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Der Satz von Weierstraß-Casorati (nach Karl Weierstraß und Felice Casorati) ist ein Satz aus der Funktionentheorie und beschäftigt sich mit dem Verhalten holomorpher Funktionen in Umgebungen wesentlicher Singularitäten. Er hat aber eine schwächere Aussage als die Sätze von Picard.
Der Satz
Sei
ein Punkt eines Gebietes
.
ist eine wesentliche Singularität der auf
holomorphen Funktion
genau dann, wenn für jede in
liegende Umgebung
von
das Bild
dicht in
liegt.
Anders formuliert: Eine holomorphe Funktion hat genau dann in
eine wesentliche Singularität, wenn in jeder (noch so kleinen) Umgebung von
jede komplexe Zahl beliebig genau als ein Bild von
approximiert werden kann.
Beweis
Wir zeigen die Kontraposition der Aussage:
ist genau dann keine wesentliche Singularität, wenn es eine Umgebung
von
gibt und eine nichtleere offene Menge
, so dass
disjunkt zu
ist.
Sei zunächst Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_0}
keine wesentliche Singularität, also entweder eine hebbare Singularität oder eine Polstelle.
Im hebbaren Fall ist (die stetige Fortsetzung von)
in einer Umgebung
von
beschränkt, etwa
für alle
. Dann ist
disjunkt zu
.
Hat
dagegen in
eine Polstelle, so ist
für eine natürliche Zahl
und ein holomorphes
mit
. In einer hinreichend kleinen
-Umgebung
von
gilt
und folglich
, d. h.
ist disjunkt zu
.
Sei jetzt umgekehrt
eine Umgebung von
und
offen, nicht leer und disjunkt zu
. Dann enthält
eine offene Kreisscheibe, es gibt also eine Zahl
und ein
mit
für alle
.
Es folgt, dass
auf
durch
beschränkt ist. Nach dem riemannschen Hebbarkeitssatz ist
zu einer auf ganz
holomorphen Funktion
fortsetzbar. Da
nicht die Nullfunktion sein kann, gibt es ein
und holomorphes
mit
und
. In einer möglicherweise kleineren Umgebung
von
ist auch
holomorph.
Dies bedeutet
für alle
.
Die rechte Seite ist holomorph, also hat
in
allenfalls eine Polstelle vom Grad
.
Literatur
- Eberhard Freitag & Rolf Busam: Funktionentheorie 1, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4