Metrische Ergodizität

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In der Mathematik ist metrische Ergodizität eine Verstärkung des Begriffs der Ergodizität.

Metrische Ergodizität

Eine maßerhaltende Wirkung einer Gruppe auf einem Maßraum heißt metrisch ergodisch, wenn für jede isometrische Wirkung der Gruppe auf einem separablen metrischen Raum jede -äquivariante Abbildung fast überall konstant ist.

Aus metrischer Ergodizität folgt Ergodizität durch Anwenden der Bedingung auf .

Relative metrische Ergodizität

Definition

Eine äquivariante Abbildung zwischen Lebesgue-G-Räumen ist relativ metrisch ergodisch, wenn für jede äquivariante Borel-Abbildung mit einer faserweise isometrischen G-Wirkung und für alle äquivariante Abbildungen mit es eine äquivariante Abbildung mit gibt.

Eigenschaften

  • Die Verknüpfung relativ metrisch ergodischer G-Abbildungen ist wieder relativ metrisch ergodisch.
  • Wenn relativ metrisch ergodisch ist, dann trifft dies auch auf zu, aber nicht notwendig auf .
  • Wenn die Projektion relativ metrisch ergodisch ist, dann ist metrisch ergodisch.
  • Wenn ein Gitter in einer Lie-Gruppe ist, dann ist eine relativ metrisch ergodische -Abbildung auch eine relativ metrisch ergodische -Abbildung.

Literatur

  • U. Bader, A. Furman: Boundaries, rigidity of representations, and Lyapunov exponents, Proceedings of ICM 2014, Invited Lectures, (2014), 71 – 96.
  • U. Bader, A. Furman: Boundaries, Weyl groups, and Superrigidity, Electron. Res. Announc. Math. Sci., vol 19 (2012), 41 – 48.
  • U. Bader, B. Duchesne, J. Lcureux (2014). Furstenberg Maps for CAT(0)Targets of Finite Telescopic Dimension.