Meijersche G-Funktion

Die G-Funktion wurde von Cornelis Simon Meijer (1904–1974) 1936 eingeführt. Die meisten bekannten speziellen Funktionen sind Spezialfälle dieser Funktion.

Es gab auch andere Ansätze, die speziellen Funktionen zu verallgemeinern: Die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion und die MacRobertsche E-Funktion wurden zum gleichen Zweck vorgeschlagen. Die Meiersche G-Funktion umfasst diese beiden Funktionen als Spezialfall. In seiner ersten Definition verwendet Meijer eine Reihe. Die heute übliche, allgemeinere Definition erfolgt über ein Wegintegral in der komplexen Zahlenebene (siehe untenstehende Definition), die von Arthur Erdélyi 1953 vorgeschlagen wurde. Mit Hilfe dieser Definition und der Gamma-Funktion können die meisten speziellen Funktionen geschlossen dargestellt werden.

Durch Hinzunahme weiterer Parameter kann die G-Funktion zur noch allgemeineren Foxschen H-Funktion verallgemeinert werden (eingeführt 1961 von Charles Fox).

Definition

$G_{p,q}^{\,m,n}\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\;z\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\mathcal {L}}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-s)\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}+s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}+s)\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-s)}}z^{s}\,\mathrm {d} s$,

wobei $\Gamma (\cdot )$ die Gamma-Funktion ist. Dieses Wegintegral, längs eines geeigneten Weges ${\mathcal {L}}$ in der komplexen Zahlenebene kann als inverse Mellintransformation aufgefasst werden. Das Integral existiert unter folgenden Voraussetzungen:

• $0\leq m\leq q$ und $0\leq n\leq p$, wobei $m,n,p$ und $q$ ganze Zahlen sind,
• $a_{k}-b_{j}\neq 1,2,3,\ldots$ ($k=1,2,\ldots ,n$ und $j=1,2,\ldots ,m$). Das stellt sicher, dass kein Pol von $\Gamma (b_{j}-s)$, $j=1,2,\ldots ,m$ mit irgendeinem Pol von $\Gamma (1-a_{k}+s)$, $k=1,2,\ldots ,n$ zusammenfällt,
• $z\neq 0$.

Literatur

• Larry C. Andrews: Special Functions of mathematics for Engineers, New York, ISBN 0-8194-2616-4.
• Cornelis Simon Meijer: Über Whittakersche bezw. Besselsche Funktionen und deren Produkte, Nieuw Archief voor Wiskunde 18 (4), 1936.

Weblinks

• Meijersche G-Funktion auf Wolfram-Mathworld (mit grafischen Darstellungen)
• Meijersche G-Funktion auf Wolfram-Mathworld (systematisch)
• Richard Beals, Jacek Szmigielski: Meijer G-functions: a gentle introduction, Notices AMS, August 2013.