Benutzer:Binse/Baustelle-7

 

Vektorräume mit linearen Funktionen

Gegeben seien zwei Vektorräume $V,\,W$, je mit einer linearen Abbilung auf einen weiteren Vektorraum, $\lambda :\,V\to V',\,\,\mu :\,W\to W'$. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung   $\kappa :\,V\otimes W\,\to \,V'\otimes W'$, die $v\otimes w\mapsto \,\lambda (v)\otimes \mu (w)\,\,(v\in V,\,w\in W)$ zu einer Abbildung $\kappa :\,V\otimes W\,\to V'\otimes W'$ fortsetzt. Diese Abbildung wird mit demselben Verknüpfungssymbol als $\kappa =\lambda \otimes \mu$ geschrieben und heißt das Tensorprodukt von $\lambda$ und $\mu$. Im Sinne der Kategorientheorie bildet das Paar von Abbildungen   $\otimes :(V,W)\mapsto V\otimes W,\,\,(\lambda ,\mu )\mapsto \lambda \otimes \mu$   einen Funktor.

Die Konstruktion geht aus von Basen $e_{i},\,f_{j}$ von $V$ und $W$. Die $e_{i}\otimes f_{j}$ bilden (s. o.) eine Basis von $V\otimes W$. Die Forderung $\kappa (e_{i}\otimes f_{j})=\lambda (e_{i})\otimes \mu (f_{j})$ auf den Elementen dieser Basis definiert eindeutig eine lineare Abbildung $\kappa :\,V\otimes W\,\to \,V'\otimes W'$. Dabei wird $\kappa (v\otimes w)=\lambda (v)\otimes \mu (w)$ auch für die anderen Elemente von $V\times W$, nicht nur für die $e_{i}\otimes f_{j}$. Aus den Darstellungen von $v$ und $w$ als $\textstyle v=\sum _{i}a_{i}e_{i}$ und $\textstyle w=\sum _{j}b_{j}f_{j}$ ergibt sich nämlich

$\kappa (v\otimes w)=\sum _{i}\sum _{j}a_{i}b_{j}\kappa (e_{i}\otimes f_{j})=\sum _{i}\sum _{j}a_{i}b_{j}\lambda (e_{i})\otimes \mu (f_{j})=\lambda (v)\otimes \mu (w)$.

Beginnt man die Konstruktion mit anderen Basen $e_{i}^{\ast },\,\,f_{j}^{\ast }$ von $V$ und $W$, definiert also eine lineare Abbildung $\kappa ^{\ast }$ durch $\kappa ^{\ast }(e_{i}^{\ast }\otimes f_{j}^{\ast })=\lambda (e_{j}^{\ast })\otimes \mu (f_{j}^{\ast })$, so ist das $=\kappa (e_{i}^{\ast }\otimes f_{j}^{\ast })$. Die Abbildungen $\kappa$ und $\kappa ^{\ast }$ stimmen auf den Elementen einer Basis von $V\otimes W$ überein, sind also identisch. Die Konstruktion ist von der Wahl der Basen unabhängig.

Ein TeX-Beispiel

$V\,{\xrightarrow {\,\lambda \,}}\,X$

${\displaystyle }$

Motivation

(Der folgende Abschnitt soll dem schon unter dieser Überschrift stehenden Abschnitt angefügt werden.)

Aus mathematischer Sicht ist die gesuchte bzw. zu konstruierende Produkt-Operation, nennen wir sie $v\otimes w$, von Vektoren aus Vektorräumen $V,\,W,$ in erster Linie eine bilineare Funktion (Abbildung) $v\otimes w=L(v,w)$ mit Werten in einem weiteren Vektorraum $X;$ anders geschrieben $L:\,V\times W\to X.$ Bilinear heißt eine Funktion von zwei Vektoren, wenn sie in jeder Variabeln linear ist: $L(v,\,\alpha _{1}w_{1}+\alpha _{2}w_{2})=\alpha _{1}L(v,w_{1})+\alpha _{2}L(v,w_{2})$ und entsprechend für die andere Variable. Von einem Produkt anderseits erwartet man zwei Distributivgesetze: $v\otimes (w_{1}+w_{2})=v\otimes w_{1}+v\otimes w_{2},$ und entsprechend für die linke Seite. Außerdem muss, da es sich um Vektoren handelt, die Multiplikation mit einem Skalar $\alpha \in K$ geregelt werden. Dafür erscheint naheliegend: $\alpha (v\otimes w)=(\alpha v)\otimes w=v\otimes (\alpha w).$ Zusammen bedeuten diese Forderungen in der Tat Bilinearität für $\otimes {:}\,V\times W\,\to \,X.$ Dazu kommen noch zwei, hier recht allgemein formulierte Wünsche: 1. Es sollte unter den ‚neuen‘ Vektoren keine Beziehungen (Gleichheiten) geben, die nicht durch die Axiome vorgeschrieben sind, und 2. sollte der neue Vektorraum keine Elemente enthalten, deren Existenz sich nicht aus den Axiomen ergibt.

Durch die Axiome vorgeschrieben ist jedenfalls für beliebige $v\in V,\,w\in W,$ dass (wenn O den Nullvektor und 0 die skalare Null bezeichnen) $O\otimes w=v\otimes O=O$ ist; denn z. B. ist $O\otimes w=(0O)\otimes w=0(O\otimes w)=O.$ Anderseits verlangen die Axiomen, dass mit beliebigen Elemente eines Vektorraumes auch alle ihre Linearkombinationen Elemente dieses Raumes sind.

${\displaystyle }$

Definition

Zu zwei Vektorräumen${\displaystyle }$ über einem Skalarkörper $K$ gibt es einen weiteren Vektorraum $X$ und eine bilineare Abbildung $L{:}\,V\times W\to X,$ mit den Eigenschaften

1. Sind Elemente $v_{i}{\text{ von }}V$ und Elemente $w_{j}{\text{ von }}W$ jeweils linear unabhängig, so sind die Elemente $L(v_{i},w_{j})$ von $X$ linear unabhängig.

und

2. $L(V\times W)$ ist ein Erzeugendensystem von $X.$

Vektorraum $X$ und Abbildung $L$ sind bis auf Isomorphie eindeutig. Das heißt, gelten 1. und 2. auch für $L'{:}\,V\times W\to X',$ so gibt es eine reguläre lineare Abbildung $\lambda {:}\,X\to X',$ sodass $L'=\lambda \circ L$ ist.

Man schreibt $L(v,w)=v\otimes w$ und $X=V\otimes W$ und nennt die Operation $\otimes$ Tensorprodukt. Der Raum $V\otimes W$ heißt Tensorprodukt von $V$ und $W,$ auch Tensorproduktraum. Seine Elemente sind Tensoren.

Diese Definition gehört zum Typ universelle Definition. Sie enthält zwei Behauptungen (Existenz und Eindeutigkei), die bewiesen werden müssen. Die Existenz belegen wir mit dem ‚einfachen Beipiel‘ weiter unten. Zur Eindeutigkeit gleich hier:

Hat man Basen $e_{i}$ und $f_{j}$ in $V$ beziehungsweise $W,$ so bilden die $z_{ij}=e_{i}\otimes f_{j}$ eine Basis von $X$. Einerseits nämlich sind sie nach 1. linear unabhängig, anderseits erzeugen sie die Menge aller $v\otimes w,\,v\in V,\,w\in W,$ die ihrerseits nach 2. ganz $X$ erzeugt. Für ein anderes Paar $L'{\text{ bzw. }}\otimes '$ und $X'$ folgt ebenso: Die $z_{i,j}'=e_{i}\otimes 'f_{j}$ bilden eine Basis von $X'.$ Definiert man $\lambda {:}\,X\to X'$ durch $z_{i,j}\mapsto z_{i,j}',$ so stimmen die Funktionen $L'$ und $\lambda \circ L$ zunächst für die Paare $(e_{i},f_{j})$ überein, und dann wegen ihrer Bilinearität auf ganz $V\times W$, und sind damit identisch.

Ein einfaches Beispiel

Die Vektoren der Standardvektorräume über einem Körper $K$ sind Spalten oder Zeilen mit Elementen aus $K$. Im Rahmen des Matrizenkalküls sind Spalten $(m\times 1)$-Matrizen und Zeilen $(1\times n)$-Matrizen, wenn $m,\,n,$ die Dimensionen der Vektoren bezeichnen. Eine $(m\times k)$-Matrix mit einer $(l\times n)$-Matrix lassen sich genau dann multiplizieren, wenn $k=l$ ist, und ergeben dann eine $(m\times n)$-Matrix. Ein $m$-Spaltenvektor $v=(a_{i})_{i=1,\dotsc ,m;\,1}$ mit einem $n$-Zeilenvektor $w=(b_{j})_{1;\,j=1,\dotsc ,n}$ als Matrizen multipliziert, ergeben die $m\times n$-Matrix $vw=(a_{i}b_{j})_{i=1,\dotsc ,m;\,j=1,\dotsc ,n}\,.$ Ausführlich, nun mit $\otimes$ geschrieben:

$\left({\begin{matrix}a_{1}\\\vdots \\a_{m}\end{matrix}}\right)\,\otimes \,\left({\begin{matrix}b_{1}&b_{2}&\dotsc &b_{n}\end{matrix}}\right)\quad =\quad \left({\begin{matrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&\dotsc &a_{1}b_{n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m}b_{1}&a_{m}b_{2}&\dotsc &a_{m}b_{n}\end{matrix}}\right).$

Da für Matrizen gleichen Formats Linearkombintionen definiert sind, bilden die $m\times n$-Matrizen mit Elementen aus $K$, also $M_{K}^{m\times n}$, einen $mn$-dimensionalen Vektorraum $X$ über diesem Körper. Nimmt man in $V$ und $W$ die Standardbasen $e_{i},\,f_{j},$ wo $e_{i}$ an der $i$-ten und $f_{j}$ an der $j$-ten Position eine Eins haben und sonst Nullen, so haben die Matrizen $E_{ij}=e_{i}\otimes f_{j}$ jeweils eine Eins an Position $(i,j)$ und sonst Nullen. Das ist die Standardbasis von $M_{K}^{m\times n}$. Damit erzeugen die $v\otimes w$ den Vektorraum $X$. Auch 1. gilt, denn gäbe es linear unabhängige Elemente $v_{i}\in V$ und $w_{j}\in W$, für die die $v_{i}\otimes w_{j}\in X$ linear abhängig sind, so könnte man die $v_{i}$ und die $w_{j}$ jeweils zu Basen $e_{i}',\,f_{j}',$ erweitern, deren Produkte $e_{i}'\otimes f_{j}'$ dann linear abhängig wären und nur einen echten Teilraum von $X$ erzeugen.

Vektorräume mit Skalarprodukt

Skalarprodukte sind die wohl wichtigsten zusätzlichen Strukturelemente von Vektorräumen. So gehört das Skalarprodukt zur Definition des Hilbertraums. Das Tensorprodukt sollte daher auf die Kategorien Vektorräume mit Skalarprodukt erweitert werden. Als Skalarkörper kommen die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ oder die komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ in Frage.

In diesem Abshnitt erscheint es angemessen, Vektoren und Tensoren in der Bezeichnung gegen Skalare abzusetzen.

Angenommen also, auf den Vektorräumen $V$ und $W$ sind Skalarprodukte $(\,,\,)_{V}$ bzw. $(\,,\,)_{W}$ definiert. Dann sollte es eine ‚natürliche‘ Definition eines Skalarprodukts $(\,,\,)_{X}$ auf $X=V\otimes W$ geben. Naheliegend ist, auf der Teilmenge $T=\{{\vec {v}}\otimes {\vec {w}}|\,{\vec {v}}\in V,\,{\vec {w}}\in W\}$ von $X$, genauer auf $T\times T$ zu fordern, dass $({\vec {v}}\otimes {\vec {w}},{\vec {v}}'\otimes {\vec {w}}')_{X}=({\vec {v}},{\vec {v}}')_{V}\cdot ({\vec {w}},{\vec {w}}')_{W}$ ist. Tatsächlich lässt sich diese Funktion eindeutig und widerspruchsfrei zu einem Skalarprodukt auf $X$ fortsetzen. Dafür seien zunächst ${\vec {e}}_{i},\,{\vec {f}}_{j}$ Orthonormalbasen in $V$ und $W$. Mit dem Kronecker-$\delta$

$\delta _{ij}={\begin{cases}1&{\text{wenn}}&i=j,\\0&{\text{sonst,}}&\end{cases}}$

schreibt sich das für die Elemente der Basen: $({\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{k})=\delta _{ik}$ bzw. $({\vec {f}}_{j},{\vec {f}}_{\ell })=\delta _{j\ell }$. Die ${\vec {z}}_{ij}={\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {f}}_{j}$ bilden wieder eine Basis von $X$. Aus der vorläufigen Definition von $(\,,\,)$ ergibt sich

$({\vec {z}}_{ij},{\vec {z}}_{k\ell })_{X}\,=\,({\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{k})_{V}\cdot ({\vec {f}}_{j},{\vec {f}}_{\ell })_{W}\,=\,\delta _{ik}\delta _{j\ell }\,.$

Damit bilden die ${\vec {z}}_{ij}$ eine Orthonormalbasis für $X$.

Da eine Orthonormalbasis ${\vec {g}}_{h}$ in einem beliebigen Vektorraum $Y$ (über $\mathbb {R}$ z.B.) das eindeutig bestimmte Skalarprodukt $({\vec {y}},{\vec {y}}')=\textstyle \sum _{h}a_{h}a'_{h}{\text{ für }}{\vec {y}}=\sum _{h}a_{h}{\vec {g}}_{h},\,\,{\vec {y}}'=\sum _{h}a'_{h}{\vec {g}}_{h}$ beschreibt, legen auch die orthonormalen ${\vec {Z}}_{ij}$ ein Skalarprodukt auf ganz $X$ fest. Zu prüfen ist, ob es auf $T$ mit der Vorgabe übereinstimmt. Das ist eine einfache Rechnung:

${\displaystyle }$