Benutzer:VonHaarberg/Bézierkurve

Dieser Artikel ist im Entstehen und noch nicht Bestandteil der freien Enzyklopädie Wikipedia.

Solltest du über eine Suchmaschine darauf gestoVorlage:SSen sein, bedenke, dass der Text noch unvollständig sein und Fehler oder ungeprüfte Aussagen enthalten kann. Wenn du Fragen zum Thema hast, nimm Kontakt mit dem Autor VonHaarberg auf.

Definition

Konstruktion einer kubischen Bézierkurve

Eine Bézierkurve $n$-ten Grades zu gegebenen $n+1$ Kontroll- oder Bézierpunkten $P_{0},P_{1},\dotsc ,P_{n}$, die das sogenannte Kontrollpolygon bilden, ist für $t\in [0,1]$ definiert als

$C(t)=\sum _{i=0}^{n}B_{i,n}(t)P_{i}\,$

wobei

$B_{i,n}(t)={\binom {n}{i}}t^{i}(1-t)^{n-i}$

das $i$-te Bernsteinpolynom $n$-ten Grades ist. Diese bilden eine Basis des Vektorraums der Polynome und erfüllen die Rekursionsformel

$B_{i,n}(t)=(1-t)\cdot B_{i,n-1}(t)\,+\,t\cdot B_{i-1,n-1}(t)$

mit $B_{i,n}:=0$ für $i<0$ oder $i>n$, sowie $B_{0,0}:=1$. Dies erlaubt eine numerisch stabile rekursive Berechnung der Werte einer Bézierkurve mit Hilfe des De-Casteljau-Algorithmus:

${\begin{aligned}C_{i}^{0}(t)&\;:=\;P_{i}\\C_{i}^{j}(t)&\;:=\;(1-t)C_{i}^{j-1}(t)\,+\,tC_{i+1}^{j-1}(t)\quad {\text{mit}}\quad j=1,\ldots ,n\quad {\text{und}}\quad i=0,\ldots ,n-j\end{aligned}}$