Kohärente Garbe

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In den mathematischen Teilgebieten der algebraischen Geometrie und komplexen Analysis sind kohärente Garben das Analogon endlich erzeugter Moduln über noetherschen Ringen.

Definition

Es sei ein geringter Raum, d. h. ein topologischer Raum zusammen mit einer Garbe von Ringen. Dann heißt eine -Modulgarbe kohärent, wenn

  1. endlich erzeugt ist, d. h. jeder Punkt von hat eine offene Umgebung , auf der eine Surjektion existiert, und
  2. für jede offene Teilmenge von und jeden Morphismus ist der Kern endlich erzeugt

Eigenschaften

eine kurze exakte Folge von Modulgarben, und sind zwei der drei Garben kohärent, so ist es auch die dritte.
  • Der Träger einer kohärenten Garbe ist abgeschlossen. (Dies gilt allgemeiner für beliebige endlich erzeugte Modulgarben.)

Kohärente Garben in der algebraischen Geometrie

Kohärente Garben in der komplexen Analysis

  • Kohärenzsatz von Oka: Im Unterschied zur algebraischen Geometrie ist die Tatsache, dass selbst kohärent ist, nicht trivial.
  • Direkte Bilder und höhere direkte Bilder kohärenter Garben unter eigentlichen holomorphen Abbildungen sind kohärent.

Literatur

  • Hans Grauert, Reinhold Remmert, Coherent Analytic Sheaves. Springer-Verlag, Berlin 1984. ISBN 3-540-13178-7
    Allgemeines: Anhang, §3; Kohärenz der Strukturgarbe: Kap. 2, §5; direkte Bilder: Kap. 10, §4
  • A. Grothendieck, J. Dieudonné: Éléments de géométrie algébrique. Publications mathématiques de l'IHÉS 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32 (1960–1967)
    Allgemeines: 0I, 5.3; direkte Bilder: III, 3.2