Körperkompositum

In der Mathematik ist das Kompositum zweier Körper ihr kleinster gemeinsamer Oberkörper.

Für die in diesem Artikel verwendeten Begriffe (wie „Körperadjunktion“, „Zwischenkörper“ und „Erweiterungsgrad“), siehe Körpererweiterung.

Sind $A$ und $B$ Unterkörper des Körpers $K$, dann definiert man das Körperkompositum $AB$ als

$AB:=A(B).$

Dabei bezeichnet A(B) die Körperadjunktion der Menge $B$ an den Körper $A$, sie besteht aus allen Brüchen von $A$-Linearkombinationen von Elementen aus $B$. Die Adjunktion ist in diesem Fall symmetrisch, d. h. $A(B)=B(A)$.

Sind $A$ und $B$ Zwischenkörper einer Körpererweiterung $L/K$, und sind beide endliche Erweiterungen von $K$, dann ist der Erweiterungsgrad des Kompositums höchstens gleich dem Produkt der beiden einzelnen Erweiterungsgrade und mindestens so groß wie ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV):

$\operatorname {kgV} (\left[A:K\right],\left[B:K\right])\leq \left[AB:K\right]\leq \left[A:K\right]\cdot \left[B:K\right].$

Sind $A$ und $B$ linear disjunkt, dann ist $\left[AB:K\right]=\left[A:K\right]\cdot \left[B:K\right].$ Dies ist z. B. der Fall, wenn die Erweiterungsgrade von $A$ und $B$ teilerfremd sind.

Man kann auch das Kompositum beliebig vieler Teilkörper eines gemeinsamen Oberkörpers betrachten, so ist z. B. der Körper der algebraischen Zahlen ein Oberkörper jeder endlichen Erweiterung von $\mathbb {Q}$, und ist gleich dem Kompositum aller endlicher Erweiterungen.