vektor verbundene Zahlenfaktor kann selbst ein Skalarprodukt zweier Vektoren sein, dessen Faktoren ebenfalls vertauscht werden dürfen; damit ergeben sich vier mögliche Gestalten für das aus den drei Vektoren zusammengesetzte "Produktgebilde". Dabei ist der Punkt zwischen den Faktoren des Skalarprodukts absolute Pflicht; die ohne Zeichen nebeneinander stehenden Vektoren bilden deren tensorielles (unbestimmtes, dyadisches) Produkt, sie dürfen allein keinesfalls vertauscht werden. Klammern sind fast (s. o.) überall entbehrlich.

3. Die Skalarprodukte mit dem Nablaoperator auf den rechten Seiten der Gl. (1) sowie der Gln.(3) sind skalare Richtunngs-Diffentialoperatoren! Deren Verwendung in Gl. (1) war ja der eigentliche Zweck der Umformungen der Gl. (2), weil so die unhandliche Auswertung der in Gl. (2) vorkommenden Vektor-Gradienten umgangen werden kann; dafür muß dann in Gl. (1) die Umständlichkeit durch die beiden doppelten Vektorprodukte in Kauf genommen werden.

4. Das vektorielle Produkt zweier Vektoren gibt es nur in bestimmten Vektorräumen Vn mit n=3. Zur Frage der Übertragbarkeit für n>3 ist folgendes sagen: Die rechte Seite der Zerlegungsformel kann auch so geschrieben werden, daß (hier in Gl. (3)) der \vec B mit dem Skalarprodukt-Punkt nach rechts ausgeklammert wird. Dann steht in der Klammer ein spezieller antisymmetrischer Tensor zweiter Stufe, der skalar mit dem Vektor \vec B zu multiplizieren ist. Das ist auch der Inhalt der allgemeineren Aussage, daß ein Kreuzprodukt eines axialen Vektors mit einem beliebigen Vektor (hier \vec B) durch das Skalarprodukt aus antisymmetrischem Tensor und diesem beliebigen Vektor ersetzt werden kann. Und das dürfte sogar auch für n=2 funktionieren! Nun stimmt das zwar prinzipiell. Aber: Praktisch machte das gar keinen Sinn, weil's noch aufwendiger würde als gleich die Gl. (2) anzuwenden!

5. Die vorerwähnte Umformung der Zerlegungsformel nach obiger Gl. (3) ergibt

${\vec {B}}\times ({\vec {\nabla }}\times {\stackrel {\downarrow }{\vec {A}}})={\vec {\nabla }}{\stackrel {\downarrow }{\vec {A}}}\cdot {\vec {B}}-{\vec {B}}\cdot {\vec {\nabla }}{\stackrel {\downarrow }{\vec {A}}}={\vec {\nabla }}{\stackrel {\downarrow }{\vec {A}}}\cdot {\vec {B}}-{\stackrel {\downarrow }{\vec {A}}}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=({\vec {\nabla }}{\stackrel {\downarrow }{\vec {A}}}-{\stackrel {\downarrow }{\vec {A}}}{\vec {\nabla }})\cdot {\vec {B}}$ ....(3').

Daß in den zweiten Summanden der letzten beiden Ausdrücke der Nablaoperator rückwärts wirkt (wirken muß!), folgt ganz einfach aus den Regeln für die skalare und die dyadische Multiplikation in den skalar-dyadischen Mischprodukten aus drei Vektoren des geometrischen Vektorraums VO3. Die Assoziativität zwischen dyadischer und Skalarmuliplikation in solchen Produkten konnte ja geradezu zur Definition der dyadischen Produkte als Größen zweiter Stufe in einem Vektorraum über dem VO3 benutzt werden. Und der Klammerausdruck nach dem letzten Gleichheitszeichen in Gl. (3') entspricht doch der "Normalform" eines antisymmetrischen Tensors zweiter Stufe als alternierende Summe zweier gegenseitig konjugierter linearer Dyaden.

Projektionen

Reine Projektionen

Aus der Definition des Skalarprodukts (Skizze!)

${\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}:=|{\mathfrak {a}}||{\mathfrak {b}}|\cos({\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}})=|{\mathfrak {a}}_{\mathfrak {b}}||{\mathfrak {b}}|=|{\mathfrak {a}}||{\mathfrak {b}}_{\mathfrak {a}}|$............(1)

ergeben sich nur die Längen der Projektionen ${\mathfrak {a}}_{\mathfrak {b}}$ (von ${\mathfrak {a}}$ auf ${\mathfrak {b}}$) und ${\mathfrak {b}}_{\mathfrak {a}}$ (von ${\mathfrak {b}}$ auf ${\mathfrak {a}}$). Für die Vektoren selbst, für die eigentlichen Projektionen des einen Vektors auf die Richtung des jeweils anderen, erhält man

${\mathfrak {a}}_{\mathfrak {b}}={\mathfrak {b}}^{\mathrm {o} }|{\mathfrak {a}}_{\mathfrak {b}}|={\frac {\mathfrak {b}}{|{\mathfrak {b}}|}}{\frac {{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}}{|{\mathfrak {b}}|}}={\frac {{\mathfrak {b}}\,{\mathfrak {b}}}{{\mathfrak {b}}\cdot {\mathfrak {b}}}}\cdot {\mathfrak {a}}=\mathbf {P} _{\mathfrak {b}}\cdot {\mathfrak {a}},\,\qquad \,\mathbf {P} _{\mathfrak {b}}={\frac {{\mathfrak {b}}\,{\mathfrak {b}}}{{\mathfrak {b}}\cdot {\mathfrak {b}}}}={\mathfrak {b}}^{\mathrm {o} }\,{\mathfrak {b}}^{\mathrm {o} }$............(2, 2a)

sowie

${\mathfrak {b}}_{\mathfrak {a}}={\mathfrak {a}}^{\mathrm {o} }|{\mathfrak {b}}_{\mathfrak {a}}|={\frac {\mathfrak {a}}{|{\mathfrak {a}}|}}{\frac {{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}}{|{\mathfrak {a}}|}}={\frac {{\mathfrak {a}}\,{\mathfrak {a}}}{{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {a}}}}\cdot {\mathfrak {b}}=\mathbf {P} _{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}},\,\qquad \,\mathbf {P} _{\mathfrak {a}}={\frac {{\mathfrak {a}}\,{\mathfrak {a}}}{{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {a}}}}={\mathfrak {a}}^{\mathrm {o} }\,{\mathfrak {a}}^{\mathrm {o} }$. ............(3, 3a)

Die hier auftretenden Projektions-Operatoren ("Projektoren") $\mathbf {P} _{\mathfrak {a}}$ bzw. $\mathbf {P} _{\mathfrak {b}}$ sind spezielle "lineare Dyaden" (also zweifach ausgeartete Tensoren 2. Stufe). "Speziell" heißt: sie sind ersichtlich symmetrisch sowie in den vektoriellen Faktoren auf deren Einheitsvektor reduziert. Außerdem sind sie idempotent bezüglich Skalarproduktbildung (Nachrechnen!).

Wir betrachten jetzt einen konstanten Vektor ${\mathfrak {a}}$ bzw. dessen Einheitsvektor ${\mathfrak {a}}^{\mathrm {o} }$ mit dem zugehörigen Projektor $\mathbf {P} _{\mathfrak {a}}$ als fest vorgegeben und einen variabel gedachten (Orts-)Vektor ${\mathfrak {x}}$ (der also Werte aus dem gesamten geometrischen Vektrorraum 'VO3' annehmen kann). Dann ergeben sich die Projektion von ${\mathfrak {x}}$ auf ${\mathfrak {a}}$ und der dazu senkrechte "Ergänzungsvektor" zu

${\mathfrak {x}}_{\mathfrak {a}}=\mathbf {P} _{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {x}}\qquad {\text{bzw.}}\qquad {\mathfrak {x}}_{\perp {\mathfrak {a}}}={\mathfrak {x}}-{\mathfrak {x}}_{\mathfrak {a}}={\mathfrak {x}}-\mathbf {P} _{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {x}}=\mathbf {P} _{\perp {\mathfrak {a}}}\cdot {\mathfrak {x}}$, ............(4, 5)

also

$\mathbf {P} _{\perp {\mathfrak {a}}}=\mathbf {E} -\mathbf {P} _{\mathfrak {a}}={\mathfrak {a}}^{\mathbf {o} }\cdot {\mathfrak {a}}^{\mathbf {o} }\,\mathbf {E} -{\mathfrak {a}}^{\mathbf {o} }\,{\mathfrak {a}}^{\mathbf {o} }$. ............(5a)

(mit $\mathbf {E}$ als dem Einheitstensor zweiter Stufe ). Damit wird auch

${\mathfrak {x}}_{\perp {\mathfrak {a}}}=\mathbf {P} _{\perp {\mathfrak {a}}}\cdot {\mathfrak {x}}={\mathfrak {a}}^{\mathbf {o} }\cdot {\mathfrak {a}}^{\mathbf {o} }\,{\mathfrak {x}}-{\mathfrak {a}}^{\mathbf {o} }\,{\mathfrak {a}}^{\mathbf {o} }\cdot {\mathfrak {x}}={\mathfrak {x}}\,{\mathfrak {a}}^{\mathbf {o} }\cdot {\mathfrak {a}}^{\mathbf {o} }-{\mathfrak {a}}^{\mathbf {o} }\,{\mathfrak {x}}\cdot {\mathfrak {a}}^{\mathbf {o} }={\mathfrak {a}}^{\mathbf {o} }\times ({\mathfrak {x}}\times {\mathfrak {a}}^{\mathbf {o} })$. ............(5b)

Gelegentlich (z.B. im Hinblick auf die Zusammenfassung von Summanden) dürfte die Notation mit dem tensoriellen Projektor vorteilhafter gegenüber dem Vektorprodukt-Ausdruck erscheinen. Denn im (in der Mechanik und auch sonst in der Physik oft verwendeten) letzten Ausdruck der Gl. (5b) steht der Vektor ${\mathfrak {x}}$ als Operand in einer Infix-Position, aus der er rein vektoralgebraisch nicht herauslösbar ist. Und im vorletzten Ausdruck könnte der Einheitsvektor ${\mathfrak {a}}^{\mathbf {o} }$ zusammen mit dem Skalarprodukt-Punkt nach rechts ausgeklammert werden; in der Klammer verbliebe ein spezieller antisymmetrischer Tensor 2. Stufe, der, skalar mit ${\mathfrak {a}}^{\mathbf {o} }$ multipliziert, die vektorielle Multiplikation von ${\mathfrak {a}}^{\mathbf {o} }$ mit dem axialen Vektor $({\mathfrak {x}}\times {\mathfrak {a}}^{\mathbf {o} })$ ersetzen kann. Damit zeigt sich erneut der enge Zusammhang zwischen dyadischer, skalarer und vektorieller Multiplikation zweier Vektoren der 'VO3'.

Wegen ${\mathfrak {x}}={\mathfrak {x}}_{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {x}}_{\perp {\mathfrak {a}}}$ ergibt die Summe beider Projektoren den Einheitstensor und deren Skalarprodukt den Nulltensor zweiter Stufe. Von inversen Operatoren oder irgendeiner Division kann hier keine Rede sein, denn die Projektoren sind keine vollständigen Tensoren zweiter Stufe. U.U. ist jedoch die Differenz der Operatoren

$\mathbf {P} _{\mathfrak {a}}-\mathbf {P} _{\perp }{\mathfrak {a}}=2\,\mathbf {P} _{\mathfrak {a}}-\mathbf {E}$ ...........(6)

von Interesse: Dieser Operator (hier ohne eigenes Formelzeichen) vermittelt eine "Klappung" um ${\mathfrak {a}}$ in der von ${\mathfrak {a}}$ und dem Operanden aufgespannten Ebene.

Kombinierte Projektionen

Die reinen Projektionen mit den Projektoren $\mathbf {P} _{\mathfrak {a}}$ und $\mathbf {P} _{\perp {\mathfrak {a}}}$ können bei vielen Untersuchungen in der analytischen Geometrie angewendet werden (Beispiele!). Bei der Aufgabe, den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene zu bestimmen, tritt jedoch eine weitere, allgemeinere Projektion hinzu, die mit dem Projektor $\mathbf {P} _{{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$ beschrieben werden kann:

$\mathbf {P} _{{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}:={\frac {{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}{{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}}}={\frac {1}{\cos({\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}})}}\,{\mathfrak {a}}^{\mathrm {o} }{\mathfrak {b}}^{\mathrm {o} }={\frac {1}{\cos ^{2}({\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}})}}\,\mathbf {P} _{\mathfrak {a}}\cdot \mathbf {P} _{\mathfrak {b}}$. ............(7)

Die Anwendung dieses Projektors auf einen Vektor ${\mathfrak {x}}$ ergibt mit ${\mathfrak {x}}_{\mathfrak {b}}=\mathbf {P} _{\mathfrak {b}}\cdot {\mathfrak {x}}$ und $({\mathfrak {x}}_{\mathfrak {b}})_{\mathfrak {a}}=\mathbf {P} _{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {x}}_{\mathfrak {b}}$

${\mathfrak {x}}_{{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}=\mathbf {P} _{{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}\cdot {\mathfrak {x}}={\frac {1}{\cos ^{2}({\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}})}}\,\mathbf {P} _{\mathfrak {a}}\cdot \mathbf {P} _{\mathfrak {b}}\cdot {\mathfrak {x}}={\frac {1}{\cos ^{2}({\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}})}}\,\mathbf {P} _{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {x}}_{\mathfrak {b}}={\frac {1}{\cos ^{2}({\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}})}}\,({\mathfrak {x}}_{\mathfrak {b}})_{\mathfrak {a}}$. ............(8)

Die mit dem Projektor $\mathbf {P} _{{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$ beschriebene Operation erweist sich also als Kombination zweier einfacher Projektionen (in vorgegebener Reihenfolge) in Verbindung mit einer Streckung. Die Einordnung der Streckung in die Operationen-Folge ist beliebig, weil der skalare Faktor in Gl. (8) auch an eine beliebige Position nach rechts verschoben werden könnte.

(Fortsetzung folgt!) (Skizzen notwendig!)

Zerlegungsformel für das doppelte Vektorprodukt (Entwicklungssatz)

Aus einem geometrischen Vektorraum VO3 (Vektorraum der Ortsvektoren) seien drei (geometrische) Vektoren ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}$ gegeben (${\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}$ linear unabhängig). Dann ist

${\mathfrak {x}}={\mathfrak {a}}\times ({\mathfrak {b}}\times {\mathfrak {c}})={\mathfrak {b}}\,{\mathfrak {c}}\cdot {\mathfrak {a}}-{\mathfrak {c}}\,{\mathfrak {b}}\cdot {\mathfrak {a}}=({\mathfrak {b}}\,{\mathfrak {c}}-{\mathfrak {c}}\,{\mathfrak {b}})\cdot {\mathfrak {a}}$ ....(1).

Zum Beweis definieren wir eine spezielle kartesische Basis ${\underline {\mathfrak {e}}}=({\mathfrak {e}}_{1}{\mathfrak {e}}_{2}{\mathfrak {e}}_{3})^{\mathrm {T} }$ (genauer: wir konstruieren diese spezielle Basis aus zweien (!!) der drei vorgegebenen Vektoren!): Die beiden ersten Basisvektoren ergeben sich durch Orthogonalisierung des Vektorpaares $({\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}})$, der dritte aus deren Kreuzprodukt:

${\mathfrak {e}}_{1}:={\frac {\mathfrak {b}}{\beta }},\qquad {\mathfrak {e}}_{2}:={\frac {{\mathfrak {c}}+\alpha {\mathfrak {b}}}{\gamma }},\qquad {\mathfrak {e}}_{3}:={\mathfrak {e}}_{1}\times {\mathfrak {e}}_{2}={\frac {{\mathfrak {b}}\times {\mathfrak {c}}}{\beta \gamma }}$ ....(2a, 2b, 2c)

mit $\beta =|{\mathfrak {b}}|,\qquad \gamma =|{\mathfrak {c}}+\alpha {\mathfrak {b}}|,\qquad \;\alpha =-{\mathfrak {b}}\cdot {\mathfrak {c}}/{\mathfrak {b}}^{2}\;\;$ wg. ${\mathfrak {e}}_{1}\bot {\mathfrak {e}}_{2}$ ....(3a, 3b, 3c).

Nun denken wir uns den Vektor ${\mathfrak {a}}$ mit dem Koordinatenvektor ${\underline {a}}=(a_{1}a_{2}a_{3})^{\mathrm {T} }$ bezüglich dieser Basis dargestellt:

${\mathfrak {a}}={\underline {\mathfrak {e}}}^{\mathrm {T} }{\underline {a}}={\underline {a}}^{\mathrm {T} }{\underline {\mathfrak {e}}},\qquad {\underline {a}}={\underline {\mathfrak {e}}}\cdot {\mathfrak {a}},\qquad {\underline {a}}^{\mathrm {T} }={\mathfrak {a}}\cdot {\underline {\mathfrak {e}}}^{\mathrm {T} }$ ....(4, 4a, 4b).

Durch die "matrizische" Schreibweise erscheint hier der Vektor ${\mathfrak {a}}$ als vektorwertige (1,1)-Matrix! Genauer müßte allerdings in den Gln. (4 ff.) geschrieben werden ${\mathfrak {a}}={\underline {\mathfrak {e}}}^{\mathrm {T} }{\underline {a}}_{\,{\underline {\mathfrak {e}}}}$ usw.; da hier nur eine einzige Vektorbasis betrachtet wird, kann diese Kennzeichnung des Koordinatenvektors weggelassen werden.

Dann wird mit den Werten für ${\mathfrak {a}}$ aus (4), für ${\mathfrak {b}}\times {\mathfrak {c}}$ aus (2c) sowie für ${\underline {a}}^{\mathrm {T} }$ aus (4b) die fortlaufende Gl. (1) schrittweise zu

${\mathfrak {x}}={\underline {a}}^{\mathrm {T} }{\underline {\mathfrak {e}}}\times \beta \gamma {\mathfrak {e}}_{3}=\beta \gamma {\underline {a}}^{\mathrm {T} }{(-{\mathfrak {e}}_{2}\,{\mathfrak {e}}_{1}\,{\mathfrak {o}})}^{\mathrm {T} }=\beta \gamma \,{\mathfrak {a}}\cdot {\underline {\mathfrak {e}}}^{\mathrm {T} }{(-{\mathfrak {e}}_{2}\,{\mathfrak {e}}_{1}\,{\mathfrak {o}})}^{\mathrm {T} }=\beta \gamma {\mathfrak {a}}\cdot (-{\mathfrak {e}}_{1}{\mathfrak {e}}_{2}+{\mathfrak {e}}_{2}{\mathfrak {e}}_{1})$ .... (5).

Der Klammerausdruck nach dem letzten Gleichheitszeichen in (5) ist, ähnlich wie der entsprechende in (1), ein spezieller antisymmetrischer Tensor zweiter Stufe (und ergibt sich hier formal als tensorwertige (1,1)-Matrix!); beide Klammerausdrücke unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen, und die Zahlenfaktoren $\beta ,\gamma$ kürzen sich beim Einsetzen von (2a) und (2b) heraus. Die den Zahlenfaktor $\alpha$ aus Gl. (2b) bzw. (3c) enthaltenden Terme heben sich auf, und weder der Koordinatenvektor ${\underline {a}}$ noch seine Komponenten werden explizit benötigt. Damit ist Gl. (1) bewiesen.

Zum Beweis mittels Orthogonalisierung vorgegebener Vektoren, zur Notierung der Vektor-Basen als vektorwertige (3,1)-Matrizen sowie zur "Abbildung Koordinatenvektor" eines beliebigen Vektors bezüglich einer Vektorbasis s. z. B. Gerhard Geise, Grundkurs Lineare Algebra, Teubner Leipzig 1979 (dort S. 56: "Der Entwicklunssatz und sein Beweis enthalten wesentliche Teile der Vektorraumtheorie im Kleinen."). Außerdem wurde gezeigt, daß mit den o. g. einreihigen Matrizen (hier in sehr bescheidenem Maße) auch gerechnet werden kann; dabei sind die Matrizen-Operationen auf die Operationen zwischen ihren Elementen zurückzuführen. Die "Abbildung Koordinatenvektor" erscheint hier in den Gln. (4 ...) für den speziellen Fall konkretisiert (Basisvektoren aus dem Vektorraum VO3, Koordinatenvektor aus dem Vektorraum R3, die Vektorbasis als Ganzes ist jedoch kein Element aus VO3), und die Gl. (5) verdeutlicht das Wechselspiel zwischen Vektor und seinem Koordinatenvektor (und darüberhinaus das zwischen Spalten- und Zeilenvektoren!). Und noch eins: Die Herleitung zeigt den engen Zusammenhang zwischen dyadischer, skalarer und vektorieller Multiplikation je zweier Vektoren eines VO3.

Nachbemerkung zu Gl. (5):

Der Rechenweg über den Koordinatenvektor ${\underline {a}}$ gem. Gln. (4) ff. ist sicher der naheliegendste und auch bzgl. Anschaulichkeit am besten zu übersehen.

Mit ${\underline {\mathfrak {e}}}^{\mathrm {T} }{\underline {\mathfrak {e}}}$ als dem Einheitstensor zweiter Stufe in seiner speziellen Gestalt bzgl. der kartesischen Basis ${\underline {\mathfrak {e}}}=({\mathfrak {e}}_{1}\,{\mathfrak {e}}_{2}\,{\mathfrak {e}}_{3})^{\mathrm {T} }$ hätte jedoch auch ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {a}}\cdot {\underline {\mathfrak {e}}}^{\mathrm {T} }{\underline {\mathfrak {e}}}$ gesetzt und weiter geschrieben werden können:

${\mathfrak {x}}={\mathfrak {a}}\times \beta \gamma {\mathfrak {e}}_{3}=\beta \gamma {\mathfrak {a}}\cdot {\underline {\mathfrak {e}}}^{\mathrm {T} }{\underline {\mathfrak {e}}}\times {\mathfrak {e}}_{3}=\beta \gamma \,{\mathfrak {a}}\cdot {\underline {\mathfrak {e}}}^{\mathrm {T} }{(-{\mathfrak {e}}_{2}\,{\mathfrak {e}}_{1}\,{\mathfrak {o}})}^{\mathrm {T} }=\beta \gamma {\mathfrak {a}}\cdot (-{\mathfrak {e}}_{1}{\mathfrak {e}}_{2}+{\mathfrak {e}}_{2}{\mathfrak {e}}_{1})$ .... (5').

Hier zeigt vor allem der Ausdruck nach dem zweiten Gleichheitszeichen wiederum den engen Zusammenhang zwischen dyadischer, skalarer und vektorieller Multiplikation von zwei Vektoren des VO3. Außerdem wird die große Kraft der formalen Tensor-Operationen bereits bei dieser elementaren Betrachtung deutlich. Zwingend notwendig dafür ist aber die Beachtung der aus der Produkt-Symbolik nach Gibbs folgenden einfachen Regeln.

--Wm40 (Diskussion) 18:04, 16. Mär. 2015 (CET)