Satz von Weierstraß-Casorati

Der Satz von Weierstraß-Casorati (nach Karl Weierstraß und Felice Casorati) ist ein Satz aus der Funktionentheorie und beschäftigt sich mit dem Verhalten holomorpher Funktionen in Umgebungen wesentlicher Singularitäten. Er hat aber eine schwächere Aussage als die Sätze von Picard.

Der Satz

Sei $z_{0}$ ein Punkt eines Gebietes $G$ . $z_{0}$ ist eine wesentliche Singularität der auf $G\setminus \{z_{0}\}$ holomorphen Funktion $f$ genau dann, wenn für jede in $G$ liegende Umgebung $U$ von $z_{0}$ das Bild $f(U\setminus \{z_{0}\})$ dicht in $\mathbb {C}$ liegt.

Anders formuliert: Eine holomorphe Funktion hat genau dann in $z_{0}$ eine wesentliche Singularität, wenn in jeder (noch so kleinen) Umgebung von $z_{0}$ jede komplexe Zahl beliebig genau als ein Bild von $f$ approximiert werden kann.

Beweis

Wir zeigen die Kontraposition der Aussage: $z_{0}$ ist genau dann keine wesentliche Singularität, wenn es eine Umgebung $U\subseteq G$ von $z_{0}$ gibt und eine nichtleere offene Menge $V\subset \mathbb {C}$ , so dass $f(U\setminus \{z_{0}\})$ disjunkt zu $V$ ist.

Sei zunächst $z_{0}$ keine wesentliche Singularität, also entweder eine hebbare Singularität oder eine Polstelle. Im hebbaren Fall ist (die stetige Fortsetzung von) $f$ in einer Umgebung $U$ von $z_{0}$ beschränkt, etwa $|f(z)|<r$ für alle $z\in U\setminus \{z_{0}\}$ . Dann ist $V:=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|>r\}$ disjunkt zu $f(U\setminus \{z_{0}\})$ . Hat $f$ dagegen in $z_{0}$ eine Polstelle, so ist $f(z)={\tfrac {g(z)}{(z-z_{0})^{m}}}$ für eine natürliche Zahl $m$ und ein holomorphes $g$ mit $g(z_{0})\neq 0$ . In einer hinreichend kleinen $\varepsilon$ -Umgebung $U$ von $z_{0}$ gilt $|g(z)|>{\tfrac {1}{2}}|g(z_{0})|$ und folglich $|f(z)|>{\tfrac {1}{2\varepsilon ^{m}}}|g(z_{0})|$ , d. h. $f(U\setminus \{z_{0}\})$ ist disjunkt zu $V:=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|<{\tfrac {1}{2\varepsilon ^{m}}}|g(z_{0})|\}$ .

Sei jetzt umgekehrt $U\subseteq G$ eine Umgebung von $z_{0}$ und $V\subset \mathbb {C}$ offen, nicht leer und disjunkt zu $f(U\setminus \{z_{0}\})$ . Dann enthält $V$ eine offene Kreisscheibe, es gibt also eine Zahl $w\in \mathbb {C}$ und ein $r>0$ mit $|f(z)-w|>r$ für alle $z\in U\setminus \{z_{0}\}$ . Es folgt, dass ${\tfrac {1}{f(z)-w}}$ auf $U\setminus \{z_{0}\}$ durch ${\tfrac {1}{r}}$ beschränkt ist. Nach dem riemannschen Hebbarkeitssatz ist ${\tfrac {1}{f(z)-w}}$ zu einer auf ganz $U$ holomorphen Funktion $g$ fortsetzbar. Da $g$ nicht die Nullfunktion sein kann, gibt es ein $m\in \mathbb {N} _{0}$ und holomorphes $h$ mit $g(z)=(z-z_{0})^{m}\cdot h(z)$ und $h(z_{0})\neq 0$ . In einer möglicherweise kleineren Umgebung $U'\subseteq U$ von $z_{0}$ ist auch ${\tfrac {1}{h(z)}}$ holomorph. Dies bedeutet